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2010[1].9-ch2 习题 1-21 改正后的


第二章 均匀系统的热力学性质

习题

2.1 已知在体积保持不变时,一气体的压强正比于其绝对温度。 已知在体积保持不变时,一气体的压强正比于其绝对温度。 试证明在温度保持不变时,该气体的熵随体积而增加。 试证明在温度保持不变时,该气体的熵随体积而增加。 证明:根据题意压强正比于T,设 证明:根据题意压强正比于T,设 T,
p = f (v)T

自由能的全微分 dF = ? SdT ? pdV 有麦氏关系
? ?S ? ? ?p ? ? ? =? ? ? ?V ?T ? ?T ?V

?p p ( )V = f (v) = ?T T

所以

? ?S ? ? ?p ? p ? ? =? ? = f (v ) = ? ?V ?T ? ?T ?V T ? ?S ? ? ? >0 ? ?V ?T

由于p>0,T>0,故有 由于p>0,T>0,故有 p>0,T>0,

这意味着,在温度保持不变时,气体的熵随体积增加 这意味着,在温度保持不变时,
第2.1题完毕

2.2 设一物质的物态方程具有以下形式: 设一物质的物态方程具有以下形式: 试证明其内能和体积无关。 试证明其内能和体积无关。
? ? ?p ? ? ? ?U ? 证明: 证明:根据能态方程 ? ? = ?T ? ? ? p? ? ?V ?T ? ? ?T ?V ?

p = f (v )T

和物态方程

p = f (v )T



?p p ( )V = f (v) = ?T T

所以

? ? ?p ? ? ? ?U ? ? ? = ?T ? ? ? p? = 0 ? ?V ?T ? ? ?T ?V ?

这就是说,如果物质具有形式为 的物态方程, 这就是说,如果物质具有形式为p=f(v)T的物态方程,则物 的物态方程 质的内能与体积无关,只是温度T 的函数。 质的内能与体积无关,只是温度 的函数。
第2.2题完毕

? ?S ? ? ?S ? 2.3 求证 (a) ? ? < 0, (b) ? 求证: ? >0 ? ?V ?U ? ?p ? H
证明: 利用循环关系 证明:a.利用循环关系
? ?H ? ?p ? ?S ? ? =? ? ? ? ?H ? ?p ? H ? ? ?S
? ?S ? ? ?p ? ? ?H ? ? ? ? ? ? ? = ?1 ? ?p ? H ? ?H ? S ? ?S ? p

得到

? ? V ?S =? T ? ? ?p

因为 V>0,T>0,所以 所以

? ?S ? ? ? <0 ? ?p ? H

b.利用循环关系 利用循环关系

? ?S ? ? ?V ? ? ?U ? ? ? ? ? ? ? = ?1 ? ?V ?U ? ?U ? S ? ?S ?V
? ?U ? ? ?S ? ? ?V =? ? ? ? ?U ? ?V ?U ? ? ?S ? ? ?S ? ? ?V

得到

?p p =? = >0 T T
第2.3题完毕

2.4 已知

? ?U ? ? ? =0 ? ? V ?T

,求证 求证

? ?U ? ? ? =0 ? ?p ?T

证明: 证明:对复合函数 U (T , P) = U (T , V (T , p))
? ?U ? ? ?U ? ? ?V ? 求偏导数, 求偏导数,有 ? ? =? ? ? ? ?p ?T ? ?V ?T ? ?p ?T ?

由题给条件, 由题给条件,

? ?U ? ? ? = 0 ? ?V ?T
? ?U ? ? ? =0 ? ?p ?T

所以

也可以用雅可比行列式证明: 也可以用雅可比行列式证明:

第2.4题完毕

2.5 试证明一个均匀物体在准静态等压过程中熵随体积的增减 取决于等压下温度随体积的增减。 取决于等压下温度随体积的增减。 证明:题目要求的是:? 证明:题目要求的是:? ? S ? 与 ? ? T ? 的 关 系 ? ? ? ?V ? p ?V ? p ? ? 用雅可经行列式可以证明: 用雅可经行列式可以证明:

或者对复合函数 S = S (p, V ) = S (p, T (p, V )) 或者对复合函数 求偏导数, 求偏导数,得
C p ? ?T ? ? ?S ? ? ?S ? ? ?T ? ? ? =? ? ? ? = ? ?V ? p ? ?T ? p ? ?V ? p T ? ?V ? p ? ?

