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江苏省盐城市响水中学2014-2015学年高一上学期第二次段考数学试卷


江苏省盐城市响水中学 2014-2015 学年高一上学期第二次段考数 学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.A={x|x≥﹣1},B={x|x<3},则 A∪B=. 2.已知幂函数 y=f(x)的图象过点(2, 3.已知 f(x+1)=x ﹣2x,则 f(2)=. 4.已知集合 A={x|3≤x<6},B={x|2<x<9}.则?

R(A∩B)=. 5.与向量 平行的单位向量为.
2

) ,则 f(16)=.

6.已知向量



为两个不共线的向量, =

+

, =2



, =

+2

,以 ,

为基底表示 ,则 =. 7.已知集合 A=[1,4) ,B=(﹣∞,a) ,若 A?B,则实数 a 的取值范围为. 8.已知| |=10,| |=12,且(3 )?( )=﹣36,则 、 的夹角为.

9.方程|x|=cosx 在(﹣∞,+∞)内解的个数是. 10.若函数 f(x)=sinωx (ω>0)在区间[0, 减,则 ω=. 11.已知 ,那么 a 的取值范围是. ]上单调递增,在区间[ , ]上单调递

12.设 =(x,4) , =(﹣1,2) ,若 与 的夹角为锐角,则 x 的取值范围为.

13.ω 正实数,函数 f(x)=2sinωx 在

上是增函数,那么 ω 的取值范围是.

14.已知函数 范围是.

,若 a>b≥0,且 f(a)=f(b) ,则 bf(a)的取值

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤) 15.设 , 是两个互相垂直的单位向量,已知向量 , (1)若 A、B、D 三点共线,试求实数 λ 的值. (2)若 A、B、D 三点构成一个直角三角形,试求实数 λ 的值. 16.已知函数 f(x)=ax ﹣2ax+2+b(a>0)在区间[2,3]上的值域为 [2,5] (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)若关于 x 的函数 g(x)=f(x)﹣(m+1)x 在区间[2,4]上为单调函数,求实数 m 的取值范围.
2





17.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 之间的距离为 ,且该函数图象的一个最高点为 .

)的相邻对称轴

(1)求函数 f(x)的解析式和单调增区间; (2)若 ,求函数 f(x)的最大值和最小值.

18.已知函数 f(x)=a﹣

是奇函数(a∈R) .

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)试判断函数 f(x)在(﹣∞,+∞)上的单调性,并证明你的结论; 2 2 (Ⅲ)若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣(m﹣2)t)+f(t ﹣m﹣1)<0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 19. (16 分)经市场调查,某种商品在过去 50 天的销售量和价格均为销售时间 t(天)的函 数,且销售量近似地满足 f(t)=﹣2t+200(1≤t≤50,t∈N) .前 30 天价格为 g(t)= t+30 (1≤t≤30,t∈N) ,后 20 天价格为 g(t)=45(31≤t≤50,t∈N) . (1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系; (2)求日销售额 S 的最大值. 20. (16 分)已知函数 f(x)=2x ﹣3x+1. (1)当 0≤x≤ 时,求 y=f(sinx)的最大值;
2

(2)问 a 取何值时,方程 f(sinx)=a﹣sinx 在[0,2π)上有两解?

江苏省盐城市响水中学 2014-2015 学年高一上学期第二 次段考数学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.A={x|x≥﹣1},B={x|x<3},则 A∪B=R. 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由 A 与 B,求出两集合的并集即可. 解答: 解:∵A={x|x≥﹣1},B={x|x<3}, ∴A∪B=R, 故答案为:R 点评: 此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键. 2.已知幂函数 y=f(x)的图象过点(2, ) ,则 f(16)=4.

