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第3讲-差分方法1


计算流体力学讲义

有限差分法( ) 第三讲 有限差分法(1)
李新亮 lixl@imech.ac.cn ;力学所主楼 力学所主楼219; 82543801 ;

知识点: 知识点:
差分方法的理论基础 (相容、收敛、稳定性;Lax等价定理;精度、修正方程; 守恒性) 相容、收敛、稳定性; 等价定理;精度、修正方程 守恒

性) 等价定理 差分格式的构造 差分格式的Fourier分析 差分格式的 分析

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有限差分法( ) 第三讲 有限差分法(1) 教材第3.1、 节及第 节及第4章 (教材第 、3.2节及第 章)
传统计算方法: 有限差分法, 有限元法, 谱方法(谱元法) 传统计算方法: 有限差分法, 有限体积法 , 有限元法, 谱方法(谱元法)等; 最近发展的方法: 基于粒子的算法(格子 ),无网格 最近发展的方法 基于粒子的算法(格子-Boltzmann, BGK),无网格 ), 优点 有限差分法 有限体积法 有限元法 谱方法 粒子类方法 简单成熟, 简单成熟,可构造高精 度格式 守恒性好, 守恒性好,可处理复杂 网格 基于变分原理, 基于变分原理,守恒性 好 精度高 算法简单, 算法简单,可处理复杂 外形 缺点 适用范围

处理复杂网格不够灵 相对简单外形的 高精度计算 活 不易提高精度( 不易提高精度(二阶 复杂外形的工程 以上方法复杂) 以上方法复杂) 计算 对于复杂方程处理困 多用于固体力学 等 难 外形、 外形、边界条件简单 简单外形的高精 度计算 精度不易提高 复杂外形的工程 计算

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理论研究

“计算流体力学”作为一个学 计算流体力学” 其研究手段依然包括理论、 科, 其研究手段依然包括理论、 实验及数值模拟。 实验及数值模拟。

流体 力学

实验研究
理论研究: 理论研究: 格式推导、 稳定性分析, 格式推导、 稳定性分析, 精度/误差分析 误差分析, 精度 误差分析,……

数值研究
计算流体力学 数值计算技术、 (数值计算技术、 计算方法研究) 计算方法研究) 实验研究: 实验研究: 数值实验, 数值实验, 采用 实际问题考核方法 的正确性

数值研究: 数值研究: 采用数值计算推导格式、考察精度/稳定性 分辨率…… 稳定性/分辨率 采用数值计算推导格式、考察精度 稳定性 分辨率
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举例说明: 举例说明: 研究“计算流体力学 学科的理论手段 实验手段及 计算流体力学” 理论手段、 研究 计算流体力学 学科的理论手段、实验手段及计算手段 研究CFD的理论手段 的理论手段 研究
例:Fourier分析 分析 线性系统: 线性系统: 线性方程+ 线性方程 线性格式 初始值 差分系统 (解差分 解差分 方程) 方程 数值解( 数值解(特 定时刻离散 的函数值) 的函数值)

记为: v j = Φu j Φ 是差分算子,把离散函数 是差分算子, 有限点列) (有限点列){u j }映射为另 一个离散函数 {v j }
uj = ? ∑u e
k k ikx j

任意函数都可分解为三角函数的叠加 {vi} 与{ui}的依赖关系 的依赖关系 线性系统, 线性系统,可大为简化

vj =

∑ v? e
k k

ikx j

? 与 ?} {vk } {u k的依赖关系
? ? ? ? (v1 = f (u1 ), v2 = f (u 2 ),......)

? 波数空间单一的依赖关系: ? 波数空间单一的依赖关系: vk = f (u k )

线性差分系统: 针对一个单波 研究经过差 一个单波, 一个单波 分系统后的变化就可以了解该系统。 Fourier误差分析; Fourier稳定性分析
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原理: 原理: 线性系统,输入一个波, 线性系统,输入一个波,只能 输出一个波(且波数不变)。 输出一个波(且波数不变)。 非线性系统会产生多个谐波
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理论分析的局限性: 对于复杂系统(非线性方程、非线性格式) 理论分析的局限性: 对于复杂系统(非线性方程、非线性格式)非常困难