? ?S ? ? ?T ? 因为 T>0, Cp >0, 所以 ? ? 与? ? 同号 ? ?V ? p ? ?V ? p

第2.5题完毕

2.6 试证明在相同的压强将落下,气体在准静态绝热膨胀过程 试证明在相同的压强将落下, 中的温度降落大于在节流过程中的温度降落。 中的温度降落大于在节流过程中的温度降落。

证明: 证明:绝热膨胀过程中的温度降落

? ?T ? TV α ? ? = Cp ? ?p ? S

节流过程中的温度降落 ? ?T ? = V (T α ? 1) ? ?
? ?p ? H Cp

或者利用循环关系推出此二式再比较

二者之差

? ?T ? ? ?T ? V >0 ? ? ?? ? = ? ?p ? S ? ?p ? H C p
得证。 得证。

说明及该理论的实际应用如下页

由题目结论可以的得知,在相同的压强降落下,气体 由题目结论可以的得知,在相同的压强降落下, 在绝热膨胀中的温度降落大于节流过程中的温度降落。 在绝热膨胀中的温度降落大于节流过程中的温度降落。 这 两个过程都被用来冷却和液化气体。 两个过程都被用来冷却和液化气体。 由于绝热膨胀过程中使用的膨胀机有移动的部分, 由于绝热膨胀过程中使用的膨胀机有移动的部分,低 温下移动部分的润滑技术是十分困难的问题, 温下移动部分的润滑技术是十分困难的问题,实际上节流 过程更为常用. 但是用节流过程降温,气体的初温必须低于 过程更为常用 但是用节流过程降温, 反转温度。 反转温度。 卡皮查( 将绝热膨胀和节流过程结合起来, 卡皮查(1934 年)将绝热膨胀和节流过程结合起来, 先用绝热膨胀过程使氦降温到反转温度以下, 先用绝热膨胀过程使氦降温到反转温度以下,再用节流过 程将氦液化。 程将氦液化。

第2.6题完毕

2.7 实验发现,一气体的压强 与体积 的乘积以及内能 都只 实验发现,一气体的压强p 与体积V 的乘积以及内能U 是温度的函数, 试根据热力学理论, 是温度的函数,即pv=f(T),u=u(T),试根据热力学理论,讨论该气 试根据热力学理论 体的物态方程可能具有什么形式。 体的物态方程可能具有什么形式。 式以及题目给的条件u=u(T), 知, 解:由2.2.7式以及题目给的条件 式以及题目给的条件
? ? ?p ? ? ? ?U ? ? ? = ?T ? ? ? p? = 0 ? ?V ?T ? ? ?T ?V ?



? ?p ? T? ? =p ? ?T ?V


将物态方程pv=f(T), 对T求导,得到: 分离变量

T df ? ?p ? T? ? = ? ?T ?V v dT
积分

df T = f dT

df dT = f T

ln f = ln T + ln C



f = CT

确定常量C 需要进一步的实验结果。
第2.7题完毕

2.8 题课堂上 节讲过,此略。 题课堂上2.4节讲过 此略。 节讲过, 2.9 证明范氏气体的定容热容量只是温度 的函数,与比体积无关。 证明范氏气体的定容热容量只是温度T的函数,与比体积无关。 的函数
? ?S ? CV = T ? 证明: 证明:将2.25式 式 ? ? ?T ?V
? ?C 对体积求导 ? V ? = T ? ? ?V ?T
完整微 分条件 麦氏关系

? ?2S ? ? ?=T ? ?V ?T ?

? ?2S ? ? ?=T ? ?T ?V ?

? ?2 p ? ? ? ?T 2 ? ?

