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复数与多项式 讲义


复数与多项式

讲义

一、基础知识 2 1.复数的定义:设 i 为方程 x =-1 的根,i 称为虚数单位,由 i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产 生形如 a+bi(a,b∈R)的数,称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用 C 来表示。 2.复数的几种形式。对任意复数 z=a+bi(a,b∈R) 称实部记作 Re(z),b 称

虚部记作 Im(z). z=ai 称为 ,a 代数形式,它由实部、虚部两部分构成;若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标,那么 z 与坐标平面唯一一个 点相对应,从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来 表示,表示复数的平面称为复平面,x 轴称为实轴,y 轴去掉原点称为虚轴,点称为复数的几何形式;如果 将(a,b)作为向量的坐标,复数 z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式, 称为向量形式; 另外设 z 对应复平面内的点 Z, 见图 15-1, 连接 OZ, 设∠xOZ=θ ,|OZ|=r, a=rcosθ ,b=rsin 则 θ ,所以 z=r(cosθ +isinθ ),这种形式叫做三角形式。若 z=r(cosθ +isinθ ),则θ 称为 z 的辐角。若 0 ≤θ <2π , 称为 z 的辐角主值, 则θ 记作θ =Arg(z). r 称为 z 的模, 也记作|z|, 由勾股定理知|z|= a 2 ? b 2 . 如果用 e 表示 cosθ +isinθ ,则 z=re ,称为复数的指数形式。 I.复数的四种表示形式 代数形式: z ? a ? bi(a, b ?R) 几何形式:复平面上的点 Z( a, b )或由原点出发的向量 OZ . 三角形式: z ? r (cos? ? i sin ? ), r ? 0,0 ?R. 指数形式: z ? re . 复数的以上几种形式,沟通了代数、三角、几何等学科间的联系,使人们应用复数解决相关问题成为 现实. II.复数的运算法则 加、减法: (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i; 乘法: (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd) ? (bc ? ad)i;
i?
iθ iθ

r1 (cos?1 ? i sin ?1 ) ? r2 (cos? 2 ? i sin ? 2 ) ? r1r2 [cos( 1 ? ? 2 ) ? i sin(?1 ? ? 2 )]; ?
除法:

a ? bi ac ? bd bc ? ad ? ? i (c ? di ? 0). c ? bi c 2 ? d 2 c 2 ? d 2

r1 ( c o?s ? i s i n 1 ) r1 ? 1 ? [ c o ? 1( ? ? 2 ) ? i s i n?( ? ? 2 ) ] . s 1 r2 ( c o?s2 ? i s i n 2 ) r2 ?
乘方(棣莫弗定理) [r (cos? ? i sin ? )] ? r (cosn? ? i sin n? )(n ?N) : ;
n n

开方:复数 r (cos? ? i sin ? )的n 次方根是 n r (cos ? ? 2k? ? i sin ? ? 2k? )( k ? 0,1,?, n ? 1).
n n

单位根:若 w =1,则称 w 为 1 的一个 n 次单位根,简称单位根,记 Z1= cos 表示为 1, Z1 , Z1 ,?, Z1
2 n?1

n

2? 2? ? i sin ,则全部单位根可 n n

.单位根的基本性质有(这里记 Z k ? Z1k ,k=1,2,?,n-1)(1)对任意整数 k, :

若 k=nq+r,q ∈ Z,0 ≤ r ≤ n-1 , 有 Znq+r=Zr ;( 2 ) 对 任 意 整 数 m , 当 n ≥ 2 时 , 有

?0, 当n | m, n-1 n-2 m m 特 别 1+Z1+Z2+ ? +Zn-1=0 ; 3 ) x +x + ? +x+1=(x-Z1)(x-Z2) ? ( 1 ? Z1m ? Z 2 ? ? ? Z n?1 = ? ? n, 当 n | m,

1

(x-Zn-1)=(x-Z1)(x- Z 12 )?(x- Z1n?1 ). 复数 z 是实数的充要条件是 z= z ;z 是纯虚数的充要条件是:z+ z =0(且 z≠0). 代数基本定理:在复数范围内,一元 n 次方程至少有一个根。 实系数方程虚根成对定理:实系数一元 n 次方程的虚根成对出现,即若 z=a+bi(b≠0)是方程的一个根,则 z =a-bi 也是一个根。 若 a,b,c∈R,a≠0,则关于 x 的方程 ax +bx+c=0,当Δ =b -4ac<0 时方程的根为 x1, 2 ?
2 2

? b ? ? ?i . 2a

III.复数的模与共轭复数 复数的模的性质 ① | z |?| Re( z ) |, | z |? Im(z ) |; ② | z1 ? z 2 ? z n |?| z1 | ? | z 2 | ? | z n |;

③| 号;

z1 | z1 | |? ( z 2 ? 0); ④ || z1 | ? | z 2 ||?| z1 ? z 2 |, 与复数z1 、z 2 对应的向量 OZ1 、OZ2 反向时取等 z2 | z2 |

⑤ | z1 ? z 2 ? ? ? z n |?| z1 | ? | z 2 | ??? | z n | ,向量 OZ1 , OZ 2 ?, OZ n 同向时取等号. 共轭复数的性质 ① z ? z ?| z | 2 ?| z |2 ; ③z ? z ⑤ z1 ? z 2 ? z1 ? z1 ; ② z ? z ? 2 Re(z), z ? z ? 2 Im(z) ; ④ z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ; ⑥(

z1 z2

)?

z1 z2

( z 2 ? 0);

⑦z 是实数的充要条件是 z ? z, z 是纯虚的充要条件是 z ? ? z( z ? 0). Ⅳ.复数解题的常用方法与思想 (1)两个复数相等的充要条件是它们的实部、虚部对应相等,或者它们的模与辐角主 值相等(辐角相差 2 ? 的整数倍). 利用复数相等的充要条件,可以把复数问题转化为实数问题,从而获得 解决问题的一种途径. (2) 复数的模也是将复数问题实数化的有效方法之一.善于利用模的性质, 是模运算中的一个突出方面. 二、方法与例题 1.模的应用。 2n 2n 例 1 求证:当 n∈N+时,方程(z+1) +(z-1) =0 只有纯虚根。 2n 2n 2n 2n 2 2 [ 证 明 ] 若 z 是 方 程 的 根 , 则 (z+1) =-(z-1) , 所 以 |(z+1) |=|-(z-1) |, 即 |z+1| =|z-1| , 即 (z+1)( z +1)=(z-1)( z -1),化简得 z+ z =0,又 z=0 不是方程的根,所以 z 是纯虚数。 2 例 2 设 f(z)=z +az+b,a,b 为复数,对一切|z|=1,有|f(z)|=1,求 a,b 的值。 [解] 因为 4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b) =|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)| ≥|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4,其中等号成立。 所以 f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四个向量方向相同,且模相等。 所以 f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i),解得 a=b=0.

2

2.复数相等。 2 例 3 设λ ∈R,若二次方程(1-i)x +(λ +i)x+1+λ i=0 有两个虚根,求λ 满足的充要条件。

? 2 ? x ? ?x ? 1 ? 0 [解] 若方程有实根,则方程组 ? 有实根,由方程组得(λ +1)x+λ +1=0.若λ =-1,则方程 ?x 2 ? x ? ? ? 0 ?
x -x+1=0 中Δ <0 无实根,所以λ ≠-1。所以 x=-1, λ =2.所以当λ ≠2 时,方程无实根。所以方程有两个虚 根的充要条件为λ ≠2。 3.三角形式的应用。 n 例 4 设 n≤2000,n∈N,且存在θ 满足(sinθ +icosθ ) =sinnθ +icosnθ ,那么这样的 n 有多少个? [解] 由题设得
2

[cos(

?
2

? ? ) ? i sin(

?
2

? ? )] n ? cos n(

?
2

? ? ) ? i sin(

?
2

? ? ) ? cos(

?
2

? n? ) ? i sin(

?
2

? n? ) ,所以 n=4k+1.

