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7(1)向量及其线性运算


第七章 空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数 基本概念;向量的运算;向量间的关系 第二部分

空间解析几何

在三维空间中, 解决下列问题
空间形式 —— 点、 面 线、 数量关系 —— 坐标、 方程(组) 基本方法 —— 坐标法; 向量法
1

第一节

向量及其线性运算

向量概念 向量的线性运算 空间直角坐标系 利用坐标作向量的线性运算 向量的模,方向角
小结 思考题 作业
2

第七章 空间解析几何与向量代数

向量及其线性运算

一、向量(vector)的基本概念
向量 既有 大小又有 方向 的量.
向量表示
M2 ?

a 或 M1 M 2

?M

? a
1

以 M1 为起点, M 2为终点的 有向线段. ? 向量的模 (module) 向量的大小. | a | 或 | M1 M 2 | ?0 或 0 单位向量(unit vector) 模长为1的向量. a M1 M 2 ? 零向量(zero vector) 模长为0的向量. 0
3

向量及其线性运算

自由向量(free vector) 不考虑起点位置的向量.

相等向量 大小相等且方向相同的向量.

? a ? b

? ? 记作 a ? b

? 负向量 大小相等但方向相反的向量. ? a

? ?a

? a
4

向量及其线性运算

二、向量的线性运算
1. 向量的加减法

? b

? b

? ? a?b

? (1)加法定义 a ? ? ? 加法 a ? b ? c (平行四边形法则)

(平行四边形法则有时也称为三角形法则) 特殊地 ? a ? b
? a

? ? 若 a‖ b ?分为同向和反向 ? a b ? ? ? ? c | c |?| a | ? | b |
? c
? a? b

? b

? ? ? | c |? | a | ? | b |
5

向量及其线性运算

按两个向量相加的三角形法则, 不难推广到有 ? ? ? ? 有限多个向量相加的情形. 如下图, 设向量 a , b , c , d , ? ? ? ? 作加法 a ? b ? c ? d .
? a
? b

? c

? d

? a

? b

? c

? d

? ? ? ? 则只要把这些向量 a , b , c , d 依次序首(始端)尾(终端) ? ? 相连, 那么从第一个向量 a 的始端到最后一个向量 d ? ? ? ? 的终端的向量为 a ? b ? c ? d . 这种加法又称为多边

? ? ? ? a?b?c?d

形加法或折线法.
6

向量及其线性运算

(2) 向量的加法符合下列运算规律 ? ? ? ? 交换律 a ? b ? b ? a;

? ? ? ? ? ? ? ? ? 结合律 a ? b ? c ? (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ); ? ? ? a ? ( ? a ) ? 0. ? ? c b ? (3) 减法定义 a ? ? ? ? ? ? 减法 a ? b ? a ? ( ? b ) ? b ? ?b c ? ? ? ? a?b ? ? b c ? a ? (?b ) ? ? ? ? ? a?b ?a?b a
7

向量及其线性运算

向量的“伸缩” 2. 向量与数的乘法 (简称数乘运算) ? ? 规定为 设?是一个数, 向量 a与? 的乘积 ?a ? ? ? ? 同向, | ?a |? ? | a |; ? ? 0, ?a与a ? ? ? ? 0, ?a ? 0; ? ? ? ? ? ? 0, ?a与a 反向, | ?a |?| ? | ? | a | .

? a

? 2a

1? ? a 2

? ? 注 向量 a 与数 ? 的乘积 ? a 为向量.
8

向量及其线性运算

(4) 数与向量的乘积符合下列运算规律 ? ? ? 线 结合律 ? ( ? a ) ? ? (? a ) ? ( ?? )a ; ? ? ? 性 分配律 (? ? ? )a ? ? a ? ? a; 第一分配律 ? 运 ? ? ? ? (a ? b ) ? ? a ? ? b . 第二分配律 算

? ? 由向量 ?a 与 a 平行, 常用数乘运算说明
? ? ,0 ? a

两向量平行关系(两向量共线的充要条件): ? ? 定理1 设向量 则b∥ a ? 存在唯一的实数 ? , ? ? ?使 b ? ?a .

a ? ? 就是与a 同方向的单位向量. 记作 |a | ? a 0 a? ? |a |

9

向量及其线性运算

例 试用向量方法证明:对角线互相平分的四边形 必是平行四边形. 证 ? AM ? MC

D
?

