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湖北2014届八校二次联考理科数学


试卷类型:A 湖北省
鄂南高中 荆州中学 华师一附中 孝感 高中 黄冈中学 襄阳五中 黄石二中 襄阳四中

八校

2014 届高三第二次联考


命题学校:孝感高中

学(理工类)
韩松桥 审题人:徐新斌 黄 鹏

命题人:彭西骏

/>考试时间:2014 年 3 月 20 日下午 15:00—17:00 本试卷共4页,共22题,其中第15、16题为选考题。满分150分。考试用时120分钟。

★ 祝考试顺利 ★
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 方框涂黑。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3.填空题和解答题的作答:用黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、 草稿纸上无效。 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。考生应根据自己选做 的题目准确填涂题号,不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内,答在试题卷、草稿纸上无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将答题卡上交。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.若复数 z 满足 (1 ? i ) z ? 1 ? 2i (其中 i 是虚数单位) ,则 z 对应的点位于复平面的 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2 2.设集合 A ? {x x ? (a ? 3) x ? 3a ? 0} , B ? {x x2 ? 5x ? 4 ? 0} ,集合 A

B 中所有元素之和为 8,则

实数 a 的取值集合为 A. {0} C. {1, 3,4} 3.下列说法正确的是

B. {0, 3}

1, 3,4} D. {0,

A. “ a ? b ”是“ a 2 ? b 2 ”的必要条件 B.自然数的平方大于 0 C. “若 a,b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的否命题为真 D.存在一个钝角三角形,它的三边长均为整数 4.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 A.48cm3 B.98cm3 C.88cm3 D.78cm3 5.把函数 y ? sin x ? x ? R ? 的图象上所有的点向左平移

第 4 题图

? 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标 6

变为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到图象的函数表达式为

?? ?? ? ? B. y ? sin ? 2 x ? ? , x ? R ?, x ? R 3? 3? ? ? ?? ?? ?1 ?1 C. y ? sin ? x ? ? , x ? R D. y ? sin ? x ? ? , x ? R 6? 6? ?2 ?2 2 2 x y (x ? 3) 2 ? y 2 ? 8 相交于 M , N 两点,且 MN ? 4 , 6.已知双曲线 2 ? ? 1 (a ? 0) 的一条渐近线与圆 a 4
A. y ? sin ? 2 x ?
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试卷类型:A
则此双曲线的离心率为 C. 5 3 D.5 3 5 7.把一个带+q 电量的点电荷放在 r 轴上原点处,形成一个电场,距离原点为 r 处的单位电荷受到的电场 A. 5 B. 3 5

q (其中 k 为常数)确定,在该电场中,一个单位正电荷在电场力的作用下,沿着 r 轴 r2 的方向从 r ? a 处移动到 r ? 2a 处,与从 r ? 2a 处移动到 r ? 3a 处,电场力对它所做的功之比为 1 2 3 A. B. C. D. 3 3 3 2 8.如图,在半径为 R 的圆 C 中,已知弦 AB 的长为 5,则 AB AC ? C 5 25 25 5 R A. B. C. R D. B A 2 2 2 2
力由公式 F=k 9. 将一颗骰子连续抛掷三次, 已知它落地时向上的点数恰好依次成等差数列, 那么这 三次抛掷向上的点数之和为 12 的概率为 A.
第 8 题图

1 1 3 C. D. 9 72 18 2 ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0 ? 10.函数 f ( x) ? ? ,直线 y ? m 与函数 f ( x) 的图像相交于四个不同的点,从小到大, ? ? 2 ? ln x , x ? 0 交点横坐标依次记为 a , b, c, d ,下列说法错误的是

5 18

B.

A. m ? ?3, 4 ?
4 B. abcd ? ? ?0, e

?
? ?
5

1 1 ? ? 2, e6 ? 2 ? 2 ? e e ? D.若关于 x 的方程 f ? x ? ? x=m 恰有三个不同实根,则 m 取值唯一
C. a ? b ? c ? d ? ? e ? 二、填空题:本大题共 6 个小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对 .... 应题号 的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ... (一) 必考题(11—14 题) 11. 记集合 A ? ( x, y) | x2 ? y 2 ? 4 和集合 B ? ?( x, y) | x ? y ? 2 ? 0, x ? 0, y ? 0? 表示的平面区域分别为

?

?

?1 和 ?2 ,若在区域 ? 1 内任取一点 M ( x, y) ,则点 M 落在区域 ?2 的概率为
12.已知正数 x, y, z 满足 x+2y+3z=1, 则

. .