又因为 0≤n≤2000,所以 1≤k≤500,所以这样的 n 有 500 个。 4.二项式定理的应用。
0 2 4 100 1 3 5 99 例 5 计算: (1) C100 ? C100 ? C100 ? ? ? C100 ; (2) C100 ? C100 ? C100 ? ? ? C100

[



]

(1+i) =[(1+i) ] =(2i) =-2 , =

100

2 50

50

50













(1+i) = )+(

100

0 1 2 99 100 C100 ? C100 i ? C100 i 2 ? ? ? C100 i 99 ? C100 i100

0 2 4 100 (C100 ? C100 ? C100 ? ? ? C100

0 2 4 100 1 3 5 99 C100 ? C100 ? C100 ? ? ? C100 )i , 比 较 实 部 和 虚 部 , 得 C100 ? C100 ? C100 ? ? ? C100 =-250 , 1 3 5 99 C100 ? C100 ? C100 ? ? ? C100 =0。

5.复数乘法的几何意义。 例 6 以定长线段 BC 为一边任作Δ ABC,分别以 AB,AC 为腰,B,C 为直角顶点向外作等腰直角Δ ABM、等 腰直角Δ ACN。求证:MN 的中点为定点。 [证明] 设|BC|=2a,以 BC 中点 O 为原点,BC 为 x 轴,建立直角坐标系,确定复平面,则 B,C 对应的复数 为-a,a,点 A,M,N 对应的复数为 z1,z2,z3, CA ? z1 ? a, BA ? z1 ? a ,由复数乘法的几何意义得:

CN ? z3 ? a ? ?i( z1 ? a) ,① BM ? z2 ? a ? ?i( z1 ? a) ,②由①+②得 z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.设 MN
的中点为 P,对应的复数 z=

z 2 ? z3 ? ai ,为定值,所以 MN 的中点 P 为定点。 2

例 7 设 A,B,C,D 为平面上任意四点,求证:AB?AD+BC?AD≥AC?BD。 [证明] 用 A, C, 表示它们对应的复数, B, D 则(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D), 因为|A-B|?|C-D|+|B-C| ?|A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D). 所以|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥|A-C|?|B-D|, “=”成立当且仅当 Arg (

B?A B?C ) ? Arg ( ) ,即 D? A C?D

Arg(

D? A B?C ) ? Arg( ) =π ,即 A,B,C,D 共圆时成立。不等式得证。 B? A D?C

6.复数与轨迹。 例 8 Δ ABC 的顶点 A 表示的复数为 3i,底边 BC 在实轴上滑动,且|BC|=2,求Δ ABC 的外心轨迹。 [解]设外心 M 对应的复数为 z=x+yi(x,y∈R),B,C 点对应的复数分别是 b,b+2.因为外心 M 是三边垂直平分 线的交点,而 AB 的垂直平分线方程为|z-b|=|z-3i|,BC 的垂直平分线的方程为|z-b|=|z-b-2|,所以点 M
2 对应的复数 z 满足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|,消去 b 解得 x ? 6( y ?

4 ). 3

3

所以Δ ABC 的外心轨迹是轨物线。 7.复数与三角。 例 9 已知 cosα +cosβ +cosγ =sinα +sinβ +sinγ =0,求证:cos2α +cos2β +cos2γ =0。 [证明] 令 z1=cosα +isinα ,z2=cosβ +isinβ ,z3=cosγ +isinγ ,则 z1+z2+z3=0。所以 z1 ? z 2 ? z 3 ? z1 ? z 2 ? z 3 ? 0. 又因为|zi|=1,i=1,2,3. 所以 zi? z i =1,即 z i ?

1 . zi


2 2 2 由 z1+z2+z3=0 得 x1 ? x2 ? x3 ? 2z1 z 2 ? 2z 2 z3 ? 2z3 z1 ? 0.

又 z1 z 2 ? z 3 z 2 ? z 3 z1 ? z1 z 2 z 3 ? ?
2 2 2 所以 z1 ? z 2 ? z3 ? 0.

?1 1 1 ? ? ? z1 z 2 z 3

? ? ? z1 z 2 z 3 ( z1 ? z 2 ? z 3 ) ? 0. ? ?

所以 cos2α +cos2β +cos2γ +i(sin2α +sin2β +sin2γ )=0. 所以 cos2α +cos2β +cos2γ =0。 0 0 0 例 10 求和:S=cos20 +2cos40 +?+18cos18×20 . 0 0 18 0 0 0 2 18 [解] 令 w=cos20 +isin20 ,则 w =1, P=sin20 +2sin40 +?+18sin18×20 ,则 S+iP=w+2w +?+18w . ①由 令 ①×w 得 w(S+iP)=w +2w +?+17w +18w ,②由①-②得(1-w)(S+iP)=w+w +?+w -18w =
2 3 18 19 2 18 19

w(1 ? w18 ) ? 18w19 , 1? w

所以 S+iP=

?1 9 ? 18w 3 ? ? ? ?9? ? ? 2 2 i ? ,所以 S ? ? 2 . 1? w ? ?

8.复数与多项式。 n n-1 例 11 已知 f(z)=c0z +c1z +?+cn-1z+cn 是 n 次复系数多项式(c0≠0). 求证:一定存在一个复数 z0,|z0|≤1,并且|f(z0)|≥|c0|+|cn|. n n-1 iθ [证明] 记 c0z +c1z +?+cn-1z=g(z),令 ? =Arg(cn)-Arg(z0),则方程 g(Z)-c0e =0 为 n 次方程,其必有 n 个 iθ iθ n 根,设为 z1,z2,?,zn,从而 g(z)-c0e =(z-z1)(z-z2)???(z-zn)c0,令 z=0 得-c0e =(-1) z1z2?znc0,取模得 iθ i |z1z2?zn|=1。所以 z1,z2,?,zn 中必有一个 zi 使得|zi|≤1,从而 f(zi)=g(zi)+cn=c0e =cn,所以|f(zi)|=|c0e θ +cn|=|c0|+|cn|. 9.单位根的应用。 例 12 证明:自⊙O 上任意一点 p 到正多边形 A1A2?An 各个顶点的距离的平方和为定值。 [证明] 取此圆为单位圆,O 为原点,射线 OAn 为实轴正半轴,建立复平面,顶点 A1 对应复数设为 ? ? e 则 顶 点 A2A3 ? An 对 应 复 数 分 别 为 ε
n n n
2

2? i n



,ε

3

,?,ε
n

n

. 设 点 p 对 应 复 数 z, 则 |z|=1, 且

=2n-

?| pAk |2 ? ?| z ? ? k |2 ? ? ( z ? ? k )(z ? ? k ) ? ? (2 ? ? k z ? ? k z)
k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

=2n- z

?? k ? z?? ? 2n ? z?? k ? z?? k ? 2n. 命题得证。
k k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

n

n

n

n

10.复数与几何。 例 13 如图 15-2 所示,在四边形 ABCD 内存在一点 P,使得Δ PAB,Δ PCD 都是以 P 为直角顶点的等腰直角 三角形。求证:必存在另一点 Q,使得Δ QBC,Δ QDA 也都是以 Q 为直角顶点的等腰直角三角形。

4

[证明] 以 P 为原点建立复平面,并用 A,B,C,D,P,Q 表示它们对应的复数,由题设及复数乘法的几何 意义知 D=iC,B=iA;取 Q ?

