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四川省德阳市2016届高考数学一诊试卷 理(含解析)


2016 年四川省德阳市高考数学一诊试卷(理科)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知函数 y=lgx 的定义域为 A,B={x|0≤x≤1},则 A∩B=( A.(0,+∞) B.[0,1] C.[0,1) D.(0,1] ) )

2.已知复数 z 满足(3+4i)z=25,则 z=( A.3﹣4i B.3+4i C.﹣3﹣4i D.﹣3+4i
2 2

3.设 a、b∈R,则 a>b 是 a >b 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件,也不是必要条件



4.已知等比数列{an}中,若 a4=10,a8= ,那么 a6=( A.﹣5 B.5 C.±5 D.25



5.有 4 名优秀的大学毕业生被某公司录用,该公司共有 5 个部门,由公司人事部分安排他 们去其中任意 3 各部门上班,每个部门至少安排一人,则不同的安排方法为( A.120 B.240 C.360 D.480 6.执行图中的程序框图(其中[x]表示不超过 x 的最大整数),则输出的 S 值为( ) )

A.4

B.5

C.6

D.7

1

7.已知 P(x,y)为区域 的 最大值是( A.6 B.0 ) C.2 D.2

内的任意一点,当该区域的面积为 4 时,z=2x﹣y

8.三棱锥 S﹣ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱 SB 的长为(



A.2

B.4

C.

D.16

9.半径为 1 的圆 O 内切于正方形 ABCD,正六边形 EFGHPR 内接于圆 O,当 EFGHPR 绕圆心 O 旋转时, A.[1﹣ C.[ ﹣ ? ,1+ , 的取值范围是( ] ] B.[﹣1 D.[ ﹣ ) ,﹣1+ , ] + ]

10.对于任意实数 a,b,定义 max{a,b}=

,已知在[﹣2,2]上的偶函数 f(x)

满足当 0≤x≤2 时,f(x)=max{2x﹣1,2﹣x}若方程 f(x)﹣mx+1=0 恰有两个根,则 m 的 取值范围是( ) B.[﹣eln2,0)∪(0,eln2]

A.[﹣2,﹣eln2)∪(eln2,2] C.[﹣2,0)∪(0,2]

D.[﹣e,﹣2)∪(2,e]

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.在 的展开式中 的系数等于 .

12.已知甲、两组数据如茎叶图所示,若两组数据的中位数相同,平均数也相同,那么 m+n= .

2

13.已知椭圆:

,左右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线 l 交椭圆于 .

A,B 两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为 5,则 b 的值是

14.已知点(2,5)和(8,3)是函数 y=﹣k|x﹣a|+b 与 y=k|x﹣c|+d 的图象仅有的两个交 点,那么 a+b+c+d 的值为 15.已知函数 f(x)= ? 论: ①函数 f(x)的值域为[0, ]; ②函数 g(x)在[0,1]上是增函数; ③对任意 a>0,方程 f(x)=g(x)在区间[0,1]内恒有解; ④若? x1∈R,x2∈[0,1],使得 f(x1)=g(x2)成立,则实数 a 的取值范围是: ≤a≤ . 其中所有正确结论的序号为 . . ,g(x)=asin( x+ π )﹣2a+2(a>0),给出下列结

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=2,an+1=Sn+2,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2) 若 a1, a2 分别是等差数列{bn}的第 2 项和第 4 项, 数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 求证: 1≤

<2. 17.已知 A、B、C、D 是函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0,0<φ < 的四个点,如图所示,A(﹣ )一个周期内的图象上

,0),B 为 y 轴的点,C 为图象上的最低点,E 为该函数图 在 x 轴方向上的投影为 .

象的一个对称中心,B 与 D 关于点 E 对称,

(1)求函数 f(x)的解析式及单调递减区间;
3

(2)将函数 f(x)的图象向左平移 ,0),求 g(α + )的值.

得到函数 g(x)的图象,已知 g(α )= ,α ∈(﹣

18.某学校高三年级 800 名学生在一次百米测试中,成绩全部在 12 秒到 17 秒之间,抽取其 中 50 个样本,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[12,13),第二组[13,14),?, 第五组[16,17],如图是根据上述分组得到的频率分布直方图. (1)若成绩小于 13 秒被认为优秀,求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数; (2)请估计本年级 800 名学生中,成绩属于第三组的人数; (3)若样本中第一组只有一名女生,第五组只有一名男生,现从第一、第五组中各抽取 2 名学生组成一个实验组,设其中男生人数为 ξ ,求 ξ 的分布列和期望.