研究CFD的实验手段 的实验手段 研究
思想: 通过具体算例来研究(考核,分析…) 思想: 通过具体算例来研究(考核,分析 )差分方法 例: 精度分析 du 差分离散 dx
u = sin( x) → du = cos( x) dx

理论方法, 展开, 理论方法,Taylor展开,求余项 。 对 展开 于复杂(如非线性)格式,难度大。 于复杂(如非线性)格式,难度大。
Fj = δ xu j

实验方法, 实验方法,通过算例考核精度 精确解
φ j 为该离散函数的模

计算误差

err = F j ? cos(x j ) cos( x

分析误差对网格步长的依赖关系 lg err 斜率为精度的阶数 (通常用最小二乘法计算)

常用的模: 常用的模: φ 1 模: 2 模: φ 无穷模: 无穷模

j 1

= =

∑φ
j

j

j 2

1 N
j

∑φ
j

2 j

φj



= max φ j

lg ?x
典型的文章: 提出方法+理论分析 + 算例验证
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err = α?x n ? lg err = n lg ?x + lg α

斜率为精度的阶数n
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常用的验证算例( 实验验证” 常用的验证算例(“实验验证”)
考核方法通常找一些难度大的(条件苛刻、极端)的算例。否则, 考核方法通常找一些难度大的(条件苛刻、极端)的算例。否则, 无法突出方法的优越性。 无法突出方法的优越性。 1维算例: 维算例: 维算例 Sod 激波管, Shu-Osher, 方波 尖波 激波管, 方波/尖波 尖波……

2维算例: 维算例: 维算例 后台阶、 问题、 激波干扰、 前/后台阶、双马赫反射、二维 后台阶 双马赫反射、二维Riemann问题、漩涡 激波干扰、翼 问题 漩涡-激波干扰 型扰流、 型扰流、圆柱绕流 3维复杂算例: 维复杂算例: 维复杂算例 各向同性湍流的DNS, 槽道湍流的 槽道湍流的DNS, 激波 边界层干扰的 激波-边界层干扰的 边界层干扰的DNS 各向同性湍流的

Shu-Osher问题的计算结果 (Li et 问题的计算结果 al. Init. J. Num. Fluid. 2005)

航空领域权威的考核算例—— DPW标准计算模型 航空领域权威的考核算例 标准计算模型
Copyright by Li Xinliang 常用一、 常用一、二维算例整理后已发到流体中文网 www.cfluid.com 6

研究CFD的计算手段 的计算手段 研究
例: 差分格式构造
理论方法: 手工推导系数(工作量大) 理论方法: 手工推导系数(工作量大) 数值方法: 数值方法: 通过数值手段推导系数
?u = a1u j ? 2 + a2 u j ?1 + a3u j + a4 u j +1 + O(?3 ) ?x j

数值求解, 数值求解,获得系数

∑ ( j ? 3)
j =1

4

k

a j = bk

k = 0 ,1, 2 ,3

格式优化; 格式优化; 分析; 通过数值计算手段进行 Fourier分析 分析 ……

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§ 3.1 有限差分法基本原理 1. 差分方法的基本原理 离散点上利用Taylor展开,把微分转化成差分 展开, 微分转化成差分 离散点上利用 展开 转化成
… j-2 j-1 j j+1 …

(等距网格) 等距网格)
?u ? 2u =? 2 ?t ?x
0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ t ≤ T

u j +1 ? u j ? ?u ? + O (?x) ? ? = ?x ? ?x ? j u j +1 ? u j ?1 ? ?u ? + O( ?x 2 ) ? ? = 2?x ? ?x ? j

?u 1 ? 2u 1 ? 3u 2 u j +1 = u j + ( ) j ?x + ( 2 ) j ?x + ( 3 ) j ?x 3 ...... ?x 2! ?x 3! ?x
2 ? ?u ? u j +1 ? u j ? ? u ? ?x ?? 2 ? ? ? = ? ?x ? 2! + ? ?x ? ?x ? j ? ?j

u j +1 ? u j ?1 1 ? 3u ? ?u ? = + ( 3 ) j ?x 2 ? ? 2?x 3! ?x ? ?x ? j

u n +1 ? u n j j ?t

=?