1 4 9 ? ? 的最小值为 x ? 2 y 2 y ? 3z 3z ? x

13.定义某种运算 ? , S ? a ? b 的运算原理如右图所示. 设 f ( x) ? (0 ? x) x ? (3 ? x) .则 f (3) ? ______; ? f ? x ? 在区间 ?? 3,3? 上的最小值为______. 14.数学与文学之间存在着许多奇妙的联系.诗中有回文诗,如: “云边月影沙边雁, 水外天光山外树” ,倒过来读,便是“树外山光天外水,雁边沙影月边云” ,其 意境和韵味读来是一种享受!数学中也有回文数,如:88,454,7337,43534 等都是回文数,无论从左往右读,还是从右往左读,都是同一个数,称这样的 数为“回文数” ,读起来还真有趣! 二位的回文数有 11,22,33,44,55,66,77,88,99,共 9 个; 三位的回文数有 101,111,121,131,…,969,979,989,999,共 90 个; 四位的回文数有 1001,1111,1221,…,9669,9779,9889,9999,共 90 个; 由此推测:11 位的回文数总共有 个.
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试卷类型:A
(二) 选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题做答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号所在 方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计分. ) 15. (选修 4-1:几何证明选讲) 如图,△ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且 BD//AC. 过点 A 作圆 的切线与 DB 的延长线交于点 E,AD 与 BC 交于点 F. 若 AB = AC, AE = 3 5 , BD = 4,则线段 CF 的长为______.
第 15 题图 16. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长

3 ? x ? 2? t ? ? 5 2 度.已知曲线 C1 : ? ( t 为参数)和曲线 C2 : ? sin ? ? 2 cos? 相交于 A、 B 两点,设线段 4 ?y ? t ? 5 ? . AB 的中点为 M ,则点 M 的直角坐标为
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 m=(2cos x, 3) , n=( ,函数 f ( x) ? m ? n . 1,sin 2 x) (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期;
2

(Ⅱ) 在 ? ABC 中,a, b, c 分别是角 A, B , C 的对边, 且 f (C ) ? 3, c ? 1 ,ab ? 2 3 , 且a ?b , 求 a, b 的值. 18. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和是 S n ,且 Sn ? an ? 1 (n ? N ) .
?

(Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log 4 (1 ? Sn?1 ) (n ? N ) ,Tn ?
?

1 3

1 1 ? ? b1b2 b2b3

?

1 1007 ,求使 Tn ? 成立的最小的正整数 n bnbn?1 2016

的值. 19. (本小题满分 12 分) 如 图 , 在 三 棱 锥 C? P A B 中 , AB ? BC , PB ? BC , PA ? PB ? 5,

AB ? 6,BC ? 4, 点 M 是 PC 的中点,点 N 在线段 AB 上,且 MN ? AB . (Ⅰ)求 AN 的长;
(Ⅱ)求二面角 M ? NC ? A 的余弦值.

20. (本小题满分12分) 甲乙两个地区高三年级分别有 33000 人,30000 人,为了了解两个地区全体高三年级学生在该地区二 模考试的数学成绩情况,采用分层抽样方法从两个地区一共抽取了 105 名学生的数学成绩,并作出了 如下的频数分布统计表,规定考试成绩在[120,150]内为优秀. 甲地区:

第 19 题图

乙地区:

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试卷类型:A
(Ⅰ)计算 x,y 的值; (Ⅱ )根据抽样结果分别估计甲地区和乙地区的优秀率;若将此优秀率作为概率,现从乙地区所有学 生中随机抽取 3 人,求抽取出的优秀学生人数 的数学期望; (Ⅲ)根据抽样结果,从样本中优秀的学生中随机抽取 3 人,求抽取出的甲地区学生人数 η 的分布列 及数学期望. 21. (本小题满分 13 分) 如图所示, 已知椭圆 C1 和抛物线 C2 有公共焦点 F (1,0) ,C1 的中心 和 C2 的顶点都在坐标原点,过点 M(4,0)的直线 l 与抛物线 C2 分别相交于 A、B 两点. (Ⅰ )写出抛物线 C2 的标准方程; (Ⅱ )求证:以 AB 为直径的圆过原点; ( Ⅲ) 若 坐 标 原 点O 关 于 直 线l 的 对 称 点P 在 抛 物 线 C2上 , 直 线l 与椭圆 C1有 公 共 点 , 求 椭 圆 C 1的 长 轴 长 的 最 小 值 . 22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ?
第 21 题图

k 2 x , (k ? 0, 且k ? 1) . 2 (Ⅰ)当 k ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ )求 f ( x) 的单调减区间;
* (Ⅲ)当 k ? 0 时,设 f ( x) 在区间 [0, n](n ? N ) 上的最小值为 bn ,令 an ? ln(1 ? n) ? bn ,

求证:

a a ? ? ? a2 n?1 a1 a1a3 ? ? ??? ? 1 3 ? 2an ? 1 ? 1, (n ? N * ) . a2 a2 a4 a2 a4 ? ? ? a2 n

4/8

试卷类型:A 湖北八校 2014 届高三第二次联考参考答案 数学(理工类)
一、选择题

ADDBC
二、填空题: 11,

BD BAD
12, 15, 18 ; 13, 16,(

1 2?