范氏方程为 p = RT ? a2 v?b v

?p R ( )V = ?T v?b

?2 p ( 2 )V = 0 ?T

由于在V 不变时范氏方程的p 的线性函数, 由于在 不变时范氏方程的 是T 的线性函数,所以范氏气 体的定容热容量只是T 的函数,与比体积无关。 体的定容热容量只是 的函数,与比体积无关。

? ?CV ? 所以 ? ? =0 ? ?V ?T

与体积无关。 与体积无关。
第2.9题完毕

2.10 证明理想气体的摩尔自由能可以表为
Fm = ∫ CV ,m dT + U m 0 ? T ∫ CV ,m T dT ? RT ln Vm ? TS m 0

= ?T ∫

dT C dT + U m 0 ? TSm 0 ? RT ln Vm 2 ∫ V ,m T

证明: 证明: p61的(2.4.13)和(2.4.14)式给出了理想气体的摩尔吉 的 ) ) 布斯函数作为其自然变量T 的函数的积分表达式。 布斯函数作为其自然变量 , p 的函数的积分表达式。 本题要求出理想气体的摩尔自由能作为其自然变量 T 、V m 的函数的积分表达式。根据p46自由能的定义式(1.18.3), 自由能的定义式( 的函数的积分表达式。根据 自由能的定义式 ), 摩尔自由能为: 摩尔自由能为: F m =U m ?TS m 根据式p23的(1.7.4)式和 的 根据式 )式和p40的(1.15.2)式,可以得到理 的 ) 想气体的摩尔内能和摩尔熵为: 想气体的摩尔内能和摩尔熵为:

内能 熵为

U m = ∫ CV , m dT + U m 0

Sm = ∫

CV ,m T

dT + R ln Vm + Sm 0

F 所以, m = ∫ CV ,m dT + U m 0 ? T ∫

CV ,m T

dT ? RT ln Vm ? TS m 0

T CV , m Fm = ∫ CV , m dT + U m 0 ? T ∫ dT ? RT ln Vm ? TS m 0 T T

利用分部积分 令
x= 1 , T

∫ xdy = xy ? ∫ ydx
dx = 1 dT , T2 ? y =

∫C

V ,m

dT

可得

dT Fm = ?T ∫ 2 ∫ CV ,m dT + U m 0 ? TS m 0 ? RT ln Vm T
第2.10题完毕

2.11 题课堂上讲过 §2.4 的例题 再进一步扩展一下 题课堂上讲过(§ 的例题2再进一步扩展一下 再进一步扩展一下)

2.12 证明:当弹簧长度改变dx时,外力做功 证明:当弹簧长度改变 时 热力学基本方程 dU = TdS ? Xdx 自由能微分

dW = ? Xdx

dF = ? SdT ? Xdx = ? SdT + Axdx

对恒温过程 积分 熵

dF = Axdx
1 2 F (T , x) = F (T , 0) + Ax 2

?F 1 2 dA S =? = S (T , 0) ? x ?T 2 dT

内能

1? dA ? 2 U = F ? TS = U (T , 0) ? ? A ? T ?x 2? dT ?
第2.12题完毕

2.13 解:1)按题意,橡皮带被拉伸时具有具有晶体结构,无序度 )按题意,橡皮带被拉伸时具有具有晶体结构, 减少,熵增加, 减少,熵增加,有 ? ?S ? < 0
? ? ? ?L ?T

2)橡皮带自由能的微分 )

dF = ? SdT + fdL

?f ? ?S 有麦氏关系 ? ? = ? ? ? < 0 ? ? ? ?L ?T ?T ? L ? ?

3)由橡皮带链式关系得 由橡皮带链式关系得

? ?L ? ? ?f ? ? ?L ? = ?? ? ? ? ? ? ? ?T ? f ? ?T ? L ? ?f ?T

因为

? ?f ? ?? ? <0 ? ?T ? L

所以当橡皮带随张力伸长 ? ? L ? > 0 ? ? ?f
?

?T 所以线胀系数 α = 1 ? ?L ? < 0 ? ? L ? ?T ? f



? ?L ? ? ? <0 ? ?T ? f

第2.13题完毕

2.14 解:已知地球大气层接收到的在离太阳 处的太阳的 已知地球大气层接收到的在离太阳R处的太阳的 太阳辐射的总能量: 通量密度 J =1.35*103J.m-2.s-1,太阳辐射的总能量:

U = A × Ju = 4π (6.955 + 1495) 2 × 1016 × 1.35 × 103 = σ T 4 A太阳

4π (6.955 + 1495) 2 ×1016 × 1.35 × 103 T4 = 5.669 ×108 × 6.9952 × 1016 = 1110.5724 ×1016
太阳表面的温度