19.已知函数 f(x),若在定义域内存在 x0,使得 f(﹣x0)=﹣f(x0)成立,则称 x0 为函 数 f(x)的局部对称点. (1)若 a,b,c∈R,证明函数 f(x)=ax3+bx2+cx﹣b 必有局部对称点; (2)是否存在常数 m,使得函数 f(x)=4x﹣m2x+1+m2﹣3 有局部对称点?若存在,求出 m 的 范围,否则说明理由. 20.在如图所示的四边形 ABCD 中,已知 AB⊥AD,∠ABC=120°,∠ACD=60°,AD=2 ∠ACB=θ ,点 C 到 AD 的距离为 h. (1)当 θ =15°,求 h 的值; (2)求 AB+BC 的最大值. (3)若△ABD 的外接圆与△CBD 的外接圆重合,求 S△ABC.
4

,设

21.已知 f(x)=x2﹣alnx,a∈R. (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)当 a>0 时,若 f(x)的最小值为 1,求 a 的值; (3)设 g(x)=f(x)﹣2x,若 g(x)在[ , ]有两个极值点 x1,x2(x1<x2),证明:g (x1)﹣g(x2)的取值范围.

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2016 年四川省德阳市高考数学一诊试卷(理科) 参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知函数 y=lgx 的定义域为 A,B={x|0≤x≤1},则 A∩B=( A.(0,+∞) B.[0,1] C.[0,1) D.(0,1] )

【考点】交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】求出函数 y=lgx 的定义域确定出 A,找出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:函数 y=lgx 中,x>0,即 A=(0,+∞), ∵B={x|0≤x≤1}=[0,1], ∴A∩B=(0,1]. 故选:D 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.已知复数 z 满足(3+4i)z=25,则 z=( A.3﹣4i B.3+4i C.﹣3﹣4i D.﹣3+4i



【考点】复数相等的充要条件. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,计算求得 z 的值. 【解答】 解: ∵复数 z 满足 (3+4i) z=25, 则 z= =3﹣4i, 故选:A. 【点评】 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法, 虚数单位 i 的幂运算性质, 属于基础题. = =

3.设 a、b∈R,则 a>b 是 a2>b2 的(



6

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件,也不是必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;不等式的基本性质. 【专题】阅读型. 【分析】本题考查的判断充要条件的方法,可根据充要条件的定义进行判断. 【解答】解:若 a>b,取 a=2,b=﹣3,推不出 a2>b2,若 a2>b2,比如(﹣3)2.>22,推 不出 a>b. 所以 a>b 是 a2>b2 的既不充分也不不要条件. 故选 D 【点评】在本题解决中用到了不等式的基本性质,及举特例的方法.属于基础题.

4.已知等比数列{an}中,若 a4=10,a8= ,那么 a6=( A.﹣5 B.5 C.±5 D.25



【考点】等比数列的通项公式. 【专题】计算题;方程思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】利用等比数列的通项公式列出方程组求出首项和公比,由此能求出 a6. 【解答】解:∵等比数列{an}中,若 a4=10,a8= ,



,解得





∴a6= 或 故选:B.

=(﹣20 =20

)(﹣ ×(
4

)4=﹣5,(舍)

) =5.

【点评】本题考查等比数列的第 6 项的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列 的性质的合理运用.

7

5.有 4 名优秀的大学毕业生被某公司录用,该公司共有 5 个部门,由公司人事部分安排他 们去其中任意 3 各部门上班,每个部门至少安排一人,则不同的安排方法为( A.120 B.240 C.360 D.480 【考点】计数原理的应用. 【专题】计算题;对应思想;数学模型法;排列组合. 【分析】先从 5 个个部门任选三个,再从 4 人中选 2 人做为一个元素,和另外两人到分配到 三个部门,根据分步计数原理可得答案 【解答】解:先从 5 个个部门任选三个,有 C53=10 种,再从 4 人中选 2 人做为一个元素,和 另外两人到分配到三个部门,故有 C53?C42?A33=360, 故答案为:360. 【点评】本题考查了分步计数原理,如何分步是关键,属于基础题 )

6.执行图中的程序框图(其中[x]表示不超过 x 的最大整数),则输出的 S 值为(



A.4

B.5

C.6

D.7

【考点】程序框图. 【专题】图表型;算法和程序框图. 【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 n,S 的值,当 n=5 时,退出循环,输出 S 的值为 7. 【解答】解:每次循环的结果分别为:n=0,S=0; n=1,S=1; n=2,S=1+1=2;
8

n=3,S=2+1=3; n=4,S=3+2=5; n=5,S=5+2=7, 这时 n>4,输出 S=7. 故选:D. 【点评】本题考查程序框图的运算和对不超过 x 的最大整数[x]的理解.要得到该程序运行 后输出的 S 的值,主要依据程序逐级运算,并通过判断条件 n>4?调整运算的继续与结束, 注意执行程序运算时的顺序,本题属于基本知识的考查.

