当前位置:首页 >> 数学 >> 上海市静安区2012学年高一第二学期期末数学试卷及答案

上海市静安区2012学年高一第二学期期末数学试卷及答案


静安区 2012 学年第二学期期末教学质量检测 高一年级 数学试卷
(完成时间 90 分钟,满分 100 分)2013.6

一、填空题(本大题满分 44 分)本大题共有 11 题,每题 4 分,只要求直接填写结果.
1.已知角 x 的终边与单位圆的交点坐标为 ? ?

? 4 3? , ? 则 tan x 的值为 ?

5 5?


.

2.已知扇形的圆心角为 2,面积为 4,则扇形的周长为 3.计算: lg 4 ? log
10

5 ? ___________.

4.函数 f ( x) ? 4x ? 2x ?1 ? 2 的值域是______. 5.函数 f ( x) ? log 2 x 与 y ? g ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称,则 g (2) ? .

sin ? } , B ? {2, cos? } ,若 A ? B ? {? 6.设集合 A ? {3,
7.设集合 P ? ?3,log2 a? , Q ? ?a, b? ,若 P 8.在△ ABC 中,已知 tan A ? 小边的长为____________. 9.函数 y ? cos(x ? 1) , x ? [0,2? ] 的图象与直线 y ?

2 } ,则 ? ? 2
.

.

Q ? ?0? ,则 P Q ?

1 3 , tan B ? ,且△ ABC 最大边的长为 17 ,则△ ABC 最 4 5 1 的交点的横坐标之和为 3

.

10.2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦 图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大 正方形(如图) .如果小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,直角三角形 中较小的锐角为 ? ,那么 cos 2? 的值等于 . .

11.已知钝角三角形 ABC 的边长分别为2、3、 x ,则第三边 x 的取值范围是

二、选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个
-1-

结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得 4 分,否则一律得零分. 12.既是偶函数又在区间 (0, ? ) 上单调递减的函数是????????( (A) y ? sin x ; (B) y ? cos x ; (C) y ? sin 2 x ; (D) y ? cos 2 x . 13.已知△ABC 两内角 A、B 的对边边长分别为 a、b,则“ A ? B ”是“ a cos A ? b cos B 的? ( ) )

(A)充分非必要条件; (B)必要非充分条件; (C)充要条件; (D)非充分非必要条件. 14.下列命题中正确的是??????????( )

(A)函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 互为反函数; (B)函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 都是增函数; (C)函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 都是奇函数; (D)函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 都是周期函数. 15.设定义在 R 上的函数 f ( x) 是最小正周期为 2? 的偶函数,当 x ?[0, 且在 [0,

? ] 时,0 ? f ( x) ? 1,

?

] 上单调递减, 在 [ , ? ] 上单调递增, 则函数 y ? f ( x) ? sin x 在 [? 10? , 10? ] 上 2 2

?

的零点个数为????( ) (A)0; (B)10; (C)20; (D)40.

三、解答题(本大题满分 40 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 16.(本题满分 6 分)
已知函数 f ( x) ? log2 (? x2 ? 2x ? 3) ,求该函数的定义域和值域,并指出其单调区间.

17.(本题满分 8 分),
已知函数 f ( x) ? a sin x ? cos x , a 为是常数, x ? R . (1)请指出函数 f ( x) 的奇偶性,并给予证明; (2)当 a ?

? ?? 3 , x ? ?0, ? 时,求 f ( x) 的取值范围. ? 2?
-2-

18.(本题满分 8 分.请给出两种解法,每种正确解法各得 4 分)
已知 3 sin x ? 4 cos x ? 5 ,求 tan x 的值.

19.(本题满分 8 分)
一铁棒 AB 欲水平通过如图所示的直角走廊,试回答下 列问题: (1)用 ? 表示铁棒的长度 L(? ) ;


2m

θ


(2)若铁棒能通过该直角走廊,求铁棒长度的最大值. 2m

20.(本题满分 10 分)
已知函数 f ( x) ? 2 sin?