1 +1 +1 u n+1 ? 2u n +1 + u n?1 j j j 2 ?x

[

]

多维问题,各方向独自离散;(时间同样考虑) 多维问题,各方向独自离散;(时间同样考虑) ;(时间同样考虑
n +1 n ? ?u ? u j ? u j + O( ?t ) ? ? = ?t ? j ?t ? n

比有限体积法计算量小; 比有限体积法计算量小; 便于构造高阶格式; 便于构造高阶格式
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基本概念: 基本概念:
a. 差分表达式及截断误差 差分表达式及截断误差:
精度 (1阶) 截断误差 (2阶)

2 ? ?u ? u j +1 ? u j 1 ? ? u ? ? ? 2 ? ?x + ? ? ? = ?x 2! ? ?x ? j ? ?x ? j ? ?

u j +1 ? u j ?1 1 ? 3u ? ?u ? + ( 3 ) j ?x 2 ? ? = 2?x 3! ?x ? ?x ? j

差分表达式

b. 前差、后差、中心差 前差、后差、
u j +1 ? u j ? ?u ? + O (?x) ? ? = ?x ? ?x ? j u j ? u j ?1 ? ?u ? + O (?x) ? ? = ?x ? j ?x ? u j +1 ? u j ?1 ? ?u ? + O( ?x 2 ) ? ? = 2?x ? ?x ? j

前差 后差 中心差
… j-2


j-1 j


j+1 …

其他: 向前( 偏心差分; 其他: 向前(后)偏心差分

c.

差分方程 经差分离散后的方程, 经差分离散后的方程,称为差分方程
?u ?u +a =0 ?t ?x
u n +1 ? u n j j ?t +a u n ? u n?1 j j ?x =0

如何确定精度? 如何确定精度? 1) 理论方法, 给出误差表达式 ) 理论方法, 2)数值方法, 给出误差对 ?x )数值方法, 的数值依赖关系
1 ? ? 2u ? a ? ? 2u ? TE = ? 2 ? ?t + ? 2 ? ?x + ? 2! ? ?t ? j 2! ? ?x ? j ? ? ? ?
n n

微分方程

差分方程

截断误差: 截断误差:
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d. 差分方程的修正方程
修正方程—— 差分方程准确逼近(无误差逼近)的方程 差分方程准确逼近(无误差逼近) 修正方程
?u ?u +a =0 ?t ?x
u n +1 ? u n j j ?t +a u n ? u n?1 j j ?x =0
n u n ? u n?1 ?x ?x 2 ? ?u ? j j ? u xx + u xxx + ... ? ? = ?x 2 6 ? ?x ? j

差分方程

截断误差

n n +1 n ?t 2 ? ?u ? u j ? u j ?t uttt ? + utt + ? ? = 2 6 ?t ? ?t ? j

n +1 n u n ? u n?1 ?x ?u ?u u j ? u j ?x 2 ?t ?t 2 j j +a = +a ? u xx + u xxx + utt + uttt + ...... ?t ?x ?t ?x 2 6 2 6

微分方程=差分方程 截断误差 微分方程 差分方程+截断误差 差分方程

u n +1 ? u n j j ?t
?t

+a

u n ? u n?1 j j ?x
?x

?x a?x 2 ?t ?t 2 = ut + a u x + u xx ? u xxx + utt + uttt + ...... 2 6 2 6
=0

差分方程=微分方程 截断误差 差分方程 微分方程-截断误差 微分方程 新的微分方程(修正方程) ≡ 新的微分方程(修正方程)
修正方程

u n +1 ? u n j j

+a

u n ? u n?1 j j

等价于

?x ?x 2 ?t ?t 2 ut + a u x + u xx ? u xxx ? utt ? uttt + ...... = 0 2 6 2 6

?t c?x ?t 2 ?x 2 ut + a u x = ? utt + u xx ? uttt ? u xxx + ...... = 0 2 2 6 6

通常要求: 修正方程中不出现时间的高价导数项 (便于进行空间分析) 通常要求: 便于进行空间分析)
utt = c 2 u xx + O(?t , ?x), uttt = ?c 3u xxx + O(?t , ?x)
2 c?x (1 ? σ )u xx ? c?x (2σ 2 ? 3σ + 1)u xxx + O[?x 3 , ?x 2 ?t , ?x?t 2 , ?t 3 ] 2 6