考点: 幂函数的单调性、奇偶性及其应用. 专题: 综合题;待定系数法. 分析: 先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式, 代入点的坐标, 求出幂函数的解析 式,再求 f(16)的值 解答: 解:由题意令 y=f(x)=x ,由于图象过点(2, 得 =2 ,a=
a a

) ,

∴y=f(x)= ∴f(16)= =4

故答案为:4. 点评: 本题考查幂函数的单调性、 奇偶性及其应用, 解题的关键是熟练掌握幂函数的性质, 能根据幂函数的性质求其解析式,求函数值. 3.已知 f(x+1)=x ﹣2x,则 f(2)=﹣1. 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先,换元令 x+1=t,得到 x=t﹣1,然后,得到函数解析式,然后,求解 f(2)的 值即可.
2

解答: 解:令 x+1=t, ∴x=t﹣1, ∴f(t)=(t﹣1) ﹣2(t﹣1)=t ﹣4t+3, 2 ∴f(x)=x ﹣4x+3, ∴f(2)=﹣1 故答案为:﹣1 点评: 本题重点考查了函数的换元法求解函数解析式, 注意运用此方法时, 容易出现变量 的范围扩大或者缩小等问题,需要引起足够重视,属于基础题. 4.已知集合 A={x|3≤x<6},B={x|2<x<9}.则?R(A∩B)={x|x<3 或 x≥6}. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 由 A 与 B,求出两集合的交集,根据全集 R,求出交集的补集即可. 解答: 解:∵A={x|3≤x<6},B={x|2<x<9}, ∴A∩B={x|3≤x<6}, 则?R(A∩B)={x|x<3 或 x≥6}, 故答案为:{x|x<3 或 x≥6} 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
2 2

5.与向量

平行的单位向量为( , )或(﹣ ,﹣ ) .

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 分析: 根据题意,设要求向量的坐标为(x,y) ,由与向量
2 2

平行,可得 4x﹣

3y=0①,又由其为单位向量,则 x +y =1②,联立①②式,求解 x、y 的值,可得答案. 解答: 解:设要求向量的坐标为(x,y) , 由与向量 平行,可得 4x﹣3y=0,①
2 2

又由其为单位向量,则 x +y =1,②

将①②联立,解可得





故向量的坐标为( , )或(﹣ ,﹣ ) ; 故答案为( , )或(﹣ ,﹣ ) . 点评: 本题考查向量共线的坐标表示与运算, 一般情况要设出要求向量的坐标, 进而列出 方程,求解得到答案.

6.已知向量



为两个不共线的向量, = .

+

, =2



, =

+2

,以 ,

为基底表示 ,则 =

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 将 = + , =2 + ﹣ 联立,解出 ﹣ , ; , ; . 分别利用 表示即可.

解答: 解:∵ =

, =2 ∴

两个向量相加得 + =3 2 ∴ = =3 +2 ,∴ =

故答案为:

点评: 本题考查了平面向量基本定理在基底的选择;不共线的两个向量可以作为基底. 7.已知集合 A=[1,4) ,B=(﹣∞,a) ,若 A?B,则实数 a 的取值范围为 a≥4. 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题. 分析: 集合 A=[1,4) ,B=(﹣∞,a) ,A?B,根据子集的定义可求. 解答: 解:由题意,集合 A=[1,4)表示大于等于 1 而小于 4 的数,B=(﹣∞,a)表示 小于 a 的数, ∵A?B, ∴a≥4 故答案为 a≥4 点评: 本题的考点是集合关系中的参数取值问题, 主要考查集合中的子集关系, 关键是理 解集合表达的数的范围. .

8.已知| |=10,| |=12,且(3 )?(

)=﹣36,则 、 的夹角为 120°.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题. 分析: 由已知中(3 )?( )=﹣36,我们易得到 ? 的值,再结合| |=10,| |=12,代



即可得到向量 、 的夹角

解答: 解:∵(3 )?( ∴ ? =﹣60 又∵| |=10,| |=12 ∴ 又∵0°≤θ≤180° ∴θ=120° 故答案为:120° =

)=

? =﹣36,

=﹣

点评: 求出两个向量的夹角 θ 时, 大家熟练掌握. 9.方程|x|=cosx 在(﹣∞,+∞)内解的个数是 2.

是向量中求夹角的唯一公式,要求

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 一坐标系内作出函数 y=cosx 和 y=|x|的图象,可得当 x∈(﹣∞,+∞)时,两曲线 共有 2 个交点,由此即可得到本题的答案. 解答: 解:同一坐标系内作出函数 y=cosx 和 y=|x|的图象,如右图所示. 对照图象,得两曲线在(﹣∞,+∞)内共有 2 个交点. 得方程|x|=cosx 在(﹣∞,+∞)内解的个数是:2 个. 故答案为:2.

