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初高中衔接教材 1.2 分解因式


1.2 分解因式

初高中数学衔接教材

1.2

分解因式

因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应 了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法 例 1 分解因式: (1)x2-3x+2; (3) x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 ; (2)x2+4x-12; (4) xy ? 1 ? x ? y .

解: (1)如图 1.2-1,将二次项 x2 分解成图中的两个 x 的积,再将常数项 2 分解成- 1 与-2 的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为-3x,就是 x2-3x+2 中的一次项, 所以,有 x2-3x+2=(x-1)(x-2).
x x -1 -2 1 1 -1 -2 1 1 图 1.2-3 -2 6

图 1.2-1

图 1.2-2

说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图 1.2-1 中的两个 x 用 1 来表示(如图 1.2-2 所示) . (2)由图 1.2-3,得 x -ay x2+4x-12=(x-2)(x+6). (3)由图 1.2-4,得 x -by

x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 = ( x ? ay)( x ? by)
(4) xy ? 1 ? x ? y =xy+(x-y)-1 =(x-1) (y+1) (如图 1.2-5 所示) . 2.提取公因式法与分组分解法

图 1.2-4 x y 图 1.2-5 -1 1

例 2 分解因式: (1) x3 ? 9 ? 3x2 ? 3x ; (2) 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 . 解: (1) x3 ? 9 ? 3x2 ? 3x = ( x3 ? 3x2 ) ? (3x ? 9) = x2 ( x ? 3) ? 3( x ? 3) = ( x ? 3)( x2 ? 3) . 或 x3 ? 9 ? 3x2 ? 3x = ( x3 ? 3x2 ? 3x ? 1) ? 8 = ( x ? 1)3 ? 8 = ( x ? 1)3 ? 23 = [( x ? 1) ? 2][( x ? 1)2 ? ( x ? 1) ? 2 ? 22 ] = ( x ? 3)( x2 ? 3) . (2) 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 = 2x2 ? ( y ? 4) x ? y 2 ? 5 y ? 6 = 2x2 ? ( y ? 4) x ? ( y ? 2)( y ? 3) = (2 x ? y ? 2)( x ? y ? 3) . 或 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 = (2x2 ? xy ? y 2 ) ? (4x ? 5 y) ? 6 = (2 x ? y)( x ? y) ? (4 x ? 5 y) ? 6 = (2 x ? y ? 2)( x ? y ? 3) .
1

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3.关于 x 的二次三项式 ax +bx+c(a≠0)的因式分解. 若关于 x 的方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个实数根是 x1 、 x2 , 则二次三项式 ax2 ? bx ? c(a ? 0) 就可分解为 a( x ? x1 )( x ? x2 ) . 例 3 把下列关于 x 的二次多项式分解因式: (1) x 2 ? 2 x ? 1 ; (2) x2 ? 4 xy ? 4 y 2 .

解: (1)令 x 2 ? 2 x ? 1 =0,则解得 x1 ? ?1 ? 2 , x2 ? ?1? 2 , ∴x 2 ? 2 x ? 1 = ? x ? (?1 ? 2) ? ? x ? (?1 ? 2) ? ? ?? ? = ( x ? 1 ? 2)( x ? 1 ? 2) . (2)令 x2 ? 4 xy ? 4 y 2 =0,则解得 x1 ? (?2 ? 2 2) y , x1 ? (?2 ? 2 2) y , ∴x2 ? 4 xy ? 4 y 2 = [ x ? 2(1 ? 2) y][ x ? 2(1 ? 2) y] .
练 习 1.选择题: 多项式 2 x2 ? xy ?15 y 2 的一个因式为 (A) 2 x ? 5 y 2.分解因式: (1)x2+6x+8; (3)x2-2x-1; (B) x ? 3 y (C) x ? 3 y ( (D) x ? 5 y )

(2)8a3-b3; (4) 4( x ? y ? 1) ? y( y ? 2 x) . 习题 1.2

1.分解因式: (1) a ? 1 ;
3

(2) 4 x ? 13x ? 9 ;
4 2

(3) b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc ;
2 2

(4) 3x ? 5xy ? 2 y ? x ? 9 y ? 4 .
2 2

2.在实数范围内因式分解: (1) x ? 5 x ? 3 ;
2

(2) x ? 2 2 x ? 3 ;
2

(3) 3x ? 4 xy ? y ;
2 2
2 2 2

(4) ( x ? 2x) ? 7( x ? 2x) ? 12 .
2 2 2

3. ?ABC 三边 a , b , c 满足 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ,试判定 ?ABC 的形状. 4.分解因式:x2+x-(a2-a).

参考答案 1.2 分解因式 1. B 2. (1)(x+2)(x+4) (3) ( x ?1 ? 2)( x ?1 ? 2)

(2) (2a ? b)(4a2 ? 2ab ? b2 ) (4) (2 ? y)(2 x ? y ? 2) .
2

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1. (1) ? a ? 1? ? a ? a ? 1?
2

习题 1.2 (2) ? 2x ? 3?? 2x ? 3?? x ? 1?? x ? 1? (4) ?3 y ? y ? 4?? x ? 2 y ? 1?

(3) ?b ? c ??b ? c ? 2a ?

? 5 ? 13 ? ? 5 ? 13 ? 2. (1) ? x ? ?? x ? ? ; (2) x ? 2 ? 5 x ? 2 ? 5 ; ? ?? 2 ?? 2 ? ? ? ? 2 ? 7 ?? 2? 7 ? y ?? x ? y ? ; (4) ? x ? 3? ( x ? 1)( x ? 1 ? 5)( x ? 1 ? 5) . (3) 3 ? x ? ? ?? ? 3 3 ? ?? ? 3.等边三角形 4. ( x ? a ? 1)( x ? a)

?

??

?

3


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