C ? iB ,则 C-Q=i(B-Q),则Δ BCQ 为等腰直角三角形;又由 C-Q=i(B-Q)得 1? i

D A ? Q ? i ( ? Q) ,即 A-Q=i(D-Q),所以Δ ADQ 也为等腰直角三角形且以 Q 为直角顶点。综上命题得证。 i i
例 14 平面上给定Δ A1A2A3 及点 p0, 定义 As=As-3,s≥4, 构造点列 p0,p1,p2,?,使得 pk+1 为绕中心 Ak+1 顺时针旋 0 转 120 时 pk 所到达的位置,k=0,1,2,?,若 p1986=p0.证明:Δ A1A2A3 为等边三角形。 [证明] 令 u= e
i

? 3

,由题设,约定用点同时表示它们对应的复数,取给定平面为复平面,则 p1=(1+u)A1-up0,

p2=(1+u)A2-up1, p3=(1+u)A3-up2, 2 2 ①×u +②×(-u)得 p3=(1+u)(A3-uA2+u A1)+p0=w+p0,w 为与 p0 无关的常数。同理得 2 2 p6=w+p3=2w+p0,?,p1986=662w+p0=p0,所以 w=0,从而 A3-uA2+u A1=0.由 u =u-1 得 A3-A1=(A2-A1)u,这说明Δ A1A2A3 为正三角形。

赛 题 精 讲 例 1:设 m、n 为非零实数,i 为虚单位, z ?C,则方程 | z ? ni | ? | z ? mi |? n ①与

| z ? ni | ? | z ? mi |? ?m ②
如图 I—1—8—1,在同一复平面内的图形(F1、F2 是焦点)是( )

图 I—1—8—1 例 2:若 z ? C , arg( z ? 4) ?
2

5? ? , arg( z 2 ? 4) ? , 则z 的值是 6 3

.

例 3:x 的二次方程 x ? z1 x ? z 2 ? m ? 0中, z1 、 z 2 、m 均是复数,且 z1 ? 4 z 2 ? 16 ? 20i .
2 2

设这个方程的两个根为 ? 、 ? ,且满足 | ? ? ? |? 2 7 . 求|m|的最大值和最小值.

例 4: 例 5:设复数 z1 , z 2满足 | z1 |?| z1 ? z 2 |? 3, | z1 ? z 2 |? 3 3, 则

log2 | ( z1 z 2 ) 2000 ? ( z1 z 2 ) 2000 |?

.

5

例 6 : 设 复 平 面 上 单 位 圆 内 接 正 20 边 形 的 20 个 顶 点 所 对 应 的 复 数 依 次 为 z1 , z 2 ,?, z 20 , 则 复 数
1995 z1 , z1995 ,?, z1 9 9 5所对应的不同的点的个数是( 2 20



A.4

B.5

C.10

D.20

针对性训练题

1、在复平面上,曲线 z4+z=1 与圆|z|=1 的交点个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
2、 已知关于 x 的实系数方程 x ? 2 x ? 2 ? 0 和 x ? 2mx ? 1 ? 0 的四个不同的根在复平面上对应的点共圆,
2 2

则 m 的取值范围是



3、在复平面上,非零复数 z1、z2 在以 i 对应的点为圆心,1 为半径的圆上, z1 ? z 2 的实部为零,

? argz1= 6 ,则 z2=
(A) (C)
? ? 3 3 ? i 2 2 3 3 ? i 2 2 3 3 ? i (B) 2 2 3 3 ? i (D) 2 2

x12 2 4.设 x1 , x2 是实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的根,若 x1 是虚数, x2 是实数,则 x x x s ? 1 ? 1 ? ( 1 )2 ? ? ? ( 1 )1995 x2 x2 x2 的值为
A 0 B -998 C 998 D 1

5、 C ? C ? C ? ? ? C
1 n 5 n 9 n

4m?1 n

(A)

2 n cos

n? 4

? n ? 1? m?? ? ? 4 ? ,[x]表示不超过 x 的最大整数)的值为 (其中 n? 2 n sin 4 (B) 1 ? n?1 n? ? n ? 2 ? 2 sin ? 4 ? (D) 2 ?

1 ? n ?1 n? ? n ? 2 ? 2 cos ? 4 ? (C) 2 ?

1.设 x 是模为 1 的复数,则函数 f ( x ) ? x ?
2

1 ? 3 的最小值为 x2
D.3





A.5

B.1

C.2

2.若复数 z 满足关系 | z ? 2 | 2 ? | z ? 4i | 2 ? 12, 则z 对应的复平面的点 Z 的轨迹是 (



6

A.圆

B.椭圆

C.双曲线

D.直线 ( )

3.已知复数 z 满足关系式 | z ? 2 |? 3 ,则复数 z 的辐角主值的范围是 A. [0, C. [0,

?

?

3

]
]?[ 5? ,2? ] 3

B. [

5? ,2? ] 3

3

D. [0,

?

3

]?[

5? ,2? ] 3

4.设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为 z1 , z 2 ,?, z 20 , 则复数
1995 z1 , z1995 ,?, z1995 所对应的不同的点的个数是 2 20

( D.20 . .



A.4 5.设 n=2001,则

B.5

C.10

1 2 4 6 2000 (1 ? 3C n ? 3 2 C n ? 33 C n ? ? ? 31000 C n ) ? 2n

6.若虚数 z 满足 z 3 ? 8, 那么z 3 ? z 2 ? 2 z ? 2 的值是
2 2

7.若关于 x 的方程 x ? 2ax ? a ? 4a ? 0 至少有一个模为 3 的根,则实数 a 的值是 . 8. 给正方体的 8 个顶点染上 k 个红点,8 ? k 个蓝点 1 ? k ? 8 ) ( .凡两端为红色的棱记上数字

? 1 ? 3i ,凡 2

两端为蓝色的棱记上数字 为 .

? 1 ? 3i , 凡两端异色的棱记上数字 1,这 12 个数字之积的所有可取值 2

2、 已知关于 x 的实系数方程 x ? 2 x ? 2 ? 0 和 x ? 2mx ? 1 ? 0 的四个不同的根在复平面上对应的点共圆,
2 2

则 m 的取值范围是 2.{m|-1<m<1 或 m=-3/2}
2



解:易知方程 x ? 2 x ? 2 ? 0 的两根为 x1 ? 1 ? i, x2 ? 1 ? i.
2 2 当 ? ? 4m ? 4 ? 0 ,即 ? 1 ? m ? 1 时,方程 x ? 2mx ? 1 ? 0 有两个共轭的虚根 x3, x4 ,且 x3, x4 的实

部为 ? m ? 1 ,这时 x1 , x2 , x3 , x4 在复平面内对应的点构成等腰梯形或矩形,它们共圆。
2 2 当 ? ? 4m ? 4 ? 0 , m ? ?1 或 m ? 0 时, 即 方程 x ? 2mx ? 1 ? 0 有两个不等的实根 x3, x4 , x1 , x2 对 则

应的点在以 x3, x4 对应的点为直径端点的圆上,该圆的方程为

( x ? x3 )(x ? x4 ) ? y 2 ? 0 ,即 x 2 ? y 2 ? ( x3 ? x4 ) x ? x3 x4 ? 0 ,将 x3 ? x4 ? ?2m, x3 x4 ? 1及 x1 , x2 对应

7

点的坐标(1,±1)代入方程,即得 m ? ? 故 m 的取值范围是{m|-1<m<1 或 m=-3/2}

3 。 2

9.

