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高中数学必修三


高中数学新授课导学案

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§2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 组长评价: 编者:
学习目标
1.正确理解样本数据众数、中位数、平均数、标准差的意义和作用。 2.通过具体的实例,会用样本的基本数字特征估计总体

的基本数字特征。 3.激情投入,积极思考,勇于发言,培养科学的态度和正确的价值观。 重点:用样本众数、中位数、平均数、标准差估计总体的平均数与标准差。 难点:能通过样本的数字特征估计总体的分布。

教师评价:

学习过程
使用说明: (1)预习教材 P65 ~ P71,用红色笔画出疑惑之处,并尝试完成下列问题,总结规律方法; (2)用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容; (3)不做标记的为 C 级,标记★为 B 级,标记★★为 A 级。

预习案(20 分钟)
一.知识链接 在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击 10 次,命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7,8,6,8,6,5,8,10,7,4; 乙运动员﹕9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗?为了从整体上更好地把握 总体的规律,我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。——用样本的数字特 征估计总体的数字特征。 二.新知导学 问题 1:什么叫平均数?有什么意义? 什么叫中位数?有什么意义? 什么叫众数?有什么意义?

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丰碑无语,行胜于言

问题 2:什么叫极差?有什么意义? 什么叫标准差?有什么意义?

探究案(30 分钟)
三.新知探究 【知识点一】 (★)众数、中位数、平均数、标准差的意义 例 1:某公司员工的月工资情况如表所示: 月工资/元 员工/人 8000 1 5000 2 4000 4 2000 6 1000 12 800 8 700 20 600 5 500 2

分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数、和众数。

例 2:从甲、乙两个城市随机抽取的 16 台自动售货机的销售额可以用茎叶图表示,如图 (1) 甲乙两组数据的中位数、众数、极差分别是多少? (2) 你能从图中分别比较甲乙两组数据平均数和标准差的大小吗?

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【知识点二】利用众数、中位数、平均数、标准差对总体进行估计 例 3:甲、乙两台机床同时生产直径是 40mm 的零件。为了检验产品质量, 从两台机床生产的产品中各抽取 10 件进行测量,结果如下表所示 甲 乙 40.0 40.0 39.8 40.0 40.1 39.9 40.2 40.0 39.9 39.9 40.0 40.1 40.2 40.1 39.8 40.1 40.2 40.0 39.8 39.9

你能选择适当的数来估计甲、乙两台机床的优劣情况吗?

四.我的疑惑
(把自己在使用过程中遇到的疑惑之处写在下面,先组内讨论尝试解决,能解决的划“√” ,不能解决 的划“×” )

(1) (2)

( ) ( )

分享收获
(通过解决本节导学案的内容和疑惑点, 归纳一下自己本节的收获, 和大家交流一下, 写下自己的所得)

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丰碑无语,行胜于言

随堂评价(15 分钟)
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:15 分钟 满分:30 分)计分:
1.回答下列问题 (1)平均数描述了数据的 (2)一般的,称 (3)数据的离散程度可以用 (4)一般地,称 ,定量地放映了数据的集中趋势所处的水平; 为平均数或均值; 来描述; 为样本标准差。

2.李大伯承包了一个果园,种植了 100 棵樱桃树,今年已进入收获期.收获时,从中任 选并采摘了 10 棵树的樱桃,分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表: 序号 1 2 21 3 27 4 17 5 18 6 20 7 19 8 23 9 19 10 22

质量(千克) 14

据调查,市场上今年樱桃的批发价格为每千克 15 元.用所学的统计知识估计今年此 果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别约为( A.200 千克,3000 元 C.2000 千克,30000 元 B.1900 千克,28500 元 D.1850 千克,27750 元 ) .

