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《步步高》2013届高三数学大一轮复习第八章 学案 空间的垂直关系(人教A版)


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学案 44

空间的垂直关系

导学目标: 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直 的有关性质与判定定理.2.能运用公理、 定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的 简单命题.

自主梳理 1.直线

与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法. ②利用判定定理: 一条直线和一个平面内的两条______直线都垂直, 则该直线与此平面 垂直. ③推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条直线也______ 这个平面. (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内______直线. ②垂直于同一个平面的两条直线______. ③垂直于同一直线的两个平面________. 2.直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的________所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的 角. 一直线垂直于平面,说它们所成角为________;直线 l∥α 或 l?α,则它们成________ 角. 3.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法. ②利用判定定理:一个平面过另一个平面的__________,则这两个平面垂直. (2)平面与平面垂直的性质 两个平面垂直,则一个平面内垂直于________的直线与另一个平面垂直. 4.二面角的平面角 以二面角棱上的任一点为端点, 在两个半平面内分别作与棱________的射线, 则两射线 所成的角叫做二面角的平面角. 自我检测 1.平面 α⊥平面 β 的一个充分条件是( ) A.存在一条直线 l,l⊥α,l⊥β B.存在一个平面 γ,γ∥α,γ∥β C.存在一个平面 γ,γ⊥α,γ⊥β D.存在一条直线 l,l⊥α,l∥β 2.(2010· 浙江)设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是( ) A.若 l⊥m,m?α,则 l⊥α B.若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α C.若 l∥α,m?α,则 l∥m
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D.若 l∥α,m∥α,则 l∥m 3.(2011· 长沙模拟)对于不重合的两个平面 α 与 β,给定下列条件: ①存在平面 γ,使得 α,β 都垂直于 γ; ②存在平面 γ,使得 α,β 都平行于 γ; ③存在直线 l?α,直线 m?β,使得 l∥m; ④存在异面直线 l、m,使得 l∥α,l∥β,m∥α,m∥β. 其中,可以判定 α 与 β 平行的条件有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4.(2011· 十堰月考)已知 m,n 是两条不同直线,α,β,γ 是三个不同平面,下列命题中 正确的是( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β C.若 m∥α,m∥β,则 α∥β D.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n 5.(2011· 大纲全国)已知点 E、F 分别在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BB1、CC1 上, 且 B1E=2EB,CF=2FC1,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值为________.

探究点一 线面垂直的判定与性质 例 1 Rt△ABC 所在平面外一点 S,且 SA=SB=SC,D 为斜边 AC 的中点. (1)求证:SD⊥平面 ABC; (2)若 AB=BC.求证:BD⊥平面 SAC.

变式迁移 1

在四棱锥 V—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD⊥ 底面 ABCD.证明:AB⊥VD.

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探究点二 面面垂直的判定与性质

例 2 (2011· 邯郸月考)如图所示,已知四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面为正方形,O1、 O 分别为上、下底面的中心,且 A1 在底面 ABCD 内的射影是 O.求证:平面 O1DC⊥平面 ABCD.

变式迁移 2 (2011· 江苏)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB =AD,∠BAD=60° ,E,F 分别是 AP,AD 的中点. 求证:(1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.

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探究点三 直线与平面,平面与平面所成的角 例 3 (2009· 湖北)如图,四棱锥 S—ABCD 的底面是正方形,SD⊥平面 ABCD,SD= 2a,AD= 2a,点 E 是 SD 上的点,且 DE=λa(0<λ≤2).

(1)求证:对任意的 λ∈(0,2],都有 AC⊥BE; (2)设二面角 C—AE—D 的大小为 θ, 直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为 φ, tan θtan φ 若 =1,求 λ 的值.

变式迁移 3 (2009· 北京)如图, 在三棱锥 P—ABC 中, PA⊥底面 ABC, PA=AB, ∠ABC =60° ,∠BCA=90° ,点 D、E 分别在棱 PB、PC 上,且 DE∥BC. (1)求证:BC⊥ 平面 PAC. (2)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值. (3)是否存在点 E 使得二面角 A—DE—P 为直二面角?并说明理由.

