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2004高考数学试题分类-数列.三角函数2004.7.28


2004 高考数学试题分类-数列.三角函数
第三章 数列 (2004 高考全国卷 3 理科) 设数列 ? a n ? 是等差数列, a 2 ? ? 6, a 8 ? 6 ,Sn 是数列 ? a n ? 的前 n 项和,则( B ) A.S4<S5

B.S4=S5

C.S6<S5

D.S6=S5


(2004 高考浙江卷文) 已知等差数列 ?a n ? 的公差为 2,若 a 1 , a 3 , a 4 成等比数列, 则 a 2 = B (A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10

(2004 高考天津卷理) 已知数列 { a n } ,那么“对任意的 n ? N * ,点 Pn ( n , a n ) 都在直线
y ? 2 x ? 1 上”是“ { a n } 为等差数列”的 B

A. 必要而不充分条件 C. 充要条件

B. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
a 1 ( 3 ? 1)
n

(2004 年高考江苏卷) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn, n= S

2

(对于所有 n≥1), a4=54, 且

则 a1 的数值是_______________________.2 (2004 年高考北京卷理) 定义“等和数列” :在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都 为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。 已知数列 {a n } 是等和数列,且 a 1 ? 2 ,公和为 5,那么 a 18 的值为______________,这 个数列的前 n 项和 S n 的计算公式为________________ 3, 当 n 为偶数时, S n ? 为奇数时, S n ?
5 2 n? 1 2

5 2

n ;当 n

(2004 高考全国卷 3 理科) 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=2an +(-1)n,n≥1. ⑴写出求数列{an}的前 3 项 a1,a2,a3; ⑵求数列{an}的通项公式; ⑶证明:对任意的整数 m>4,有
1 a4 ? 1 a5 ?? ? 1 am ? 7 8

.

解:⑴当 n=1 时,有:S1=a1=2a1+(-1) ? a1=1; 当 n=2 时,有:S2=a1+a2=2a2+(-1)2 ? a2=0; 当 n=3 时,有:S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3 ? a3=2; 综上可知 a1=1,a2=0,a3=2; ⑵由已知得: a n ? S n ? S n ?1 ? 2 a n ? ( ? 1) ? 2 a n ? 1 ? ( ? 1)
n n ?1

化简得: a n ? 2 a n ? 1 ? 2( ? 1)

n ?1

,上式可化为: a n ?

2 3

( ? 1) ? 2[ a n ? 1 ?
n

2 3

( ? 1)

n ?1

]

故数列{ a n ? 故 an ?
2 3

2 3
n

( ? 1) }是以 a1 ?
n

2 3

( ? 1) 为首项, 公比为 2 的等比数列.
1

( ? 1) ?

1 3

2

n ?1

∴ an ?
2 3 [2

1 3

?2

n ?1

?

2 3
n

( ? 1) ?
n

2 3

[2

n?2

? ( ? 1) ]
n

数列{ a n }的通项公式为: a n ? ⑶由已知得:
1 a4 ? 1 a5 ?? ? 1 am

n?2

? ( ? 1) ] .
1
2

?

3

2 2 ?1

[

?

1 2 ?1
3

?? ?

1 2
m?2

? ( ? 1)

m

]

?

1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 ? ? ?] [ ? ? ? ? ? ? ? m?2 ] ? [1 ? ? ? m 2 3 5 11 21 2 3 9 15 33 63 2 ? ( ? 1)

1 1 (1 ? m ? 5 ) 1 4 5 1 4 2 2 1 2 ] ? [ ? ? ? m ?5 ] ? [1 ? ? ? ? ? ?] ? [ ? 1 2 3 2 3 5 10 20 2 3 5 5 2 1? 2
1 1 1 1 1 ? 1 1 m ? 5 13 104 105 7 1 1 1 7 ? ?? ? ? ( m>4). ? ?( ) ? ? ? ? .故 a 4 a5 am 8 15 5 2 15 120 120 8 13

(2004 高考全国卷 3 理科) (2004 高考全国卷 3 理科)

(2004

年 广 东 卷 )

(12

分 ) 已 知 ?, ? ,

?成 公 比 为

2

的 等 比 数 列

( ? ? ? 0,? ?) , 且 sin ?, sin ?, sin ? 也成等比数列. 求 ?, ?, ? 的值. 2 解:∵α ,β ,γ 成公比为 2 的等比数列,∴β =2α ,γ =4α ∵sinα ,sinβ ,sinγ 成等比数列
? sin ? sin ?
2

?

sin ? sin ?