设复数 z1 ? (2 ? a ) ? (1? b ) i ,z2 ? (3? 2 )? (2? 3 ) i z ? (3 a ) (3 b )其中 a, b ? R ,当 a b ,3 ? ? ? 2 i,

z1 ? z2 ? z3 取得最小值时, 3a ? 4b ? __________.
解 易求得 z1 ? z2 ? z3 ? 8 ? 6i , ,于是 z1 ? z2 ? z3 ? z1 ? z2 ? z3 =10, z1 ? z2 ? z3 取得最小值,

当且仅当

2 ? a 3 ? 2a 3 ? a 8 7 5 ? ? ? ,解得 a ? , b ? ,所以 3a ? 4b ? 12. 1 ? b 2 ? 3b 3 ? 2b 6 3 4

2、在复平面上,曲线 z4+z=1 与圆|z|=1 的交点个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

? z ? z ? z ? a ? bi ? ? ? 1、设 a、b 均为正数,且存在复数 z 满足 ? z ? 1 ,则 ab 的最大值等于 1 8

.5、

1、在复平面上,非零复数 z1、z2 在以 i 对应的点为圆心,1 为半径的圆上, z1 ? z2 的实部为零, ? argz1= 6 ,则 z2= (A) (C)
? ? 3 3 ? i 2 2 3 3 ? i 2 2 3 3 ? i (B) 2 2 3 3 ? i (D) 2 2

x12 2 4.设 x1 , x2 是实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的根,若 x1 是虚数, x2 是实数,则

8

s ? 1?
A 0

x1 x x ? ( 1 )2 ? ? ? ( 1 )1995 x2 x2 x2 的值为
B -998 C 998
i? i ( ?? )

D

1

1、 D.

由已知x1与x2共轭, 设x1 ? re , x2 ? re

,

2? 4? i i x12 x1 ? 2? i 3? 3 则 ? re ? R, 得? ? 或 , 所以 ? e 或e 3 , 代入s中得s ? 1 x2 3 3 x2
5985 ?? ? ?2 ?? ? ? ? ? 1、已知?、 是方程 ax2+bx+c=0 a、 c 为实数) ? ( b、 的两根, ?是虚数,? 是实数, k ?1 ? ? 且 则 k

的值是 (A)1 (B)2 (C)0 (D) 3 i

1、已知 a 为自然数,存在一个以 a 为首项系数的二次整数系数的多项式,它有两个小于 1 的不同正根.那么,a 的最小值是 . 2、5;
? n ? 1? m?? ? ? 4 ? ,[x]表示不超过 x 的最大整数)的值为 (其中 n? 2 n sin 4 (B) 1 ? n?1 n? ? n ? 2 ? 2 sin ? 4 ? (D) 2 ?

1、 C ? C ? C ? ? ? C n? 2 n cos 4 (A)
1 n 5 n 9 n

4m?1 n

1 ? n ?1 n? ? n ? 2 ? 2 cos ? 4 ? (C) 2 ?

7、已知复数 Z1,Z2 满足∣Z1 ∣=2,∣Z2 ∣=3,若它们所对应向量的夹角为 60° ,则∣(Z1 +Z2)/(Z1 +Z2)∣ = 。 7、如图,由余弦定理可得:∣ 1+Z2∣ Z =√19, ∣ 1-Z2∣ Z =√7,所以∣ 1+Z2)/(Z1-Z2)∣ (Z =(√19)/(√7)=(√133)

9

10

第十讲
Ⅰ.二项式定理 1.二项工定理
k (a ? b) n ? ? C n a n ?k b k (n ? N*) k ?0 n

二项式定理与多项式
知识、方法、技能

2.二项展开式的通项
r Tr ?1 ? Cn a n?r b r (0 ? r ? n) 它是展开式的第 r+1 项.

3.二项式系数
r Cn (0 ? r ? n).

4.二项式系数的性质
k n (1) Cn ? Cn ?k (0 ? k ? n). k k k ?1 (2) Cn ? Cn?1 ? Cn?1 (0 ? k ? n ? 1).
n n

0 1 n n (3)若 n 是偶数,有 Cn ? Cn ? ? ? Cn2 ? ? ? Cn ?1 ? Cn ,即中间一项的二项式系数 C n2 最大. 1 n n 若 n 是奇数, Cn ? Cn ? ? ? Cn 2 ? Cn 2 ? ? ? Cn ?1 ? Cn , 有 0 即中项二项的二项式系数 C n2 和C n 2 相 n?1 n ?1 n n ?1

等且最大.
0 1 2 n (4) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2 n. 0 2 4 1 3 5 (5) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? 2 n?1.

(6) kC n ? nC n ?1 或C n ?
k k

k ?1

n k ?1 C n ?1 . k

k m m k ?m k m (7) Cn ? Ck ? Cn ? Cn?m ? Cn ?mCn?k ?m (m ? k ? n). n n n n n?1 (8) Cn ? Cn?1 ? ?Cn?2 ? ? ? Cn?k ? Cn?k ?1 . m 以上组合恒等式(是指组合数 C n 满足的恒等式)是证明一些较复杂的组合恒等式的基

本工具.(7)和(8)的证明将在后面给出. 5.证明组合恒等式的方法常用的有 (1)公式法,利用上述基本组合恒等式进行证明. (2)利用二项式定理,通过赋值法或构造法用二项式定理于解题中. (3)利用数学归纳法. (4)构造组合问题模型,将证明方法划归为组合应用问题的解决方法. 赛题精讲

11

例 1:求 ( x ? 1 ?

1 7 ) 的展开式中的常数项. x

【解】由二项式定理得

1 1 ( x ? 1 ? ) 7 ? [1 ? ( x ? )] 7 x x 1 1 1 1 0 1 r 7 ? C 7 ? C 7 ( x ? ) ? C 72 ( x ? ) 2 ? ? ? C 7 ( x ? ) r ? ? ? C 7 ( x ? ) 7 x x x x 1 r r 其中第 r ? 1(0 ? r ? 7) 项为 T r ?1? C 7 ( x ? ) ② x 1 r 在 ( x ? ) 的展开式中,设第 k+1 项为常数项,记为 Tk ?1, x k r ?k 1 k k r ?2k , (0 ? k ? r ) ③ 则 Tk ?1, ? C r x ( ) ? C r x x
由③得 r-2k=0,即 r=2k,r 为偶数,再根据①、②知所求常数项为
0 2 1 4 2 6 3 C7 ? C7 C7 ? C7 C7 ? C7 C6 ? 393.



【评述】求某一项时用二项展开式的通项. 例 2:求 (1 ? 2x ? 3x 2 ) 6 的展开式里 x5 的系数. 【解】因为 (1 ? 2 x ? 3x 2 ) 6 ? (1 ? 3x) 6 (1 ? x) 6
1 2 3 6 1 2 3 4 5 6 ? [1 ? C6 ? 3x ? C6 ? (3x) 2 ? C6 ? (3x) 3 ? ? ? C6 ? (3x) 6 ][1 ? C6 x ? C6 x 2 ? C6 x 3 ? C6 x 4 ? C6 x 5 ? C6 x 6 ].

所 以

5 1 4 2 3 3 2 (1 ? 2x ? 3x 2 ) 6 的展开式里 x5 的系数为 1(?C6 ) ? 3C6 ? C6 ? 32 C6 (?C6 ) ? 33 C6 ? C6

4 1 5 ? 34 C6 ? (?C6 ) ? 35 C6 ?1 ? ?1 6 . 8

【评述】本题也可将 (1 ? 2x ? 3x 2 ) 6 化为 [1 ? (2 x ? 3x 2 )]6 用例 1 的作法可求得. 例 3:已知数列 a0 , a1 , a2 ,?(a0 ? 0) 满足 ai ?1 ?a i ?1 ? 2ai (i ? 1,2,3,?), 求证:对于任何自然数 n,
0 1 2 n n p( x) ? a0Cn (1 ? x) n ? a1Cn x(1 ? x) n?1 ? a2Cn x 2 (1 ? x) n?2 ? ? ? an?1Cn ?1 x n?1 (1 ? x) ? an Cn x n 是 x 的一次多

项式或零次多项式.