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转化与化归思想综合应用 例 (12 分)已知四棱锥 P—ABCD,底面 ABCD 是∠A=60° 的

菱形,又 PD⊥底面 ABCD,点 M、N 分别是棱 AD、PC 的中点. (1)证明:DN∥平面 PMB; (2)证明:平面 PMB⊥平面 PAD. 多角度审题 (1)在平面 PMB 内找到(或构造)一条直线与 DN 平行即可;(2)要证面 PMB⊥面 PAD,只需证明 MB⊥面 PAD 即可. 【答题模板】 证明 (1)

取 PB 中点 Q, 连接 MQ、 因为 M、 分别是棱 AD、 的中点, NQ, N PC 所以 QN∥BC∥MD, 且 QN=MD,故四边形 QNDM 是平行四边形, 于是 DN∥MQ. 又∵MQ?平面 PMB,DN?平面 PMB ∴DN∥平面 PMB.[6 分] (2)∵PD⊥平面 ABCD,MB?平面 ABCD,∴PD⊥MB. 又因为底面 ABCD 是∠A=60° 的菱形,且 M 为 AD 中点, 所以 MB⊥AD.又 AD∩PD=D,所以 MB⊥平面 PAD. 又∵MB?平面 PMB,∴平面 PMB⊥平面 PAD.[12 分] 【突破思维障碍】 立体几何的证明问题充分体现线面关系的转化思想,其思路为:

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1.证明线面垂直的方法:(1)线面垂直的定义:a 与 α 内任何直线都垂直?a⊥α;(2)判 ? m、n?α,m∩n=A? ??l⊥α;(3)判定定理 2:a∥b,a⊥α?b⊥α;(4)面面 定定理 1: ? l⊥m,l⊥n ? 平行的性质: α∥β, a⊥α?a⊥β; (5)面面垂直的性质: α⊥β, α∩β=l, a?α, a⊥l?a⊥β. 2.证明线线垂直的方法:(1)定义:两条直线的夹角为 90° ;(2)平面几何中证明线线垂 直的方法;(3)线面垂直的性质:a⊥α,b?α?a⊥b;(4)线面垂直的性质:a⊥α,b∥α ?a⊥b. 3.证明面面垂直的方法:(1)利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角;(2) 判定定理:a?α,a⊥β?α⊥β.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1. (2011· 滨州月考)已知直线 a, 和平面 α, 且 a⊥α, b β, b⊥β, 那么 α⊥β 是 a⊥b 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知两个不同的平面 α、β 和两条不重合的直线 m、n,有下列四个命题: ①若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α;②若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β;③若 m⊥α,m∥n,n?β, 则 α⊥β;④若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.设 α,β,γ 是三个不重合的平面,l 是直线,给出下列四个命题: ①若 α⊥β,l⊥β,则 l∥α;②若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β; ③若 l 上有两点到 α 的距离相等,则 l∥α;④若 α⊥β,α∥γ,则 γ⊥β. 其中正确命题的序号是( ) A.①② B.①④ C.②④ D.③④ 4.(2011· 浙江)下列命题中错误的是( ) A.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B.如果平面 α 不垂直于平面 β,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β C.如果平面 α⊥平面 γ,平面 β⊥平面 γ,α∩β=l,那么 l⊥平面 γ D.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β 5.平面 α 的斜线 AB 交 α 于点 B,过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直,且交 α 于点 C, 则动点 C 的轨迹是( ) A.一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一支 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分)

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6.如图所示,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧棱 PA=a,PB =PD= 2a,则它的 5 个面中,互相垂直的面有________对. 7.(2011· 金华模拟)如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长是 1,过 A 点作平面 A1BD 的垂线,

