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专题:离散型随机变量的均值与方差(2)


专题:离散型随机变量的均值 与方差(2)

例 2 为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励.规定:每位顾客从一个装有 4 个标 有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球, 球上所标的面值 之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元, 其余 3 个均为 10 元,求顾客所获的奖励额 X

的分布列及数 学期望. (2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元,并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成,或标有 面值 20 元和 40 元的两种球组成. 为了使顾客得到的奖励总 额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均 衡, 请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计, 并说明 理由.

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解:(1)依题意,得 X 的所有可能取值为 20,60. 1 1 C2 1 C 1 3 1C3 P(X=20)=C2=2,P(X=60)= C2 =2, 4 4 故 X 的分布列为 X 20 60 1 1 P 2 2 所以顾客所获的奖励额的数学期望 1 1 E(X)=20×2+60×2=40.

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(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为 60 元,所 以先寻找期望为 60 元的可能方案. 对于面值由 10 元和 50 元组 成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为 60 元是面 值之和的最大值,所以期望不可能为 60 元;如果选择(50,50, 50,10)的方案,因为 60 元是面值之和的最小值,所以期望也 不可能为 60 元.易知可能的方案是(10,10,50,50),记为方 案 1. 对于面值由 20 元和 40 元组成的情况, 同理可排除(20, 20, 20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20, 40,40),记为方案 2.

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以下是对两个方案的分析: 对于方案 1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励 额为 X1,则 X1 的分布列为 X1 20 60 100 1 2 1 P 6 3 6 1 2 1 因此 X1 的期望 E(X1)=20×6+60×3+100×6=60, 1 2 2 2 X1 的方差 D(X1) = (20 - 60) × 6 + (60 - 60) × 3 + (100 - 1 1600 2 60) ×6= 3 .

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对于方案 2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励 额为 X2,则 X2 的分布列为 X2 40 60 80 1 2 1 P 6 3 6 1 2 1 因此 X2 的期望 E(X2)=40×6+60×3+80×6=60, 1 2 2 2 X2 的方差 D(X2)=(40-60) ×6+(60-60) ×3+(80-60)2 1 400 ×6= 3 . 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案 2 奖励 额的方差比方案 1 的小,所以应该选择方案 2.

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变式题 某煤矿发生透水事故时,作业区有若干人员被 困. 救援队从入口进入之后有 L1, L2 两条巷道通往作业区(如 图 8581),L1 巷道有 A1,A2,A3 三个易堵塞点,各点堵塞 1 的概率都是2;L2 巷道有 B1,B2 两个易堵塞点,各点被堵塞 3 3 的概率分别为4,5.

图 8581 (1)求 L1 巷道中,三个易堵塞点最多有一个堵塞的概率; (2)若 L2 巷道中堵塞点个数为 X,求 X 的分布列及数学 期望 E(X),并按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路 线”的标准选择一条抢险路线,并说明理由.

解:(1)设“L1 巷道中,三个易堵塞点最多有一个堵塞” 为事件 A, 13 1 12 1 0 1 则 P(A)=C3×(1-2) +C3×2×(1-2) =2. (2)依题意,X 的可能取值为 0,1,2. 3 3 1 3 3 P(X=0)=(1-4)×(1-5)=10,P(X=1)=4×(1-5)+ 3 3 9 3 3 9 (1-4)×5=20,P(X=2)=4×5=20, 所以随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 1 9 9 P 10 20 20 1 9 9 27 故 E(X)=0×10+1×20+2×20=20.

方法一:设 L1 巷道中堵塞点个数为 Y,则 Y 的可能取值 为 0,1,2,3. 13 1 0 P(Y=0)=C3×(1-2) =8, 1 12 3 1 P(Y=1)=C3×2×(1-2) =8, 12 1 3 2 P(Y=2)=C3×(2) ×(1-2)=8, 13 1 3 P(Y=3)=C3×(2) =8. 所以随机变量 Y 的分布列为 Y 0 1 2 3 1 3 3 1 P 8 8 8 8
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1 3 3 1 3 故 E(Y)=0×8+1×8+2×8+3×8=2. 因为 E(X)<E(Y),所以选择 L2 巷道为抢险路线较好. 方法二: 设 L1 巷道中堵塞点个数为 ξ, 则随机变量 ξ~B(3,
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1 2), 1 3 所以 E(ξ)=3×2=2. 因为 E(X)<E(ξ),所以选择 L2 巷道为抢险路线较好.