修正方程

ut + cu x =

σ =c

?t ?x

主导项: 阶 主导项: 1阶; 耗散型

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d. 显格式及隐格式
显格式: 无需解方程组就可直接计算n+1层的值; 层的值; 显格式: 无需解方程组就可直接计算 层的值 隐格式: 必须求解方程组才能计算n+1层的值 隐格式: 必须求解方程组才能计算 层的值

u n +1 ? u n j j ?t
u n +1 ? u n j j ?t

+a
+a

u n ? u n?1 j j ?x
?x

=0
=0

+1 u n +1 ? u n?1 j j

e. 守恒型差分格式
?u ?f (u ) + =0 ?t ?x

早期—— 极为强调守恒性 最近—— 重新认识

定义:对于上述守恒型方程,差分格式 定义:对于上述守恒型方程, 上述守恒型方程
? τ? u n +1 = u n ? ? g n 1 ? g n 1 ? j j j? ? h ? j+ 2 2 ? ?
n n n n 其中: g j + 1 = g (u j ? l +1 , u j ? l + 2 ,?u j + l ) 2

称为守恒型差分格式。 称为守恒型差分格式。 基本思想: 保证(整个区域) 基本思想: 保证(整个区域)积分守恒律严格满足

守恒性的例子: 守恒性的例子: 环形管道里的流动 —— 总质量保持不变


j =1

N

? n ? n ? g 1 ? g n 1 ? = g n 1 ? g ?1 / 2 ? j+ ? j? N+ 2 ? 2 ? 2

特点: 消去了中间点上的值, 特点: 消去了中间点上的值,只保留两端 物理含义: 只要边界上没有误差, 物理含义: 只要边界上没有误差,总体积分 不会有任何误差。 方程不会有任何误差 方程不会有任何误差。
n +1 j j

如果

∑ u是准确的,则 ∑ u也是准确的 (假设边界条件没有误差) 是准确的, 假设边界条件没有误差)
n j j

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关于守恒性格式的一些注解
1)
f j +1/ 2 ? f j ?1 / 2 ?f = ?x ?x

中的符号 f j +1 / 2

与函数f 点的值无关 无关! 与函数 在 j + 1 / 2 点的值无关!

f j +1 / 2 = f (u j ?l , u j ?l +1 ,......, u j +l ) 是j点周围几个点上 f (或者 值的函数, 或者u)值的函数 点周围几个点上 或者 值的函数, 为一记号,请勿理解为j+1/2点的值 ! 为一记号,请勿理解为 点的值

2) 常系数线性格式都是守恒的 ) 例如,差分格式: 等价于
1 ? ?f ? (a1 f j ? 3 + a2 f j ? 2 + a3 f j ?1 + a4 f j + a5 f j +1 + a6 f j + 2 ) ? ? = ? ?x ? j ?x

f j +1 / 2 ? f j ?1 / 2 ? ?f ? ? ? = ?x ? ?x ? j

f j +1 / 2 = b1 f j ? 2 + b2 f j ?1 + b3 f j + b4 f j +1 + b5 f j + 2

其中

b1 = ?a1 ; bk = bk ?1 ? ak

(k = 2,3,...)
守恒方程+ 守恒格式= 守恒方程 守恒格式 守恒解

3) 关于 f j ?1/ 2
得到 替换成j-1即可得到 替换成 f j +1 / 2 后,将j替换成 即可得到
f j ?1 / 2

无需单独计算

f j ?1 / 2! (白白增加计算量) 白白增加计算量)
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f. 传统型(非紧致)差分格式及紧致型差分格式 传统型(非紧致)
传统型: 运用多个点函数值的组合逼近一点的导数 传统型: 运用多个点函数值的组合逼近一点的导数
?f = a1 f j ? k + a2 f j ? k +1 + a3 f j ? k + 2 + ......am f j ? k + m ?1 ?x j
… j-2 j-1 j j+1 …

例 :f ′ = ( f
j

j

? f j ?1 ) / ?x

f j′ = (?2 f j ?3 + 15 f j ? 2 ? 60 f j ?1 + 20 f j + 30 f j +1 ? 3 f j + 2 ) / 60?x

紧致型: 多个点函数值的组合逼近多个点导数值的组合 紧致型: 多个点函数值的组合逼近多个点导数值的组合
αF j ?1 + F j + βF j +1 = a1u j ? 2 + a2u j ?1 + a3u j + a4u j +1 + a5u j + 2
? ?f ? Fj = ? ? ? ?x ? j