点评: 本题给出含有余弦和绝对值的方程, 求方程根的个数, 着重考查了绝对值函数和余 弦函数的图象与性质、函数的零点等知识,属于中档题. ]上单调递增,在区间[ ]上单调递

10.若函数 f(x)=sinωx (ω>0)在区间[0, 减,则 ω= .



考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题. 分析: 由题意可知函数在 x= 可. 解答: 解:由题意可知函数在 x= 时确定最大值,就是 ,k∈Z,所以 时确定最大值,就是 ,求出 ω 的值即

ω=6k+ ;只有 k=0 时,ω= 满足选项. 故答案为: . 点评: 本题是基础题,考查三角函数的性质,函数解析式的求法,也可以利用函数的奇偶 性解答,常考题型.

11.已知

,那么 a 的取值范围是{a|

或 a>1}.

考点: 指、对数不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据条件 a 的范围,综合可得结论. 解答: 解:∵已知 =logaa,显然当 a>1 时,不等式成立. =logaa,再分当 a>1 时、当 0<a<1 时两种情况,分别求得

当 0<a<1 时,则由已知可得 综上可得,a 的取值范围是{a| 故答案为 {a| 或 a>1}.

,解得 0<a< . 或 a>1},

点评: 本题主要考查对数不等式的解法, 体现了转化以及分类讨论的数学思想, 属于中档 题.

12.设 =(x,4) , =(﹣1,2) ,若 与 的夹角为锐角,则 x 的取值范围为 x<8,且 x≠ ﹣2. 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 与 的夹角为锐角,可得 =﹣x+8>0,且 与 不能同向共线,解出即可.

解答: 解:∵ 与 的夹角为锐角,



=﹣x+8>0,且 与 不能同向共线,

∴x<8,且 x≠﹣2. 故答案为:x<8,且 x≠﹣2. 点评: 本题考查了向量的夹角公式、向量共线定理,考查了计算能力,属于基础题.

13.ω 正实数,函数 f(x)=2sinωx 在 ].

上是增函数,那么 ω 的取值范围是(0,

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题. 分析: 依题意,f(x)=2sinωx 在[﹣ 范围. 解答: 解:∵f(x)=2sinωx 在[﹣ ∴f(x)=2sinωx 在[﹣ ∴ T≥ ,即 ≥ , , ]上是增函数, , ]上是增函数? T≥ ,从而可求 ω 的取值

]上是增函数,

(ω>0) ,

∴0<ω≤ . 故答案为: (0, ]. 点评: 本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查正弦函数的周期性, 属于中档题.

14.已知函数 范围是 .

,若 a>b≥0,且 f(a)=f(b) ,则 bf(a)的取值

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: 可作出函数 f(x)= 的取值范围. 解答: 解:∵f(x)= ,a>b≥0,且 f(a)=f(b) ,作图如下: 的图象,依题意,数形结合,可求得 bf(a)

由图可知,当 a=1 时,直线 y= 与 f(x)有两个交点,即 f(a)=f(1)= ,此时,由 b+2= 得 b= , ∴bf(a)= × = ; 当 b=1 时,直线 y=3 与 f(x)只有一个交点,且 f(a)=f(b)=3, ∴bf(a)=1×3=3, ∴bf(a)的取值范围为[ ,3) . 故答案为:[ ,3) . 点评: 本题考查根的存在性及根的个数判断, 考查数形结合思想与作图能力, 属于中档题. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤) 15.设 , 是两个互相垂直的单位向量,已知向量 , (1)若 A、B、D 三点共线,试求实数 λ 的值. (2)若 A、B、D 三点构成一个直角三角形,试求实数 λ 的值. 考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系;平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1) 由向量的减法运算求出 (2)在(1)求出了 和 , 再由共线向量基本定理列式后转化为方程组求解; ,然后分三种情况进行讨论,运用垂直 , ,

,再由向量加法求出

时的数量积为 0 求解 λ 的值.

解答: 解: (1) =

= ,



∵A、B、D 三点共线,∴存在实数 μ 使 即 =μ[ ]

, .

(2) = .

=(

)+(

)+(



若∠A=90°,则 此时 A、D 两点重合,应舍去; 若∠B=90°,则 若∠D=90°,则 综上所述实数 λ 的值为 λ=﹣3 或 λ=﹣1 或 .



; (舍) ,λ=﹣1.

