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8.1.1数轴上的距离公式和中点公式教学设计


数学基础模块

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8.1.1 数轴上的距离公式与中点公式
【教学目标】 1. 理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系,会表示数轴上某一点的坐标. 2. 掌握数轴上的距离公式和中点公式,并能用这两个公式解决有关问题. 3. 培养学生勇于发现、勇于探索的精神;培养学生合作交流等良好品质. 【教学重点】 数轴上的距离公式、中点公式

. 【教学难点】 距离公式与中点公式的应用. 【教学方法】 这节课主要采用问题解决法和分组教学法.先从数轴入手,在使学生进一步明确了数与数轴上的点的 一一对应关系后,给出数轴上点的坐标的定义及记法,在此基础上进一步学习数轴上距离公式及中点公 式.本节教学中,始终要坚持数形结合的思想和方法,让学生积极大胆的猜想,在探索过程中发现和归纳 两个公式,以此增强学生的参与意识,提高学生的学习兴趣. 【教学过程】 环节 1.数轴
-4-3 -2 -1 0 1 2 3 4

教学内容

师生互动

设计意图

x

2. 数轴上的点与实数是 的. 引 入

对应

师:人类早期用石子来记 通过引入激发 数, 但是石子记数不能移动, 无 学生学习的兴趣. 法携带, 于是人们又想到了用结 绳等方法记数. 我国古书 《易经》 上记载有“结绳记数”的历史, 即在一根长绳上打上结表示 数. 随着社会的进步, 记数的方 法也越来越准确、科学.到了 17 世纪,法国数学家笛卡儿发 明了用直线和直线上的点来表 示数的方法, 这就是我们现在仍 在沿用的数轴表示数的方法. 师: 数轴的三要素是什 么? 学生回答,教师展示数轴. 由二维坐标到 一维坐标,似乎违 反了人的认知规 律,但在以往的学 习中,学生对两维 坐标是熟悉的.通 过类比平面坐标得 到轴上坐标,学生 容易理解.

新 课

师: 平面上我们用一对有序 实数来表示一个点的位置, 在数 P ● 轴上, 我们应当怎么表示一个点 -4-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 的位置呢? 在数轴上,如果点 P 与 x 对应, 学生思考问题.教师投影, 则称点 P 的坐标为 x,记作 P(x). 给出数轴上点的坐标的定义及 记法. 学生理解概念, 教师强调记 法. 练习一 观察数轴,完成下列题目:

1. 数轴上点的坐标

请同学们结合定义抢答下
1

强化新知识的

第八章

直线和圆的方程

列问题.
P B O ● ● ● -4-3 -2 -1 0 1 A ● 2 3 4

x

记忆与应用,以形 成学生内在的素 质.

(1)点 P 与-3.5 对应,则点 P 的坐标是 ,记作 ; (2) 点 A 的坐标是 , 记作 ; (3) 点 B 的坐标是 , 记作 ; (4) 点 O 的坐标是 , 记作 . 2. 数轴上的距离公式 探究一 如图,填空:
A D B C ● ● ● ● -4-3 -2 -1 0 1 2 3 4

学生回答,教师点评.

教师投影提出问题, 学生分 组讨论探究.
x

新 课

(1)图中点 A 的坐标是 ,B 的 坐标是 ,C 的坐标是 ,点 D 的坐 标是 ; (2)点 A 与 B 之间的距离 |AB|= ,点 C 与 A 之间的距离 |CA|= ,点 B 与 C 之间的距离 |BC|= ; (3) 你能找出数轴上两点间距离 与两个点坐标之间的关系吗? 一般地,如果 A(x1),B(x2),则这 两点的距离公式为 |AB|=|x2-x1|. 探究二 在以上例子中,我们遇到的数轴 都是水平放置的,如果数轴不是水平 放置的(如下图所示),数轴上的距离 公式成立吗?
x
B 1 0 -1 A ●-2 -3 -4 ●3 2 4

教师巡视.

让学生通过小 组合作,在探究过 程中,归纳出数轴 上两点间的距离公 式,形成知识的主 动认知.

第 (2) 题主要是引导学生 从图象上直观地求距离.

学生在尝试解决问题 (3) 的过程中,使认知得到升华. 在探究的基础上, 教师给出 数轴上两点的距离公式.

使学生由感性 认知(算法)上升 到理性认知(公 式). 探究二使学生 认识到非水平放置 的数轴上的两点间 的距离公式是不改 变的,特别是竖直 放置的数轴上的距 离问题,为下节解 决平面直角坐标系 中两点间的距离公 式打下基础.

教师提出问题, 学生观察并 尝试解决. 师: 不管数轴在平面上怎么 放置, 两点间的距离公式是不变 的.

y
4 B ●3 2 1 0 -1 A ●-2 -3 -4

试求两个图中点 A 与 B 之间的距 离. 3. 数轴上的中点公式
2

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探究三 根据下图回答问题:
A D C ● ● ● 0 1 2 -3 -2 -1

x

教师投影提出问题, 学生分 组讨论探究. 教师巡视. 学生在尝试解决问题的过 程中,探究中点公式.

(1)点 A(-1),C(-3)的中点坐 标是多少?中点坐标与 A,C 两点的 坐标有怎样的关系? (2)点 A(-1),D(1)的中点坐标 是多少?中点坐标与 A,D 两点的坐 标有怎样的关系? 一般地,在数轴上,A(x1),B(x2) 的中点坐标 x 满足关系式 x= 新 课 x1+x2 . 2

让学生通过小 组合作,在探究过 程中,归纳得出数 轴上两点间的中点 公式.

在探究的基础上, 教师引导 学生归纳出数轴上两点的中点 公式.

4. 应用 例 已知点 A(-3),B(5),求: 教师投影,先让学生思考, 在实践中应用 (1)|AB|; 小组内合作尝试解答. 本节知识解决有关 (2)A,B 两点的中点坐标. 数轴上的距离和中 解 (1)|AB|=|5-(-3)|=8; 教师在学生思考的基础上, 点问题. (2)设点 M(x)是 A,B 两点的中 找个别学生回答,并给予点评. 点,则 x= -3+5 =1. 2

即 A,B 的中点坐标为 1. 练习二 已知点 A(-6),B(-1),C(2), D(4.5),E(7),求: (1)|AB|,|AC|,|BD|,|DE|; (2)A,B 的中点坐标,B,E 的 中点坐标. 小 结 1.数轴上点的坐标. 2.数轴上两点间的距离公式. 3.数轴上两点的中点公式.

小组合作完成, 并采用抢答 形式,提高课堂学习气氛. 教师针对学生的解答给予 点评. 回顾本节主要内容, 强化一 个定义及两个公式.

检验并强化本 节知识的应用.

简洁明了地概 括本节课的重要知 识,学生易于理解 记忆. 针对学生实 际,对课后书面作 业实施分层设置.

作 业

教材 P67 练习 A 组第 1 题. 教材 P67 练习 B 组第 3 题(选做).

学生标记作业.

3


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