7.已知 P(x,y)为区域 的 最大值是( A.6 B.0 ) C.2 D.2

内的任意一点,当该区域的面积为 4 时,z=2x﹣y

【考点】简单线性规划. 【专题】数形结合;不等式的解法及应用. 【分析】由约束条件作出可行域,求出使可行域面积为 4 的 a 值,化目标函数为直线方程的 斜截式,数形结合可得最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案. 【解答】解:由 作出可行域如图,

由图可得 A(a,﹣a),B(a,a), 由 ∴A(2,﹣2),
9

,得 a=2.

化目标函数 z=2x﹣y 为 y=2x﹣z, ∴当 y=2x﹣z 过 A 点时,z 最大,等于 2×2﹣(﹣2)=6. 故选:A. 【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.

8.三棱锥 S﹣ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱 SB 的长为(



A.2

B.4

C.

D.16

【考点】简单空间图形的三视图. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】由已知中的三视图可得 SC⊥平面 ABC,底面△ABC 为等腰三角形,SC=4,△ABC 中 AC=4,AC 边上的高为 2 ,进而根据勾股定理得到答案.

【解答】解:由已知中的三视图可得 SC⊥平面 ABC, 且底面△ABC 为等腰三角形, 在△ABC 中 AC=4,AC 边上的高为 2 故 BC=4, 在 Rt△SBC 中,由 SC=4, 可得 SB=4 故选 B 【点评】 本题考查的知识点是简单空间图象的三视图, 其中根据已知中的视图分析出几何体 的形状及棱长是解答的关键. , ,

9.半径为 1 的圆 O 内切于正方形 ABCD,正六边形 EFGHPR 内接于圆 O,当 EFGHPR 绕圆心 O 旋转时, ? 的取值范围是( )

10

A.[1﹣ + ]

,1+

]

B.[﹣1

,﹣1+

] C.[ ﹣



] D. [





【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】转化思想;向量法;三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 【分析】以 O 为圆心,建立如图所示的直角坐标系,可得 A(﹣1,﹣1),设 OE 与 Ox 的反 向延长线成 θ 角,即有 E(﹣cosθ ,﹣sinθ ),F(﹣cos(θ + ),﹣sin(θ + )),

0≤θ <2π ,运用向量的坐标和向量的数量积的坐标表示,运用三角函数的恒等变换公式, 结合正弦函数的值域,即可得到所求范围. 【解答】解:以 O 为圆心,建立如图所示的直角坐标系, 可得 A(﹣1,﹣1), 设 OE 与 Ox 的反向延长线成 θ 角, 即有 E(﹣cosθ ,﹣sinθ ),F(﹣cos(θ + 则 ? ),﹣sin(θ + )),0≤θ <2π , )) ))

=(1﹣cosθ ,1﹣sinθ )?(﹣cos(θ + )+sinθ sin(θ + )= ﹣

),﹣sin(θ + )+sin(θ +

=cosθ cos(θ + =cos ﹣

)﹣(cos(θ + ),

sin(θ +

sin(θ +

当 sin(θ + 当 sin(θ + 即有 ?

)=1,即 θ = )=﹣1,即 θ =

时,取得最小值 ﹣ 时,取得最大值 + , + ].

; .

的取值范围是[ ﹣

故选:C.

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【点评】本题考查向量的数量积的范围,考查坐标法的运用,同时考查三角函数的化简和求 值,考查运算能力,属于中档题.