(1986 年全国高中数学联赛试题)

【思路分析】 ai ?1 ? ai ?1 ? 2ai 知 an } 是等差数列, ai ? ai ?1 ? d ? a0 ? id (i ? 1,2,?), 从而可将 p (x) 表 由 则 { 示成 a0 和d 的表达式,再化简即可. 【解】因为 ai ?1 ? ai ?1 ? 2ai (i ? 1,2,3,?) 有 ai ? a0 ? id (i ? 1,2,3,?) 从而 所以数列 {an } 为等差数列,设其公差为 d

0 1 2 n P( x) ? a0Cn (1 ? x) n ? (a0 ? d )Cn x(1 ? x) n?1 ? (a0 ? 2d )Cn x 2 (1 ? x) n?2 ? ? ? (a0 ? nd)Cn x n
0 1 n 1 2 n ? a0 [Cn (1 ? x) n ? Cn x(1 ? x) n?1 ? ?? Cn x n ] ? d[1? Cn x(1 ? x) n?1 ? 2Cn x 2 (1 ? x) n?2 ? ?? nCn x n ], 由二项定理,知

12

0 1 2 n Cn (1 ? x) n ? Cn x(1 ? x) n?1 ? Cn x 2 (1 ? x) n?2 ? ? ? Cn x n ? [(1 ? x) ? x]n ? 1,
k 又因为 kCn ? k ?

n! (n ? 1)! k ?1 ? n? ? nCn?1 , k!(n ? k )! (k ? 1)![(n ? 1) ? (k ? 1)]!

1 2 n 从而 Cn x(1 ? x) n?1 ? 2Cn x 2 (1 ? x) n?2 ? ? ? nCn x n

1 ? nx[(1 ? x) n?1 ? Cn?1 x(1 ? x) n?2 ? ? ? x n?1 ]

? nx[(1 ? x) ? x]n?1 ? nx.

所以 P( x) ? a0 ? ndx.

当 d ? 0时, P( x)为x 的一次多项式,当 d ? 0时, P( x)为零次多项式. 例 4:已知 a,b 均为正整数,且 a ? b, sin ? ?
2ab ? (其中0 ? ? ? ), An ? (a 2 ? b 2 ) n ? sin n? , 求证:对一切 2 2 a ?b
2

n ? N * ,An 均为整数. 【思路分析】由 sin n? 联想到复数棣莫佛定理,复数需要 cos ? ,然后分析 An 与复数的关系. 2ab ? a2 ? b2 【证明】因为 sin ? ? 2 , 且0 ? ? ? , a ? b, 所以cos? ? 1 ? sin 2 ? ? 2 . 2 a ? b2 a ? b2
显然 sin n?为(cos? ? i sin ? ) n 的虚部,由于 (cos? ? i sin ? ) n

?(

a2 ? b2 2ab 1 1 ? 2 i) n ? 2 (a 2 ? b 2 ? 2abi) ? 2 (a ? bi) 2n . 2 2 2 2 n a ?b a ?b (a ? b ) (a ? b 2 ) n

所以 (a 2 ? b 2 ) n (cosn? ? i sin n? ) ? (a ? bi) 2n . 从而 An ? (a 2 ? b 2 ) n sin n?为(a ? bi) 2n 的虚部. 因为 a、b 为整数,根据二项式定理, (a ? bi) 2n 的虚部当然也为整数,所以对一切 n ? N * ,An 为整数. 【评述】把 An 为与复数 (cos? ? i sin ? ) n 联系在一起是本题的关键. 例 5:已知 x, y 为整数,P 为素数,求证: ( x ? y) P ? x P ? y P (modP)
1 2 p 【证明】 ( x ? y) P ? x P ? CP x P?1 y ? CP x P?2 y 2 ? ? ? CP ?1 xy P?1 ? y P
r 由于 C P ?

p ( p ? 1) ? ( p ? r ? 1) ,又因为 P 为素数,且 r ? p , (r ? 1,2,?, P ? 1) 为整数,可从分子中约去 r! r!
r

所以分子中的 P 不会红去,因此有 P | CP (r ? 1,2,?, P ? 1). 所以

( x ? y) P ? x P ? y P (modP).
【评述】将 ( x ? y) 展开就与 x ? y 有联系,只要证明其余的数能被 P 整除是本题的关键.
P P P

例 6:若 ( 5 ? 2) 2r ?1 ? m ? ? (r, m ? N*,0 ? ? ? 1) ,求证: ? (m ? ? ) ? 1. 【思路分析】由已知 m ? ? ? ( 5 ? 2) 2r ?1 和(m ? ? )? ? 1 证明 ( 5 ? 2) 2r ?1 ? ( 5 ? 2) 2r ?1 为正整数即可. 猜想 ? ? ( 5 ? 2) 2r ?1 ,因此需要求出 ? ,即只需要

13

【证明】首先证明,对固定为 r,满足条件的 m, ? 是惟一的.否则,设 ( 5 ? 2) 2r ?1 ? m1 ? ?1

? m2 ? ? 2 [m1 , m2 ? N*,?1 ,? 2 ? (0,1), m1 ? m2 ,?1 ? ? 2 ]
则 m1 ? m2 ? ?1 ? ? 2 ? 0, 而m1 ? m2 ? Z,?1 ? ? 2 ? (?1,0) ? (0,1) 矛盾.所以满足条件的 m 和 ? 是惟一的. 下面求 m及? .
0 1 2 因为 ( 5 ? 2) 2r ?1 ? ( 5 ? 2) 2r ?1 ? C2r ?1 ( 5) 2r ?1 ? C2r ?1 ( 5) 2r ? 2 ? C2r ?1 ( 5) 2r ?1 ? 22 ? ? ? 22r ?1

0 1 2 ? [C2r ?1 ( 5) 2r ?1 ? C2r ?1 ( 5) 2r ? 2 ? C2r ?1 ( 5) 2r ?1 ? 22 ? ? ? 22r ?1 ]
1 3 ? 2[C 2 r ?1 ( 5 ) 2 r ? 2 ? C 2 r ?1 ( 5 ) 2 r ? 2 ? 2 3 ? ? ? 2 2 r ?1 ] 1 3 2 ?1 ? 2[C 2 r ?1 5 r ? 2 ? C 2 r ?1 ? 5 r ?1 ? 2 3 ? ? ? C 2 rr?1 5 2 r ?1 ? 2 2 r ?1 ] ? N *

又因为 5 ? 2 ? (0,1),从而( 5 ? 2) 2r ?1 ? (0,1)
1 3 2 ?1 所以 m ? 2(C2r ?1 ? 5r ? 2 ? C2r ?1 ? 5r ?1 ? 23 ? ? ? C2rr?1 ? 5r ? 2 2r ?1 ? 2 2r ?1 )

? ? ( 5 ? 2) 2r ?1

故 ? (m ? ? ) ? ( 5 ? 2) 2r ?1 .

( 5 ? 2) 2r ?1 ? (5 ? 4) 2r ?1 ? 1.

