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§16.4.2棣莫弗定理与欧拉公式


复数及其应用
§16.4.2欧拉公式

复数的三角形式 z ? r (cos ? ? i sin ? )

z1 ? z2 ? r1r2 [cos(?1 ? ?2 ) ? isin(?1 ? ?2 )
复数的积的模等于模的积, 复数的积的辐角等于辐角的和.

z2 r2 ? [cos(? 2 ? ?1 ) ? i sin(? 2 ? ?1 )] z1 r1
复数的商的模等于模的商, 复数的商的辐角等于辐角的差.

z ? [r (cos ? ? isin ? )] ? r (cos n? ? isin n? )
n n n

复数的n次幂的模等于模的n次幂, 复数的n次幂的辐角等于辐角的n倍.

我们已学习了复数的代数形式 与三角形式,
复数还有表示形式—指数形式. 欧拉在棣莫弗的基础上,创造 性地给出了如下欧拉公式: 欧拉 Leonhard Euler cos ? ? i sin ? ? ei? . 1707—1783 于是,有 瑞士数学家 力学家 i? r (cos ? ? isin ? ) ? re . 天文学家 这种形式叫做复数的指数形式. 物理学家 变分法的奠基人 流体力学创始人 ……

将下列复数化成三角形式和代数形式: (1) 2e ;(2)3e 6;(3)10e 2 .
i? i

?

i

?

解: 2ei? = 2(cos ? ? isin? ) ? 2(?1 ? i ? 0) ? ? 2 (1) ? i ? ? 3 1 3 3 3 6 3(cos ? isin ) ? 3( ? i ? )? ? i (2)3e = 6 6 2 2 2 2 ? i ? ? 2 10(cos ? isin ) ? 10(0 ? i ?1) ? 10i (3)10e = 2 2
将下列复数化成三角形式和代数形式: (1)e 4;(2)3e 3;(3) 5e
i

?

i

?

i

3? 4

.

设 z ? rei?, 则 z1 ? z2 ? r1e ? r2e ? r1r2ei(?1 ??2 ) . i?1 z1 r1e r1 i(?1 ??2 ) ? i? 2 ? e . z2 r2 e r2 z n ? (rei? )n ? r n ei n? .
这些其实与复数的三角形式得到的结论一致, 但运算要方便得多.
i?1 i? 2

计算: 2e 12 ? 3e 6; (1) (2)10e 2 ? 5e 4; (3)( 2e 8 )4 . (1) 解: 2e ? 3e ? 2 ? 3e
12 6 i

i

?

i

?

i

?

i

?

i

?

?

i

?

i(

? ) 12 6

? ?

? 6e 4

i

?

10 (2)10e ? 5e = e 5
i 2 i 4 i

?

?

i( ? ) 2 4

? ?

? 2e 4
i

i

?

(3)( 2e 8 )4 = ( 2)4 e

?

i4?

?
8

? 4e 2

?

计算并将结果化成代数形式:
i

(1)e ? 3e ;(2) 6e ? 3e ;(3)(2e ) .
4 2 3 6 6 3

?

i

?

i

?

i

?

i

?

电学中,常用r?? 来表示模为r、辐角为?的复数. 我们将复数的这种形式叫做复数的极坐标形式, 即: r?? ? r (cos ? ? i sin ? ) ? rei? 显然,我们有: r1??1 ? r2??2 ? r1r2?(?1 ? ?2 ) r1 r1??1 ? r2??2 ? ?(?1 ? ? 2 ) (r2??2 ? 0) r2 (r?? )n ? r n ?n?
i

计算( 3e 2 )2 并将结果化成极坐标形式和代数形式.

?

本节课 学到了哪些知识?
掌握了哪些方法?

何处还需要注意?


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