3.为了了解某班学生每周做家务劳动的时间,某综合实践活动小组对该班 50 名学生进行 了调查,有关数据如下表: 每周做家务的时间(小时) 人数(人) 0 2 1 2 1.5 6 2 8 2.5 12 3 13 3.5 4 4 3

根据上表中的数据,回答下列问题: (1)该班学生每周做家务劳动的平均时间是多少小时? (2)这组数据的中位数、众数分别是多少? - 4 -

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(3)请你根据(1)(2)的结果,用一句话谈谈自己的感受. 、

课后巩固(30 分钟)
(学习目标:掌握用样本的频率分布估计总体的分布)

1.在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下:9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7 , 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别 为 A. 9.4,0.484 B. 9.4,0.016 C. 9.5,0.04 ( ) D. 9.5,0.016

2. 从甲乙两个总 体中各抽取了一个样本: 甲 乙 6 8 5 7 8 6 4 5 9 8 6 2

根据以上数据,说明哪个波动小? 3. 从甲、乙两种玉米苗中各抽 10 株,分别测得它们的株高如下: (单位:cm) 甲 乙 21 27 42 16 39 40 14 41 19 16 22 44 37 40 41 40 40 27 25 44

根据以下计算数据,请对甲、乙两种玉米苗的高度和整齐度进行估计? 甲的极差: 42-14=28(cm); 甲的平均值: 乙的极差:44-16=28(cm).

1 x甲 ? (21 ? 42 ? 39 ? 14 ? 19 ? 22 ? 37 ? 41 ? 40 ? 25) 30 cm ) ? ( 10
乙的平均值:

x乙 ?

1 (27 ? 16 ? 40 ? 41 ? 16 ? 44 ? 40 ? 40 ? 27 ? 44) ? 31(cm ) 10
2

甲的方差: S甲 ?

(21 ? 30) 2 ? (42 ? 30) 2 ? ? ? (25 ? 30) 2 ? 104.2(cm 2 ) 10 (27 ? 31) 2 ? (16 ? 31) 2 ? ? ? (44 ? 31) 2 ? 128.8(cm 2 ) 10

乙的方差: S乙 ?
2

结论:
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课外阅读
1.用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类: (1)用样本平均数估计总体平均数。 (2)用样本标准差估计总体标准差。样本容量越大,估计就越精确。 平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平。 标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了一组数据变化的幅度。 2.平均数、众数和中位数 这里说的“三数”是指平均数、众数和中位数.要描述一组数据的集中趋势,最重要也是最常见的方法 就是用这“三数”来说明.学习平均数、众数和中位数应注意以下几个问题: 一、正确理解平均数、众数和中位数的概念 1.平均数 平均数是反映一组数据的平均水平的特征数,反映一组数据的集中趋势.平均数的大 小与一组数据里的每一个数据都有关系,任何一个数据的变化都会引起平均数的变化. 2.众数 在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数.一组数据中的众数有时不唯 一.众数着眼于对各数出现的次数的考察,这就告诉我们在求一组数据的众数时,既不需要排列,又不 需要计算,只要能找出样本中出现次数最多的那一个(或几个)数据就可以了.当一组数据中有数据多 次重复出现时,它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势. 3.中位数 中位数就是将一组数据按大小顺序排列后,处在最中间的一个数(或处在最中间的两 个数的平均数) .一组数据中的中位数是唯一的. 二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系 平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量,但它们描述的角度和适用的范围又不尽 相同.在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势,那得看数据的特点和我们要关注的问题. 三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题 极差、方差、标准差 极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的,反映一组数据的波动范围或波动大小的量. (1)极差 一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差,即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变 化范围,实际生活中我们经常用到极差.如一支足球队队员中的最大年龄与最小年龄的差,一个公司成 员中最高收入与最低收入的差等都是极差的例子.极差是最简单的一种度量数据波动情况的量,它受极 端值的影响较大. (2)方差 方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差 的平方的平均数,它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大,数据的波动越大;方差越小,数 据的波动越小. 求一组数据的方差可以简记先求平均,再求差,然后平方,最后求平均数.一组数据 x1、x2、x3、?、xn 的平均数为 x ,则该组数据方差的计算公式为:

S2 ?

1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x 2 ? x ) 2 ? ? ? ( x n ? x ) 2 ] . n
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高中数学新授课导学案 (3)标准差

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在计算方差的过程中,可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致,在实际的应用时常常将求出 的方差再开平方,此时得到量为这组数据的标准差. 即标准差=

方差 .

四、极差、方差、标准差的关系 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量,常用来比较两组数据的波动大小.两组数据中极差 大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标准差,是因为标准差的单位和原数据的单位一 致,且能缓解方差过大或过小的现象.

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