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用点对称法证明反余弦函数的一条性质


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第4 期  

高 中 数 学 教 与 学  

6 3  

用 点 对 称 法 证 明 反 余 弦  
函 数 的 一 条 性 质  
河 南 省 宜 阳 县 白 杨 高 中  李 长 松  

对 于 任 意   ∈ [ 一 1 , 1 ] , 有 a r c c o s ( 一 z ) = 7 r — a r c c ( k s z , 这  
是 反 余 弦 函 数 的 一 条 重 要 性 质 . 它 在 反 三 角 函 数 的 运 算 中 发   挥 着 重 要 作 用 . 这 条 性 质 的 证 明 , 教 材 采 用 了 比 较 迂 回 的 方   法 , 实 践 发 现 学 生 接 受 的 效 果 较 差 . 若 考 虑 采 用 下 面 证 法 , 教   学 效 果 会 更 好 一 些 .  

运 用 与 反 正 弦 函 数 性 质 类 比 的 方 法 , 可 以 将 反 余 弦 函 数  
性 质 归 纳 为 以 下 三 条:  

( 1 ) 反 余 弦 函 数 Y = a r c c o s x 在 区 间 [ 一 1 , 1 ] 上 是 减 函 数 ;  

( 2 ) 反 余 弦 函 数 y = a r c c o s   的 图 象 关 于 点 f   0 , 鲁 ) 对 称 ,  
由 性 质 ( 2 ) 可 以 推 出 如 下 性 质 :  

( 3 ) 对 任 意 z ∈ [ 一 1 , 1 ] 总 有  
a r c   C O S ( 一 z ) =7 r — a r c   c ( k s x .   下 面 证 明 性 质 ( 3 ) :  

设P (   , Y ) 是 Y = a r c c ( k s x ( 一 1 ≤ z ≤1 ) 图 象 上 的 任 意  


点 , P   (   , Y   ) 是 其 关 于 ( 0 , 号 ) 的 对 称 点 , 即 ( 0 , 号 ) 是  

的 中 点 . 由 中 点 坐 标 公 式 有 :  

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高 中 数 学 教 与 学  

2 0 0 o 年  

' L  

I   兰 ±    Y 一   。 l   = 丌 二 一 Y .  
P   订  
‘  

【  2   —2 ‘  

2  


因为 P ( x , Y )在 Y =   a r c ∞ s z 图 象 上 , 所 以 P 的 坐 标 可  

1   0  

1  

附 图  

转换为P ( z , a r c ∞ s z ) , 于是  

由 性 质 ( 2 ) 薯 知   : 点   P   也 在   Y   =  ( a 一 r c  ̄ x     一 ‘ 1 ≤ z ≤ 1   ) 的  《   ’   ’  
图 象 上 , 所 以 a r c ∞ s ( 一 z ) = 丌 一 a r c  ̄x .  

类 似 地 , 反 余 切 函 数 的 性 质 也 可 采 用 上 述 方 法 证 明 .  

解逵乔等 

种策略 

云 南 省 宁 蒗 民 族 中 学  田 玉 平   我 们 将 形 如 “ a ≤M≤b ” 的 不 等 式 称 为 连 不 等 式 . 本 文  
以 一 道 考 题 为 例 , 介 绍 四 种 常 见 的 解 题 策 略 .  

例  ( 1 9 9 7 年 高 考 题 ) 设 二 次 函 数r ( z ) =   + b x +   c ( a > 0 ) , 方 程 f ( x ) 一 I z = 0 两 根 为z 1 , z 2 , 满 足 0 < z 1 <  

I z 2 < { , 当 z ∈ ( 0 , I z 1 ) 时 , 证 明 I z < f ( x ) < z 1 .  
命 题1  若a ≤b , 则a ≤M≤6 ∞ 0 ≤M— a ≤b —  
n ∞

等≤ l ㈢  ≥ 1 .  

证 法1  由 z 1 、 I z 2 是 方 程厂 ( I z ) 一 z = 0 的 两 个 根 , 得   、   ■   f ( x ) 一  = a (   — I z 1 ) ( z —   2 ) .  


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