?? ? ?? ? ? x ? cos? ? x ? ? 1 ?4 ? ?4 ?

(1)求函数 f ( x) 的周期; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 3 cos2 x ,试求函数 g ( x) 的单调递增区间; (3)若 f ( x) ? cos 2 x ? m ? m ? 7 恒成立,试求实数 m 的取值范围.
2 2

-3-

【参考答案】

3 5? ? 2k? , k ? Z ; ;2.8;3.2;4. [1,??) ;5.4;6. 4 4 7 7. {3,0,1} ;8. 2 ;9. 2? ? 2 ;10. ;11. (1, 5 ) ? ( 13,5) 25
1. ? 12.B;13.A;14.D;15.C

16.(本题满分 6 分)已知函数 f ( x) ? log2 (? x2 ? 2x ? 3) ,求该函数的定义域和值域,并指出其
单调区间. 解:由 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 3 ,所以函数 f ( x ) 的定义域为 (?1, 3) . 令 t ? ? x2 ? 2 x ? 3 ? ?( x ?1)2 ? 4 ,则 0 ? t ? 4 ,所以 f ( x) ? log2 t ? log2 4 ? 2 , 因此函数 f ( x ) 的值域为 (??, 2] 单调递增区间 (?1,1] ,递减区间为 [1,3) ???????????????? ????????????? 2分 2分 2分

17.(本题满分 8 分),
已知函数 f ( x) ? a sin x ? cos x , a 为是常数, x ? R . (1)请指出函数 f ( x) 的奇偶性,并给予证明; (2)当 a ?

? ?? 3 , x ? ?0, ? 时,求 f ( x) 的取值范围. ? 2?

解: (1) f (? x) ? ?a sin x ? cos x , f (? x) ? f ( x) ? ? a sin x ? cos x ? a sin x ? cos x

? 2a sin x ? 0 ? a ? 0 ,所以,当 a ? 0 时, f ( x) 是偶函数. ????????2 分

f (? x) ? ? f ( x) ? ? a sin x ? cos x ? ?a sin x ? cos x
? 2 cos x ? 0 , ? 仅对 x ? k? ?

?
2

.k ? Z 成立,所以, f ( x) 是不是奇函数.??2 分

综上:当 a ? 0 时, f ( x) 是偶函数;当 a ? 0 时, f ( x) 是非奇非偶函数. 注:当 a ? 0 时,证明 f ( x) 是非奇或非偶函数可举例说明.
-4-

(2)当 a ?

?? ? 3 时, f ( x) ? 3 sin x ? cos x ? 2 sin? x ? ? ?????2 分 6? ?

由 x ? ?0,

? ? 2? 1 ?? ? ?? ? ,得 ? x ? ? , ? sin ? x ? ? ? 1 . ? 6 6 3 2 6? ? ? 2?

所以. f ( x) ? ? 1,2? .?????????????????????(2 分)

18.(本题满分 8 分.请给出两种解法,每种正确解法各得 4 分)
已知 3 sin x ? 4 cos x ? 5 ,求 tan x 的值. 解法 1: 由 3 sin x ? 4 cos x ? 5 得: 3 ?

x 2t 1? t2 ? 4 ? 5 (其中 t ? tan ) , 2 2 2 1? t 1? t 1 , 3

2 整理得 9t ? 6t ? 1 ? 0 ,即 (3t ? 1)2 ? 0 ,从而 t ?

1 2t 3 ?3 ? 所以: t an x ? 2 2 1? t 4 ?1? 1? ? ? ?3? 2?
解法 2: 由 3 sin x ? 4 cos x ? 5 得: 5? sin x ? 从而 sin(x ? ? ) ? 1 ,其中 tan ? ?

?3 ?5

4 ? cos x ? ? 5 , 5 ?