垂足为点 H,有下列三个命题: ①点 H 是△A1BD 的中心; ②AH 垂直于平面 CB1D1 ;③AC1 与 B1C 所成的角是 90° .其中正确命题的序号是 ____________. 8.正四棱锥 S-ABCD 底面边长为 2,高为 2,E 是边 BC 的中点,动点 P 在表面上运 动,并且总保持 PE⊥AC,则动点 P 的轨迹的周长为________. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)(2010· 山东)在如图所示的

几何体中,四边形 ABCD 是正方形,MA⊥平面 ABCD,PD∥MA,E、G、F 分别为 MB、PB、PC 的中点,且 AD=PD=2MA. (1)求证:平面 EFG⊥平面 PDC; (2)求三棱锥 P-MAB 与四棱锥 P-ABCD 的体积之比.

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10.(12 分)(2009· 天津)如图,

在四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,AD⊥CD,DB 平分∠ADC,E 为 PC 的中 点,AD=CD=1,DB=2 2. (1)证明:PA∥平面 BDE; (2)证明:AC⊥平面 PBD; (3)求直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值.

11.(14 分)(2011· 杭州调研)如图所示,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AB 的中 点. (1)求直线 B1C 与 DE 所成角的余弦值; (2)求证:平面 EB1D⊥平面 B1CD; (3)求二面角 E-B1C-D 的余弦值.

学案 44

空间的垂直关系

自主梳理 1.(1)②相交 ③垂直 (2)①任意 ②平行 ③平行 2.射影 直角 0° 3.(1)②一条垂线 (2)交线 4.垂直 自我检测
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1.D 2.B 3.B 4.D 5. 2 3

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课堂活动区 例 1 解题导引 线面垂直的判断方法是:证明直线垂直平面内的两条相交直线.即从 “线线垂直”到“线面垂直”. 证明

(1)取 AB 中点 E,连接 SE,DE,在 Rt△ABC 中,D、E 分别为 AC、AB 的中点, 故 DE∥BC,且 DE⊥AB, ∵SA=SB, ∴△SAB 为等腰三角形,∴SE⊥AB. ∵SE⊥AB,DE⊥AB,SE∩DE=E, ∴AB⊥面 SDE.而 SD?面 SDE,∴AB⊥SD. 在△SAC 中,SA=SC,D 为 AC 的中点,∴SD⊥AC. ∵SD⊥AC,SD⊥AB,AC∩AB=A, ∴SD⊥平面 ABC. (2)若 AB=BC,则 BD⊥AC, 由(1)可知,SD⊥面 ABC,而 BD?面 ABC, ∴SD⊥BD. ∵SD⊥BD,BD⊥AC,SD∩AC=D, ∴BD⊥平面 SAC. 变式迁移 1 证明 ∵平面 VAD⊥平面 ABCD, AB⊥AD,AB?平面 ABCD, AD=平面 VAD∩平面 ABCD, ∴AB⊥平面 VAD. ∵VD?平面 VAD,∴AB⊥VD. 例 2 解题导引 证明面面垂直,可先证线面垂直,即设法先找到其中一个平面的一条 垂线,再证明这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行.

证明 如图所示,连接 AC,BD,A1C1,则 O 为 AC,BD 的交点,O1 为 A1C1,B1D1 的 交点. 由棱柱的性质知: A1O1∥OC,且 A1O1=OC, ∴四边形 A1OCO1 为平行四边形, ∴A1O∥O1C, 又 A1O⊥平面 ABCD,∴O1C⊥平面 ABCD, 又 O1C?平面 O1DC, ∴平面 O1DC⊥平面 ABCD.
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变式迁移 2

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证明 (1)如图,在△PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF∥PD.又因 为 EF?平面 PCD,PD?平面 PCD, 所以直线 EF∥平面 PCD. (2)连接 BD.因为 AB=AD,∠BAD=60° ,所以△ABD 为正三角形. 因为 F 是 AD 的中点,所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,BF?平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF?平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PAD. 例 3 解题导引 高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之一.有时在客 观题中考查,更多的是在解答题中考查. 求这两种空间角的步骤:(几何法). 根据线面角的定义或二面角的平面角的定义,作(找)出该角,再解三角形求出该角,步 骤是作(找)→认(指)→求. (1)证明 如图所示,连接 BD,由底面 ABCD 是正方形可得 AC⊥BD. ∵SD⊥平面 ABCD,∴BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影,∴AC⊥BE.