?

sin 2? sin ?

?

sin 4? sin 2?

? cos ? ? 2 cos ? ? 1
2

即 2 cos ? ? cos ? ? 1 ? 0 解得 cos ? ? 1, 或 cos ? ? ? 1 2

当 cosα =1 时,sinα =0,与等比数列的首项不为零,故 cosα =1 应舍去,
当 cos ? ? ? 所以 ? ? 2? 3 1 2 , ? ? [ 0 , 2? ]时 , ? ? 4? 3 ,? ? 8? 3 2? 3 或? ? 4? 3 4? 3 , 8? 3 ,? ? 16 ? 3

,? ?

或? ?

,? ?

(2004 高考天津卷文) 设 ?a n ? 是一个公差为 d ( d ? 0 ) 的等差数列, 它的前 10 项和 S 10 ? 110

且 a 1 , a 2 , a 4 成等比数列。 (1)证明 a 1 ? d ; (2)求公差 d 的值和数列 ?a n ? 的通项公式。 (1)证明:因 a 1 , a 2 , a 4 成等比数列,故 a 2 ? a 1 a 4
2

而 ?a n ? 是等差数列,有 a 2 ? a 1 ? d , a 4 ? a 1 ? 3 d 于是 ( a 1 ? d ) ? a1 ( a1 ? 3 d ) ,即 a 1 ? 2 a 1 d ? d
2
2 2

? a 1 ? 3 a 1 d ,化简得 a 1 ? d
2

(2)解:由条件 S 10 ? 110 和 S 10 ? 10 a 1 ?

10 ? 9 2

d ,得到 10 a 1 ? 45 d ? 110

由(1) a 1 ? d ,代入上式得 55 d ? 110 ,故 d ? 2 , a n ? a 1 ? ( n ? 1) d ? 2 n , 因此,数列 ?a n ? 的通项公式为 a n ? 2 n , n ? 1 , 2 , 3 , ? 。 (2004 高考浙江卷文) 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n , S n ? (Ⅰ)求 a1 , a 2 ; (Ⅱ)求证数列 ?a n ? 是等比数列。 解: (Ⅰ)由 S 1 ? 又S2 ?
1 3 1 3 ( a 1 ? 1) ,得 a 1 ? 1 3 ( a 1 ? 1) , ∴ a 1 ? ? 1 3 1 3 ( a n ? 1)( n ? N ).
?

1 2
1 4

( a 2 ? 1) ,即 a 1 ? a 2 ? 1 3

( a 2 ? 1) ,得 a 2 ? 1 3

.

(Ⅱ)当 n>1 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 得
an a n ?1 ?? 1 2

( a n ? 1) ?

( a n ?1 ? 1),

, 所以 ?a n ? 是首项 ?

1 2

,公比为 ?

1 2

的等比数列.

(2004 高考浙江卷理) 如图,ΔOBC 的在个顶点坐标分别为(0,0)(1,0)(0,2),设 P 为 、 、 线段 BC 的中点,P 为线段 CO 的中点,P3 为线段 OP1 的中点,对于每一个正整数 n,Pn+3 为线段 1 PnPn+1 的中点,令 Pn 的坐标为(xn,yn), a n ? y n ? y n ?1 ? y n ? 2 . 2 y (Ⅰ)求 a 1 , a 2 , a 3 及 a n ; (Ⅱ)证明 y n ? 4 ? 1 ?
yn 4 ,n ? N ;
?
?