10.对于任意实数 a,b,定义 max{a,b}=
x

,已知在[﹣2,2]上的偶函数 f(x)

满足当 0≤x≤2 时,f(x)=max{2 ﹣1,2﹣x}若方程 f(x)﹣mx+1=0 恰有两个根,则 m 的 取值范围是( ) B.[﹣eln2,0)∪(0,eln2]

A.[﹣2,﹣eln2)∪(eln2,2] C.[﹣2,0)∪(0,2]

D.[﹣e,﹣2)∪(2,e]

【考点】根的存在性及根的个数判断. 【专题】新定义;数形结合;转化法;函数的性质及应用. 【分析】根据条件先求出当 0≤x≤2 时,函数 f(x)的解析式,然后根据偶函数的性质求 出函数在[﹣2,2]上解析式,利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的相交问题,结合 导数的几何意义求出切线斜率进行求解即可. 【解答】解:当 1≤x≤2 时,2 ﹣1>2﹣x,此时 f(x)=2 ﹣1, 当 0≤x≤1 时,2 ﹣1<2﹣x,此时 f(x)=2﹣x, 即 f(x)= ,
x x x

若﹣2≤x≤﹣1,则 1≤﹣x≤2,此时 f(﹣x)=2﹣x﹣1, ∵f(x)是偶函数, ∴f(x)=f(﹣x)=2﹣x﹣1,﹣2≤x≤﹣1. 若﹣1≤x≤0,则 0≤﹣x≤1,此时 f(﹣x)=2﹣x, ∵f(x)是偶函数, ∴f(x)=f(﹣x)=2﹣x,﹣1≤x≤0. 作出函数 f(x)的图象如图: 由 f(x)﹣mx+1=0 得 f(x)=mx﹣1, 设 g(x)=mx﹣1, 则当 m=0 时,f(x)与 g(x)没有交点,此时不满足条件. 当 m>0 时,当 x=1,f(1)=1,当 x=2 时,f(2)=3, 当直线经过 A(1,1)时,此时 m﹣1=1,则 m=2,此时 g(x)=2x﹣1,
12

g(2)=3,即直线 g(x)=2x﹣1 经过 A,C 点,此时两个曲线有两个交点,满足条件, 当直线 y=mx﹣1 与 f(x)=2x﹣1 相切时, 设切点为(k,n), 则 f′(k)=2kln2,且 2k﹣1=n, 则切线方程为 y﹣n=2 ln2(x﹣k), 即 y=(2 ln2)x﹣k2 ln2+2 ﹣1, 即 2kln2=m,且﹣k2kln2+2k﹣1=﹣1, 即 2kln2=m,且﹣k2kln2+2k=0, 2kln2=m,且﹣kln2+1=0, 即 kln2=1,解得 k= 则 m= =log2e,
k k k k

=eln2,

此时直线和 f(x)只有一个交点, 若时两个曲线有两个交点,则 eln2<m≤2, 根据偶函数的对称性知当 m<0 时,﹣2≤m<eln2, 综上 m 的取值范围是[﹣2,﹣eln2)∪(eln2,2], 故选:A

【点评】 本题主要考查函数解析式的求解, 利用函数与方程之间的关系转化两个函数的交点 问题,借助导数求出切线的斜率是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.在 的展开式中 的系数等于 ﹣20 .

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【考点】二项式定理的应用. 【专题】计算题. 【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项,令 x 的指数为﹣1 得到系数. 【解答】解: 令 5﹣2r=﹣1 得 r=3 故展开式中 的系数等于﹣2C53=﹣20. 故答案为:﹣20. 【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题. 展开式的通项 Tr+1=(﹣1)r22r﹣5C5rx5﹣2r

12.已知甲、两组数据如茎叶图所示,若两组数据的中位数相同,平均数也相同,那么 m+n= 11 .

【考点】茎叶图. 【专题】计算题;图表型;方程思想;概率与统计. 【分析】根据两组数据的中位数相等,可得 m 值,进而求出 n 值,可得答案. 【解答】解:∵两组数据的中位数相同, ∴m= =3,

又∵平均数也相同,

∴n=8, ∴m+n=11, 故答案为:11. 【点评】本题考查的知识点是茎叶图,中位数和平均数, 方程思想, 难度不大,属于基础题.

14

13.已知椭圆:

,左右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线 l 交椭圆于 .

A,B 两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为 5,则 b 的值是 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】由题意可知椭圆是焦点在 x 轴上的椭圆,利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|, 再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短,可知当 AB 垂直于 x 轴时|AB|最小,把|AB|的最小值 b2 代入|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|,由|BF2|+|AF2|的最大值等于 5 列式求 b 的值. 【解答】解:由 0<b<2 可知,焦点在 x 轴上, ∵过 F1 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8 ∴|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|. 当 AB 垂直 x 轴时|AB|最小,|BF2|+|AF2|值最大, 此时|AB|=b ,∴5=8﹣b , 解得 故答案为 . .
2 2

【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系,考查了椭圆的定义,解答此题的关键是明确过 椭圆焦点的弦中通径的长最短,是中档题.