4 ? (0 ? ? ? ) 。 3 2

由 sin(x ? ? ) ? 1 得: x ? ? ? 2k? ? 所以 tan x ? tan? 2k? ? 解法 3;

?

2

,即 x ? 2k? ?

?
2

? ?, k ? Z ,

? ?

?

3 ? ?? ? ? ? ? ? tan? ? ? ? ? cot? ? 2 4 ? ?2 ?

-5-

2 2 由 3 sin x ? 4 cos x ? 5 两边平方得: 9 sin x ? 24sin x cos x ? 16cos x ? 25 ,

由于 25 ? 25sin x ? 25cos x ,所以 16sin x ? 24sin x cos x ? 9 cos x ? 0 ,
2 2 2 2

即 (4 sin x ? 3 cos x) 2 ? 0 ,所以 4 sin x ? 3 cos x ? 0 ,从而 tan x ? 解法 4:

3 . 4

因 3 sin x ? 3,4 cos x ? 4 ,所以由条件得 sin x ? 0, cos x ? 0 ,所以 x 为第一象限角, 由 3 sin x ? 4 cos x ? 5 两边除以 cos x 得: 3 tan x ? 4 ? 5 sec x ,而 sec x ? 1 ? tan2 x , 所以 3 tan x ? 4 ? 5 1 ? tan2 x ,从而 9 tan x ? 24 tan x ? 16 ? 25 ? 25 tan x ,
2 2 2 整理得 16 tan x ? 24 tan x ? 9 ? 0 ,解得 tan x ?

3 . 4

解法 5: 由 3 sin x ? 4 cos x ? 5 得: 50 ? 30 sin x ? 40 cos x ? 0 , 从而 (25sin 2 x ? 30sin x ? 9) ? (25cos2 x ? 40cos x ? 16) ? 0 , 即: (5 sin x ? 3)2 ? (5 cos x ? 4)2 ? 0 ,于是得: sin x ? 所以, tan x ?

3 4 , cos x ? , 5 3

3 . 4

解法 6:设 P(m, n) 为角 x 终边上任意一点, P 到原点 O 的距离为 r ,则 r ? m2 ? n2 , 从而由 3 sin x ? 4 cos x ? 5 得: 3 ?
2 2

n m ? 4 ? ? 5 ,即 3n ? 4m ? 5r , r r
2 2 2 2 2

两边平方得: 9n ? 24mn ? 16m ? 25r ,从而有: 9n ? 24mn ? 16m ? 25m ? 25n ,
2 整理得: (4n ? 3m) ? 0 ,所以 4n ? 3m ,显然 m ? 0 ,故 tan x ?

n 3 ? . m 4

解法 7:设 3 cos x ? 4 sin x ? A ,则由 ?

?3 cos x ? 4 sin x ? A 两式平方相加得: ?3 sin x ? 4 cos x ? 5
3 . 4

9 ? 16 ? A2 ? 25 ,所以 A ? 0 ,即 3 cos x ? 4 sin x ? 0 ,故 tan x ?
-6-

3 4 a 2 ? b2 解法 8:由 3 sin x ? 4 cos x ? 5 得: 1 ? sin x ? cos x ,利用不等式 ab ? 5 5 2

?3? ?4? 2 2 ? ? ? sin x ? ? ? cos x 3 4 5 ?5? ?? ? ? 1, 得: 1 ? sin x ? cos x ? 5 5 2 2
等号当且仅当 sin x ?

2

2

3 4 3 , cos x ? 时成立,所以 tan x ? . 5 3 4

解法 9:作 Rt ?ABC ,使 AC ? 4 , BC ? 3 ,则 AB ? 5 ,作

CD ? AB 于 D ,并设 ?A ? ? ,则 ?BCD ? ? (如图所示) ,
这 样 有 AC cos ? ? AD , BC sin ? ? DB , 所 以

C 4 α A 5 D B α 3

AC cos ? ? BC sin ? ? AD ? DB ? AB





4 c ? ? 3o s ? ? 5i s ? 是方程 n 3 sin x ? 4 cos x ? 5 的一个 ,即
解, 于是 tan x ? tan ? ?

