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2013年5月3日安庆市高三模拟考试数学(理科)


2013 年安庆市高三模拟考试(三模) 数学试题(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. 已知 i 是虚数单位,则 (1 ? ) ? (
6

1 i

) C. ? 8i D. -8

A. 8

B. 8i

2. 将函数 f ( x ) ? sin( 2 x ? 析式为 ( )

?
3

) 的图像向左平移

? 个单位, 得到 g (x) 的图像, g (x) 的解 则 12

A. g ( x) ? cos 2 x C. g ( x) ? sin 2 x

B. g ( x) ? ? cos 2 x D.

g ( x) ? sin( 2 x ?

5? ) 12
)

3. 在正项等比数列 {an } 中, lg a3 ? lg a6 ? lg a9 ? 3 ,则 a1 a11 的值是 (

A. 10000 B. 1000 C. 100 D. 10 4.设 x、 、z 是空间的不同直线或不同平面, y 下列条件中能保证 “若 x⊥z, y⊥z, x∥y” 且 则 为真命题的是 ( ) A. x 为直线,y、z 为平面 B. x、y、z 为平面 C. x、y 为直线,z 为平面 D. x、y、z 为直线 5.设 P ? {x ? R |

1 ? 1} ,Q ? {x ? R | ln(1 ? x) ? 0} ,则“ x ? P ”是“ x ? Q ”的 ( x
B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

)

A. 必要不充分条件 C. 必要条件 6.已知直线 l 的参数方程为: ?

? x ? 4t (t 为参数)圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 sin ? , , ? y ? 3 ? 4t
C. 相切 D. 相交

那么,直线 l 与圆 C 的位置关系是 ( ) A. 直线 l 平分圆 C B. 相离 7.已知点 F1、F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,点 P 是双曲线上的一点, a2 b2
) D. a2

且 PF ? PF2 ? 0 ,则 ?PF F2 面积为 ( 1 1 A. ab B. 1 ab 2 C. b2

3 2 8.对于三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) , 给出定义: f ?(x) 是函数 y ? f (x) 的 设

导数, f ??(x) 是函数 f ?(x) 的导数,若方程 f ??(x) =0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0))为函 数 y ? f (x) 的“拐点” 。某同学经过探究发现:任何一个一元三次函数都有“拐点” ;且该

“ 拐 点 ” 也 为 该 函 数 的 对 称 中 心 。 若 f ( x) ? x ?
3

3 2 1 x ? x ?1 , 则 2 2

f(

1 2 2 0 1 3 )? f( ) ? ??? ? f ( ) =( 2 0 1 4 2 0 1 4 2 0 1 4

) D. 2014 )

A. 1 B. 2 C. 2013 9. 阅读下列程序框图,运行相应程序,则输出的 S 值为 ( n=n+1

开始

n=1,S=1

2 n ?1 ? ? S=S· cos 7
1 8
C.

否 n≥3



输出 S

结束

A. ?

1 8

B.

1 16

D.

1 32
2 2

10.已知函数 f ( x) ? lg(ax2 ? 2bx ? a) 且a,b ? R , f (x) 的值域为 R, (a+2)+(b-1) 若 则 的取值范围是( A. (2,+∞) ) B. [2,+∞) C. [4,+∞) D.(4,+∞)

二、填空题: (本题共 5 小题, 每小题 5 分,共 25 分。 ) 11. 抛物线 y ? 2x 2 的焦点坐标是____________ 12. 某班主任对全班 30 名男生进行了作业量多少的调查,数据如下表: 认为作业多 喜欢玩电脑游戏 不喜欢玩电脑游戏 总数 12 2 14 认为作业不多 8 8 16 总数 20 10 30

该班主任据此推断男生喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关, 这种推断犯错误的概 率不超过____________ 附: K ?
2

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P( K 2 ? k )
k

0.050 3.841

0.010 6.625

0.001 10.828

13. “公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则数列 {

Sn d } 是公差为 的等差数列” 。 2 n

类比上述性质有: “公比为 q 的正项等比数列 n} {b 的前 n 项积为 Tn, 则数列____________” 。 14. 从 0,1,2,3,4,5 这 6 个数字中任意取 4 个数字组成一个没有重复数字的四位数, 这个数能被 3 整除的概率为____________ 15. 在三角形 ABC 中,若角 A、B、C 所对的三边 a、b、c 成等差数列,则下列结论中正确 的是____________。 ①b2≥ac; ②

1 1 2 ? ? ; a c b

③b ?
2

a2 ? c2 ; 2

④ tan

2

B A C ? tan tan ; 2 2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤。 16.(本小题满分 12 分) 如图,倾斜角为 ? 的直线 OP 与单位圆在第一象限的部分交于点 P,单位圆与坐标轴交 于 点 A(-1,0) , 点 B(0,-1) , PA 与 y 轴 交 于 点 N , PB 与 x 轴 交 于 点 M , 设

PO ? xPM ? y PN, , y ? R) (x
(1)用角 ? 表示点 M、点 N 的坐标; (2)求 x+y 的最小值。

17.(本小题满分 12 分) 选聘高校毕业生到村任职, 是党中央作出的一项重大决策, 这对培养社会主义新农村建 设带头人、引导高校毕业生面向基层就业创业,具有重大意义。为了响应国家号召,某大学 决定从符合条件的 6 名(其中男生 4 人,女生 2 人)报名大学生中选择 3 人,到某村参加村 委会主任应聘考核。 (Ⅰ)设所选 3 人中女生人数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望; (Ⅱ)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率。

18.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱与底面 ABC 垂直,底面 ABC 是等腰直角三角形, ∠ACB=90°,侧棱 AA1=2,D、E 分别是 CC1 与 A1B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影 是△ABD 的垂心 G C1 (1)求证:AD⊥A1B; (2)求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小。 A1 B1 D E G A B C

19.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 8x与g ( x) ? bx ? cx 的图像都过点 P(2,0),且它们在点 P 处有
3 2

公共切线. (1)求函数 f (x) 和 g (x) 的表达式及在点 P 处的公切线方程; (2)设 F ( x) ?

mg ( x) ? ln( x ? 1),其中 m ? R,求 F ( x) 的单调区间。 8x

20.(本小题满分 13 分) 已知焦点在 x 轴上的椭圆 C1:

x2 y2 x2 y2 ? ? 1和双曲线C 2 : 2 ? 2 ? 1 的离心率互为 a 2 12 m n

倒数,它们在第一象限交点的坐标为 (

4 10 6 5 , ) ,设直线 l : y ? kx ? m(其中 k,m 为整 5 5

数). (1)试求椭圆 C1 和双曲线 C2 的标准方程; (2)若直线 l 与椭圆 C1 交于不同两点 A、B,与双曲线 C2 交于不同两点 C、D,问是 否存在直线 l,使得向量 AC ? BD ? 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请 说明理由。

21.(本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 满足 a n ? (1)当 a ? ?

an ? 2 ,且 a1=a, an ? 1

7 时,求出数列 {an } 的所有项; 5

(2)当 a=1 时,设 bn ?| an ? 2 | ,证明: n?1 ? bn ; b (3)设(2)中的数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn,证明: S n ?

2


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