C P4 P1
P5

P2

(Ⅲ)若记 b n ? y 4 n ? 4 ? y 4 n , n ? N , 证明 ?b n ? 是等比数列.

P3 B x

O
解 : (Ⅰ) 因 为 y 1 ? y 2 ? y 4 ? 1, y 3 ?
a1 ? a 2 ? a 3 ? 2 ,
1 2 , y5 ? 3 4

, 所 以

又由题意可知 y n ? 3 ?

y n ? y n ?1 2 1 2

,

∴ a n ?1 ? =
1 2

1 2

y n ?1 ? y n ? 2 ? y n ? 3 =

y n ?1 ? y n ? 2 ?

y n ? y n ?1 2
?

y n ? y n ?1 ? y n ? 2 ? a n , 1 2

∴ ?a n ? 为常数列。∴ a n ? a 1 ? 2 , n ? N .

(Ⅱ)将等式
1 4

y n ? y n ?1 ? y n ? 2 ? 2 两边除以 2,得
? 1, 又∵ y n ? 4 ? y n ?1 ? y n ? 2 2 y 4n?4 4

yn ?

y n ?1 ? y n ? 2 2

,∴ y n ? 4 ? 1 ?

yn 4

.

(Ⅲ)∵ b n ?1 ? y 4 n ? 3 ? y 4 n ? 4 ? (1 ? 又∵ b1 ? y 3 ? y 4 ? ?
1 4

) ? (1 ?

y 4n 4

) =?

1 4

( y 4n?4 ? y 4n ) = ?

1 4

bn ,

? 0 , ∴ ?b n ? 是公比为 ?

1 4

的等比数列。

x (2004 年高考北京卷理) 函数 f ( x ) 是定义在[0,1]上的增函数,满足 f ( x ) ? 2 f ( ) 且 2 1 1 f (1) ? 1 ,在每个区间 ( i , i ? 1 ] ( i ? 1,2??)上, y ? f ( x ) 的图象都是斜率为同一常 2 2 数 k 的直线的一部分。 1 1 1 (I)求 f ( 0 ) 及 f ( ) , f ( ) 的值,并归纳出 f ( i )( i ? 1,2 , ?? ) 的表达式 2 4 2 1 1 x (II) 设直线 x ? i , ? i ? 1 , 轴及 y ? f ( x ) 的图象围成的矩形的面积为 a ( i ? 1, x i 2 2

2??) ,记 S ( k ) ? lim ( a 1 ? a 2 ?? ? a n ) ,求 S ( k ) 的表达式,并写出其定义域和最小值
n? ?

解: (I)由 f ( 0 ) ? 2 f ( 0 ) ,得 f ( 0 ) ? 0
1 1 1 1 f (1) ? 由 f (1) ? 2 f ( ) 及 f (1) ? 1 ,得 f ( ) ? 2 2 2 2 1 1 1 ? 同理, f ( ) ? f ( ) ? 4 2 2 4 1 1 归纳得 f ( i ) ? i ( i ? 1,2 , ? ? ) 2 2 1 1 1 1 (II)当 i ? x ? i ? 1 时, f ( x ) ? i ? 1 ? k ( x ? i ? 1 ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 k ? a i ? [ i ? 1 ? i ? 1 ? k ( i ? i ? 1 ) ] ( i ? 1 ? i ) ? (1 ? ) 2 i ? 1 ( i ? 1,2 , ? ? ) 2 2 4 2 2 2 2 2 2

所以 {a n } 是首项为

1 2

(1 ?

k 4

) ,公比为

1 4

的等比数列
k 4 1 ) ?

1

所以 S ( k ) ? lim ( a 1 ? a 2 ?? ? a n ) ? 2
n? ?

(1 ? 1?

2 3

(1 ?

k 4

)

4
1

2 (2004 年高考江苏卷) 设无穷等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.

S ( k ) 的定义域为 0 ? k ? 1,当 k ? 1 时取得最小值

(Ⅰ)若首项 a 1 ?