【练 1】[2013· 天津卷] 一个盒子里装有 7 张卡片,其 中有红色卡片 4 张,编号分别为 1,2,3,4;白色卡片 3 张,编号分别为 2,3,4.从盒子中任取 4 张卡片(假设取到 任何一张卡片的可能性相同). (1)求取出的 4 张卡片中, 含有编号为 3 的卡片的概率; (2)在取出的 4 张卡片中,红色卡片编号的最大值设为 X,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 解: (1)设“取出的 4 张卡片中, 含有编号为 3 的卡片” 3 2 2 C1 C + C 6 2 5 2C5 为事件 A,则 P(A)= =7. C4 7 所以,取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概 6 率为7.

(2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4. 3 3 C3 1 C 4 C 3 4 5 P(X=1)=C4=35, P(X=2)=C4=35, P(X=3)=C4= 7 7 7 2 C3 4 6 = 7. 7,P(X=4)=C4 7 所以随机变量 X 的分布列是 X P 1 1 35 2 4 35 3 2 7 4 4 7

1 4 2 随机变量 X 的数学期望 E(X)=1×35+2×35+3×7 4 17 +4×7= 5 .

【练 2】[2015· 陕西卷] 设某校新、老校区之间开车单程 所需时间为 T,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为 100 的样本进行统计,结果如下: T(分钟) 25 30 35 40 频数(次) 20 30 40 10 (1)求 T 的分布列与数学期望 E(T); (2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个 50 分 钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区 到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率.

解:(1)由统计结果可得 T 的频率分布为 T(分钟) 25 30 35 40 频率 0.2 0.3 0.4 0.1 以频率估计概率得 T 的分布列为 T 25 30 35 40 P 0.2 0.3 0.4 0.1 从而 E(T) = 25×0.2 + 30×0.3 + 35×0.4 + 40×0.1 = 32(分钟).

(2)设 T1,T2 分别表示往、返所需时间,T1,T2 的取值 相互独立,且与 T 的分布列相同. 设事件 A 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟”, 由于讲座时间为 50 分钟,所以事件 A 对应于“刘教授在路 途中的时间不超过 70 分钟”. 方法一: P(A) = P(T1 + T2 ≤ 70) = P(T1 = 25 , T2 ≤ 45)+ P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30) =0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91. 方法二: P( A ) = P(T1 + T2>70) = P(T1 = 35 , T2 = 40) + P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)= 0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09. 故 P(A)=1-P( A )=0.91.

【练 3】 研究室有甲、 乙两个课题小组, 根据以往资料统计, 甲、乙两小组完成课题研究各项任务的概率依次分别为 P1, 2 P2,且 P1=3.现假设每个课题研究都有两项工作要完成,并 且每项工作的完成互不影响, 若在一次课题研究中, 两小组 完成任务的项数相等且都不少于一项, 则称该研究室为 “先 进和谐室” . 1 (1)若 P2=2,求该研究室在完成一次课题任务中荣获 “先进和谐室”的概率; (2)设在完成六次课题任务中该研究室获得“先进和谐 5 室”的次数为 ξ,求当 E(ξ)≥2时,P2 的取值范围.

2 1 1 1 解:(1)由题知 P1=3,P2=2,1-P1=3,1-P2=2, 2 1 1 1 2 2 1 1 1 故所求概率 P=(C2×3×3) (C2×2×2)+(3×3)×(2 1 1 ×2)=3. (2) 该研究室在完成一次课题任务中荣获“先进和谐 室”的概率 2 1 2 2 2 8 4 2 1 1 P= (C2×3×3) [C2P2(1-P2)]+ (3×3) P2=9P2-9P2. 而 ξ~B(6,P),所以 E(ξ)=6P, 8 4 2 5 由 E(ξ)≥2.5 知(9P2-9P2)×6≥2, 3 5 3 解得4≤P2≤4.又 P2≤1,所以4≤P2≤1.

【备 1】[2015· 四川卷] 某市 A,B 两所中学的学生组 队参加辩论赛,A 中学推荐了 3 名男生、2 名女生,B 中 学推荐了 3 名男生、4 名女生,两校所推荐的学生一起参 加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中 随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人组成代表队. (1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率; (2)某场比赛前, 从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人 参赛,设 X 表示参赛的男生人数,求 X 的分布列和数学期 望.

解答 (1)由题意知,参加集训的男、女生各有 6 名. 参赛学生全部从 B 中学中抽取(等价于 A 中学没有学生 3 C3 C 1 3 4 入选代表队)的概率为C3C3= . (2 分) 100 6 6 因此,A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为 1 1 99 -100=100. (4 分) (2)根据题意得,X 的可能取值为 1,2,3. (5 分) 3 C1 1 3C3 P(X=1)= C4 =5, 6 2 C2 3 3C3 P(X=2)= C4 =5, 6 1 C3 1 3C3 P(X=3)= C4 =5. (8 分) 6

所以 X 的分布列为 X P 1 1 5 2 3 5 3 1 5 (9 分) 因此,X 的数学期望 1 E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1×5+

1 3 2×5+3× 5 =2.

(10 分)


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