例:

1 / 4 F j ?1 + F j + 1/ 4F j +1 = 3( f j +1 ? f j ?1 ) / 2?x
1 / 3F j ?1 + F j + 1 / 3F j +1 = (28( f j +1 ? f j ?1 ) + ( f j + 2 ? f j ?2 )) / 36?x 2 / 5F j ?1 + 3 / 5F j = ( ?3 f j ?1 ? 44 f j ?1 + 36 f j + 12 f j +1 ? f j + 2 ) / 120?x

联立求解

F j, 多对角方程

追赶法求解( 分解法 分解法) 追赶法求解(LU分解法)

紧致格式: 同样的基架点, 因为自由参数更多) 紧致格式: 同样的基架点,可构造更高阶格式 (因为自由参数更多) 最高)精度=自由参数个数 自由参数个数-1 (最高)精度 自由参数个数
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一些记号
约定: δ x f j = 约定:
?f ?x

j

为一阶偏导数的差分算子 为二阶偏导数的差分算子
j

?2 f δ xx f j = 2 ?x

(本讲义中,上面两个算子表示的差分格式形式可以任 本讲义中, 包括线性/非线性 低阶/高阶 普通/紧致 非线性、 高阶、 紧致……) 意, 包括线性 非线性、低阶 高阶、普通 紧致 )
δ x+ f j =
f j +1 ? f j ?x
(δ + + δ ? ) fj 2

δ x? f j =

f j ? f j ?1 ?x

分别为一阶精度前 分别为一阶精度前、后差的 一阶精度 差分算子

δ x0 f j =

f j +1 ? f j ?1 2?x

=

为二阶中心差分算子

上面三个算子有固定含义。 上面三个算子有固定含义

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2. 构造差分格式的基本方法 构造差分格式的基本方法—— 待定系数法
?u = a1u j ? 2 + a2 u j ?1 + a3u j + a4 u j +1 + O(?3 ) ?x j
1 1 u j ? 2 = u j + u ′j (?2? ) + u ′′( ?2?) 2 + u ( 3) (?2? ) 3 + O(?4 ) 2! 3! 1 1 u j ?1 = u j + u ′j (? ?) + u ′′(? ? ) 2 + u ( 3) (? ?) 3 + O( ?4 ) 2! 3! 1 1 u j +1 = u j + u ′j (?) + u ′′( ?) 2 + u ( 3) ( ?) 3 + O( ?4 ) 2! 3!
4

基架点 (stencil ) j-2 j-1 j j+1

a1u j ? 2 + a 2 u j ?1 + a 3 u j + a 4 u j +1 = u j ( a1 + a 2 + a 3 + a 4 ) + u ′j ( ? 2 a1 ? a 2 + 0 a 3 + a 4 ) ? + u ′j′ (( ? 2 ) 2 a1 + ( ? 1) 2 a 2 + 0 2 a 3 + 12 a 4 ) ?2 / 2! + u (j3 ) (( ? 2 ) 3 a1 + ( ? 1) 3 a 2 + 0 3 a 3 + 13 a 4 ) ?3 / 3! + O ( ?4 ) (?

∑ ( j ? 3)
j =1

k

a j = bk
k =1 other

k = 0 ,1, 2 ,3

( ? 2 ) 0 a1 + ( ? 1) 0 a 2 + a 3 + (1) 0 a 4 = 0 1 ? 2 2 2 2 ( ? 2 ) a1 + ( ? 1) a 2 + 0 a 3 + (1) a 4 = 0 ( ? 2 ) 1 a1 + ( ? 1) 1 a 2 + 0 1 a 3 + (1) 1 a 4 =

?1 / ? bk = ? ?0

解出ak 解出 (可选)化成守恒型 可选)

f j +1 / 2 ? f j ?1 / 2 ? ?f ? ? ? = ?x ? ?x ? j

( ? 2 ) 3 a1 + ( ? 1) 3 a 2 + 0 3 a 3 + (1) 3 a 4 = 0

小程序: 小程序: 求系数 要善于用数值计算的手 段研究CFD , 不能仅限 段研究 于用理论手段研究CFD ! 于用理论手段研究

更一般的情况: m+1个基架点上构造的 阶差分格式: 更一般的情况: 个基架点上构造的m阶差分格式: 个基架点上构造的 阶差分格式
?u = a1u j ? k + a2 u j ? k +1 + a3u j ? k + 2 + ......am +1u j + k + m + O(?m ) ?x j (3.1)