【评述】猜想 ? ? ( 5 ? 2) 2r ?1 , ( 5 ? 2) 2r ?1 与( 5 ? 2) 2r ?1 进行运算是关键. 例 7:数列 {an } 中, a1 ? 3, an ? 3a?1 (n ? 2) ,求 a2001 的末位数字是多少? n 【思路分析】利用 n 取 1,2,3,?猜想 a n 及a n 的末位数字. 【解】当 n=1 时,a1=3, a2 ? 3 1 ? 3 ? 27 ? 4 ? 6 ? 3
a 3

a3 ? 3a2 ? 327 ? 34?6?3 ? (34 ) 6 ? 33 ? (81) 6 ? 33 ? (81) 6 ? 27 ,因此 a2 , a3 的末位数字都是 7,猜想,
an ? 4m ? 3, m ? N * . 现假设 n=k 时, ak ? 4m ? 3, m ? N * .
当 n=k+1 时, ak ?1 ? 3
ak

? 34m?3 ? (4 ? 1) 4m?3

0 1 4m?2 4m?3 ? C4m?3 44m?3 ? (?1) 0 ? C4m?3 ? 44m?2 ? (?1)1 ? ? ? C4m?3 ? 41 ? (?1) 4m?2 ? C4m?3 ? 40 ? (?1) 4m?3

? 4T ? 1 ? 4(T ? 1) ? 3, 从而 an ? 4m ? 3(m ? N*)
于是 an?1 ? 3
an

? 34m?3 ? (81) m ? 27. 故 a2001 的末位数字是 7.

【评述】猜想 an ? 4m ? 3 是关键. 例 8:求 N=1988-1 的所有形如 d ? 2 ? 3 , (a, b 为自然数)的因子 d 之和.
a b

【思路分析】寻求 N 中含 2 和 3 的最高幂次数,为此将 19 变为 20-1 和 18+1,然后用二项式定理展开.

14

【解】因为 N=1988-1=(20-1)88-1=(1-4×5)88-1
1 2 3 87 88 =- C88 ? 4 ? 5 ? C88 ? 4 2 ? 52 ? C88 ? 43 ? 53 ? ? ? C88 ? 487 ? 587 ? C88 ? 488 ? 588

? ?25 ? 55 ? 26 ? M ? 25 (2M ? 55) 其中 M 是整数.
上式表明,N 的素因数中 2 的最高次幂是 5. 又因为 N=(1+2×9)88-1
1 2 88 ? C88 ? 2 ? 9 ? C88 ? 22 ? 92 ? ? ? C88 ? 288 ? 988

=32×2×88+34·P=32×(2×88+9P)其中 P 为整数. 上式表明,N 的素因数中 3 的最高次幂是 2. 综上所述,可知 N ? 25 ? 32 ? Q ,其中 Q 是正整数,不含因数 2 和 3. 因此,N 中所有形如 2 ? 3 的因数的和为(2+22+23+24+25)(3+32)=744.
a b

例 9:设 x ? (15 ? 220)19 ? (15 ? 220)82 ,求数 x 的个位数字. 【思路分析】直接求 x 的个位数字很困难,需将与 x 相关数联系,转化成研究其相关数. 【解】令 y ? (15 ? 220)19 ? (15 ? 220)82 , 则x ? y ? [(15 ? 220)19 ? (15 ? 220)82 ]

? [(15 ? 220)19 ? (15 ? 220)82 ] ,由二项式定理知,对任意正整数 n.
2 (15 ? 220) n ? (15 ? 220) n ? 2(15n ? Cn ?15n?2 ? 220? ?) 为整数,且个位数字为零.

因此,x+y 是个位数字为零的整数.再对 y 估值, 5 5 88 19 因为 0 ? 15 ? 220 ? ? ? 0.2 , 且 (15 ? 220) ? (15 ? 220) , 15 ? 220 25 所以 0 ? y ? 2(15 ? 220)19 ? 2 ? 0.219 ? 0.4. 故 x 的个位数字为 9.

【评述】转化的思想很重要,当研究的问题遇到困难时,将其转化为可研究的问题. 例 10:已知 a0 ? 0, a1 ? 1, an?1 ? 8an ? an?1 (n ? 1,2,?) 试问:在数列 {an } 中是否有无穷多个能被 15 整除 的项?证明你的结论. 【思路分析】先求出 an ,再将 an 表示成与 15 有关的表达式,便知是否有无穷多项能被 15 整除. 【证明】在数列 {an } 中有无穷多个能被 15 整除的项,下面证明之. 数列 {an } 的特征方程为 x ? 8x ? 1 ? 0, 它的两个根为 x1 ? 4 ? 15, x2 ? 4 ? 15 ,
2

所以 an ? A(4 ? 15) n ? B(4 ? 15) n 由 a0 ? 0, a1 ? 1得A ?

(n=0,1,2,?)

1 2 15

,B ? ?

1 2 15

,

则 an ?

1 2 15

[(4 ? 15) n ? (4 ? 15) n ],

取 n ? 2k (k ? 0,1,2,?) ,由二项式定理得

an ?

1 2 15

1 3 n [2C n ? 4 n?1 ? 15 ? 2C n ? 4 n?3 ? ( 15) 3 ? ? ? 2C n ?1 ? 4 ? ( 15) n ?1 ]

15

1 3 n ? C n ? 4 n?1 ? C n ? 4 n ?3 ? 15 ? ? ? C n ? 4 ? 15

n?2 2

1 3 2 ? C 2 k ? 4 2 k ?1 ? C 2 k ? 4 2 k ?3 ? 15 ? ? ? C 2 kk ? 4 ? 15k ?1 1 3 2 ? C 2 k ? 4 2 k ?1 ? 15(C 2 k ? 4 2 k ?3 ? ? ? C 2 kk ?1 ? 4 ? 15k ?2 )

? 2k ? 4 2 k ?1 ? 15T

(其中T为整数),

由上式知当 15|k,即 30|n 时,15|an,因此数列 {an } 中有无穷多个能被 15 整除的项. 【评述】在二项式定理中, (a ? b) n 与(a ? b) n 经常在一起结合使用.

针对性训练题 1.已知实数 ? , ? 均不为 0,多项 f ( x) ? ?x 3 ? ?x 2 ? ?x ? ? 的三根为 x1 , x2 , x3 ,求
( x1 ? x2 ? x3 )( 1 1 1 ? ? ) 的值. x1 x2 x3

2 . 设 f ( x) ? x 4 ? ax3 ? bx2 ? cx ? d , 其 中 a, b, c, d 为 常 数 , 如 果 f (1) ? 1, f (2) ? 2, f (3) ? 3, 求
1 [ f (4) ? f (0)] 的值. 4

3.定义在实数集上的函数 f (x) 满足: f ( x) ? xf (1 ? x) ? 1 ? x, 求f ( x).
1 3 5 5 4.证明:当 n=6m 时, Cn ? Cn ? 3 ? Cn ? 3 ? Cn ?32 ?? ? 0.

5.设 (1 ? x ? x 2 ) n 展开式为 a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2n x 2n ,求证: a0 ? a3 ? a6 ? ? ? 3n?1. 6.求最小的正整数 n,使得 ( xy ? 3x ? 7 y ? 21) n 的展开式经同类项合并后至少有 1996 项. (1996 年美国数学邀请赛试题) 7.设 f ( x) ? ( x 3 ? x ? 1) 9 (2 x ? 1) 4 ,试求: (1) f (x) 的展开式中所有项的系数和. (2) f (x) 的展开式中奇次项的系数和. 8.证明:对任意的正整数 n,不等式 (2n ? 1) ? (2n) ? (2n ? 1) 成立.
n n n

(第 21 届全苏数学竞赛题)

第十五章 复数 一、基础知识 2 1.复数的定义:设 i 为方程 x =-1 的根,i 称为虚数单位,由 i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产 生形如 a+bi(a,b∈R)的数,称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用 C 来表示。 2.复数的几种形式。对任意复数 z=a+bi(a,b∈R) 称实部记作 Re(z),b 称虚部记作 Im(z). z=ai 称为 ,a 代数形式,它由实部、虚部两部分构成;若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标,那么 z 与坐标平面唯一一个 点相对应,从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来

