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Daotmw上海市金山区2010届高三上学期期末考试(数学)


生活需要游戏,但不能游戏人生;生活需要歌舞,但不需 醉生梦死;生活需要艺术,但不能投机取巧;生活需要勇气, 但不能鲁莽蛮干;生活需要重复,但不能重蹈覆辙。
----无名

金山区 2009 学年第一学期期末考试 高三数学试卷
2010.01 考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、座位号填写清楚. 2.本试卷共有 23 道试题,满

分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1、集合 A={(x, y)|y=x+2},B={(x, y)|y= –x},则 A∩B=____________. 2、在 ( x ?
2

1 6 ) 的二项展开式中的常数项是第_____项. x
.(i 为虚数单位)

3、(

1 ? i 2010 ) = 1? i

4、若 cos?=

3 ? ? ,且??(0, ),则 cos(?+ )= 5 2 3



5、在△ABC 中,若∠A=120o,AB=5,BC=7,则 AC=________. 6、若 f(x)=

3x ? 2 1 (x≠1),则 f –1( ) =___________. x ?1 2

7、已知矩阵 A= ? ?

? 3 ? 1? ? 2 1? ? ,矩阵 B= ? ? ? 1 0 ? ,计算:AB= ? ?5 7 ? ? ?



8、设数列(an)为等差数列,a1=1,公差为 1,{bn}也是等差数列,b1=0,公差为 2,则

lim
n??

b1 ? b2 ? ? ? bn = n ? a3 n



9、某小镇对学生进行防火安全教育知晓情况调查,已知该小镇的小学生、初中生、高中

生分别有 1400 人、1600 人、800 人,按小学生抽取 70 名作调查,进行分层抽样,则在初 中生中的抽样人数应该是 . .(结果用数值表示) .

10、连续掷两次骰子,出现点数之和等于 4 的概率是

11、已知点 P(3cos?, 3sin?),点 Q (1, 3 ),其中??[0,?],则 PQ 的取值范围

12、下图是某算法的程序框图,该算法可表示分段函数,则其输出结果所表示的分段函数 为 f(x)= . 开始 输入 x 是 y ←1 x>0 是 x<0 y ← –1 y ←0 否 否

13、已知,在△ABC 中,三个内角 A、 B、C 所对的边分别是 a、b、c,分别给 出下列四个条件: (1) tan (A–B) cosC=0; (2) sin(B+C) cos(B–C)=1; (3) acosA=bcosB; (4) sin2(A–B)+cos2C=0. 若满足条件 , 则△ABC

是等腰直角三角形. (只需填写其中一个 序号) 14、若 f(n)为 n2+1 所表示的数字的各位 数字之和,(n 为正整数),例如:因为 结束 输出 y 第 12 题图

142+1=197, 1+9+7=17, 所以 f(14)=17, f1(n)=f(n),2(n)=f[f1(n)], fk+1(n)=f[fk (n)], 记 f ?, (k 为正整数),则 f2010(11)= .

二.选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案.考生 应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 4 分,否则一律得零 分. 15、已知函数 y=2sin(?x+?) (其中?>0)在区间[0, 2?]的图像如图所示,那么?的值等 于 (A) 1 (B) 2 ( )

(C)

1 2

(D)

1 3

16、若向量 a =( 3 , 1),b 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a ? b = 3 ,则 b =( (A) (

)

3 1 , ) 2 2
1 3 3 , ) 4 4

(B) (

1 , 2

3 ) 2

(C) (

(D) (1, 0)

17、下列说法错误的是 (A)若 z?C,则|z|=1 的充要条件是 z =

(

)

1 z

(B)若 z=sinθ+icosθ (其中 0<θ<

? 1? z 2 ),则( ) <0 1? z 2

(C)若方程 x2+bx+c=0 的系数不都是实数,则此方程必有虚数根 (D)复数(a–b)+(a+b)i 为纯虚数的充要条件是 a、b?R,且 a=b 18、若函数 f(x)、g(x)的定义域和值域都是 R,则“f(x)<g(x),x?R”成立的充要条 件是 (A)存在 x0?R,使得 f(x0)<g(x0) (C)对任意 x?R,都有 f(x)+ (B)有无数多个实数 x,使得 f(x)<g(x) (D)不存在实数 x,使得 f(x)≥g(x) ( )

1 <g(x) 2

三. 解答题(本大题满分 78 分)本大量共有 5 题, 解答下列各题必须在答题纸相应编号 的规定区城内写出必要的步骤. 19、(本题满分 12 分) 已知点 A(–1, 0),点 B (1, 0),点 P(x+1, y)在 x 轴的下方,设 a= PA? PB , b= AP? AB ,c= BP? BA ,d=| AB |,且 (1)求 a、b、c 关于 x、y 的表达式; (2)求 y 关于 x 的函数关系式 y=f(x),并求当 y 取得最小值时 P 点的坐标.

a b c d

=0.

