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高二上文理科月考一答案


南溪一中高 2011 级创新班高二上期第一次月考试题 数学文理科答案
一. 题号 答案 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 文 C, 文 A 文 B 文 A D A B D D B D B 理A 理B 理D 理D 0 0 二.填空题 13.(文 60 ) (理 3 或 5) ;14(文 5 或 3) (理 60 ) ,15.4; 16. ①④⑤ 三、解答题 17.解:由已知得渐近线的斜率为 因它经过点 ( 3 , ? 2 ) ,? ? ? ?
2

3 3

,则 可 设 它 的 方 程 为
? x
2

x

2

9
?1

?

y

2

? ? (? ? 0)

3

1 3

,双曲线方程为 y 2

3
2

18.解 对于 p:因为不等式 x -(a+1)x+1≤0 的解集是?,所以 Δ =[-(a+1)] -4<0. 解不等式得:-3<a<1. x 对于 q:指数 f(x)=(a+1) 是增函数,则有 a+1>1,所以 a>0. 又 p∧q 为假命题,p∨q 为真命题, 所以 p、q 必是一真一假. 当 p 真 q 假时有-3<a≤0,当 p 假 q 真时有 a≥1. 综上所述,a 的取值范围是(-3,0]∪[1,+∞).
19 证明: (1)∵ A B C D ? A1 B1C 1 D1 为正方体,∴ B D // B1 D1 . 又 ∵E、F 分别为 D1C1 和 B1C1 的中点, ∴
E F // 1 2 BD , 1 2

∴ E F //

B1 D 1 .

即 D、B、F、E 四点共面.

(2)由(1)知DE、BF共面但不平行,则它们相交, 设DE ? BF=P,
? B F ? 平 面 B C 1 ,? P ? 平 面 B C 1 , 同 理 P ? 平 面 D C 1 又 ? 平 面 B C 1 ? 平 面 D C 1= C C 1 ,? P ? C C 1



∴. DE、BF、CC1 三直线过同一点

(3)过 F 作 FH ?

B1 D1 于 H,

Q B1 B ? 面 A1 B1 C 1 D 1, B1 B ? F H , 又 Q B1 B ? B1 D 1= B1, F H ? 面 B B 1 D 1 D ? ? ? ? F B H 为 B F 与 面 B B1 D 1 D 所 成 角 的 平 面 角 。

设正方体的棱长为 2,则 BF= 5, F H =
BF 与平面 B B1 D 1 D 所成的角的余弦

2 2

, BH=

3 2 2

, s ?FBH ? co

3 10 10

3 10 10
2 2

20.解:(1)由题意:抛物线焦点为(1,0),设 l:x=ty+1 代入抛物线 y =4x,消去 x 得 y -4ty-4=0,
??? ?
??? ?

设 A(x1,y1),B(x2,y2)则 y1+y2=4t,y1y2=-4∴ O A · O B =x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+ 2 2 2 1)+y1y2=t y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2=-4t +4t +1-4=-3.

(2)设 l:x=ty+b 代入抛物线 y =4x,消去 x 得 y -4ty-4b=0 设 A(x1,y1),B(x2,y2),
??? ? ??? ? 则 y1+y2=4t,y1y2=-4b∴ O A · O B =x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2
2 2 2 2 2 2

2

2

=t y1y2+bt(y1+y2)+b +y1y2=-4bt +4bt +b -4b=b -4b. 2 2 令 b -4b=-4,∴b -4b+4=0,∴b=2,∴直线 l 过定点(2,0). 文科 21.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1 , F2 ,且 | F1 F2 点(1,
3 2

|? 2



)在椭圆 C 上.(1)求椭圆 C 的方程;
12 2 7

(2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A , B 两点,且 ? A F 2 B 的面积为 解: (1)设椭圆 C 的方程为
2 2 2

,求直线 l 的方程.

x a
2

2 2

?
2

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) ,由题意可得 c=1,
3 2

又 a ? b ? c , 所 以 b ? a ? 1 ,因为椭圆 C 经过 (1, ) ,
9

代入椭圆方程有

1 a
2

?