BC 3 ? , x ? ? ? 2k? , k ? Z ) (此处, AC 4 5 5 解法 10 :因为 3 sin x ? 4 cos x ? 5 ? 2 ? ,所以 3 sin x, ,4 cos x 成等差数列,于是可以设 2 2 5 5 1?5 1?5 ? ? ? 3 sin x ? 4 cos x ? ? d , 从 而 sin x ? ? ? d ? , cos x ? ? ? d ? , 代 入 2 2 3? 2 4?2 ? ?

1?5 1 ?5 ? ? sin 2 x ? cos2 x ? 1 ,得: ? ? d ? ? ? ? d ? ? 1 ,整理得:100d 2 ? 140d ? 49 ? 0 ,解 9?2 ? 16 ? 2 ?
得d ?

2

2

7 3 4 3 ,于是 sin x ? , cos x ? ,所以 tan x ? . 10 5 5 4

19.(本题满分 8 分)
一铁棒 AB 欲水平通过如图所示的直角走廊,试回答下 列问题: (1)用 ? 表示铁棒的长度 L(? ) ;


2m

θ


(2)若铁棒能通过该直角走廊,求铁棒长度的最大值. 2m

-7-



: (

1





















L(? ) ?

? ? ? (0, ) ; ???????????????????????????3 分
2
(2)本题即求 L(? ) 的最小值.????????????????????2 分

2 2 ? sin ? cos ?



2 2 sin ? ? cos ? ? ?2 ,令 t ? sin ? ? cos ? , t ? (1, 2 ] , sin ? cos ? sin ? cos ? 4t 4 则得: L(t ) ? 2 , t ? (1, 2 ] ? t ?1 t ? 1 t
由于 L(? ) ? 因为 L(t ) 在 (1, 2 ] 上是减函数,所以 L(t ) min ? L( 2 ) ? 4 2 ??????3 分 所以能水平通过该直角走廊的铁棒长度的最大值为 4 2 m. 另解: L(? ) ? ?2 ?4 1 ? sin ? cos? ? ?
2

? sin ? ? cos? ?

2

1 ? sin 2? 4 sin 2?
2

?

1 ? 1? ? 1 ? 1 ? 16? 2 ? ? ? ?4 ? ? 16? ? sin 2? sin 2? ? ? sin 2? 2 ?
因为 ? ? (0,

2

?
2

) ,所以 2? ? (0, ? ) ,所以当 2? ?
min

?
2

,即 ? ?

?
4



L(? ) 2 min ? 32 , L(? )

? 4 2 m.

20.(本题满分 10 分)
已知函数 f ( x) ? 2 sin?

?? ? ?? ? ? x ? cos? ? x ? ? 1 ?4 ? ?4 ?

(1)求函数 f ( x) 的周期; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 3 cos2 x ,试求函数 g ( x) 的单调递增区间;
-8-

(3)若 f 2 ( x) ? cos 2 x ? m2 ? m ? 7 恒成立,试求实数 m 的取值范围. 解: (1)因为 f ( x) ? 2 sin?

?? ? ?? ? ? x ? sin? ? x ? ? 1 ?4 ? ?4 ?

= 2 sin 2 ?

?? ? ?? ? ? x ? ? 1 ? ? cos? ? 2 x ? ? sin 2 x ?4 ? ?2 ?
2? ? ? .???????????????2 分 2

所以 f ( x) 的周期 T ?

(2)由(1) ,知 g ( x) ? f ( x) ? 2 3 cos2 x ? sin 2x ? 3 cos2x ? 3 = 2 sin ? 2 x ? 由 2k? ?

? ?

??

? ? 3 ????????????2 分 3?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

,得 2k? ?

?
6

? 2 x ? 2k? ?