点评: 本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系,考查了平面向量共线的坐标表 示,考查了分类讨论思想,考查计算能力,是中低档题. 16.已知函数 f(x)=ax ﹣2ax+2+b(a>0)在区间[2,3]上的值域为[2,5] (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)若关于 x 的函数 g(x)=f(x)﹣(m+1)x 在区间[2,4]上为单调函数,求实数 m 的取值范围. 考点: 函数单调性的性质;二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)由 f(x)的图象及对称轴可判断 f(x)在[2,3]上递增,从而有 f(2)=2, f(3)=5,联立即可解得 a,b 值; 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 g(x)=x ﹣(m+3)x+2.分 g(x)在[2,4]上递增、递减两种情况讨论, 可得其对称轴与区间的位置关系,由此可得到不等式,解出即可. 解答: 解: (Ⅰ)∵a>0,∴所以抛物线开口向上且对称轴为 x=1. ∴函数 f(x)在[2,3]上单调递增. 由条件得 ,即 ,解得 a=1,b=0.
2

故 a=1,b=0. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a=1,b=0. 2 2 ∴f(x)=x ﹣2x+2,从而 g(x)=x ﹣(m+3)x+2.

①若 g(x)在[2,4]上递增,则对称轴 ②若 g(x)在[2,4]上递减,则对称轴

,解得 m≤1; ,解得 m≥5,

故所求 m 的取值范围是 m≥5 或 m≤1. 点评: 本题考查二次函数的单调性及其应用, 考查数形结合思想及分类讨论思想, 深刻理 解“三个二次”间的关系是解决该类问题的基础. 17.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 之间的距离为 ,且该函数图象的一个最高点为 . )的相邻对称轴

(1)求函数 f(x)的解析式和单调增区间; (2)若 ,求函数 f(x)的最大值和最小值.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)根据已知条件,我们可以分析出函数的最值及周期,进而求出 A 和 ω,代入 最大值点坐标,结合 φ 的范围,求出 φ 值,可得 f(x)的解析式结合正弦函数的单调性, 可求出函数的单调增区间; (2) 由 可得相位角 2x﹣ 的取值范围, 结合正弦函数的图象和性质可得函

数 f(x)的值域,进而求出其最值. 解答: 解: (1)由题意,函数图象的一个最高点为 又∵相邻对称轴之间的距离为 所以 f(x)=4sin(2x+φ) ,… 再由 得 , .… ,… , .… ,且 , ,即 ,得 ω=2, ,则 A=4,

所以 f(x)的解析式为 由 得 所以 f(x)的单调增区间为 (2)因为 ,

所以 所以,

,… ,… ,

所以 f(x)max=4,f(x)min=2.…(16 分) 点评: 本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质, 由函数的图象求函数的解析式, 熟 练掌握正弦型函数的图象和性质是解答的关键. 18.已知函数 f(x)=a﹣ 是奇函数(a∈R) .

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)试判断函数 f(x)在(﹣∞,+∞)上的单调性,并证明你的结论; 2 2 (Ⅲ)若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣(m﹣2)t)+f(t ﹣m﹣1)<0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 奇函数;函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质. 专题: 综合题;待定系数法. 分析: (Ⅰ)先将函数变形,再由奇函数探讨 f(﹣x)=﹣f(x) ,用待定系数法求解. (Ⅱ)用定义求解,先在区间上任取两个变量,且界定大小,再作差变形看符号,要注意变 形到位. (Ⅲ)由(Ⅰ) 、 (Ⅱ)知,f(x)是(﹣∞,+∞)上的增函数,且是奇函数.将 f(t ﹣(m 2 2 ﹣2)t)+f(t ﹣m﹣1)<0 对任意 t∈R 恒成立,转化为 2t ﹣(m﹣2)t﹣(m+1)<0 对任 意 t∈R 恒成立.再用判别式法求解. 解答: 解: (Ⅰ)由题意可得:f(x)= ∵f(x)是奇函数∴f(﹣x)=﹣f(x) 即
2