T ≈ 5773 K
第2.14题完毕

2.15 计算热辐射在等温过程中的体积由 1变化到 2时所吸 计算热辐射在等温过程中的体积由V 变化到V 收的热量。 收的热量。 解:可逆等温过程中吸热

Q = T ∫ dS = T ?S
S1

S2

4 3 S1 = aT V1 , 3 4 3 S 2 = aT V2 , 3

Q = T ?S 4 3 ? ?4 3 = T ? aT V2 ? aT V1 ? 3 ?3 ? 4 4 = aT (V2 ? V1 ) 3
第2.15题完毕

2.16 解:卡诺循环由两个等温过程和两个绝热过程组成
4 4 在1——2过程中等温吸热 Q1 = 3 aT1 (V2 ? V1 ) 过程中等温吸热
p
1 2

4 Q2 = aT2 4 (V3 ? V4 ) 在3——4过程中等温放热 过程中等温放热 3

4 3

V

对过程2—3, , 对过程 4—1满足: T 满足: 满足

3

V = C

T13V2 = T2 3V3 即有: 即有: T13V1 = T2 3V4

T13 (V2 ?V1) = T23 (V3 ?V4 )

二式相减
T T1 T2

T (V3 ?V4 ) = T (V2 ?V1) 也可以用T-S图计算 还更方便些。 图计算, 也可以用 图计算,还更方便些。
3 1 3 2

Q1 ? Q2 T2 η = 1? 所以: = 所以: Q1 T1
Q2 = T2 ( S 2 ? S1 )

Q1 = T1 ( S 2 ? S1 )

S1

S2

S

Q1 ? Q2 T2 η= = 1? Q1 T1

第2.16题完毕

2.17 解:当电介质中的电位移改变 时,外界所作的功 dW = VEdD 当电介质中的电位移改变dD时 外界所作的功 在均匀系统的基本热力学关系中做替换 p → E , V → VD 都适用与电介质, 都适用与电介质,利用
? ?p ? ? ?V ? C p ? CV = T ? ? ? ? ? ?T ?V ? ?T ? p

? ?E ? ? ?D ? CE ? CD = ?VT ? ? ? ? ?T ? D ? ?T ? E ?

其中C 是电场强度不变时介质的热容量, 其中 E是电场强度不变时介质的热容量,也是电路闭合时介 质的热容量, 是电位移不变时介质的热容量, 质的热容量,CD是电位移不变时介质的热容量,也是电路充电 后再断开时介质的热容量。 后再断开时介质的热容量。 dε ? ?D ? 而题给电位移 D = ε (T ) E 求导
? ? ?T ? ?E ? ? ?T ? =E dT ?E D dε ? =? 2 ? ε dT ?D

所以

? Dd ε ? ? ?ε ? C E ? C D = ?VT ? ? 2 ?? E ? ε ?T ? ? ?T ? ? D 2 ? ?ε ? = VT 3 ? ? ε ? ?T ?
2

第2.17题完毕

2.18 解:当磁介质中的磁化强度改变 时,外界所作的功 当磁介质中的磁化强度改变dM时 外界所作的功 外界所作的功: dW = ?0 HdM 在均匀系统的基本热力学关系中做替换 p → H , V → ?0 M 都适用与磁介质, 都适用与磁介质,利用
? ?p ? ? ?V ? C p ? CV = T ? ? ? ? ? ?T ?V ? ?T ? p

? ?H ? ? ?M ? CH ? CM = ? ?0T ? ? ? ? ?T ? M ? ?T ? H ?

其中CH是磁场强度不变时介质的热容量, 其中 是磁场强度不变时介质的热容量, CM是磁化强度不变时介质的热容量, 是磁化强度不变时介质的热容量,
? 利用循环关系 ? ?M ? = ? ? ?H ? ? ?M ? ? ? ? ? ? ?T ? H ?T ? M ? ?H ?T ? ?

所以

? ?H ? C H ? C M = ? 0T ? ? ?T ? ?