(2)解 如图所示,由 SD⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD, ∴SD⊥CD. 又底面 ABCD 是正方形, ∴CD⊥AD.又 SD∩AD=D, ∴CD⊥平面 SAD. 过点 D 在平面 SAD 内作 DF⊥AE 于 F,连接 CF,则 CF⊥AE,故∠CFD 是二面角 C—AE—D 的平面角,即∠CFD=θ. 在 Rt△BDE 中,∵BD=2a,DE=λa, DE λ ∴tan φ= = . BD 2 在 Rt△ADE 中,∵AD= 2a=CD,DE=λa, ∴AE=a λ2+2, AD· DE 2λa 从而 DF= = 2 . AE λ +2 λ2+2 CD 在 Rt△CDF 中,tan θ= = , DF λ 由 tan θ· φ=1,得 tan

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λ2+2 λ ·=1? λ2+2=2?λ2=2. λ 2

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由 λ∈(0,2],解得 λ= 2,即为所求. 变式迁移 3 (1)证明 ∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥BC. 又∠BCA=90° ,∴AC⊥BC.又 AC∩PA=A, ∴BC⊥平面 PAC. 1 (2)解 ∵D 为 PB 的中点,DE∥BC,∴DE= BC. 2 又由(1)知,BC⊥平面 PAC, ∴DE⊥平面 PAC,垂足为点 E. ∴∠DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角. ∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AB. 又 PA=AB,∴△ABP 为等腰直角三角形. 2 ∴AD= AB. 2 1 在 Rt△ABC 中,∠ABC=60° ,∴BC= AB. 2 DE BC 2 ∴在 Rt△ADE 中,sin∠DAE= = = . AD 2AD 4 2 ∴AD 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 . 4 (3)解 ∵DE∥BC,又由(1)知,BC⊥平面 PAC, ∴DE⊥平面 PAC. 又∵AE?平面 PAC,PE?平面 PAC, ∴DE⊥AE,DE⊥PE. ∴∠AEP 为二面角 A—DE—P 的平面角. ∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AC,∴∠PAC=90° . ∴在棱 PC 上存在一点 E,使得 AE⊥PC. 这时,∠AEP=90° , 故存在点 E 使得二面角 A—DE—P 是直二面角. 课后练习区 1.C 2.D 3.C 4.D [两个平面 α,β 垂直时,设交线为 l,则在平面 α 内与 l 平行的直线都平行于平 面 β, A 正确; 故 如果平面 α 内存在直线垂直于平面 β, 那么由面面垂直的判定定理知 α⊥β, 故 B 正确;两个平面都与第三个平面垂直时,易证交线与第三个平面垂直,故 C 正确;两 个平面 α,β 垂直时,平面 α 内与交线平行的直线与 β 平行,故 D 错误.] 5.A 6.5 解析 面 PAB⊥面 PAD, 面 PAB⊥面 ABCD,面 PAB⊥面 PBC, 面 PAD⊥面 ABCD,面 PAD⊥面 PCD. 7.①②③ 解析 由于 ABCD—A1B1C1D1 是正方体,所以 A—A1BD 是一个正三棱锥,因此 A 点在 平面 A1BD 上的射影 H 是三角形 A1BD 的中心,故①正确;又因为平面 CB1D1 与平面 A1BD 平行,所以 AH⊥平面 CB1D1,故②正确;从而可得 AC1⊥平面 CB1D1,即 AC1 与 B1C 垂直,
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所成的角等于 90° . 8. 6+ 2