14.已知点(2,5)和(8,3)是函数 y=﹣k|x﹣a|+b 与 y=k|x﹣c|+d 的图象仅有的两个交 点,那么 a+b+c+d 的值为 18 . 【考点】函数的图象. 【专题】综合题;转化思想;数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】将两个交点代入函数 y=﹣k|x﹣a|+b 方程,得到方程组,将两个方程相减;据绝对 值的意义及 k 的范围得到 k,a 满足的等式;同样的过程得到 k,c 满足的等式,两式联立求 出 a+c 的值,再求出 b+d,即可得到结论. 【解答】解:∵函数 y=﹣k|x﹣a|+b 与 y=k|x﹣c|+d 的图象交于两点(2,5),(8,3), ∴5=﹣k|2﹣a|+b ① 3=﹣k|8﹣a|+b ② 5=k|2﹣c|+d ③ 3=k|8﹣c|+d ④
15

①﹣②得 2=﹣k|2﹣a|+k|8﹣a|⑤ ③﹣④得 2=k|2﹣c|﹣k|8﹣c|⑥ ⑤=⑥得|8﹣a|+|8﹣c|=|2﹣c|+|2﹣a| 即|8﹣a|﹣|2﹣a|+|8﹣c|﹣|2﹣c|=0 设 f(x)=|8﹣x|﹣|2﹣x|,则 f(a)+f(c)=0, 画出函数 f(x)的图象,如图,其关于点 A(5,0)成中心对称, 故点 a 与点 c 关于点 A(5,0)成中心对称, ∴ (a+c)=5, ∴a+c=10, 又∵函数 y=﹣k|x﹣a|+b 的对称轴为 x=a,函数 y=k|x﹣c|+d 的对称轴为 x=c, ∴2<a<8,2<c<8 ②+③:8=﹣k(8﹣a)+b+k(c﹣2)+d, ∴b+d=8, ∴a+b+c+d=18 故答案为:18.

【点评】本题考查函数的图象,考查绝对值的意义,考查学生分析解决问题的能力,属于中 档题.

15.已知函数 f(x)= ? 论:

,g(x)=asin(

x+ π )﹣2a+2(a>0),给出下列结

①函数 f(x)的值域为[0, ]; ②函数 g(x)在[0,1]上是增函数;
16

③对任意 a>0,方程 f(x)=g(x)在区间[0,1]内恒有解; ④若? x1∈R,x2∈[0,1],使得 f(x1)=g(x2)成立,则实数 a 的取值范围是: ≤a≤ . 其中所有正确结论的序号为 ①②④ .

【考点】命题的真假判断与应用;函数的值域;函数恒成立问题;正弦函数的单调性. 【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】根据已知,求出函数 f(x)的值域可判断①;分析函数 g(x)在[0,1]上的单调 性,可判断②;判断方程 f(x)=g(x)在区间[0,1]上解的个数,可判断③;分析出满足: ? x1∈R,x2∈[0,1],使得 f(x1)=g(x2)成立时实数 a 的取值范围,可判断④. 【解答】 解: 当 x≥1 时, 函数 f (x) = ? = , f′ (x) = ,

1≤x≤3 时,f′(x)≥0,x≥3 时,f′(x)≤0,故当 x=3 时,f(x)取极大值 ,故此 时 f(x)∈[0, ],

当 x≤1 时,函数 f(x)= ?

=

,f′(x)=

﹣1≤x≤1 时,f′(x)≤0,x≤﹣1 时,f′(x)≥0,故当 x=﹣1 时,f(x)取极大值 , 故此时 f(x)∈[0, ], 综上可得:函数 f(x)的值域为[0, ];故①正确; 当 x∈[0,1]时, x+ π ∈[ π , ],此时函数 g(x)为增函数,故②正确;

x∈[0,1]时,f(x)=

,f′(x)=

<0,故 f(x)为减函数,

由 f(0)= ,f(1)=0,可得 f(x)∈[0, ], 而 g(0)=﹣3a+2,g(1)= 当 当 a+2,故 g(x)∈[﹣3a+2, a+2],

a+2≥0,即 a≤ 时,方程 f(x)=g(x)有解, a+2<,即 a> 时,方程 f(x)=g(x)无解,故③错误;

若? x1∈R,x2∈[0,1],使得 f(x1)=g(x2)成立,

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a+2≥0,且﹣3a+2≤ ;

解得: ≤a≤ .故④正确; 故答案为:①②④, 故答案为:①②④ 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了函数的值域,函数恒成立问题,方程 的根,函数的单调性,难度中档.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=2,an+1=Sn+2,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2) 若 a1, a2 分别是等差数列{bn}的第 2 项和第 4 项, 数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 求证: 1≤

