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离散型随机变量的方差(1)


离散型随机变量的方差(一)
白河一中 邓启超
教学目标: 1、知识与技能:了解离散型随机变量的方差、标准差的意义,会根据离散型随 机变量的分布列求出方差或标准差。 2、过程与方法:会利用离散型随机变量的均值(期望)和方差对所给信息进行 整合和分析,得出相应结论。 EX ? np 3、情感、态度与价值观:承前启后,感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的 文化功能

与人文价值。 二、教学重点:离散型随机变量的方差、标准差 三、教学难点:比较两个随机变量的期望与方差的大小,从而解决实际问题 四、教学过程: (一) 、复习引入: 1..数学期望: 一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

ξ P

x1 p1

x2 p2

… …

xn pn

… …

则称 E? ? x1 p1 ? x 2 p 2 ? … ? xn pn ? …

为 ξ 的数学期望,简称期望.

2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数, 它反映了离散型随机变量取值 的平均水平,也称为随机变量的均值。 3. 期望的一个性质: E (a? ? b) ? aE? ? b 4、常见特殊分布的变量的均值(期望) (1)如果随机变量 X 服从二项分布(包括两点分布) ,即 X~ B(n,p) ,则 Eξ =np (2)如果随机变量 X 服从超几何分布,即 X ~H(N,M,n),则 M Eξ = n N (二) 、讲解新课: 1、(探究 1):A,B 两种不同品牌的手表,它们的“日走时误差”分别为 X, Y(单位:S) ,X,Y 的分布列如下:(课本 p60) 日走时误差 X -0.01 0.00 0.01 概率 P A 型手表 日走时误差 Y 概率 P B 型手表
1

1/3

1/3

1/3

-0.50 1/3

0.00 1/3

0.50 1/3

问题: (1)分别计算 X,Y 的均值,并进行比较; (2)这两个随机变量的分布有什么不同,如何刻画这种不同 分析:EX=EY,也就是说这两种表的平均日走时误差都是0. 因此,仅仅根据平均误差,不能判断出哪一种品牌的表更好。 进一步观察,发现A品牌表的误差只有 ? 0.01 而B品牌的误差为 ? 0.05 结论:A品牌的表要好一些。 探究(2) :甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环数 X1, X2 分布列 如下: X1 8 9 10

X2 P

8

9

10

P

0.2

0.6

0.2

0.4

0.2

0.4

谁的成绩更稳定好? 分析:

EX1 ? 9, EX 2 ? 9

甲和乙射击环数均值相等, 甲的极差为 2, 乙的极差也为 2, 该如何比较? 思考:怎样定量刻画随机变量的取值与其均值的偏离程度呢? 样本方差: ? ? ?

s2 ?
2

1 1 1 2 2 s ? (x1 ? x) ? ?(x2 ? x) ? ? ... ?(x n ? x) ? n n n
2
类似的,随机变量 X 的方差:

1? ? (x1 ? x)2 ?(x2 ? x)2 ? ... ?(xn ? x)2 ? n? ? ? ? ? ?

DX ? ( X 1 ? EX ) 2 ? ( X 2 ? EX ) 2 ? ......(X i ? EX ) 2 ......? ( X n ? EX ) 2
= E( X i ? EX ) 2 思考:离散型随机变量的期望、方差与样本的期望、方差的区别和联系是什 么? 样本 离散型随机变量 均 公 式 值 意 义 方 公 差 式 或

2

标 准 意 差 义

(三) 、例题分析
例 1(课本 P61 例 3)、掷一颗质地均匀的骰子,求向上一面的点数 X 的均值、 方差。 例 2(探究 2) :甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环数 X1, X2 分 布列如下: X1 8 9 10

X2 P

8

9

10

P

0.2

0.6

0.2

0.4

0.2

0.4

谁的成绩更稳定好? 分析:

EX1 ? 9, EX 2 ? 9

甲和乙射击环数均值相等, 甲的极差为 2, 乙的极差也为 2, 该如何比较? 思考:怎样定量刻画随机变量的取值与其均值的偏离程度呢? 通过均值和方差的分别比较,得出结论:乙的射击成绩稳定性较好 变式1: 如果其他对手的射击成绩都在 9 环左右, 应派哪一名选手参赛? 变式2: 如果其他对手的射击成绩都在 7 环左右, 应派哪一名选手参赛? 例 3、随机变量 的分布列为 X -1 0 1 P a
1 ,则 DX ? 3

b

c

其中,a,b,c 成等差数列,若 EX ? (四) 、基础训练 1、已知随机变量 X 的分布列 X0 1 2 P 0.1 0.2 0.4

3 0.2

4 0.1

求 EX ,DX。 解:EX ? 0 ? 0.1 ? 1 ? 0.2 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.2 ? 4 ? 0.1 ? 2 DX ? (0 ? 2)2 ? 0.1 ? (1 ? 2)2 ? 0.2 ? ( 2 ? 2)2 ? 0.4

? ( 3 ? 2)2 ? 0.2 ? (4 ? 2)2 ? 0.1 ? 1.2 2:甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环数 X1, X2 分布列如下:

3

X1

8

9

10

X2 8 P

9

10

P

0.2

0.6

0.2

0.4 0.2 0.4

用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。 解:EX 1 ? 9, EX 2 ? 9 DX1 ? 0.4, DX 2 ? 0.8 表明甲、 乙射击的平均水平没有差别, 在多次射击中平均得分差别不会很大, 但甲通常发挥比较稳定,多数得分在 9 环,而乙得分比较分散,近似平均分布在 8-10 环。 问题 1:如果你是教练,你会派谁参加比赛呢? 问题 2:如果其他对手的射击成绩都在 8 环左右,应派哪一名选手参赛? 问题 3:如果其他对手的射击成绩都在 9 环左右,应派哪一名选手参赛? 3.有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息: 甲单位不同职位月工资 X1/元 获得相应职位的概率 P1 乙单位不同职位月工资 X2/元 获得相应职位的概率 P2 1200 0.4 1400 0.3 1600 0.2 1800 0.1

1000 0.4

1400 0.3

1800 0.2

2000 0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位? 解:根据月工资的分布列,利用计算器可算得 EX1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 , DX1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2 ×0.3 + (1600 -1400 )2 × 0.2+(1800-1400) 2×0. 1= 40 000 ; EX2=1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 , DX2 = (1000-1400)2 × 0. 4+(1 400-1400) × 0.3 + (1800-1400)2 × 0.2 + (2200-1400 )2×0.l = 160000 . 因为 EX1 =EX2, DX1<DX2, 所以两家单位的工资均值相等,但甲单位不同职 位的工资相对集中,乙单位不同职位的工资相对分散.这样,如果你希望不同职 位的工资差距小一些,就选择甲单位;如果你希望不同职位的工资差距大一些, 就选择乙单位 (五) 、课堂小结 一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 ξ P x1 p1 x2 p2 … … xn pn … …

4

随机变量 X 的方差:

D? ? ( X 1 ? E? ) 2 ? ( X 2 ? E? ) 2 ? ......(X i ? E? ) 2 ......? ( X n ? E? ) 2
= E( X i ? E? ) 2 其中, E? ? x1 p1 ? x 2 p 2 ? … ? xn pn ? … 为 ξ 的数学期望,简称期望.

则(xi-E ? )2 描述了 xi(i=1,2,…n)相对于均值 EX 的偏离程度,而 D ? ? ? ( xi ? E? ) 2 pi 为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度。 我们称 DX 为随机变量 X 的方差, 其算术平方根 DX 叫做随机变量 X 的标准差. 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量偏离于均值的平均程度, 它们的 值越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小,即越集中于均值。 (六) 、作业设计 1.已知某一随机变量ξ 的概 ξ P 4 0.5 a 0.1 9 b
i ?1 n

率分布列如下,且 Eξ =6.3, (1)计算 a,b 的值; (2)求 Eξ ,D ξ 。 2.编号 1,2,3 的三位学生随意入座编号为 1,2,3 的三个座位,每位学生坐一 个座位,设与座位编号相同的学生的个数是ξ . (1)求随机变量ξ 的概率分布; (2)求随机变量ξ 的数学期望和方差.

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