2 4 ? 1 ,解得 a ? 2 ,所以 b ? 4 ? 1 ? 3 2 a ?1

故椭圆 C 的方程为

x

2

?

y

2

? 1.
? 1 2 ? | F1 F 2 || y 1 ? y 2 | 求

4

3
2

(2)法一:设 l 方 程 为 x ? m y ? 1代 入 方 程 消 x求 |y 1 -y 2|, 用 S ? A F B 法二:当直线 l ? x 轴时,计算得到: A ( ? 1, ?
S ?AF ? 1 ? | A B | ? | F1 F 2 |? 1 3 2
2B

), B ( ? 1,

3 2

),

? 2 ? 3 ? 3 ,不符合题意。 2 当直线 l 与 x 轴不垂直时: y ? k ( x ? 1), k ? 0 , 2
? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 2 , 消 去 y , 得 (3 ? 4 k ) x ? 8 k x ? 4 k ? 1 2 ? 0 由? x2 y ? ?1 ? 3 ? 4

显然 ? ? 0 成 立 , 设 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ? 又 | A B |?
? 1? k
2
2

8k

2 2

3 ? 4k

, x1 ? x 2 ?
2

4k

2

? 12
2

3 ? 4k

( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 )
2

2

?
?

( x1 ? x 2 ) ? k ( x 1 ? x 2 )
2 2

?

( x1 ? x 2 )

2

?

1? k
2

2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 ? x 2
2

= 1? k

64k

4 2 2

(3 ? 4 k )

?

4(4 k

? 12)
2

3 ? 4k
2

即 | A B |?

1? k

2

?

12 k

?1
2

3 ? 4k

?

12(k

2

? 1)
2

3 ? 4k

,又 F 到 AB 的距离 d ?
2

|k?2?0| 1? k
2

?

2|k | 1? k
2

所以 S ? A F

2B

?

1 2
4

? | A B | ?d ?
2

1 1 2 ( k ? 1) 2|k | 12 | k | 1 ? k ? ? ? 2 2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 1? k
2

2

?

12 2 7

化简,得 17 k ? k ? 18 ? 0, 即 ( k ? 1)(17 k ? 18) ? 0,
2 2

k ? ? 1, l 方 程 为 y ? x ? 1或 y ? ? x ? 1

文科 22,理科 21 解:(Ⅰ)∵A1B1C1-ABC 是正三棱柱,∴四边形 B1BCC1 是矩形. 连结 B1C 交 BC1 于 E,则 B1E=EC .连结 DE, 在△AB1C 中, ∵AD=DC,∴ DE∥AB1, 又 AB1 ? 平面 DBC1,DE ? 平面 DBC1, ∴AB1∥平面 DBC1.……6 分 (II)解法一:过 D 作 DH ? BC 于 H,再过 H 作 HF ? B C 1 于 F,连结 ED。
Q C 1 C ? 平 面 A B C ,? C 1 C ? D H , 又 Q C 1C I B C = C , D H ? 平 面 B C C 1 ? ? D H ? B C 1, 又 D H I H F = H , B C 1 ? 平 面 D H F , B C 1 ? D F , ? ? ? ? D F H 为 二 面 角 C - B C 1- D 的 平 面 角 。 L 9 分 L

由 已 知 得 D H =1 ? sin 6 0 ? 15 6

?

3 2

, H F ? B H sin ? C B C 1 ? 15 6

3 2

?

4 20

?

3 5

? tan ? D F H ?

。即所求二面角的正切值为

。 ............1 2 分

注:若有向量法也可参照给分。 (Ⅲ)由(II)得 D H ? 平 面 B C C 1 ,由 已 知 得 D H ?
VB ? V D ? B BC ?
1 1

3 2

,则

1 3

1

? B D C1

?(

1 2

? 4 ? 2) ?

3 2

?