C
M

BM ? MD

A

B

? AD ? AM ? MD ? MC ? BM ? BC

? AD ∥ BC 且 AD ? BC 结论得证.

11

向量及其线性运算

? ? ? 设 a , b , c 均为非零向量,其中任意两个向量 ? ? ? ? 不共线, 但 a ? b 与 c 共线, 与 a 共线. 证明: ? ? ? ? a ? b ? c ? 0. ? ? ? ? ? ? 证 a ? b ? ?c , b ? c ? ?a , ? , ? 为常数. ? ? ? ? 上两式相减得: a ? c ? ? c ? ?a ? ? ? ? ? (1 ? ? )a ? (1 ? ? )c , 而a与c 不共线.
故只能 ? ? ? 0, 且1 ? ? ? 0. 1 ? ? ? ? 即? ? ?1, ? ? ?1 ? a ? b ? c ? 0.
12

? ? c?b

向量及其线性运算

三、空间直角坐标系
1. 空间点的直角坐标

z

竖轴

三个坐标轴的 正方向符合右手系
即以右手握住 z 轴,

? k

定点 O ?
? i

? j

y 纵轴

横轴 x 当右手的四个手指 π 从正向x轴以 角度 空间直角坐标系,称Oxyz 2 ? ? ? 坐标系 或 [O; i , j , k ] 坐标系. 转向正向y 轴时, 大 拇指的指向就是z轴 的正向. 点O叫做坐标原点 (或原点)
13

向量及其线性运算

z

yOz面


Ⅲ Ⅳ

zOx面 Ⅱ

O

xOy面

x




y

空间直角坐标系共有八个卦限
14

向量及其线性运算
1? ? ?? 1? 有序数组 ( x , y , z ) ? 空间的点

特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R,

坐标面上的点 A, B , C , O ( 0,0,0).
z
R(0,0, z )
B (0, y , z )
? M ( x, y, z )
O
Q (0, y ,0)

y

x

P ( x ,0,0)

A( x , y ,0)
15

向量及其线性运算

选择题 (1) 点M(2, -3, 1)关于坐标原点的对称点是( A ); (2) 点M(2, -3, 1)关于xOy面的对称点是( C ) ; (3) 点M(2, -3, 1)关于y 轴的对称点是( B ). (A) (-2, 3, -1); (C) (2, -3, -1); (B) (-2, -3, -1); (D) (-2, 3, 1).

16

向量及其线性运算

2. 空间两点间点的距离 M 设M1 ( x1 , y1 , z1 )、 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点. z

R
? M2
M1

d ? M1 M 2 ? ?

?

Q

P

o

x

y 2 2 2 2 d ? M 1 P ? PN ? NM 2

N

在直角三角形 ?M1 NM2 和 ?M1 PN 中, 用勾股定理

M1特殊地2 ? x1 , PN ? M (? ,yy ,,z )NM0,0,0z)2 ? z1 P ? x 若两点分别为 y2 x 1 , O( 2 ?
2 ? d ?M P 2 ? PN 2??yNMz 22 OM ? x 2 d?
1 2

M1 M 2 ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z2 ? z1 ?
2 2

2
17

空间两点间距离公式

向量及其线性运算

例 设P在x轴上, 它到点P1 (0, 2,3) 的距离为到

点P2 (0,1,?1) 的距离的两倍, 求点P的坐标.
解 设P点坐标为 ( x ,0,0)

PP1 ? x 2 ? ( 2 ) 2 ? 3 2 ? x 2 ? 11

PP2 ? x 2 ? ( ?1) 2 ? 12 ? x 2 ? 2
? PP1 ? 2 PP2

? x 2 ? 11 ? 2 x 2 ? 2 ? x ? ?1 所求点为 (1,0,0),
.)0,0,1? (

18

向量及其线性运算

四、利用坐标作向量的线性运算
? 优点 直观 有向线段表示向量 ? ? 缺点 不便于计算

向量的坐标表示式

19

向量及其线性运算

1. 两向量的夹角的概念
? ? 向量 a 与向量 b 的夹角

? ? ? ? a ? 0, b ? 0

? b

?

