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高中新课改数学定积分训练题


定积分训练题?
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分) .? 1.将和式的极限 lim A.

1 p + 2 p + 3 p + ....... + n p ( p > 0) 表示成定积分? n →∞ n P +1
B.

/>(? ? ? ? )?

?

1 ∫0 x dx ? ? ? ?
1



1

0

x p dx ? ?

C. ?

1 p ∫0 ( x ) dx ? ?
1

D. ?

∫ (n)
0

1

x

p

dx ?
(? ? ? ? )?

2.下列等于 1 的积分是? ? ? 3. ? A.

∫ xdx ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. ∫ ( x + 1)dx ? ?
0 0 2

1

1

C. 1dx ? ? ? ? ? ? ?
0



1

D. ?



1 dx ? 0 2
1

∫|x
0

1

? 4 | dx =?

?

? C.

(? ? ? ? )?

A.

21 22 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. ??????? 3 3

23 ????????? 3

D.

25 ? 3

4.已知自由落体运动的速率 v = gt ,则落体运动从 t = 0 到 t = t 0 所走的路程为? (? ? ? ? )?

?

gt 2 A. 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. gt 0 ? ? ? ? ? ? 3 3 2

2

gt C. 0 ? ? ? ? ? ? ? 2

2

gt D. 0 ? 6
? D.3? ? (? ? ? ? )? (? ? ? ? )?

2

5.曲线 y = cos x, x ∈ [0, π ] 与坐标周围成的面积? ? 6. ? A.4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B.2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. ? C.

5 ?????????? 2

∫ (e
0

1

x

+ e ? x )dx =?

A. e +

1 ? ? ? ? ? ? ? ? B.2e? ? ? ? ? ? ? ? ? ? e

2 ???????? e

D. e ?

1 ? e
) ?

7. 求由 y = e x , x = 2, y = 1 围成的曲边梯形的面积时, 若选择x为积分变量, 则积分区间为 ( ? A. [0, e 2 ]? B. [0,2] ? ? C. [1,2] ? 8.由直线 y = x, y = ? x + 1 ,及x轴围成平面图形的面积为? ? A. C. D. [0,1]? ? ?



? ? )?

∫ [(1 ? y ) ? y]dy
1 0

?

B.

∫ [(? x + 1) ? x]dx

1 2 0

?

∫ [(1 ? y ) ? y ]dy

1 2 0

?

D. x ? [(? x + 1)]dx ?



1

0

9.如果 1N 力能拉长弹簧 1cm,为将弹簧拉长 6cm,所耗费的功是? ? A.0.18? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B.0.26? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C.0.12? ? ? ? ? ? ? D.0.28?

(? ? ? ? )?

10.将边长为 1 米的正方形薄片垂直放于比彼一时为 ρ 的液体中,使其上距液面距离为 2 米, 则该正方形薄片所受液压力为? ? A. xρdx
2

? C. xρdx
0

?

(? ? ? ? )?



3

? ? B.

∫ (x + 2)ρdx ? ? ?
1

2



1

? ? ? ? ? ? D.

∫ (x + 1)ρdx ?
2

3

二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分) . 11.将和式 lim (
n →∞

1 1 1 + + ......... + ) 表示为定积分 n +1 n + 2 2n
.?



12.曲线 y = x 2 , x = 0, y = 1 ,所围成的图形的面积可用定积分表示为

利用定积分应表达为 13. 由 y = cos x 及 x 轴围成的介于 0 与 2π之间的平面图形的面积, 14.按万有引力定律,两质点间的吸引力 F = k
m1 m 2

. ?

,k为常数, m1 , m 2 为两质点的质量, r2 r为两点间距离,若两质点起始距离为a,质点 m1 沿直线移动至离 m 2 的距离为b处,试

求所作之功(b>a)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .? 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分).? 15.(12 分)计算下列定积分的值 (1)



3

?1

(4 x ? x )dx ; (2)∫ ( x ? 1) dx ; (3)∫ ( x + sin x)dx ; (4)∫ 2π cos 2 xdx ;
2 5 1
2 0
? 2

2

π

π

? ? ? ? 16. (12 分)求曲线 y = ? x 3 + x 2 + 2 x 与 x 轴所围成的图形的面积.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 17. (12 分)求由抛物线 y 2 = 4ax 与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

18. (12 分)一物体按规律x=bt3作直线运动,式中x为时间t内通过的距离,媒质的阻力正 比于速度的平方.试求物体由x=0 运动到x=a时,阻力所作的功.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 19. (14 分)设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根,且? f′(x)=2x+2.? (1)求 y=f(x)的表达式;? (2)求 y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积.? (2)若直线 x=-t(0<t<1=把 y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求 t 的值.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 20. (14 分)抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4 相切.此抛物线与x轴所围成的 图形的面积记为S.求使S达到最大值的a、b值,并求Smax.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

参考答案?
一、? 1.B;2.C;3.C;4.C;5.D;6.D;7.B;8.C;9.A;10.A;? 二、11.