;

?3

?12 ;

14, 900000 ; 三、解答题:

5 5 ; 3

41 3 ,) . 16 4

17.(1) f ( x) ? m ? n ? (2cos2 x , 3) ? (1, sin 2x ) ? 2cos2 x ? 3sin 2 x

? cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 1 . 6 2? 故最小正周期 T ? ?? 2
(2) f (C ) ? 2 sin( 2C ?

?

????????3 分 ????????5 分

?

6

) ? 1 ? 3 ,? sin(2C ?

?
6

) ? 1,
????????7 分 ????????9 分

. 6 6 2 b2 ? a2 ? c2 3 2 2 即: a ? b ? 7 . ? cosC ? ? 2ab 2 12 2 将 ab ? 2 3 代入可得: a 2 ? 2 ? 7 ,解之得: a ? 3 或 4, a ? a ? 3或2 ,? b ? 2或 3 ? a ? b, ? a ? 2, b ? 3 1 3 18.(1) 当 n ? 1 时, a1 ? s1 ,由 S1 ? a1 ? 1 ? a1 ? , 3 4
1 ? S n ? an ? 1 1 ? 1 3 当 n ? 2 时, ? ? S n ? S n ?1 ? (an ? an ?1 ) ? 0 ? an ? an ?1 ? 4 3 ?S ? 1 a ? 1 n ?1 n ?1 ? 3 ?

? C 是三角形内角,∴ 2C ?

?

?

?

即: C ?

?

????????11 分 ????????12 分 ????????1 分

3 1 为首项, 为公比的等比数列. ????????4 分 4 4 3 1 1 ? 故 an ? ( ) n ?1 ? 3( ) n (n ? N ) ???????6 分 4 4 4 1 1 n ?1 (2)由(1)知 1 ? S n ?1 ? an ?1 ? ( ) , 3 4 1 n ?1 bn ? log 4 (1 ? S n ?1 ) ? log 4 ( ) ? ?( n ? 1) ??????8 分 4 1 1 1 1 ? ? ? bnbn ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )? ? bnbn ?1 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n?2 T ? b1b2 b2b3
∴ ?an ? 是以
n

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试卷类型:A
1 1 1007 ? ? ? n ? 2014 , 2 n ? 2 2016 1007 故使 Tn ? 成立的最小的正整数 n 的值 n ? 2014 . 2016 3 2

??????12 分

19.解: (1)方法一、如图,分别取 AB、AC 的中点 O、Q,连接 OP、OQ,设 AN ? a 以 O 为坐标原点,OP 为 x 轴,OA 为 y 轴,OQ 为 z 轴建立空间直角坐标系,

0, 0), C (0, ?3, 4), M (2,- , 2), N (0,3-a,0) 则 P(4, 0), MN ? (-2, -a,-2), 设 N ( x0, 0, 0) ,则 AB ? (0,-6,
9 ? 9 由 MN ? AB 得 AB MN ? 0,即-2 a ? ? ? -a ? ? ?6 ? ? 2 ? 00 ? a= 2 ?2 ?
所以 AN ?

9 2

9 2

???????6 分

方法二:如图,取 AB 的中点为 O,PB 的中点为 Q,连接 MQ、NQ,

? M、Q 分别为 PB、PC 的中点 ? MQ BC 又? AB ? BC ? AB ? MQ 又? MN ? AB ? AB ? 平面MNQ AB ? NQ ,又? PA ? PB 且 O 为 AB 的中点 ? OP ? AB ? NQ OP 又? Q 为 AB 中点 ? N 为 OB 中点

? BN ? 1 OB ? 1 AB ? 3
2 4

2

? AN ? 9

2

??????6 分

3 (2)? MN ? (?2,0,-2), NC ? (0. ? ,4), 2

??2 x0 ? 2 z0 ? 0 ? ?m ? MN ? 0 ? 设平面 MNC 的一个法向量为 n1 ? ? x0 , y0 , z0 ? ,则 ? ?? 3 ? y0 ? 4 z0 ? 0 ?m ? NC ? 0 ? ? ? 2 令 z0 ? 3 ,则 x0 ? ?3, y0 ? 8 ,即 n1 ? ? ?3,8,3? ??????9 分
平面 ANC 的一个法向量为 n2 ? ? 0,0,1? , 则 cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 n1 n2

?

