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上外数学综合1


1.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,延长 CB 到点 E,使 BE=AD,连接 DE 交 AB 与点 M, (1)求证:△AMD≌△BME; (2)若 N 是 CD 的中点,且 MN =5,BE=2,求 BC 的长.

2. 如图,一次函数 y1 ? k1 x ? 2 与反比例函数 y2 ? C. (1) k1 = , k2 = ;

/>k2 的图象交于点 A(4, m) 和 B(?8, ?2) ,与 y 轴交于点 x

(2)根据函数图象可知,当 y1 > y2 时,x 的取值范围是



(3)过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D,点 P 是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线 OP 与线段 AD 交于点 E,当 S四边形ODAC : S? ODE =3:1 时,求点 P 的坐标.

1

3.如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,BC=5 3,∠C=30°,点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以每秒 2 个单位长的 速度向点 A 匀速运动, 同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动, 当其中一 个点到达终点时, 另一个点也随之停止运动.设点 D、 运动的时间是 t 秒 E (t>0) .过点 D 作 DF⊥BC 于点 F, 连接 DE、EF. (1)求证:AE=DF; (2)四边形 AEFD 能够成为菱形吗?如果能,求出相应的 t 值;如果不能,说明理由. (3)当 t 为何值时,△DEF 为直角三角形?请说明理由.

4.如图,在平面直角坐标系中,直线 y ? 上,点 B 的横坐标为-8. (1)求该抛物线的解析式;

3 3 1 x ? 与抛物线 y ? ? x 2 ? bx ? c 交于 A、B 两点,点 A 在 x 轴 4 2 4

(2)点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点(不与点 A、B 重合) ,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,交直 .. 线 AB 于点 D,作 PE⊥AB 于点 E. ①设△PDE 的周长为 l,点 P 的横坐标为 x,求 l 关于 x 的函数关系式,并求出 l 的最大值; ②连接 PA,以 PA 为边作图示一侧的正方形 APFG.随着点 P 的运动,正方形的大小、位置也随之改变.当顶点 F 或 G 恰好落在 y 轴上时,直接写出对应的点 P 的坐标.

2

5.如图, 抛物线 y=-x2+bx+c 与直线 y ?

1 7 D 其中点 C 在 y 轴上, D 的坐标为 (3, ) . 点 点 x ? 2 交于 C、 两点, 2 2

P 是 y 轴右侧的抛物线上一动点,过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E,交 CD 于点 F. (1)求抛物线的解析式; (2)若点 P 的横坐标为 m,当 m 为何值时,以 O、C、P、F 为顶点的四边形是平行四边形?请说明理由. (3)若存在点 P,使∠PCF=45°,请直接写出相应的点 P 的坐标. .... y P D C F C D y

A O

E

B

x

A O

B

x

备用图

3

6.如图 1,将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°. (1)操作发现 如图 2,固定△ABC,使△DEC 绕点 C 旋转,当点 D 恰好落在 AB 边上时,填空: ①线段 DE 与 AC 的位置关系是_________; ②设△BDC 的面积为 S1,△AEC 的面积为 S2,则 S1 与 S2 的数量关系是_________________. B(E) B

D

E

A(D) 图1 (2)猜想论证

C

A 图2

C

当△DEC 绕点 C 旋转到图 3 所示的位置时,小明猜想(1)中 S1 与 S2 的数量关系仍然成立,并尝试分别作出 了△BDC 和△AEC 中 BC、CE 边上的高,请你证明小明的猜想. B

N A

M

D

C

图3 (3)探展探究 已知∠ABC=60°,点 D 是其角平分线上一点,BD=CD=4,DE//AB 交 BC 于点 E(如图 4). 若在射线 BA 上存在点 F,使 S△DCF=S△BDE, 请直接写出相应的 BF 的长. .... A

E

D

B
4

E 图4

C


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