∫ 1 + x dx ;12. ∫ (1 ? x
0

1

1

1

2

0

2π 1 1 )dx ;13. ∫ | cos x |dx ;14. km1 m 2 ( ? ) ;? 0 a b

三、? 15.(1)?

? (2)?

? (3)?

? (4)?

? 首先求出函数 y = ? x 3 + x 2 + 2 x 的零点:x1 = ?1 ,x 2 = 0 ,x 3 = 2 .又易判断出在 (?1 , 0) 16. 解: 内,图形在 x 轴下方,在 (0 , 2) 内,图形在 x 轴上方,?
37 ? 0 ?1 12 17.解:焦点坐标为 F (a,0) ,设弦 AB、CD 过焦点 F,且 AB ⊥ OF .?

所以所求面积为 A = ?



0

(? x 3 + x 2 + 2 x)dx +



2

(? x 3 + x 2 + 2 x)dx =

由图得知: S ACF > S AGF = S FBE > S FBD ,故 S ACFDOA > S AFBDOA .? 所求面积为: A = 2

y

A



2a ? 0

y2 ? ?a ? ?dy = 8a 2 .? ? 4a ? 3 ? ?

C G
F

x

O E

D B



18.解:物体的速度 V = 中 k 为比例常数,k>0.?

dx = (bt 3 ) ′ = 3bt 2 .媒质阻力 Fzu = kv 2 = k (3bt 2 ) 2 = 9kb 2 t 4 ,其 dt a b
1

当 x=0 时,t=0;当 x=a 时, t = t1 = ( ) 3 ,又 ds=vdt,故阻力所作的功为?

W zu = ∫ Fzu ds = ∫ kv 2 ? vdt = k ∫ v 3 dt = k ∫ (3bt 2 ) 3 dt =
0 0 0

t1

t1

t1

27 3 7 27 3 7 2 kb t1 = k a b ?? 7 7

19.解: (1)设f(x)=ax2+bx+c,则f′(x)=2ax+b,? 又已知 f′(x)=2x+2? ∴a=1,b=2.? ∴f(x)=x2+2x+c? 又方程 f(x)=0 有两个相等实根,? ∴判别式Δ=4-4c=0,即 c=1.? 故f(x)=x2+2x+1.? (2)依题意,有所求面积=



0 ?1

1 1 .? ( x 2 + 2 x + 1)dx = ( x 3 + x 2 + x) |0 ?1 = 3 3

(3)依题意,有 ∴(



?t ?1

2 ( x 2 + 2 x + 1)dx = ∫ 0 ?t ( x + 2 x + 1)dx ,?

1 3 2 1 1 1 3 1 3 t 2 0 x + x 2 + x) | ? t +t -t+ = t3-t2+t,2t3-6t2+6t-1=0,? ?1 = ( x + x + x ) | ? t ,- 3 3 3 3 3
1 .? 2

∴2(t-1)3=-1,于是t=1-

3

评述:本题考查导数和积分的基本概念.? 20.解 依题设可知抛物线为凸形,它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0,x2=-b/a,所以

S = ∫ a (ax 2 + bx)dx =
0

?

b

1 3 b (1) 6a 2

又直线x+y=4 与抛物线y=ax2+bx相切,即它们有唯一的公共点, 由方程组 ?

?x + y = 4
2 ? y = ax + bx

得ax2+(b+1)x-4=0,其判别式必须为 0,即(b+1)2+16a=0. 于是 a = ?

1 (b + 1) 2 , 代入(1)式得: 16

S (b) =

128b 3 128b 2 (3 ? b) ′ , ( b > 0 ) , S ( b ) = ; 6(b + 1) 4 3(b + 1) 5
9 . 2

令 S'(b)=0;在 b>0 时得唯一驻点 b=3,且当 0<b<3 时,S'(b)>0;当 b>3 时,S'(b)<0.故 在 b=3 时,S(b)取得极大值,也是最大值,即 a=-1,b=3 时,S 取得最大值,且 S max = ?


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