<2. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【专题】综合题;转化思想;转化法;等差数列与等比数列;点列、递归数列与数学归纳法; 不等式的解法及应用. 【分析】(1)利用递推关系及其等比数列的通项公式即可得出; (2)利用等差数列的通项公式及其“裂项求和”、不等式的性质即可得出. 【解答】(1)解:∵an+1=Sn+2,n∈N . ∴当 n≥2 时,an=Sn﹣1+2,可得 an+1﹣an=an,化为 an+1=2an. 又 a2=a1+2,满足 a2=2a1, ∴数列{an}是等比数列,首项为 2,公比为 2. ∴an=2 . (2)证明:设等差数列{bn}的公差为 d,∵b2=a1=2,b4=a2=4, ∴4﹣2=2d,解得 d=1. ∴bn=b2+(n﹣2)×1=n. ∴Tn= ,∴ = =2 .
n *

18



=2

+?+

= ∵1≤

. <2.

∴1≤

<2.

【点评】本题考查了递推关系、等差数列的通项公式及其“裂项求和”、不等式的性质,考 查了推理能力与计算能力,属于中档题.

17.已知 A、B、C、D 是函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0,0<φ < 的四个点,如图所示,A(﹣

)一个周期内的图象上

,0),B 为 y 轴的点,C 为图象上的最低点,E 为该函数图 在 x 轴方向上的投影为 .

象的一个对称中心,B 与 D 关于点 E 对称,

(1)求函数 f(x)的解析式及单调递减区间; (2)将函数 f(x)的图象向左平移 ,0),求 g(α + )的值. 得到函数 g(x)的图象,已知 g(α )= ,α ∈(﹣

【考点】函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换;正弦函数的图象. 【专题】计算题;数形结合;分析法;三角函数的图像与性质. 【分析】 (1)根据函数想性质得出最大值点的横坐标为 T= ,即可 ω ,运用 A(﹣ ,0),sin(﹣ ≤2x+ ≤2kπ + ,A(﹣ ,0),得出周期 T=π , kπ + ,k∈z,

+φ )=0,得出 φ =

即可求解函数解析式,由 2kπ +

,k∈Z 即可解得单调递减区间.

19

(2) 利用函数 y=Asin (ω x+φ ) 的图象变换可求 g (x) , 结合角的范围可求 cos2α , sin2α , 利用两角和的余弦函数公式即可求值. 【解答】(本题满分为 12 分) 解:(1)∵如图所示,A(﹣ ,0),B 为 y 轴上的点,C 为图象上的最低点,E 为该函数 在 x 轴上的投影为 ,

图象的一个对称中心,B 与 D 关于点 E 对称, ∴根据对称性得出:最大值点的横坐标为 ∴ = ∵T= + , ,T=π , ,

∴ω =2, ∵A(﹣ ∴sin(﹣ ∴φ = ,0)在函数图象上, +φ )=0,解得:﹣ +φ =kπ ,k∈z,可得:φ =kπ + ). , k ], ,k∈z,

,故可得函数 f(x)的解析式为:y=sin(2x+ ≤2x+ ≤2kπ +

∴由 2kπ + k∈Z.

, k∈Z 即可解得单调递减区间为: [kπ

(2)∵由题意可得:g(x)=f(x+ ∴g(α )=cos2α = , ∵α ∈(﹣ ∴2α ∈(﹣ ∴g (α + ,0),

)=sin[2(x+

)+

]=sin(2x+

)=cos2x.

,0),可得 sin2α =﹣ ) =cos2α cos

, ﹣sin2α sin = ﹣ (﹣ ) × = .

) =cos (2α +

【点评】本题考查了三角函数的图象和性质,函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,运 用特殊点求解参变量的值,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.

18.某学校高三年级 800 名学生在一次百米测试中,成绩全部在 12 秒到 17 秒之间,抽取其 中 50 个样本,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[12,13),第二组[13,14),?, 第五组[16,17],如图是根据上述分组得到的频率分布直方图.
20

(1)若成绩小于 13 秒被认为优秀,求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数; (2)请估计本年级 800 名学生中,成绩属于第三组的人数; (3)若样本中第一组只有一名女生,第五组只有一名男生,现从第一、第五组中各抽取 2 名学生组成一个实验组,设其中男生人数为 ξ ,求 ξ 的分布列和期望.