∴a﹣2=﹣a,即 a=1 即

(Ⅱ)设 x1,x2 为区间(﹣∞,+∞)内的任意两个值,且 x1<x2, 则 , ,

∵f(x1)﹣f(x2)=

=

<0

即 f(x1)<f(x2)∴f(x)是(﹣∞,+∞)上的增函数. (Ⅲ)由(Ⅰ) 、 (Ⅱ)知,f(x)是(﹣∞,+∞)上的增函数,且是奇函数. ∵f(t ﹣(m﹣2)t)+f(t ﹣m﹣1)<0 2 2 2 ∴f(t ﹣(m﹣2)t)<﹣f(t ﹣m﹣1)=f(﹣t +m+1) 2 2 ∴t ﹣(m﹣2)t<﹣t +m+1 2 即 2t ﹣(m﹣2)t﹣(m+1)<0 对任意 t∈R 恒成立. 2 2 只需△ =(m﹣2) +4×2(m+1)=m +4m+12<0, 解之得 m∈?(16 分) 点评: 本题主要考查函数的奇偶性,单调性的判断与证明以及用判别式求解恒成立问题. 19. (16 分)经市场调查,某种商品在过去 50 天的销售量和价格均为销售时间 t(天)的函 数,且销售量近似地满足 f(t)=﹣2t+200(1≤t≤50,t∈N) .前 30 天价格为 g(t)= t+30 (1≤t≤30,t∈N) ,后 20 天价格为 g(t)=45(31≤t≤50,t∈N) . (1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系; (2)求日销售额 S 的最大值. 考点: 根据实际问题选择函数类型;函数的最值及其几何意义. 专题: 应用题. 分析: (1)根据销售额等于销售量乘以售价得 S 与 t 的函数关系式,此关系式为分段函 数; (2)求出分段函数的最值即可. 解答: 解: (1) 当 1≤t≤30 时, 由题知 f (t) ?g (t) = (﹣2t+200) ? ( 当 31≤t≤50 时,由题知 f(t)?g(t)=45(﹣2t+200)=﹣90t+9000, 所以日销售额 S 与时间 t 的函数关系为 S= ; ) =﹣t +40t+6000,
2 2 2

(2)当 1≤t≤30,t∈N 时,S=﹣(t﹣20) +6400,当 t=20 时,Smax=6400 元; 当 31≤t≤50,t∈N 时,S=﹣90t+9000 是减函数,当 t=31 时,Smax=6210 元. ∵6210<6400, 则 S 的最大值为 6400 元. 点评: 考查学生根据实际问题选择函数类型的能力.理解函数的最值及其几何意义的能 力. 20. (16 分)已知函数 f(x)=2x ﹣3x+1. (1)当 0≤x≤ 时,求 y=f(sinx)的最大值;
2

2

(2)问 a 取何值时,方程 f(sinx)=a﹣sinx 在[0,2π)上有两解?

考点: 二次函数的性质;函数零点的判定定理. 专题: 分类讨论;函数思想;方程思想;换元法;函数的性质及应用;三角函数的图像与 性质. 分析: (1)根据函数 f(x)得出 y=f(sinx)的解析式,用换元法,设 t=sinx,x∈[0, 求出 f(t)在区间[0,1]上的最值即可; (2)把方程 f(sinx)=a﹣sinx 转化为 2sin x﹣2sinx+1=a 在[0,2π]上有两解的问题,用换 2 元法,求方程 2t ﹣2t+1=a 在[﹣1,1]上解的情况即可. 2 解答: 解: (1)∵函数 f(x)=2x ﹣3x+1, 2 ∴y=f(sinx)=2sin x﹣3sinx+1, 设 t=sinx,x∈[0,
2 2

],

],则 0≤t≤1, ﹣ ,

∴y=2(t ﹣ t)+1=2

∴当 t=0 时,函数 y 取得最大值 ymax=1; (2)∵方程 f(sinx)=a﹣sinx, ∴2sin x﹣3sinx+1=a﹣sinx, 2 即 2sin x﹣2sinx+1=a 在[0,2π]上有两解, 设 t=sinx,则 2t ﹣2t+1=a 在[﹣1,1]上解的情况如下; ①当方程在(﹣1,1)上只有一个解或相等解时, x 有两解(5﹣a) (1﹣a)<0 或△ =0; ∴a∈(1,5)或 a= ; ②当 t=﹣1 时,x 有唯一解 x= π, ③当 t=1 时,x 有唯一解 x= ;
2 2

综上,当 a∈(1,5)或 a= 时,方程 f(sinx)=a﹣sinx 在[0,2π)上有两解. 点评: 本题考查了函数的图象与性质的应用问题, 也考查了三角函数的图象与性质, 考查 了函数与方程的应用问题,考查了换元法的应用问题,是综合性题目.


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