? ? ? ? ? ? (a , b ) ? (b , a )

(0 ? ? ? π)

? a

类似地, 可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地, 当两个向量中有一个零向量时, 规定 它们的夹角可在 0与π之间任意取值.

20

向量及其线性运算

2.向量在轴上的投影

空间一向量在轴上的投影

空间一点在轴上的投影
?

B A
A? B?
u

A
u

A?

过点A作轴u的垂直平面,

已知向量的起点A和终点B 在轴u上的投影分别为 A?, B? 那么轴u上的有向线段 A? B? 的值, 称为向量在轴u上的 投影. 轴u称为投影轴.
21

交点A? 即为点A在轴u上
的投影.

向量及其线性运算

Projection 向量 AB 在轴u上的投影 记为 Pr ju AB ? A?B?
投影性质1

( AB)u

向量 AB 在轴u上的 投影等于向量的模乘以 轴与向量的夹角的余弦: ju AB ?| AB | cos? Pr

( AB)u ?| AB | cos ?

A
A?


?

B
B??

B?

u? u

投影有正、 负之分;模只为正值.
22

向量及其线性运算

投影性质2 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量

在该轴上的投影之和. (可推广到有限多个) ? ? ? ? Pr ju (a1 ? a2 ) ? Pr ju a1 ? Pr ju a2 投影性质3

? ? Pr ju (?a ) ? ? ? Pr jua

23

向量及其线性运算

? 的两个点. e 是与轴u同方向的单位向量(如图), ? 证明 : AB ? ( u2 ? u1 )e .
?

例 O是轴u坐标原点,

? e

O

1

A ? u1

B ? u2

u

? 证 因点A的坐标为 1 , 即OA ? u1 ,故 OA ? u1e , u ? 同 理 OB ? u2e . 于 是
AB ? OB ? OA

2
24

u , 1u为次依标坐B、A

? ? ? . e) 1u ? 2u ( ? e1u ? e2u ?

向量及其线性运算

3. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 ? 设a ? M1 M 2 为一向量,

点M1 , M 2在轴u上投影分别
为点P1 , P2 . 又设P1 , P2在轴u o 上坐标分别为 u1 , u2 .

M2

M1 P1( u1 ) P2( u2 )

u

由向量M1 M 2在轴u上的投影 ( M1 M 2 ) ? au .

而P1 P2 ? OP2 ? OP1 ? u2 ? u1 . 因此 au ? u2 ? u1 .

? 如 e 是与轴 u正向一致的单位向量, 可知:
? ? P1 P2 ? aue ? ( u2 ? u1 )e .

25

向量及其线性运算

x轴分向量 y轴分向量 z轴分向量 ? a ? M1 M 2 , 起点 M1 ( x1 , y1 , z1 ), 终点 M 2 ( x2 , y2 , z2 ) ? ? ? z ?
R

a ? a x i ? a y j ? az k

? k ? x i

M1

?