2 3 3

解法二: (Ⅱ)设 D1 是 A1C1 的中点,则 BD⊥AC,DD1⊥平面 ABC.
,, ) 如图建立空间直角坐标系 D-xyz. B ( 300 则

,C (0,1, 0 ) ,A (0, ? 1, 0 ) ,B1 ( 3 , 0, 4 ) , ???? ? ???? C 1 (0,1, 4 ) .? D C 1 ? (0,1, 4 ) , D B ? ( 3 , 0, 0 )
???? 3 1 3 3 , , 0 ) ,∴ A F ? ( , , 0) , 2 2 2 2

∵BC 的中点 F (

又 ? A F ? B C , A F ? C C 1, A F ? 平 面 B C C 1 ? ???? ? ∴可取平面 BCC1 的法向量为 n1 ? 2 A F ? ( 3 , 3, 0 ) . ? 设平面 BC1D 的法向量为 n 2 ? ( x , y , z ) ,则 ???? ? ? n2 ? D B , ? 3 x ? 0, ? ? ? ∴可取 n 2 ? (0, ? 4,1) .[来 ???? ? ? ? ?? ? y ? 4 z ? 0, ? n2 ? D C1 , ? ?

源:Z+xx+k.Com]
? ? n1 ? n 2 ? ? ∴ co s n1 , n 2 ? ? ? ? n1 ? n 2 -1 2 12 ? 17 ?- 2 51 17



由已知得二面角 C ? B C 1 ? D 为锐角,∴所求二面角的余弦值为

2 51 17
4 17

……8 分

???? ?? ? ???? ???? ?? ? | B B1 ? n 2 | ?? ? 0 4 ? ? (Ⅲ)? B B1= ( 0,,) , B B1 在 n 2 上 的 投 影 长 h ? | n2 |

VB

1

? B D C1

?

1 3

?(

1 2

? B D ? D C1 )h ?

1 3

?(

1 2

?

3?

17 ) ?

4 17

?

2 3 3

……12 分

22.解: (Ⅰ)设 M(x,y)为曲线 C 上任意一点,由题意得:
( x ? 1) ? y
2 2

|x?4|

?

1 2

,化简得曲线 C 的方程为

x

2

?
3 2

y

2

? 1 ………(4 分)
3 2 ) , M ? ?4 , 得 , 3

4

3

(Ⅱ) 当直线 l 的斜率不存在时, (1) 不妨设 P ( ? 1, ), Q ( ? 1, ?
???? ???? ? 则 有 F M ? F N ? ( ? 3, 3) ? ( ? 3, ? 3) ? 0 , ???? ? ???? ? F M ? F N ,? F M ? F N , 结 论 成 立 .? ? 6 分

?

N4 ? ,? 3

?

?.

(2)设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) 代入
(3 ? 4 k ) x ? 8 k x ? 4 k ? 12 ? 0
2 2 2 2

x

2

?

y

2

? 1 ,整理得

4

3
2 2

设 P x1 , y 1) , Q ( x 2 , y 2) , 则 x1 + x 2= - (

8k

3 ? 4k

, x1 x 2= yM

4k ? 12
2

3 ? 4k y1 x1- 2

2

? ? 8分 - 6 y1 x1- 2

设 M ( - 4 , y M ), N ( - 4 , y N ),由 A、 P 、 M 共 线 得 同 理 y N= -6 y2 x 2- 2 3 6 y1 y 2 ?

- 4- 2



, yM= ?

? ? 10分 3 6[ x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1]

? y M y N=

( x1- 2 )( x 2- 2 ) x1 x 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ) ? 4 ???? ???? ? 则 有 F M ? F N ? ( ? 3, y M ) ? ( ? 3, y N ) ? 9 ? y M y N
3 6[ x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1] x1 x 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ) ? 4 3 6[ ?9? ? 1] 2 2 2 9 ? 36k 3 ? 4k 3 ? 4k ?9? ? 0 2 2 2 4k ? 12 8k 36k ? 2? ?4 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k - 4k ? 12
2

8k

2

?9?

???? ? ???? ? F M ? F N ,? F M ? F N , 结 论 成 立 . ? ? 1 3 分

综上所述,以线段 M N 为直径 的圆经过定点 F.

………(14 分)


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