20、(本题满分 12 分) 已知函数 f(x)=log4(4x+1),g(x)=(k–1)x,记 F(x)=f(x)–g(x),且 F(x)为偶函数. (1)求实常数 k 的值; (2)求证:当 m≤1 时,函数 y=f(2x)与函数 y=g(2x+m)的图象最多只有一个交点.

21、(本题满分 16 分) 已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数,周期 T=5,又函数 y=f(x)在区间[–1, 1] 上是奇函数,又知 y=f(x) 在区间[0,1]上的图像是线段、在区间[1,4]上的图像是一个二 次函数图像的一部分,且在 x=2 时,函数取得最小值–5.求: (1) f(1)+f(4)的值; (2)y=f(x)在 x?[1,4]上的函数解析式; (3) y=f(x)在 x?[4,9]上的函数解析式。

22、(本题满分 18 分) 已知等差数列{an}满足:a1+a2n–1=2n,(n?N*),设 Sn 是是\数列{ 和,记 f(n)=S2n–Sn, (1)求 an;(n?N*) (2)比较 f(n+1)与 f(n)的大小;(n?N*) (3)如果函数 g(x)=log2x–12f(n)(其中 x?[a, b])对于一切大于 1 的自然数 n,其函数值都 小于零,那么 a、b 应满足什么条件?

1 }的前 n 项 an

23、(本题满分 20 分)

已知函数 f(x)=loga

1 ? mx 在定义域 D 上是奇函数,(其中 a>0 且 a≠1). x ?1

(1)求出 m 的值,并求出定义域 D; (2)判断 f(x)在(1, +∞)上的单调性,并加以证明; (3)当 x?(r, a–2)时,f(x)的值的范围恰为(1, +∞),求 a 及 r 的值.

201001 高三数学高考模拟卷评分参考意见
一、填空题: (本题共有 14 题,每小题 4 分,满分 56 分) 1、{(–1, 1)}; 2、5; 3、–1; 4、 7、 ? ?

3? 4 3 ; 5、3 ;6、–1; 10

? 5 3? 1 1 ? ; 8、 ; 9、80; 10、 ; 11、[1, ? 3 12 ?17 5 ?

19 ] ;

?1 x ? 0 ? 12、y= ?0 x ? 0 ; 13、(2)或(4),(有一个即可) ; 14、11 ?? 1 x ? 0 ?
二、选择题(本题共 4 题,每小题 4 分,满分 16 分) 15、B;16、B;17、D;18、D 三、解答题(本题共有 5 小题,满分 78 分) 19、(本题 12 分) 解:(1) 因为 PA =(–x–2, –y), PB =(–x, –y),所以 a= PA? PB =x2+y2+2x,??2 分

AP =(x+2, y), AB =(2, 0),b= AP? AB =2x+4,?????????????3 分 BP =(x, y), BA =(–2, 0),c= BP? BA = –2x,??????????????4 分
d= | AB | =2,????????????????????????????5 分 (2)因为

a b c d

=0,所以 2(x2+y2+2x)–(2x+4)( –2x)=0,即:3x2+y2+6x=0,??7 分

由于点 P(x+1, y)在 x 轴的下方,所以 y= – ? 3x 2 ? 6 x ,(–2<x<0)
2 y= – ? 3x 2 ? 6 x = – ? 3( x ? 1) ? 3 ,(–2<x<0)????????????10 分

所以当 x= –1 时,ymin= – 3 ,此时 P(0, – 3 )??????????????12 分 20、(本题 12 分) 解:(1)F(x)= log4(4x+1)–(k–1)x, 因为 F(x)为偶函数,所以 F(–x)= F(x) ???????????????1 分 log4(4x+1)–(k–1)x= log4(4–x+1)+(k–1)x???????????????3 分 所以(2k–2)x=x,????????????????????????4 分 因为 x?R,所以 k=

3 ?????????????????????6 分 2

(2)因为 f(2x) =g(2x+m), 所以 log4(42x+1)=

1 (2x+m),????????????????????7 分 2

即 42x–4x2m+1=0?????????????????????????8 分 又 m≤1,所以 ? =4m–4≤0,当 m=1 时,方程有唯一解 x=0,当 m<1 时,方程无解, 所以方程最多只有一解,???????????????????10 分 即两个函数图象最多只有一个交点。????????????????12 分