【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】.(1)由频率分布直方图,得成绩小于 13 秒的频率为 0.06,由此能求出该样本 在这次百米测试中成绩优秀的人数. (2)由频率分布直方图,得第三组[14,15)的频率为 0.38,由此能估计本年级 800 名学 生中,成绩属于第三组的人数. (2)由频率分布直方图及题设条件得到第一组中有 1 名女生 2 名男生,第五组中有 3 名女 生 1 名男生,由此得 ξ 的可能取值为 1,2,3,分别求出相应的概率,从而能求出 ξ 的分 布列和期望. 【解答】解:(1)由频率分布直方图,得成绩小于 13 秒的频率为 0.06, ∴该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为: 0.06×50=3(人). (2)由频率分布直方图,得第三组[14,15)的频率为 0.38, ∴估计本年级 800 名学生中,成绩属于第三组的人数为: 800×0.38=304(人). (2)由频率分布直方图,得第一组的频率为 0.06,第五组的频率为 0.08, ∴第一组有 50×0.06=3 人,第五组有 50×0.08=4 人, ∵样本中第一组只有一名女生,第五组只有一名男生, ∴第一组中有 1 名女生 2 名男生,第五组中有 3 名女生 1 名男生, 现从第一、第五组中各抽取 2 名学生组成一个实验组,设其中男生人数为 ξ , 则 ξ 的可能取值为 1,2,3,
21

P(ξ =1)=

= ,

P(ξ =2)=

= ,

P(ξ =3)= ∴ξ 的分布列为: ξ P Eξ =

= .

1

2

3

=



【点评】 本题考查频率分布直方图的应用, 考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法, 是中档题, 解题时要认真审题, 注意频率分布直方图的性质和等可能事件概率计算公式的合 理运用.

19.已知函数 f(x),若在定义域内存在 x0,使得 f(﹣x0)=﹣f(x0)成立,则称 x0 为函 数 f(x)的局部对称点. (1)若 a,b,c∈R,证明函数 f(x)=ax3+bx2+cx﹣b 必有局部对称点; (2)是否存在常数 m,使得函数 f(x)=4 ﹣m2 +m ﹣3 有局部对称点?若存在,求出 m 的 范围,否则说明理由. 【考点】函数与方程的综合运用;函数的值. 【专题】计算题;函数思想;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】(1)根据定义构造方程,再判断方程是否有解,问题得以解决. (2)根据定义构造方程 4x+4﹣x﹣2m(2x+2﹣x)+2(m2﹣3)=0?(*)在 R 上有解,再利用换 元法,设 t=2x+2﹣x,方程变形为 t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2,+∞)内有解,再根据判别式 求出 m 的范围即可 【解答】解:(1)证明:由 f(x)=ax3+bx2+cx﹣b 得 f(﹣x)=﹣ax3+bx2﹣cx﹣b, 代入 f (﹣x) =﹣f (x) 得 ax3+bx2+cx﹣b﹣ax3+bx2﹣cx﹣b=0 得到关于 x 的方程 2bx2﹣2b=0, b≠0 时,x=±1 当 b=0,x∈R 等式恒成立,
22
x x+1 2

所以函数 f(x)=ax +bx +cx﹣b 必有局部对称点; (2)∵f(x)=4x﹣m2x+1+m2﹣3 ∴f(﹣x)=4﹣x﹣m?2﹣x+1+m2﹣3, 由 f(﹣x)=﹣f(x),∴4﹣x﹣m?2﹣x+1+m2﹣3=﹣(4x﹣m?2x+1+m2﹣3), 于是 4 +4 ﹣2m(2 +2 )+2(m ﹣3)=0?(*)在 R 上有解, 令 t=2 +2 (t≥2),则 4 +4 =t ﹣2, ∴方程(*)变为 t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2,+∞)内有解,需满足条件:
x ﹣x x ﹣x 2 x ﹣x x ﹣x 2

3

2

,解得



化简得

≤m≤2



【点评】本题依据新定义,考查了方程的解得问题以及参数的取值范围,以及换元的思想, 转化思想,属于难题.

20.在如图所示的四边形 ABCD 中,已知 AB⊥AD,∠ABC=120°,∠ACD=60°,AD=2 ∠ACB=θ ,点 C 到 AD 的距离为 h. (1)当 θ =15°,求 h 的值; (2)求 AB+BC 的最大值. (3)若△ABD 的外接圆与△CBD 的外接圆重合,求 S△ABC.