从而 k? ?

?

12

? x ? k? ?

5? , 12

5? , 6

所以函数 g ( x) 的单调递增区间 ?k? ?
2 2

? ?

?
12

, k? ?

5? ? , k ? Z .?????2 分 12 ? ?
2

(3)因为 f ( x) ? cos2x ? sin 2 x ? cos2x ? ? cos 2x ? cos2 x ? 1 = ? ? cos 2 x ?
2

? ?

1? 5 ? ? ????????????1 分 2? 4

2

所以,当 cos 2 x ? 1 时, ( f ( x) ? cos2 x) min ? ?1 .?????????1 分

f 2 ( x) ? cos2x ? m2 ? m ? 7 恒成立,等价于 m2 ? m ? 7 ? ( f 2 ( x) ? cos2x)min
所以, m ? m ? 7 ? ?1 ,即 m ? m ? 6 ? 0 ,解得 ? 2 ? m ? 3 .
2 2

所以,实数 m 的取值范围为 [?2,3] .???????????????2 分

-9-


更多相关文档:

上海交大附中2012学年高一第二学期期末数学考试试题及...

上海交大附中2012学年高一第二学期期末数学考试试题及答案_数学_高中教育_教育专区。高一第二学期期末数学考试试题及答案上海高考网 www.ujiao.net 上海交通大学附属...

2012学年静安区八年级第二学期期末数学试卷

2012学年静安区八年级第二学期期末数学试卷_数学_初中教育_教育专区。静安区“...(第 26 题) B 图2 C 5 八年级第二学期数学期末调研参考答案一、选择题(...

上海市静安区2012学年度六年级数学第二学期期末考试试卷

上海市静安区2012学年度六年级数学第二学期期末考试试卷...卷参考答案 一、填空题(每小题 2 分,共 30 分...

静安区2013学年高一第二学期期末语文试卷(附有答案)

静安区2013学年高一第二学期期末语文试卷(附有答案)_高一语文_语文_高中教育_教育...《不京不海集》,复旦大学出版社2012年5月版) [注]①章培恒(1934-2011),...

上海年高一第二学期数学期末考试(试卷含答案)

上海年高一第二学期数学期末考试(试卷答案)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。为您服务教育网 http://www.wsbedu.com/ 2012 学年度第二学期高一年级数学期末...

2012年上海市西南位育中学高一第二学期数学期末考试试...

命题人 沈雄伟 noxshen@163.com 命题时间:2012 年 06 月 2012上海市西南位育中学高一第二学期数学期末考试试题卷一、填空题(每小题 3 分,满分 42 分) 1...

2012年静安八年级第二学期数学期末卷

静安区 2012 学年第二学期期末教学质量调研 八年级 数学试卷 2012.6 (完成时间:100 分钟 满分:120 分) 一、选择题(本大题共 6 题,每题 3 分,满分 18 ...

2012年上海市西南位育中学高一第二学期数学期末考试试...

2012年上海市西南位育中学高一第二学期数学期末考试试题及参考答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2012年上海 中学高一 第二学期 数学 期末考试 ...

2012-2013年度第二学期期末考试高一数学参考答案

2012-2013 年度第二学期期末考试高一数学参考答案 1、A 7、D 13、38 2、C 8、B 14、3+2 2 3、D 9、B 15、3 4、D 10、C 16、-6 5、B 11、C ...

静安区2012学年第二学期期末教学质量调研

静安区 2012 学年第二学期期末教学质量调研 八年级 数学试卷 2012.6 (完成时间:100 分钟 满分:120 分) 一、选择题(本大题共 6 题,每题 3 分,满分 18 ...
更多相关标签:
上海市静安区 | 上海市静安区人民法院 | 上海市静安区市北医院 | 上海市静安区工商局 | 上海市静安区教育局 | 上海市静安区税务局 | 上海市静安区中医医院 | 上海市静安区中心医院 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com