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3. 复杂网格的处理方法

非均匀网格
… j-2 j-1 j j+1 …

1) 一维情况: 非均匀网格 ) 一维情况: 方法1 常用): 网格( 方法 (常用): 网格(Jacobian)变换 )
x = x(ξ )
?f ?f dξ = ?x ?ξ dx
dξ dx

x = x(ξ )

ξ i = (i ? 1) /( N ? 1)

[0,1]的均匀网格 的均匀网格

为已知函数

xi = x(ξ i )

将方程由物理空间变到计算空间 为自变量) (以x 为自变量变为以 ξ 为自变量)

物理坐标

计算坐标

常用的一维坐标变换函数: 常用的一维坐标变换函数: 指数函数 双曲正切函数
x j = tanh(bg ξ j ) / tanh(bg )

要求: 要求: 坐标变换必须足够 光滑,否则会降低精度 光滑, 网格间距变化要缓慢, 网格间距变化要缓慢,否则 会带来较大误差
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方法2) 方法 ) 在非等距网格上直接构造差分格式 原理: 直接进行Taylor展开,构造格式 展开, 原理: 直接进行 展开 格式系数是坐标(或网格间距) 格式系数是坐标(或网格间距)的函数
?u = a1u j ? 2 + a2 u j ?1 + a3u j + a4 u j +1 + O(?3 ) ?x j
u j ? 2 = u j + u ′j ( x j ? 2 ? x j ) + 1 1 u ′′( x j ? 2 ? x j ) 2 + u ( 3) ( x j ? 2 ? x j ) 3 + O( x j ? 2 ? x j ) 4 2! 3! 1 1 u j ?1 = u j + u ′j ( x j ?1 ? x j ) + u ′′( x j ?1 ? x j ) 2 + u ( 3) ( x j ?1 ? x j ) 3 + O( x j ?1 ? x j ) 4 2! 3! 1 1 u j +1 = u j + u ′j ( x j +1 ? x j ) + u ′′( x j +1 ? x j ) 2 + u ( 3) ( x j +1 ? x j ) 3 + O( x j +1 ? x j ) 4 2! 3!

… j-2

j-1

j

j+1 …

( x j ? 2 ? x j ) 0 a 1 + ( x j ?1 ? x j ) 0 a 2 + a 3 + ( x j + 1 ? x j ) 0 a 4 = 0 ( x j ? 2 ? x j ) 1 a1 + ( x j ? 1 ? x j ) 1 a 2 + 0 1 a 3 + ( x j + 1 ? x j ) 1 a 4 = ( x j ? 2 ? x j ) 2 a1 + ( x j ? 1 ? x j ) 2 a 2 + 0 2 a 3 + ( x j + 1 1 ? 2 ? x j ) a4 = 0

解出系数
a1 j , a2 j , a3 j , a4 j

( x j ? 2 ? x j ) 3 a1 + ( x j ?1 ? x j ) 3 a 2 + 0 3 a 3 + ( x j + 1 ? x j ) 3 a 4 = 0

系数随网格点(j)变化 变化! 注: 系数随网格点 变化!

网格非光滑、间距剧烈变化不会降低精度; 网格非光滑、间距剧烈变化不会降低精度; 随机网格都可保证精度
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2) 二维 三维情况 ) 二维/三维情况
坐标变换
? x = x(ξ ,η , ζ ) ? ? y = y (ξ ,η , ζ ) ? z = z (ξ ,η , ζ ) ?