2

M

? ?M ? ? ? ? H ?T ?
第2.18题完毕

2.19 解:在可逆等温过程中,系统吸收的热量 Q = T dS = T ?S 在可逆等温过程中, ∫
S1

S2

利用由 G 的微分 得出的麦氏关系

dG = ? SdT + ?0 MdH

? ?S ? ? ?m ? ? ? = ?0 ? ? ?H ?T ?T ? H ? ?
m= CV H T

因为顺磁质遵从居里定律, 因为顺磁质遵从居里定律,总磁矩
CV ? ?m ? =? 2 H ? ? T ? ?T ? H

所以

? CV ? ?S ? =? 0 2 H ? ? T ? ?H ?T

在可逆等温过程中, 在可逆等温过程中,系统熵的微分 H ? ?S ? ?0CV 2 ?S = ∫ ? ? dH = ? 2 H 0 T 2 ? ?H ?T 系统吸收的热量

Q =T∫

S2

S1

dS = T ?S = ?

?0CV
2T

H2
第2.19题完毕

2.20 证明:1)由题给条件 B = ?0 ( H + M ) = 0 有 证明: ) 不考虑体及变化, 不考虑体及变化,磁介质的热力学方程为 选S=S(T,M),求微分乘 ,求微分乘T

H = ?M dU = TdS + ?0 HdM = TdS ? ?0 MdM

? ?S ? ? ?S ? ? ?S ? TdS = T ? dT + T ? dM = CM dT + T ? ? ? ? dM ? ?T ? M ? ?M ?T ? ?M ?T

满足完整微分条件



? ?CM ? ? ? =0 ? ?M ?T

? ?S ? ? ?S ? ? ?M ? T? ? ? 利用磁介质麦氏关系 ? ? = ? ?0 ? ? ? ?CM ? ? ?M ?T ? ?M ?T ? ?T ? M ? ? = ?M ?T ?T ? ? ?M ?

对超导体
? ?S ? ? ? =0 ? ?M ?T


? ? = 0 ?T ?M ?

无关, 即CM与M无关,只是温度的函数。 无关 只是温度的函数。 S不是 的函数,只是温度的函数。 不是M的函数 只是温度的函数。 不是 的函数,

2)3)由上式还可得出 ) ) 所以 CM = 所以

dQ dS =T dT dT

TdS = CM dT 积分得熵 S = ∫
积分 U

dT CM + S0 T

dU = CM dT ? ?0 MdM

=



C M dT ?

?0
2

M

2

+U0

第2.20题完毕

2.21 解: dW = ?0 HdM 时,F的微分式 dF = ? SdT + ?0 HdM 的微分式 M M = χ H 所以 dF = ? SdT + ? 0 dM 因为对于顺磁质有 χ ? ?F ? ? ?F ? 以T 和H为变量,对特性函数求微分dF = ? ?T ? dT + ? ?M ? dM 为变量, 为变量 ? ?M ? ?T ? ?F ? 比较,得 ? ?F ? = ? M 比较, ? ? = ?S 0 ? ? ? ?T ?T χ ? ?M ?T

C M = H 代入 χ T ?0T 2 ?0 2 M + F0 (T ) 积分, M + F0 (T ) = 积分,得 自由能 F = 2C 2χ ?0 M 2 ? ?F ?
dF = ?0 dM
熵为

M

S = ?? + S0 (T ) ? =? 2C ? ?T ? M

内能为 U = F + TS = F + TS = U (T ) 0 0 0

同样方法, 为变量时: 同样方法,以T 和H为变量时: 为变量时

? ?F ? ? ?F ? dF = ? ? dT + ? ? dH ? ?T ? H ? ?H ?T

dW = ? ?0 MdH 时,f 的微分式 dF = ? SdT ? ?0 MdH
因为对于顺磁质有 M = χ H 所以 dF = ? SdT ? ?0 χ HdH
? ?F ? 比较, 比较,得 ? ? = ?S ? ?T ?T

? ?F ? ? ? = ? ?0 χ H ? ?H ?T

dF = ??0χHdH
?0C
2T H 2 + F0 (T )
利用了(2.7.11)

积分, 积分,得 自由能

F =?

?0 χ
2

H + F0 (T ) = ?
2

熵为

?0 H 2 C ? ?F ? S = ?? + S0 (T ) ? = 2 2 T ? ?T ? H

内能为

U = F + TS = ? ?0 MH + U 0 (T )
第2.21题完毕,习题结束


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