3 82 82
3 82 . 82
??????12 分

故二面角 M ? NC ? A 的余弦值为 20.解 (I ) x ? 6, y ? 7

??????4 分

2 2 (II) 甲地区优秀率为 , 乙地区优秀率为 , ? ? 0,1, 2,3, ? 5 11 2 6 ξ 的数学期望为 E(? ) ? 3 ? ? . 5 5 3 C20 C1 C 2 57 95 (III) P ?? ? 0 ? ? 3 ? , P ?? ? 1? ? 10 3 20 ? C30 203 C30 203
6/8

2 B(3, ) , 5
??????6 分

试卷类型:A
P ?? ? 2 ? ?
η 的分布列为 η P 0 57 203 1
95 203
2 1 3 C10 C20 45 C10 6 , ? P ? ? 3 ? ? ? ? 3 3 C30 203 C30 203

2
45 203

3
6 203

??????10 分

57 95 45 6 +1? +2 ? +3 ? =1. 203 203 203 203 2 21.解: (1) 设抛物线的标准方程为 y ? 2 px( p ? 0), 由 F (1,0) 得 p ? 2 ,
η 的数学期望为 E (? ) ? 0 ?

??????12 分

? C2 : y 2 ? 4 x ; 2 2 (2) 可设 AB : x ? 4 ? ny ,联立 y ? 4 x 得 y ? 4ny ? 16 ? 0 ,
2 y12 y 2 ? 16 设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ),则y1 y 2 ? ?16, x1 x2 ? 16 ?O A ? O B? 1 x2 x ? 1 y 2 y0 ?,即以 AB 为直径的圆过原点;

???????3 分

??????8 分

(3)设 P(4t ,4t ) ,则 OP的中点 (2t 2 ,2t )在直线l上,
?2t 2 ? 4 ? 2nt ? ? ? 4t 得 n ? ?1 ? 2 ? ?n ? 4t

2

?t ? 0

? n ? 1, 直线l:x ? y ? 4
设椭圆 C1 :

??????10 分

x y ? 2 ? 1 ,与直线 l : x ? y ? 4 联立可得: 2 a a ?1 ? 2a 2 ? 1? y 2 ? 8 ? a 2 ? 1? y ? a 4 ? 17a 2 ? 16 ? 0

2

2

? ? 0,a ?

34 ∴长轴长最小值为 34 2
f ?( x ) ? 1 ?1? 2x 1? x

??????13 分

22.(1)当 k ? 2 时, f ( x) ? ln( 1 ? x) ? x ? x 2

? f ?(1) ?

3 , f (1) ? ln 2 2 3 ( x ? 1) 2

??????2 分

? 曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为: y ? ln 2 ?
3x ? 2 y ? 2 ln 2 ? 3 ? 0 x(kx ? k ? 1) , x ? (?1,?? ) (2) f ?( x) ? 1? x x , 令f ?( x) ? 0则x ? 0 ① 当 k ? 0 时, f ?( x) ? ? 1? x ? f ( x)的单调减区间为:( 0, ? ?) 1? k 1? k ? 0即0 ? k ? 1 时, 令f ?( x ) ? 0则0 ? x ? ② 当 k k 1? k ? f ( x)的单调减区间为:( 0, ) k 1? k 1? k ? 0即k ? 1 时, 令f ?( x) ? 0则 ?x?0 ③ 当 k k

7/8

??????3 分

试卷类型:A
1? k ,0) k (3)当 k ? 0 时, f ( x)在[0, n] 上单调递减 ?bn ? f (n) ? ln(1 ? n) ? n ? f ( x)的单调减区间为:(
????????7 分

?an ? ln(1 ? n) ? bn ? n, (n ? N * )
? ? ? a1a3 a5 ? ? ? a2 n ?1 1? 3 ? 5 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? a 2 a 4 a6 ? ? ? a 2 n 2 ? 4 ? 6 ? ? ? ? ? 2n 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n ? 1) 1 ? 2 ? 2 ? ???? ? 2 2 2 4 6 ( 2n) 2n ? 1 1 2 2 ? ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n ? 1

??????9 分

??????12 分

a a ? ? ? a2 n ?1 a aa ? 1 ? 1 3 ? ??? ? 1 3 a2 a2 a4 a2 a 4 ? ? ? a2 n ? ( 3 ? 1) ? ( 5 ? 3 ) ? ? ? ? ? ( 2n ? 1 ? 2n ? 1) ? 2n ? 1 ? 1 ? 2an ? 1 ? 1, (n ? N * )
??????14 分

8/8


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