16

表示,表示复数的平面称为复平面,x 轴称为实轴,y 轴去掉原点称为虚轴,点称为复数的几何形式;如果 将(a,b)作为向量的坐标,复数 z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式, 称为向量形式; 另外设 z 对应复平面内的点 Z, 见图 15-1, 连接 OZ, 设∠xOZ=θ ,|OZ|=r, a=rcosθ ,b=rsin 则 θ ,所以 z=r(cosθ +isinθ ),这种形式叫做三角形式。若 z=r(cosθ +isinθ ),则θ 称为 z 的辐角。若 0 ≤θ <2π , 称为 z 的辐角主值, 则θ 记作θ =Arg(z). r 称为 z 的模, 也记作|z|, 由勾股定理知|z|= a 2 ? b 2 . 如果用 e 表示 cosθ +isinθ ,则 z=re ,称为复数的指数形式。 3. 共轭与模, z=a+bi,a,b∈R) z ? a-bi 称为 z 的共轭复数。 若 ( ,则 模与共轭的性质有:1) 1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ; ( z (2) z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ; (3) z ? z ?| z | 2 ; (4) ? ?
iθ iθ

? z1 ? z1 z |z | ?? ; (5)| z1 ? z2 |?| z1 | ? | z2 | ; (6)| 1 |? 1 ; ? z2 | z2 | ? z2 ? z2
2 2 2 2

(7)||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|; (8)|z1+z2| +|z1-z2| =2|z1| +2|z2| ; (9)若|z|=1,则 z ?

1 。 z

4.复数的运算法则: (1)按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致,运算结果可以通过 乘以共轭复数将分母分为实数; (2)按向量形式,加、减法满足平行四边形和三角形法则; (3)按三角形 式,若 z1=r1(cosθ 1+isinθ 1), z2=r2(cosθ 2+isinθ 2),则 z1? z2=r1r2[cos(θ 1+θ 2)+isin(θ 1+θ 2)];若 ?

z 2 ? 0,

z1 r1 z r i (? ?? ) i(θ 1+θ 2) [cos(θ 1-θ 2)+isin(θ 1-θ 2)],用指数形式记为 z1z2=r1r2e , 1 ? 1 e 1 2 . ? z 2 r2 z 2 r2
n n

5.棣莫弗定理:[r(cosθ +isinθ )] =r (cosnθ +isinnθ ). 6.开方:若 w ? r(cosθ +isinθ ),则 w ?
n
n

n

r (cos

? ? 2k?
n

? i sin

? ? 2k?
n

) ,k=0,1,2,?,n-1。

7.单位根:若 w =1,则称 w 为 1 的一个 n 次单位根,简称单位根,记 Z1= cos 根可表示为 1, Z1 , Z1 ,?, Z1
2 n?1

2? 2? ? i sin ,则全部单位 n n

.单位根的基本性质有(这里记 Z k ? Z1k ,k=1,2,?,n-1)(1)对任意整数 :

k , 若 k=nq+r,q ∈ Z,0 ≤ r ≤ n-1 , 有 Znq+r=Zr ;( 2 ) 对 任 意 整 数 m , 当 n ≥ 2 时 , 有

?0, 当n | m, n-1 n-2 m m 特 别 1+Z1+Z2+ ? +Zn-1=0 ; 3 ) x +x + ? +x+1=(x-Z1)(x-Z2) ? ( 1 ? Z1m ? Z 2 ? ? ? Z n?1 = ? ? n, 当 n | m,
(x-Zn-1)=(x-Z1)(x- Z 12 )?(x- Z1n?1 ). 8.复数相等的充要条件: (1)两个复数实部和虚部分别对应相等; (2)两个复数的模和辐角主值分别相等。 9.复数 z 是实数的充要条件是 z= z ;z 是纯虚数的充要条件是:z+ z =0(且 z≠0). 10.代数基本定理:在复数范围内,一元 n 次方程至少有一个根。 11.实系数方程虚根成对定理:实系数一元 n 次方程的虚根成对出现,即若 z=a+bi(b≠0)是方程的一个根, 则 z =a-bi 也是一个根。 12.若 a,b,c∈R,a≠0,则关于 x 的方程 ax +bx+c=0,当Δ =b -4ac<0 时方程的根为 x1, 2 ?
2 2

? b ? ? ?i . 2a

二、方法与例题 1.模的应用。 2n 2n 例 1 求证:当 n∈N+时,方程(z+1) +(z-1) =0 只有纯虚根。

17

例 2 设 f(z)=z +az+b,a,b 为复数,对一切|z|=1,有|f(z)|=1,求 a,b 的值。

2

2.复数相等。 2 例 3 设λ ∈R,若二次方程(1-i)x +(λ +i)x+1+λ i=0 有两个虚根,求λ 满足的充要条件。

3.三角形式的应用。 n 例 4 设 n≤2000,n∈N,且存在θ 满足(sinθ +icosθ ) =sinnθ +icosnθ ,那么这样的 n 有多少个?

4.二项式定理的应用。
0 2 4 100 1 3 5 99 例 5 计算: (1) C100 ? C100 ? C100 ? ? ? C100 ; (2) C100 ? C100 ? C100 ? ? ? C100

5.复数乘法的几何意义。 例 6 以定长线段 BC 为一边任作Δ ABC,分别以 AB,AC 为腰,B,C 为直角顶点向外作等腰直角Δ ABM、等 腰直角Δ ACN。求证:MN 的中点为定点。

例 7 设 A,B,C,D 为平面上任意四点,求证:AB?AD+BC?AD≥AC?BD。

6.复数与轨迹。 例 8 Δ ABC 的顶点 A 表示的复数为 3i,底边 BC 在实轴上滑动,且|BC|=2,求Δ ABC 的外心轨迹。

18

7.复数与三角。 例 9 已知 cosα +cosβ +cosγ =sinα +sinβ +sinγ =0,求证:cos2α +cos2β +cos2γ =0。

例 10 求和:S=cos20 +2cos40 +?+18cos18×20 .

0

0

0

8.复数与多项式。 n n-1 例 11 已知 f(z)=c0z +c1z +?+cn-1z+cn 是 n 次复系数多项式(c0≠0). 求证:一定存在一个复数 z0,|z0|≤1,并且|f(z0)|≥|c0|+|cn|.

9.单位根的应用。 例 12 证明:自⊙O 上任意一点 p 到正多边形 A1A2?An 各个顶点的距离的平方和为定值。

10.复数与几何。 例 13 如图 15-2 所示,在四边形 ABCD 内存在一点 P,使得Δ PAB,Δ PCD 都是以 P 为直角顶点的等腰直角 三角形。求证:必存在另一点 Q,使得Δ QBC,Δ QDA 也都是以 Q 为直角顶点的等腰直角三角形。

例 14 平面上给定Δ A1A2A3 及点 p0, 定义 As=As-3,s≥4, 构造点列 p0,p1,p2,?,使得 pk+1 为绕中心 Ak+1 顺时针旋 0 转 120 时 pk 所到达的位置,k=0,1,2,?,若 p1986=p0.证明:Δ A1A2A3 为等边三角形。

19

三、基础训练题 2 2 1.满足(2x +5x+2)+(y -y-2)i=0 的有序实数对(x,y)有__________组。 2.若 z∈C 且 z2=8+6i,且 z3-16z-

100 =__________。 z

3.复数 z 满足|z|=5,且(3+4i)?z 是纯虚数,则 z ? __________。 4.已知 z ? ?

2 1 ? 3i

,则 1+z+z +?+z

2

1992

=__________。

5.设复数 z 使得

z ?1 ? 的一个辐角的绝对值为 ,则 z 辐角主值的取值范围是__________。 z?2 6

6.设 z,w,λ ∈C,|λ |≠1,则关于 z 的方程 z -Λ z=w 的解为 z=__________。 7.设 0<x<1,则 2arctan

1? x 1? x2 ? arcsin ? __________。 1? x 1? x2

8.若α ,β 是方程 ax +bx+c=0(a,b,c∈R)的两个虚根且
2 2 2 2 2 2

2

? ?2 ? R ,则 ? __________。 ? ?

