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043直线平面垂直的判定及其性质(学生学案)(生)


专题 043:直线、平面垂直的判定及其性质(学生学案) (生) 考点要求: 1.以选择题、填空题的形式考查垂直关系的判定,经常与命题或充要条件相结合. 2.以锥体、柱体为载体考查线面垂直的判定.考查空间想象能力、逻辑思维能力,考查转化与化归思想的应用能力. 3.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,运用公理、定理和已获得的结论,证明一些有关空间中线面垂直的 有关性质和判定定理

的简单命题. 4.垂直是立体几何的必考题目,且几乎每年都有一个解答题出现,所以是高考的热点,是复习的重点.纵观历年来的 高考题,立体几何中没有难度过大的题,所以复习要抓好三基:基础知识,基本方法,基本能力. 5.要重视和研究数学思想、数学方法.在本讲中“化归”思想尤为重要,不论何种“垂直”都要化归到“线线垂直”, 观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口. 知识结构: 1.直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法. ②利用判定定理:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直. ③推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面. (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一直线的两平面平行. 2.斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫斜线和平面所成的角. 3.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法 ②利用判定定理:如果一个平面过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直. (2)平面与平面垂直的性质 如果两平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 4. 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直:

?? ? ?? ? 线线垂直 ??? 线面垂直 ??? 面面垂直
(1) (3) (2) (4)

(1):一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直

m ? ? , n ? ? , m ? n ? P? ??l ?? l ? m, l ? n ? 符号语言:
(2):如果一条直线垂直于一个平面,那么它与平面内的任何直线都垂直 符号语言:a ? ? ,b ? ? ? a ? b (3):一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直 符号语言: a ? ? , a ? ? ? ? ? ? (4):如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面. 符号语言: ? ? ? , ? ? ? ? m, l ? ? , l ? m ? l ? ? 定理:垂直于同一个平面的两条直线平行 基础自测 1.下列条件中,能判定直线 l⊥平面 α 的是( ). A.l 与平面 α 内的两条直线垂直 B.l 与平面 α 内无数条直线垂直 C.l 与平面 α 内的某一条直线垂直 D.l 与平面 α 内任意一条直线垂直 2.在空间中,下列命题正确的是( ). A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 3.用 a,b,c 表示三条不同的直线,γ 表示平面,给出下列命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a⊥b,b⊥c,则 a⊥c; ③若 a∥γ,b∥γ,则 a∥b; ④若 a⊥γ,b⊥γ,则 a∥b. 其中真命题的序号是( ). A.①② B.②③ C.①④ D.③④
-1-

4.设 a、b、c 表示三条不同的直线,α、β 表示两个不同的平面,则下列命题中不正确的是( c⊥α ? ? ??c⊥β A. ? α∥β?
? ? ??b⊥c B. ? c是a在β内的射影?

).

b?β,a⊥b

b∥c ? C. b?α??c∥α c?α ? ?

?

D.

a∥α? ? ??b⊥α ? b⊥a?

5.如图,已知 PA⊥平面 ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________. 例题选讲: 1.直线与平面垂直的判定与性质 例 1:如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ADC=45° ,AD=AC=1,O 为 AC 的中点,PO⊥平 面 ABCD. 证明:AD⊥平面 PAC.

小结:(1)证明直线和平面垂直的常用方法有:①判定定理;②a∥b,a⊥α?b⊥α;③α∥β,a⊥α?a⊥β;④面面 垂直的性质.(2)线面垂直的性质,常用来证明线线垂直. 1 学生练习 1: 如图,已知 BD⊥平面 ABC,MC / / BD,AC=BC,N 是棱 AB 的中点.求证:CN⊥AD. 2

2.平面与平面垂直的判定与性质 例 2:如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角形,已知 BD=2AD=8, AB=2DC=4 5.M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD.

小结: 面面垂直的关键是线面垂直,线面垂直的证明方法主要有:判定定理法、平行线法(若两条平行线中一条 垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面)、面面垂直性质定理法,本题就是用的面面垂直性质定理法,这种方法 是证明线面垂直、作线面角、二面角的一种核心方法. 学生练习 2:如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点. 证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M.

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3.平行与垂直关系的综合应用 例 3:如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,点 E、F 分别是 AB、BD 的中点.求证: (1)直线 EF∥平面 ACD; (2)平面 EFC⊥平面 BCD.

小结: 解答立体几何综合题时,要学会识图、用图与作图.图在解题中起着非常重要的作用,空间平行、垂直关系的 证明,都与几何体的结构特征相结合,准确识图,灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线的平行与垂直关 系是证明的关键. 学生练习 3: (2013 年高考辽宁卷(文) 如图, AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点. ) (I)求证: BC ? 平面PAC; (II)设 Q为PA 的中点,G为?AOC的重心,求证:QG / /平面PBC.

巩固作业:
1. (2013 年高考广东卷(文) 如图 4,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, D, E 分别是 AB, AC 边上的点, AD ? AE , F )

是 BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF 沿 AF 折起,得到如图 5 所示的三棱锥 A ? BCF ,其中 BC ? (1) 证明: DE //平面 BCF ; (3) 当 AD ? (2) 证明: CF ? 平面 ABF ;

2 . 2

2 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . 3
A

A

G

E

D

G

E

D F C

B

F 图 4

C
B 图 5

-3-

2. (2013 年高考湖南(文) 如图 2.在直菱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC= )

,AA1=3,D 是 BC 的中点,点 E 在菱 BB1

上运动. (I) 证明:AD⊥C1E; (II) 当异面直线 AC,C1E 所成的角为 60°时,求三菱子 C1-A2B1E 的体积.

3. (2013 年高考北京卷(文) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB / / CD , AB ? AD , CD ? 2 AB ,平面 PAD ? 底面 )

ABCD , PA ? AD , E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证: (1) PA ? 底面 ABCD ;(2) BE / / 平面 PAD ;(3)平面 BEF ? 平面 PCD

4. (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, CA ? CB , AB ? )

AA1 , ?BAA1 ? 60? .

(Ⅰ)证明: AB ? A1C ; (Ⅱ)若 AB ? CB ? 2 , A1C ?

6 ,求三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积.

C

C1 B1 A1
P ? ABCD 的 底 面 ABCD 是 边 长 为 2 的 菱 形 , ?BAD ? 60? . 已 知

B A

5 . 2013 年 高 考 安 徽 ( 文 ) 如 图 , 四 棱 锥 ( )

PB ? PD ? 2, PA ? 6 . (Ⅰ)证明: PC ? BD (Ⅱ)若 E 为 PA 的中点,求三菱锥 P ? BCE 的体积.

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