? a

? M2

Q

向量在x轴上的投影 a x ? x2 ? x1 坐标

o

P

? j

N

y

向量在y轴上的投影 a y ? y2 ? y1 坐标

向量在z轴上的投影 按基本单位向量的 az ? z2 ? z1 坐标 坐标分解式: ? ? ? ? a ? M1 M 2 ? ( x2 ? x1 )i ? ( y2 ? y1 ) j ? ( z2 ? z1 )k 向量的坐标表达式: 特殊地 OM ? ( x , y , z ) ? a ? M1 M 2 ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )

26

向量及其线性运算

4.利用坐标作向量的线性运算

? ? a ? (a x , a y , az ) b ? (bx , by , bz ) ? ? a ? b ? (a x ? bx , a y ? b y , a z ? bz ) ? ? a ? b ? (a x ? bx , a y ? b y , a z ? bz )

? ? ? ? (a x ? bx )i ? (a y ? by ) j ? (az ? bz )k

? ?a ? ( ?a x , ?a y , ?a z ) ? ? ? ? (?a x )i ? (?a y ) j ? (?az )k

? ? ? ? (a x ? bx )i ? (a y ? by ) j ? (az ? bz )k

27

向量及其线性运算

由 定理 设向量 ? ? 使 b ? ?a . 按坐标表示式即为:

? ? 则b∥ a ? 存在唯一的实数 ?

? ? 也即向量 b 与a 对应的坐标成比例: bx b y bz ? ? a x a y az
注 当分母为零理解为分子也为零.

) za , y a , x a( ? ? ) zb , yb , xb(

? ? ,0 ? a

28

向量及其线性运算

M为有向线段AB的定比分点 例 已知两点 A( x1 , y1 , z1 )和B( x2 , y2 , z2 ) 以及实数 ? ? ?1,在直线AB上求点M, 使 z A AM ? ? MB M 解 设 M ( x , y , z )为直线上的点, B

.

AM ? ( x ? x1 , y ? y1 , z ? z1 )

o

y

MB ? ( x2 ? x , y2 ? y, z2 ? z ) x ( x ? x1 , y ? y1 , z ? z1 ) ? ? ( x2 ? x , y2 ? y, z2 ? z ) x1 ? ? x2 x ? x1? ? ( x2 ? x ) ? x ? , 1? ? y1 ? ? y2 z1 ? ? z2 , z? . 同理,得 y ? 1? ? 1? ?
29

向量及其线性运算

五、向量的模、方向角
(direction angle )
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称之为

? ? ? 非零向量 a 的方向角: 、 ? 、
z

M1
O

? ?

? ? a

? M2

0 ? ? ? π,
0 ? ? ? π,

?

y

0 ? ? ? π.

x
30

向量及其线性运算

z

由图分析可知 ? ? ? M2 a x ? | a | cos ? ? a ? M1 ? Q ? ? a y ? | a | cos ? P ? y az ? | a | cos ? O
R

x 方向余弦 通常用来表示向量的方向. (direction cosine )

向 量 的 方 向 余 弦

M1 M 2 ?

M 1 P ? M 1Q ? M 1 R
2 2

2

? 2 2 2 | a |? a x ? a y ? a z 向量模长的坐标表示式
31

向量及其线性运算

向量方向余弦的坐标表示式

2 2 2

a x ? a y ? a z ? 0 时, ay ax cos? ? , cos ? ? 2 2 2 2 2 2 a x ? a y ? az a x ? a y ? az az cos? ? 2 2 2 a x ? a y ? az
方向余弦的特征

? a x ?| a | cos? ? a y ?| a | cos ? ? az ?| a | cos?

cos 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? 1
? a ? ao ? |a |
32

? ) ? soc , ? soc , ? soc(

特殊地

向量及其线性运算

? a o a ? ? ? ? ? ? |a | 例 求平行于向量 a ? 6i ? 7 j ? 6k 的单位向量
的分解式.

解 所求向量有两个, 一个与 a 同向, 一个与 a 反向.

? ?| a |? 62 ? 7 2 ? ( ?6)2 ? 11 ? a 6? 7 ? 6 ? 0 ?a ? ? ? i ? j? k | a | 11 11 11 ? a 0 6? 7 ? 6 ? 或a ?? ? ?? i ? j ? k. |a | 11 11 11

33

向量及其线性运算

例 设有向量 P1 P2 , 已知 | P1 P2 | ? 2, 它与x轴和y轴的 π π 夹角分别为 和 , 如果P1的坐标为(1, 0, 3), 3 4 求P2的坐标.