3 ,公差 d ? 1 ,求满足 S k 2 ? ( S k ) 2 的正整数 k; 2

(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an},使得对于一切正整数 k 都有 S k 2 ? ( S k ) 2 成立.
? a1 ? 0 ? a1 ? 1 ? a1 ? 1 解: (1) k ? 4 ;(2) ? 或? 或? ?d ? 0 ?d ? 2 ?d ? 0

第四章 三角函数 (2004 高考全国卷 3 理科) 函数 y ? sin
x 2

的最小正周期是( C ) C. 2? D. 4?

A.

?
2

B. ?
1

(2004 高考浙江卷文) “ sin A ?

”“A=30?”的 B 2 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也必要条件 1 (2004 高考浙江卷理) 在 ΔABC 中,“A>30?”是“sinA> ”的 B 2

(B) 必要而不充分条件 (D) 既不充分也必要条件 ? ? (2004 年广东卷) 函数 f( x)? sin 2( x ? )? sin 2( x ? )是 ( A)
4 4

(A) 充分而不必要条件 (C) 充分必要条件

A.周期为 ? 的偶函数 B.周期为 ? 的奇函数 C. 周期为 2 ? 的偶函数 D..周期为 2 ? 的奇函数 2 (2004 年高考江苏卷) 函数 y=2cos x+1(x∈R)的最小正周期为 ( B (A)
π 2

)

(B) π

(C) 2 π

(D) 4 π
cos x cos x sin x ? sin x
2 2

(2004 年广东卷) 当 0 ? x ?
1 2

?
4

时,函数 f ( x ) ?

的最小值是 ( D

)

A. 4

B.

C.2

D.

1 4

( (2004 年广东卷)若 f( x)? tan x ?

?
4

), 则

(A)

) (0)> f (1) A. f(? 1 > f

B. D.

f( 0) > f (1)> f 1) (f( 0) > f 1)> f ((1)
D

C.

f() > f 1 (0)> f 1) (-

(2004 年辽宁卷) 若 cos ? ? 0 , 且 sin 2? ? 0 , 则角 ? 的终边所在象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ? (2004 年辽宁卷) 已知函数 f ( x ) ? sin( ? x ? ) ? 1 ,则下列命题正确的是 2 A. f ( x ) 是周期为 1 的奇函数 C. f ( x ) 是周期为 1 的非奇非偶函数 B. f ( x ) 是周期为 2 的偶函数

B

D. f ( x ) 是周期为 2 的非奇非偶函数 C

(2004 年辽宁卷)若函数 f ( x ) ? sin( ? x ? ? ) 的图象 (部分) 如图所示, ? 和 ? 的取值是 则

A. ? ? 1, ? ? C. ? ?
1 2

?
3

B. ? ? 1, ? ? ? D. ? ?
1 2

?
3

,? ?

?
6

,? ? ?

?
6

(2004 高考天津卷理) 函数 y ? 2 sin( A. [ 0 ,

?
6

? 2 x )( x ? [ 0 , ? ]) 为增函数的区间是 C

?
3

]

B. [

?
12

,

7? 12

]

C. [

?
3

,

5? 6

]

D. [

5? 6

, ?]

(2004 高考天津卷理) 定义在 R 上的函数 f ( x ) 既是偶函数又是周期函数,若 f ( x ) 的最小

正周期是 ? ,且当 x ? [ 0 ,
1 2
1 2

?
2

] 时, f ( x ) ? sin x ,则 f (
3 2
1 2

5? 3
3

) 的值为

D

A. ?

B.

C. ?

D.

2

(2004 高考天津卷理)已知 tan( 值。

?
4

??) ?

, (1)求 tan ? 的值; (2)求

sin 2 a ? cos ?
2

1 ? cos 2?



(1)解: tan(

?
4

tan ??) ?

?
4

? tan ?

1 ? tan
1 2

?

? tan ?
? 1 2

1 ? tan ? 1 ? tan ?
1 3

由 tan(

?
4

??) ?