21、(本题 16 分) 解 (1)函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数,T=5,所以 f(4)=f(–1),?????2 分 而函数 y=f(x)在区间[–1, 1]上是奇函数,所以 f(–1)= –f(1),?????????3 分 所以 f(1)+f(4)=0;???????????????????????????4 分 (2)当 x?[1,4]时,令 f(x)=a(x–2)2–5,???????????????????5 分 由 f(1)+f(4)=0 得 a=2,????????????????????????7 分 所以 f(x)=2x2–8x+3(1≤x≤4),?????????????????????8 分 (3)函数 y=f(x)(–1≤x≤1)是奇函数,又知 y=f(x)在[0,1]上是一次函数, 令 y=kx,(k?0,–1≤x≤1),??????????????????????9 分 由(2)得:f(1)= –3,可知 k= –3,????????????????????10 分 由 0≤x≤1 时,y= –3x,可推知 y= –3x,–1≤x≤1,???????????11 分

当 4≤x≤6 时,–1≤x–5≤1,所以 f(x)=f(x–5)= –3x+15;?????????13 分 当 6<x≤9 时,1<x–5≤4,所以 f(x)=f(x–5)= 2(x–7)2–5.??????????15 分 所以 f(x)= ?

?? 3 x ? 15

4? x?6

2 ?2 x ? 28 x ? 93 6 ? x ? 9

????????????????16 分

22、(本题 18 分) 解:(1)设 an=a1+(n–1)d,(n?N*),由 a1+a2n–1=2n,得 a1+a1+(2n–1–1)d=2n,?2 分 所以 an=n??????????????????????????4 分 (2)由 Sn=

1 1 1 1 1 1 + +?+ = + +?+ ??????????????5 分 n a1 a 2 an 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 +?+ )–( + +?+ )= + +?+ ??7 分 2n 1 2 n n ?1 n ? 2 2n 1 2 1 1 1 1 1 1 + +?+ )–( + +?+ ) n?2 n?3 2n ? 2 n ?1 n ? 2 2n

f(n)=S2n–Sn=( +

因为 f(n+1)–f(n)=(

=

1 1 1 + – ???????????????9 分 2n ? 1 2 n ? 2 n ? 1

=

1 >0????????????????10 分 (2n ? 1)(2n ? 2)

所以 f(n+1)>f(n) ????????????????????????12 分 (3)由(2)可知:数列{f(n)}的项的取值是随 n 的增大而增大,??????14 分 当 n≥2 时,f(n)的最小值为 f(2)=

1 1 7 ? = ????????????15 分 3 4 12

由函数 y=log2x 的性质可知,在区间(0, 27)上的函数值恒小于 7,????16 分 所以 a、b 应满足条件 0<a<b<27.?????????????????18 分 23、(本题 20 分) 解:(1)因为 f(x)是奇函数,所以 f(x)= –f(x),

所以 loga

? x ?1 1 ? mx = loga ,??????????????????2 分 1 ? mx x ?1

即 1–m2x2=1–x2 对一切 x?D 都成立,????????????????3 分 所以 m2=1,m= ?1,???????????????????????4 分 由于

1 ? mx >0,所以 m= –1????????????????????5 分 x ?1 1? x ,D=(–∞, –1)∪(1, +∞)?????????????6 分 x ?1 1? x ,任取 x1,x2?(1, +∞),x1<x2,????????7 分 x ?1

所以 f(x)= loga

(2)当 a>1 时,f(x)= loga

则 f(x1)–f(x2)= loga

1 ? x1 1 ? x2 2 +1) – log ( 2 +1) ???9 分 –loga = loga( a x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1
2 +1> 2 +1,得 f(x )>f(x ),???10 分 1 2 x1 ? 1 x2 ? 1

由于 x1,x2?(1, +∞),x1<x2,所以

【注】只要写出 x1,x2?(1, +∞),x1<x2,f(x1)–f(x2)=??=??,得出 f(x1)>f(x2)即可。 即 f(x)在(1, +∞)上单调递减??????????????????????11 分 同理可得,当 0<a<1 时,f(x)在(1, +∞)上单调递增 ????????????13 分 (3)因为 x?(r, a–2),定义域 D=(–∞, –1)∪(1,+∞), 1o 当 r≥1 时,则 1≤r<a–2,即 a>3,?????????????????14 分 所以 f(x)在(r, a–2)上为减函数,值域恰为(1, +∞),所以 f(a–2)=1,?????15 分 即 loga

a ?1 a ?1 1? a ? 2 =loga =1,即 =a,??????????????16 分 a?3 a?3 a ? 2 ?1

所以 a=2+ 3 且 r=1 ?????????????????????????18 分 2o 当 r<1 时,则(r, a–2) (–∞, –1),所以 0<a<1

因为 f(x)在(r, a–2)上为减函数,所以 f(r)=1,a–2= –1,a=1(舍) ??????20 分


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