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相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式


相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式
【知识疏理】 一, 相似三角形边长比,和周长比以及面积比的关系! 若两个相似三角形的对应角的平分线之比是 1∶2,则这两个三角形的对应 高线之比是 --------- ,对应中线之比是 ------------ ,周长之比是 --------- ,面积之比是 -------------,若两个相似三角形的面积之比是 1∶2,则

这两个三角形的对应的角平 分线之比是 ---------- ,对应边上的高线之比是 -------对应边上的中线之比是 ----------,周长之比是--------------。
A

A'

B

C

B'

C'

图1

图 ( 4)

二, 相似三角形证明的变式 1,相似三角形当中常以乘积的形式出现,如: 例1、 已知:如图 1,BE、DC 交于点 A,∠E=∠C。求证:DA·AC=BA·AE
E D A B C

图2 题目比较简单,学生独立完成,启发学生总结:①本题找对应角的特殊方法 是对顶角相等;②要想证明乘积式或比例式,应先证明三角形相似。 2,对特殊图形的认识 例 2、已知:如图 3,Rt△ABC 中,∠ABC=90?,BD⊥AC 于点 D。
A D

B

C

图3 (1) 图中有几个直角三角形?它们相似吗?为什么? (2) 用语言叙述第(1)题的结论。 (3) 写出相似三角形对应边成比例的表达式。 总结: (1) 有一对锐角相等的两个直角三角形相似; (2) 本题找对应角的方法是公共角及同角的余角相等;
1

双垂直图形中的 BD 2 =AD·CD,AB 2 =AD·AC,BC 2 =CD·CA,BC·AB=AC·BD 等结论很重要,它们在计算、证明中应用很普遍,但需先证明两个三角形相似得 到结论,再加以应用。在此基础上,将双垂直图形转化
A D

为“公边共角” ,讨论、探究, 得到结论: 由公边共角的两个相似三角形中,公边是两个三角形中落在一条直线 上的两边的比例中项,即若△ABD∽△ACB,则 AB 2 =AD·AC。 【课堂检测】 一选择题 1、一个三角形的三边长为 5,5,6,与它相似的三角形最长边为 10,则后一个 三角形的面积为( ) 100 108 A、 B、20 C、 4 5 D、 3 25 2、如图,梯形 ABCD 中,AB∥CD,如果 S△ODC:S△BDC=1:3,那么 S△ODC:S△ABC 的值 是( ) 1 1 1 1 A、 B、 C、 D、 5 6 7 9 D C A D O A B B P C

B

C

(第 2 题图) (第 4 题图) 3、已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形,如果两腰的比是 1:4,则 两底的比是( ) A、1:2 B、1:4 C、1:8 D、1:16 0 4、已知,梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90 ,对角线 AC⊥BD,垂足为 P,已知 AD:BC=3:4,则 BD:AC 的值是 ( ) A、 3 :2 B、2:3 C、 3 :3 D、3:4 )

5、如图,已知:∠BAO=∠CAE=∠DCB,则下列关系式中正确的是( AB BC AC BC AB BC AC AB ? ? ? ? A、 B、 C、 D、 AD AE AE AD DE AE AE AD

2

A E B O

C

C E A D B (第 5 题图) (第 6 题图) 0 6、如图,直角三角形 ABC 中,∠ACB=90 ,CD⊥AB 于 D,DE⊥AC 于 E,则下列说 法中正确的有( ) ① 图 中 有 4 个 三 角 形 与 △ACB 相 似 ; ③∠A=∠BCD=∠CDE; CD= A、6 个
16 ; 3

D



DE 2 ? AE ? EC;



AD CE ? ; AC BD

⑤ 若 AC=4, BC=3 ,则

⑥ B、5 个

AE AD ? 。 EC DB C、4 个

D、3 个 ) D、不能确定

7.两个三角形周长之比为 95,则面积比为( A、9∶5 B、81∶25 C、3∶ 5

8.RtΔ ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,DE⊥AC 于 E,那么和Δ ABC 相似但不 全等的三角形共有( ) A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 9.在 RtΔ ABC 中,∠C=90°,CD⊥AB 于 D,下列等式中错误的是( A、AD? BD=CD2 B、AC?BD=CB?AD C、AC2=AD?AB D、AB2=AC2+BC2 )