均匀的直角网格
( x, y, z ) → (ξ ,η , ζ )

? ? ? ? ? ? ? U+ f1 + f2 + f 3 = V1 + V2 + V3 ?t ?x ?y ?z ?x ?y ?z U = [ ρ , ρ u, ρ v, ρ w, E ]T f1 = [ ρ u, ρ u 2 + p, ρ uv, ρ uw, u ( E + p)]T

……

?f1 ?f1 ?f ?f ξx + 1 ηx + 1 ζ x = ?x ?ξ ?η ?ζ
?f 2 ?f 2 ?f ?f ξy + 2 ηy + 2 ζ y = ?y ?ξ ?η ?ζ

?f 3 ?f 3 ?f ?f = ξ z + 3 ηz + 3 ζ z ?z ?ξ ?η ?ζ

三个方向共需计算9次导数, 三个方向共需计算 次导数, 次导数 计算量大
? ? ? ? ? ? ? ?U ?f1 ?f 2 ?f 3 ?V1 ?V2 ?V3 + + + = + + ?t ?ξ ?η ?ζ ?ξ ?η ?ζ

对流项可组合, 对流项可组合,求3次导数即可 次导数即可
? U = J ?1U
J ?1 = ? ( x, y , z ) ? (ξ ,η , ζ )

? ( J ?1ξ x ) ? ( J ?1η x ) ? ( J ?1? x ) + + =0 ?ξ ?η ?? ......

RAE2822翼型周 翼型周 围的网格

? f 1 = J ?1 (ξ x f 1 + ξ y f 2 + ξ z f 3 ) ? f 2 = J ?1 (η x f1 + η y f 2 + η z f 3 ) ? f 3 = J ?1 (ζ x f1 + ζ y f 2 + ζ z f 3 )

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4. 时间项的离散
u n +1 ? u n + δ x f (u n ) = 0 ?t u n +1 ? u n + δ x f (u n +1 ) = 0 ?t

?u ?f (u ) + =0 ?t ?x

1)直接离散法—— 把时间导数直接差分离散 )直接离散法
1阶Euler显格式 阶 显格式 1阶Euler隐格式 阶 隐格式 2阶Crank-Nicolson格式 阶 格式

u n +1 ? u n 1 + (δ x f (u n ) + δ x f (u n +1 )) = 0 ?t 2 u n +1 ? u n + θδ x f (u n ) + (1 ? θ )δ x f (u n +1 ) = 0 ?t

2) Runge-Kutta 格式
?U = L(U ) ?t
= U + ?tL(U )
n n

U

(1)

推荐! 推荐!

目前最常使用的: 步 阶 目前最常使用的:3步3阶TVD型R-K 型

U ( 2 ) = 3 / 4U n + 1 / 4[U (1) + ?tL(U (1) )] U n +1 = 1 / 3U n + 2 / 3[U ( 2 ) + ?tL(U ( 2 ) )]

3) 时-空耦合离散 ) 空耦合离散
u ( x, t ) 在某一点进行 Taylor展开,构造格式 展开, 展开

n+1 n j-1 j j+1

?u ?f (u ) + =0 ?t ?x ?u ?u +c =0 ?t ?x

蛙跳格式
u n+1 ? u n ?1 j j 2?t + f jn+1 ? f jn?1 2?x =0
n,j

Lax-Wandrof格式 格式
u

n+

u n +1 = u n ? c j j

?t u ?x

n j +1

?u 2

n j ?1

1 ? ?t ? + ? ? δ x+ cδ x? cu 2 ? ?x ?
2

1 2 1 j+ 2

=

u n + u n+1 j j 2

?

1 ?t n ( f j +1 ? f jn ) 2 ?x

u n +1 = u n ? j j

1 1 n+ ? ?t ? n + 2 ? f 1 ? f 12 ? j? ? ?x ? j + 2 2 ? ?

半隐错点格式
u
n +1 j

?u

n j

?t

+

c ? (u ? ?x ? ?

n +1 j

?u 2

n +1 j ?1

)

+

(u

n j +1

?u ? ?=0 2 ? ?
n j

)

MacCormack格式 格式
u n +1 = u n ? j j
u n +1 = j

?t n f j +1 ? f jn ?x

(

)
)

1 n 1 ?t n +1 (u j + u n +1 ) ? f j ? f jn?+1 j 1 2 2 ?x

(

§ 3.2 差分方法理论基础 1. 相容、收敛、稳定性与Lax等价定理 相容、收敛、稳定性与 等价定理 1) 相容性: 相容性:
含义: 含义: 方程趋近

时间与空间步长均趋近于0 差分方程的截断误差 当差分方程中 ,时间与空间步长均趋近于 时,差分方程的截断误差 也趋近于0,则称差分方程与原微分方程是相容 相容的 也趋近于 ,则称差分方程与原微分方程是相容的。