,有

4 1 ? tan ?
1 ? tan ?
2

, 解得 tan ? ? ?
2

(2)解法一:
?

sin 2? ? cos ? 1 ? cos 2?

?

2 sin ? cos ? ? cos ? 1 ? 2 cos ? ? 1
2

2 sin ? ? cos ? 2 cos ?

? tan ? ?

1 2 1 3

??

1 3

?

1 2

??

5 6 1 3 cos ?

t 解法二:由(1) n ,a

? ??

,得 sin ? ? ?
2

∴ sin ? ?
2

1

∴ cos ? ?
2

9 9

cos ?
2

1? cos ? ?
2

1 9

cos ?
2

10

, 于是 cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ?
2 3 cos ? ? ?
2

4 5



sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? ?

3 5

代入得

sin 2? ? cos ?
2

? ?

3 5

1 ? cos 2?

10 ? ? 5 4 6 1? 5
1 3

?

9

(2004 高考浙江卷) 在 ΔABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 cos A ? (Ⅰ)求 sin 解: (Ⅰ) sin
2 2



B?C 2

? cos 2 A 的值; (Ⅱ)若 a ? 1 2 [1 ? cos( B ? C )] ? ( 2 cos
2

3 ,求 bc 的最大值。
2

B?C 2 1 2

? cos 2 A =

A ? 1) 2 9 ? 1) = ? 1 9

=
2 2

(1 ? cos A ) ? ( 2 cos
1 3
2 3

A ? 1) =

1 2

(1 ?

1 3
2

)?(

(Ⅱ) ∵

b ?c ?a 2 bc

2

? cos A ?

,∴

bc ? b ? c ? a ? 2 bc ? a ,
2 2 2

又∵ a ?

3 ,∴ bc ?

9 4

. 当且仅当 b=c=

3 2

时,bc=

9 4

,故 bc 的最大值是

9 4

.

s x s (2004 年 高 考 北 京 卷 理 ) 函 数 f ( x ) ? c o 2 x ? 2 3 s i n c o x 的 最 小 正 周 期 是

___________ ? (2004 年高考北京卷理) 在 ?ABC 中,sin A ? cos A ? 值 解法一:
? sin A ? cos A ? ? cos( A ? 45 ) ?
?
?

2 2

, AC ? 2 , AB ? 3 , tgA 的 求

2 cos( A ? 45 ) ?
?

2 2

1 2
?

又 0 ? A ? 180
?

? A ? 45 ? 60 , A ? 105
?

?

? t g A? tg ( 45 ? 60 ) ?
? ?

1? 1?
?

3 3
?

? ?2 ?

3
2 ? 4

s i nA ? s i n 105 ? s i n45 ? 60 ) ? s i n c o s ? c o s s i n ( 45 60 45 60 ?
? ? ? ? ?

6

S ? ABC ?

1 2

AC ? AB sin A ?

1 2

? 2 ? 3?

2 ? 4

6

?

3 4

( 2 ?

6)

解法二:
? s i nA ? c o s ? A 2 2
2

(1),

?(sin ?cos ) ? A A ? 2 s i nA c o s ? ? A
? ?

1 2

1 2

? 0 ? A ? 180 ,? s i nA ? 0 , c o s ? 0 A
? ( s i n ? c o s ) ? 1 ? 2 s i nA c o s ? A A A
2

3 2

, ? sin A ? cos A ?

6 2

(2)

(1)+(2)得: sin A ?

2 ? 4

6

,

(1)-(2)得: cos A ?

2 ? 4

6

? t g A?

s i nA cos A

?

2 ? 4

6

?

4 2 ? 6

? ?2 ?

3

(以下同解法一) (2004 年高考江苏卷) 已知 0<α <
4 5
π 2

,tan

α 2

+cot

α 2

=

5 2

,求 sin( α ?

π 3

)的值.

解:由题意可知 sin ? ?

,? sin(? ?

?
3

)?

4?3 3 10


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