,设

【考点】解三角形. 【专题】数形结合;数形结合法;解三角形. 【分析】(1)在△ACD 中使用正弦定理求出 CD,则 h=CDsin∠ADC; (2)在△ACD 中使用正弦定理求出 AC,在△ABC 中使用正弦定理用 θ 表示出 AB,BC,将问 题转化为三角函数的最值问题求解; (3)△ABD 的外接圆与△CBD 的外接圆重合可知四点共圆,从而求出∠ACB 和∠BAC,使用 正弦定理解出各边,带入面积公式.
23

【解答】 解: (1) ∠BAC=180°﹣120°﹣15°=45°, ∠CAD=90°﹣∠BAC=45°, ∴∠ADC=75°. 在△ACD 中,由正弦定理得: ∴h=CD?sin∠ADC=2 ?sin75°= +1. ,∴CD= =2 .

(2)∠BAC=60°﹣θ ,∴∠CAD=30°+θ ,∠ADC=90°﹣θ . 在△ACD 中, ∵ 在△ABC 中,∵ ∴ 解得 AB= ∴AB+BC=4cos θ +
2

, ∴ , . ,BC=4cos2θ ﹣ =2cos2θ + , sin2θ +2= +2.

, 解得 AC=4cosθ .

sin(2θ +φ )+2.

∴当 sin(2θ +φ )=1 时,AB+BC 取得最大值

(3)∵△ABD 的外接圆与△CBD 的外接圆重合,∴A,B,C,D 四点共圆. ∴∠BCD=90°,∠ACB=∠BAC=∠D=30°, 在△ABC 中,∵ = . ,∴AB=BC=2,∴S△ABC=

【点评】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于中档题.

21.已知 f(x)=x2﹣alnx,a∈R. (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)当 a>0 时,若 f(x)的最小值为 1,求 a 的值; (3)设 g(x)=f(x)﹣2x,若 g(x)在[ , ]有两个极值点 x1,x2(x1<x2),证明:g (x1)﹣g(x2)的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【专题】计算题;规律型;分类讨论;转化思想;导数的概念及应用. 【分析】(Ⅰ)求出函数 f(x)的定义域,当 a=1 时,求出 f′(x),判断函数的单调性, 求解函数的最小值即可.

24

(Ⅱ)化简求解 f′(x)=

,通过(1)当﹣2<a≤0 时,(2)当 a=﹣2

时,(3)当 a<﹣2 时,分别求解函数的单调性即可. (Ⅲ) 假设存在实数 a 使得对任意的 x1, x2∈ (0, +∞) , 且 x1≠x2, 有 >a 恒成立,转化方程为 f(x2)﹣ax2>f(x1)﹣ax1 构造 g(x)=f(x)﹣ax,只要 g(x) 在(0,+∞)为增函数,利用导数求解函数的最小值,导函数的符号,判断证明即可. 【解答】解:(Ⅰ)由题意,函数 f(x)的定义域为(0,+∞),? 当 a=1 时,f′(x)= = ?

∴当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,x∈(2,+∞),f′(x)>0. ∴f(x)在 x=2 时取得极小值且为最小值,其最小值为 f(2)=﹣2ln2? (Ⅱ)∵f′(x)=x﹣ +(a﹣2)= = ?

∴(1)当﹣2<a≤0 时,若 x∈(0,﹣a)时,f′(x)>0,f(x)为增函数; x∈(﹣a,2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数; x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数. (2)当 a=﹣2 时,x∈(0,+∞)时,f(x)为增函数; (3)当 a<﹣2 时,x∈(0,2)时,f′(x)>0,f(x)为增函数; x∈(2,﹣a)时,f′(x)<0,f(x)为减函数; x∈(﹣a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数? (Ⅲ)证明:假设存在实数 a 使得对任意的 x1,x2∈(0,+∞),且 x1≠x2,有 >a 恒成立,

不妨设 0<x1<x2,只要

>a,即:f(x2)﹣ax2>f(x1)﹣ax1

令 g(x)=f(x)﹣ax,只要 g(x)在(0,+∞)为增函数 又函数 g(x)= x2﹣2alnx﹣2x.

考查函数 g′(x)=x﹣

﹣2)=

=

?

25

要使 g′(x)≥0 在(0,+∞)恒成立,只要﹣1﹣2a≥0,即 a≤﹣ ,? 故存在实数 a∈(﹣∞,﹣ ]时,对任意的 x1,x2∈(0,+∞),且 x1≠x2,有

>a 恒成立,? 【点评】 本题考查函数的导数的是的单调性综合应用以及函数的最值的求法, 考查分析问题 解决问题的能力,转化思想的应用.

26


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