2)收敛性: )收敛性:

含义: 解趋近(更强) 含义: 解趋近(更强)

当时间与空间步长均趋近于0 时,差分方程的解趋近于微分方程的解, 差分方程的解趋近于微分方程的解, 当时间与空间步长均趋近于 则称差分方程的解收敛于原微分方程的解。 收敛于原微分方程的解 则称差分方程的解收敛于原微分方程的解。
?x , ?t → 0

lim u h ? u = 0

u h ( x), u ( x)

分别为差分方程和微分方程的解 (多值性、奇异性 ……) 多值性、 多值性 相似的例子:
x→ x0

注意! 注意! 方程互相趋近

解互相趋近

等价定理, (根据Lax等价定理,只有稳定性条件满足的 根据 等价定理 情况下,方程趋近才能保证解趋近) 情况下,方程趋近才能保证解趋近) L2 模:
u ( x) = ? ? ?

lim f ( x)

不一定等于

f ( x0 )



2 u ( x) dx ? ? ?∞ ? 2

+∞

1

L∞

模:

u ( x) = max u ( x)
x

只有连续函数才满足
21

u h ( x) =

∑ u ?x
2 j j

u h ( x) = max u j
j

3) 稳定性 ) 稳定性:
定义:称差分方程的初值问题是稳定的, 定义:称差分方程的初值问题是稳定的,如果当 ?t和?x 是稳定的 做够小时, 无关的常数C1和 使得 使得: 做够小时,存在于 ?t和?x 无关的常数 和C2使得

u h (x , t n ) ≤ c1 exp[c2 (t n ? t 0 )] u h (x, t 0 )
含义: 在差分方程的求解过程中,如果引入的误差随时间的增长有界, 含义: 在差分方程的求解过程中,如果引入的误差随时间的增长有界, 则称差分方程是稳定的。 则称差分方程是稳定的。

4) Lax 等价定理 )
如果微分方程的初边问题是适定的,差分方程是相容的, 如果微分方程的初边问题是适定的,差分方程是相容的,则差分 方程解的收敛性 稳定性是等价的 收敛性与 是等价的。 方程解的收敛性与稳定性是等价的。 含义: 如果微分方程不出问题(适定),差分方程性质好(稳定), ),差分方程性质好 含义: 如果微分方程不出问题(适定),差分方程性质好(稳定), 方程逼近就可保证解逼近。 就可保证解逼近 则方程逼近就可保证解逼近。 如果方程逼近就可以导致解逼近,则差分方程的性质肯定好(稳定) 如果方程逼近就可以导致解逼近,则差分方程的性质肯定好(稳定)
Copyright by Li Xinliang 22

2. 差分格式稳定性分析方法
Fourier分析法: 分析法: 分析法 基本思想: 初始时刻引入单波扰动, 基本思想: 初始时刻引入单波扰动,考虑其随时间的变化 原理: 任何扰动都可认为是单波扰动的叠加; 线性情况下不同波之间独立发展。 原理: 任何扰动都可认为是单波扰动的叠加; 线性情况下不同波之间独立发展 引入单波扰动,带入差分方程,如果其振幅放大,则不稳定; 引入单波扰动,带入差分方程,如果其振幅放大,则不稳定;否则稳定 例1: 考察右式给出差分格式的稳定性 : 引入单波扰动: 引入单波扰动
?u ?u +c =0 ?t ?x

ε =G e
n j

n ikx j

带入差分方程
ikx j

c>0

G n +1 ? G n ikx j e e = ?cG n ?t

(1 ? e ? ik?x ) ?x

1 n +1 (u j ? u nj ) = ?c 1 (u nj ? u nj?1 ) ?t ?x

解出放大因子: 解出放大因子:
G = G n +1 G n = 1 ? σ + σe ? iα

一些注解: 一些注解
1 通常为复数; G , G n , G n +通常为复数; 可反映

G = 1 ? 4σ (1 ? σ ) sin 2 (α / 2)
2

稳定性条件: 稳定性条件:对所有 α 稳定条件:0 ≤ σ ≤ 1 稳定条件:

G ≤1

振幅及相位; 振幅及相位;
α ≡ k?x 有效波数

σ ≡ c?t / ?x

称为库朗数

PPW = 2π / α

一个波里面的网格点数

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