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【红对勾】2016-2017学年高中数学必修二(人教A版)课时作业7球的体积和表面积 Word版含解析


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课时作业 7

球的体积和表面积

——基础巩固类—— 1. 把球的表面积扩大到原来的 2 倍,那么体积扩大到原来的 ( ) A.2 倍 C. 2倍 B.2 2倍 3 D. 2倍

解析:球的表面积扩大到原来 2 倍,半径扩大到原来的 2倍, 体积扩大到原来的 2 2倍. 答案:B 2.一个正方体的表面积与一个球的表面积相等,那么它们的体 积比是( 6π A. 6 2π C. 2 ) π B. 2 6π D. 6

a 解析:设正方体的边长为 a,球的半径为 R,则 6a2=4πR2.则R= 6π a3 3 ? 6π?3 6π ? ?= ,则 = · 3 4 3 4π ? 3 ? 6 . 3πR 答案:A 3.把 3 个半径为 R 的铁球熔成一个底面半径为 R 的圆柱,若不 计损耗,则圆柱的高为( A.R
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) B.2R

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C.3R

D.4R

4 解析:设圆柱的高为 h,则 3×3πR3=πR2· h,所以 h=4R. 答案:D 4.设一正方体的表面积为 24 cm2,一个球内切于该正方体,那 么这个球的体积是( A. 6π cm3 8π C. 3 cm3 ) 32π B. 3 cm3 4π D. 3 cm3

解析:球的直径等于正方体的棱长. 答案:D 5.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为 2,这个球的 表面积为 6π,则这个正四棱柱的体积为( A.1 C.3 B.2 D.4 )

6 解析:S 表=4πR2=6π,所以 R= 2 .设正四棱柱底面边长为 x, 则?
? 2 ?2 ? +1=R2,所以 x=1.所以 V 正四棱柱=2.故选 B. x ? 2 ?

答案:B 6.某几何体的三视图如图所示,则其表面积为________.

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解析:由三视图还原为实物图为半个球,则表面积为半球面+底 1 面圆,代入数据计算为 S=2×4π×12+π×12=3π. 答案:3π 7.已知三个球的半径 R1,R2,R3 满足 R1+2R2=3R3,则它们的 表面积 S1,S2,S3 满足的等量关系是________.
2 解析:S1=4πR1 , S1=2 πR1,同理, S2=2 πR2, S3=2 π

S1 S2 S3 R3, 即 R1= , R2= , R3= , 由 R1+2R2=3R3, 得 S1+2 S2 2 π 2 π 2 π =3 S3. 答案: S1+2 S2=3 S3 8.盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为 5 cm, 两个直径为 5 cm 的玻璃小球都浸没于水中,若取出这两个小球,则水面将下降多少? 解:设取出小球后,容器中水面下降 h cm,
?4π ?5? ? 125π 两个小球的体积为 V 球=2? 3 ×?2?3?= 3 (cm3). ? ? ??

此体积即等于它们在容器中排开水的体积 V=π×52×h,
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125π 5 所以 3 =π×52×h,所以 h=3, 5 即若取出这两个小球,则水面将下降3 cm. 9.已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径 的一半,且 AB=18,BC=24,AC=30,求球的表面积和体积. 解:∵AB BC AC=18 24 30=3 4 5, ∴△ABC 是直角三角形,∠B=90° . 又球心 O 到截面△ABC 的投影 O′为截面圆的圆心,

也即是 Rt△ABC 的外接圆的圆心, ∴斜边 AC 为截面圆 O′的直径(如图所示), 设 O′C=r,OC=R,则球半径 R,截面圆半径 r, OO′ 1 在 Rt△O′CO 中,由题设知 sin∠O′CO= OC =2, r 3 2 ∴∠O′CO=30° ,∴R=cos30° = 2 ,即 R= r,(*) 3 又 2r=AC=30?r=15,代入(*)得 R=10 3. ∴球的表面积为 S=4πR2=4π(10 3)2=1 200π. 4 4 球的体积为 V=3πR3=3π(10 3)3=4 000 3π.
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——能力提升类—— 10.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面 时测得水深为 6 cm,如果不计容器厚度,则球的体积为( )

500π A. 3 cm3 866π B. 3 cm3 1 372π C. 3 cm3 2 048π D. 3 cm3

解析:利用球的截面性质结合直角三角形求解.如图,作出球的 1 1 一个截面,则 MC=8-6=2(cm),BM=2AB=2×8=4(cm).设球的

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4 半径为 R cm,则 R2=OM2+MB2=(R-2)2+42,∴R=5,∴V 球=3 500 π×53= 3 π(cm3). 答案:A

11. 圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水, 若放入三个相同的球(球 的半径与圆柱的底面半径相同 ) 后,水恰好淹没最上面的球 ( 如图所 示),则球的半径是________cm. 解析:设球的半径为 r,则圆柱形容器的高为 6r,容积为 πr2×6r 4 =6πr3,高度为 8 cm 的水的体积为 8πr2,3 个球的体积和为 3×3πr3= 4πr3,由题意得 6πr3-8πr2=4πr3,解得 r=4(cm). 答案:4

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12.如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为 8 cm 的 半球形的冰淇淋,请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半 球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计),使冰淇淋融化后不会溢 出杯子,怎样设计最省材料? 解:设圆锥形杯子的高为 h cm, 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子,则必须 V 圆锥≥V 半球, 1 4 1 4π 而 V 半球=2×3πr3=2× 3 ×43, 1 1 π V 圆锥=3Sh=3πr2h=3×42×h. π 1 4π 依题意:3×42×h≥2× 3 ×43,解得 h≥8, 即当圆锥形杯子杯口直径为 8 cm,高大于或等于 8 cm 时,冰淇 淋融化后不会溢出杯子. 又因为 S 圆锥侧=πrl=πr h2+r2, 当圆锥高取最小值 8 时,S 圆锥侧最小, 所以高为 8 cm 时,制造的杯子最省材料.

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