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解析 如图取 CD 的中点 F,SC 的中点 G,连接 EF,GF,GE. 则 AC⊥平面 GEF,故动点 P 的轨迹是△EFG 的三边. 1 又 EF= DB= 2, 2 1 6 GE=GF= SB= , 2 2 ∴EF+FG+GE= 6+ 2. 9.(1)证明 因为 MA⊥平面 ABCD, PD∥MA,所以 PD⊥平面 ABCD. 又 BC?平面 ABCD,所以 PD⊥BC.(2 分) 因为四边形 ABCD 为正方形, 所以 BC⊥DC. 又 PD∩DC=D,所以 BC⊥平面 PDC.(4 分) 在△PBC 中,因为 G、F 分别为 PB、PC 的中点, 所以 GF∥BC,所以 GF⊥平面 PDC.又 GF?平面 EFG, 所以平面 EFG⊥平面 PDC.(6 分) (2)解 因为 PD⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,不妨设 MA=1, 则 PD=AD=2, 1 8 所以 VP-ABCD= S 正方形 ABCD· PD= .(8 分) 3 3 由题意可知,DA⊥平面 MAB,且 PD∥MA, 所以 DA 即为点 P 到平面 MAB 的距离, 1 1 2 所以 VP-MAB= × ×1×2×2= .(10 分) 3 2 3 所以 VP-MAB∶VP-ABCD=1∶4.(12 分) 10.(1)证明

设 AC∩BD=H,连接 EH.在△ADC 中,因为 AD=CD,且 DB 平分∠ADC,所以 H 为 AC 的中点, 又由题设, E 为 PC 的中点, EH∥PA.又 EH?平面 BDE, PA?平面 BDE, 知 故 且 所以 PA∥平面 BDE.(4 分) (2)证明 因为 PD⊥平面 ABCD, AC?平面 ABCD, 所以 PD⊥AC.由(Ⅰ)可得, DB⊥AC. 又 PD∩DB=D, 故 AC⊥平面 PBD.(8 分) (3)解 由 AC⊥平面 PBD 可知,BH 为 BC 在平面 PBD 内的射影,所以∠CBH 为直线 BC 与平面 PBD 所成的角.
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2 3 2 ,BH= . 2 2

由 AD⊥CD,AD=CD=1,DB=2 2,可得 DH=CH= 在 Rt△BHC 中,tan∠CBH= CH 1 = . BH 3

1 所以直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值为 . 3 (12 分) 11. (1)解 连接 A1D, 则由 A1D∥B1C 知, 1C 与 DE 所成角即为 A1D 与 DE 所成角. B (2 分)

连接 A1E,可设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a, 则 A1D= 2a, 5 A1E=DE= a, 2 ∴cos∠A1DE= A1D2+DE2-A1E2 10 = . 2· 1D· A DE 5 ∴直线 B1C 与 DE 所成角的余弦值是 10 .(6 分) 5

(2)证明 取 B1C 的中点 F,B1D 的中点 G, 连接 BF,EG,GF.∵CD⊥平面 BCC1B1, 且 BF?平面 BCC1B1,∴CD⊥BF. 又∵BF⊥B1C,CD∩B1C=C, ∴BF⊥平面 B1CD.(8 分) 1 1 又∵GF 綊 CD,BE 綊 CD, 2 2 ∴GF 綊 BE,∴四边形 BFGE 是平行四边形, ∴BF∥GE,∴GE⊥平面 B1CD. ∵GE?平面 EB1D, ∴平面 EB1D⊥B1CD.(10 分) (3)解 连接 EF. ∵CD⊥B1C,GF∥CD,∴GF⊥B1C. 又∵GE⊥平面 B1CD,∴GE⊥B1C. 又∵GE∩GF=G,∴B1C⊥平面 GEF,∴EF⊥B1C, ∴∠EFG 是二面角 E-B1C-D 的平面角.(12 分) 设正方体的棱长为 a,则在△EFG 中, 1 3 GF 3 GF= a,EF= a,GE⊥GF,∴cos∠EFG= = , 2 2 EF 3 3 ∴二面角 E-B1C-D 的余弦值为 .(14 分) 3

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