9.若 a,b,c∈C,则 a +b >c 是 a +b -c >0 成立的__________条件。 2 2 10.已知关于 x 的实系数方程 x -2x+2=0 和 x +2mx+1=0 的四个不同的根在复平面上对应的点共圆,则 m 取 值的集合是__________。 2 11.二次方程 ax +x+1=0 的两根的模都小于 2,求实数 a 的取值范围。 12.复平面上定点 Z0,动点 Z1 对应的复数分别为 z0,z1,其中 z0≠0,且满足方程|z1-z0|=|z1|,①另一个动 点 Z 对应的复数 z 满足 z1?z=-1,②求点 Z 的轨迹,并指出它在复平面上的形状和位置。 13.N 个复数 z1,z2,?,zn 成等比数列,其中|z1|≠1,公比为 q,|q|=1 且 q≠±1,复数 w1,w2,?,wn 满足条件: wk=zk+

1 +h,其中 k=1,2,?,n,h 为已知实数,求证:复平面内表示 w1,w2,?,wn 的点 p1,p2,?,pn 都在一个 zk

焦距为 4 的椭圆上。 四、高考水平训练题 1.复数 z 和 cosθ +isinθ 对应的点关于直线|iz+1|=|z+i|对称,则 z=__________。 2.设复数 z 满足 z+|z|=2+i,那么 z=__________。 3.有一个人在草原上漫步,开始时从 O 出发,向东行走,每走 1 千米后,便向左转 后,首次回到原出发点,则 n=__________。 4.若 z ?

? 角度,他走过 n 千米 6

(4 ? 3i) 2 (?1 ? 3i)10 ,则|z|=__________。 (1 ? i)12

5.若 ak≥0,k=1,2,?,n, 并规定 an+1=a1, 使不等式 值为__________。

?
k ?1

n

2 2 ak ? ak ak ?1 ? ak ?1 ? ? ? ak 恒成立的实数λ 的最大 k ?1

n

20

6.已知点 P 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 上任意一点,以 OP 为边逆时针作正方形 OPQR,则动点 R 的轨迹方程为 9 5

__________。 7.已知 P 为直线 x-y+1=0 上的动点,以 OP 为边作正Δ OPQ(O,P,Q 按顺时针方向排列)。则点 Q 的轨迹方 程为__________。 8.已知 z∈C,则命题“z 是纯虚数”是命题“
n+1 n

z2 ? R ”的__________条件。 1? z2

9.若 n∈N,且 n≥3,则方程 z +z -1=0 的模为 1 的虚根的个数为__________。 10 . 设 (x
2006

+x

2008

+3)

2007

=a0+a1x+a2x +

2

?

+anx

n





a0 ?

a a1 a 2 a ? ? a3 ? 4 ? 5 2 2 2 2

+

?

+a3k-

a3k ?1 a3k ? 2 ? ? ? ? a n ? __________。 2 2

11.设复数 z1,z2 满足 z1? z 2 ? Az1 ? Az 2 ? 0 ,其中 A≠0,A∈C。证明: (1)|z1+A|?|z2+A|=|A| ;
4 3 2

(2)
2

z1 ? A z1 ? A ? . z2 ? A z2 ? A

12.若 z∈C,且|z|=1,u=z -z -3z i-z+1.求|u|的最大值和最小值,并求取得最大值、最小值时的复数 z.

?| z1 |?| z 2 |?| z 3 |? 1, ? z z ?z 13.给定实数 a,b,c,已知复数 z1,z2,z3 满足 ? 1 ? 2 ? 3 ? 1, 求 ? z 2 z 3 z1
|az1+bz2+cz3|的值。 三、联赛一试水平训练题 1.已知复数 z 满足 | 2 z ?

1 |? 1. 则 z 的辐角主值的取值范围是__________。 z

2.设复数 z=cosθ +isinθ (0≤θ ≤π ),复数 z,(1+i)z,2 z 在复平面上对应的三个点分别是 P,Q,R,当 P, R 不共线时, PQ, 为两边的平行四边形第四个顶点为 S, S 到原点距离的最大值为__________。 Q, 以 PR 则 3 . 设 复 平 面 上 单 位 圆 内 接 正 20 边 形 的 20 个 顶 点 所 对 应 的 复 数 依 次 为 z1,z2, ? ,z20, 则 复 数
1995 z1 , z1995 ,?, z1 9 9 5 2 20 所对应的不同点的个数是__________。

4.已知复数 z 满足|z|=1,则|z+iz+1|的最小值为__________。 5.设 w ? ?

1 3 ? i ,z1=w-z,z2=w+z,z1,z2 对应复平面上的点 A,B,点 O 为原点,∠AOB=900,|AO|=|BO|, 2 2

则Δ OAB 面积是__________。 6.设 w ? cos

?
5

? i sin
m

?
5
n

,则(x-w)(x-w )(x-w )(x-w )的展开式为__________。

3

7

9

7.已知( 3 ? i ) =(1+i) (m,n∈N+),则 mn 的最小值是__________。 8.复平面上,非零复数 z1,z2 在以 i 为圆心,1 为半径的圆上, z1 ?z2 的实部为零,z1 的辐角主值为

? , 6

21

则 z2=__________。 9.当 n∈N,且 1≤n≤100 时, [(

3 ?i 7 ) ? 1]n 的值中有实数__________个。 2

10.已知复数 z1,z2 满足

z 2 z1 z ? z2 ? ? 7 ? ,且 Argz 1 ? , Argz 2 ? , Argz 3 ? ? ,则 Arg 1 的值是 3 6 8 z1 z3 z2

__________。 18 48 11.集合 A={z|z =1},B={w|w =1},C={zw|z∈A,w∈B},问:集合 C 中有多少个不同的元素? 12.证明:如果复数 A 的模为 1,那么方程 (

1 ? ix n ) ? A 的所有根都是不相等的实根(n∈N+). 1 ? ix

13.对于适合|z|≤1 的每一个复数 z,要使 0<|α z+β |<2 总能成立,试问:复数α ,β 应满足什么条件? 六、联赛二试水平训练题 1.设非零复数 a1,a2,a3,a4,a5 满足

? a 2 a3 a 4 a5 ? ? ? ? ? a1 a 2 a3 a 4 ? ?a ? a ? a ? a ? a ? 1 (a ? a ? a ? a ? a ) ? S , 2 3 4 5 1 2 3 4 5 ? 1 4 ?
其中 S 为实数且|S|≤2,求证:复数 a1,a2,a3,a4,a5 在复平面上所对应的点位于同一圆周上。 2.求证: sin

?
n

? sin
n

2? (n ? 1)? n ? ? ? sin ? n ?1 (n ? 2) 。 n n 2
n-1 n-2

3.已知 p(z)=z +c1z +c2z +?+cn 是复变量 z 的实系数多项式,且|p(i)|<1,求证:存在实数 a,b,使得 2 2 2 2 p(a+bi)=0 且(a +b +1) <4b +1. 4.运用复数证明:任给 8 个非零实数 a1,a2,?,a8,证明六个数 a1a3+a2a4, a1a5+a2a6, a1a7+a2a8, a3a5+a4a6, a3a7+a4a8,a5a7+a6a8 中至少有一个是非负数。 10 9 5.已知复数 z 满足 11z +10iz +10iz-11=0,求证:|z|=1. 6.设 z1,z2,z3 为复数,求证: |z1|+|z2|+|z3|+|z1+z2+z3|≥|z1+z2|+|z2+z3|+|z3+z1|。

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