AF 1 CG 10. 在平行四边形 ABCD 中, E 为 AB 中点, EF 交 AC 于 G, 交 AD 于 F, = 则 FD 3 GA 的比值是( A、2 ) B、3 C、4 D、5

11.在 RtΔ ABC 中,AD 是斜边上的高,BC=3AC 则Δ ABD 与Δ ACD 的面积的比值是 ( ) A、2 B、3 C、4 D、8 12.在 RtΔ ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,则 BD∶AD 等于( A、a∶b B、a2∶b2 C、 a ∶ b D、不能确定 )

3

二,填空题 1、如图,在△ABC 中,DE∥BC, AD:AC=2:1,则△ADE∽△ △ABC 的面积:△ADE 的面积= . C A A E D 1 E D G A D (第 1 题图) B B (第 2 题图) C B

,∠C=∠

E

F C (第 3 题图)

2、已知:如图,直线 DE 交△ABC 的两边 AB、AC 于点 D、E,且∠1=∠B 则

( (

) ( ? ) (

) ( ? ) (

) . )

3、如图,DE∥BC,则△ ∽△ ,若 AD=3,BD=2,AF⊥BC,交 DE 于 G,则 AG:AF= : , △AGE∽△AFC,且它们的相似比为 . 4、如图,平行四边形 ABCD 中,P 是 CD 上的一点,CP:DP=3:4,则三角形 APB 的面 积:平行四边形 ABCD 的面积= ,S△BCP:S△APD:S△APB= : : 5、已知:如图,梯形 ABCD 的上底 CD=10cm,下底 AB=28cm,高为 12cm,点 M 为 腰 AD、BC 的交点,则点 M 到上底 CD 的距离为 cm,点 M 到下底 AB 的 距离为 cm. D P C M
D C

D

C

B B A B A (第 6 题图) (第 4 题图) (第 5 题图) 6、 如图, 在直角梯形 ABCD 中, BC⊥AB, BD⊥AD, CD∥AB, 且 BD=3, CD=2, 则下底 AB 的长是 .

A

7、 如图, 在△ABC 中, DE∥BC,且△ADE 的周长与△ABC 的周长之比为是 3:7, 若 DE=15cm,则 BC= cm, AD:BD= . A A D B E ( D C (第 7 题图) C (第 8 题图) B

4

2 AB ,在 3 AC 上取一点 E,使以 A、D、E 为顶点的三角形和△ABC 相似,则 AE 等于 .

8、如图,在△ABC 中,AB=12,AC=15,D 为 AB 上一点,且 AD=

9、若△ABC∽△A1B1C1,AB=3,A1B1=4.5,且 S△ ABC +S△ A1 B1C1 =78,则 S△ A1 B1C1 = . 10、如图,CD 是直角三角形 ABC 斜边上的高, (1)若 AD=9cm,则 BD= (2)已知 AB=25cm,BC=15cm,则 BD= . C ;

A

D

B

【强化练习】 1、已知:如图,△ABC 是等边三角形,点 D、E 分别在 BC,AC 且 BD=CE,AD、 BE 相交于点 M (1)△AME∽△BAE; (2)BD2=AD ? DM. A

E M B D C

2、已知:如图,AD 是△ABC 的角平分线,AD 的垂直平分线 EF 交 CB 的延长 线于点 F, A 求证: FD2 ? FB ? FC

E

F

B

D

C

5

3、已知:如图,四边形 ABCD 中,∠A=∠BCD=900,过 C 作对角线 BD 的垂线 交 BD、AD 于点 E、F。 求证: EF 2 ? DF ? DA D F A E B C

4、如图,在 RtΔ ABC 中,∠ADB=90°,CD⊥AB 于 C,AC=20CM,BC=9CM,求 AB 及 BD 的长
D

A

C

B

5、如图,已知Δ ABC 中,AD 为 BC 边中线,E 为 AD 上一点,并且 CE=CD, ∠EAC=∠B,求证:Δ AEC∽Δ BDA,DC2=AD?AE
A

E B C

D

6


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