? 解 设向量 P1 P2 的方向角为 ? 、 ? 、 π π 1 ? ? , ? ? ? cos? ? , cos ? ? 2 3 4 2 2
? cos 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? 1 π 2π 1 ? cos? ? ? ? ? ? , ? ? . 3 3 2
34

向量及其线性运算

P1 (1,0,3), | P1 P2 |? 2
设P2的坐标为( x , y , z )

( P1 P2 ) x cos ? ? | P1 P2 |

x ?1 x ?1 1 ? ? x ? 2, cos? ? | P P | ? 2 2 1 2

y?0 y?0 2 cos ? ? ? ? ? y? | P1 P2 | 2 2

2,

z?3 z?3 1 cos ? ? ? ? ? ? z ? 4, z ? 2, | P1 P2 | 2 2

P2的坐标为 (2, 2,4), (2, 2,2).
35

向量及其线性运算

? ? ? ? ? ? ? ? 例 设m ? 3i ? 5 j ? 8k , n ? 2i ? 4 j ? 7k , ? ? ? ? ? ? ? ? p ? 5i ? j ? 4k , 求向量 a ? 4m ? 3n ? p x轴上的 投影及在y轴上的分向量.

? ? ? ? 解 ? a ? 4m ? 3n ? p ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4( 3i ? 5 j ? 8k ) ? 3( 2i ? 4 j ? 7k ) ? (5i ? j ? 4k ) ? ? ? ? 13i ? 7 j ? 15k
? 在x轴上的投影为 a x ? 13, ? ? 在y轴上的分向量为 a y j ? 17 j .
36

向量及其线性运算

六、小结
向量的概念 (注意与标量的区别) 向量的线性运算 (平行四边形法则, 三角形法则, 注意数乘后的 方向) 空间直角坐标系 (轴、面、卦限) (注意它与平面直角坐标系的区别) 空间两点间距离公式
M1 M 2 ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z2 ? z1 ?
2 2

2

37

向量及其线性运算

向量在轴上的投影与投影性质.

向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.
(注意分向量与坐标的区别) 利用坐标作向量的线性运算. 向量的模与方向角.

38

向量及其线性运算

? ? m ? (1,1,0) n ? (0,?2,1) ? ? ? ? ? ? 思考题1 设m ? i ? j , n ? ?2 j ? k , 求以向量 ? ? m, n 为边的平行四边形的对角线的长度.

思考题1 解答

? ? ? ? 对角线的长为 | m ? n |, | m ? n | ? m ? ? ? ? ? m ? n ? (1,?1,1) m ? n ? (1,3,?1) ? ? ? | m ? n |? 12 ? ( ?1)2 ? 12 ? 3 ? ? | m ? n |? 12 ? 32 ? ( ?1)2 ? 11 平行四边形的对角线的长度各为 3, 11.
39

? n

向量及其线性运算

思考题2
已知平行四边形的三个顶点 A(r1 ), B( r2 ), C ( r3 ), 则与顶点B相对的第四个顶点D为 ( B ).

( A) r1 ? r2 ? r3 ; (C ) r1 ? r2 ? r3 ;

( B) r1 ? r2 ? r3 ; ( D) r1 ? r2 ? r3 .

r2 r3 , 提示 : r1、、均为向径设D(r4 ).

40

向量及其线性运算

思考题2解答

D A B

C

由?OAB, AB ? r2 ? r1

? AB∥ CD, | AB |?| CD | r1

r4 r2 r 3

CD ? ? AB ? ?(r2 ? r1 ) ? r1 ? r2 O
由?OCD, r4 ? r3 ? CD ? r3 ? r1 ? r2

? r1 ? r2 ? r3 .

41

向量及其线性运算

作业
习题7-1 (374页) 1. 2. 3. 7. 9. 习题7-2 (380页) 1. 2. 3. 习题7-3 (391页) 1. 2. 4. 6. 8.
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