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数学理卷·2014届重庆市南开中学高三(上)1月月考


重庆南开中学高 2014 级高三 1 月月考 数学试题(理)
第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1、已知集合 A ? x y ? A、 ? ?1,1?

?

? x ?1 ? x ?1 , B ? ?x ? 0 ? ,则 A ? B ? ( ? x ?1 ?
B、 ? ?1,1? ) C、 ?1, ?? ?

?

) D、 ? 0,1?

2、下列选项一定正确的是( A、若 a ? b ,则 ac ? bc C、若 a ? b ,则 a ? b
2 2

B、若 a ? b ,则 a ? b D、若

3、命题“对 ?x ? R ,都有 sin x ? 1”的否定为( ) A、对 ?x ? R ,都有 sin x ? 1 B、对 ?x ? R ,都有 sin x ? ?1 C、 ?x0 ? R ,使得 sin x0 ? 1 4、函数 f ? x ? ? x A、 ? 0,1?
?2

1 1 ? ,则 a ? b a b

D、 ?x0 ? R ,使得 sin x ? 1 )

? x ? 1 的零点所在区间为(
B、 ? 1, ?

? 3? ? 2?

C、 ? , 2 ?

?3 ?2

? ?

D、 ? 2,3 ?

5、某班要邀请 6 位教师中的 4 位参加元旦晚会,已知教师甲和教师乙不能同时参加,则不 同的邀请方法种数为( ) A、15 B、13 C、11 D、9 6、已知 (2 x ? ) 的展开式中各项系数之和为 1,则该展开
5

a x

式中含

1 项的系数为( x A、 ?40 C、 ?20

) B、40 D、20

7、某算法的程序框图如题 ? 7 ? 图所示,若输入 a ? 1, b ? 2, c ? 3 , 则输出的结果为( A、1 C、3 ) B、2 D、4

8、设 F1 、 F2 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点,以 F1 F2 为直径的 a 2 b2

圆与双曲线 C 在第一象限的交点为 P ,若双曲线的离心率为 5,则 cos ?PF1 F2 ? ( A、



3 4

B、

3 5

C、

4 5
x

D、

5 6

9、已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 、 g ? x ? 满足 f ? x ? ? a g ? x ? , f ' ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ' ? x ? , 其中 g ? x ? ? 0 且

g ?1?

f ?1?

?

g ? ?1?

f ? ?1?

?

? 5 ? f ?n? ? ? ,在有穷数列 ? ? ? n ? 1, 2, 3,? ,10 ? 中任取前 k g n 2 ? ? ? ? ? ?
) C、

项相加,则前 k 项和大于 A、

3 4 D、 5 5 2 10 、 已 知 O 为 ?ABC 的 外 心 , A B? 2 a , AC ? ? a ?0, a ? ? R, ? B A ? C1?2。 0若 a ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? A O? ? A B ? ? A?C? , ? ? ? ,则 R ? ? ? 的最小值为( )
A、1 B、 2 C、 3 D、2

1 5

63 的概率是( 64 2 B、 5

第 II 卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填写在答 题卡相应位置上。

1 ? 3i ( i 为虚数单位) ,则 z ? 。 1? i ? 1 12、设 ? 为第二象限角,若 tan(? ? ) ? ,则 sin ? ? cos ? ? 。 4 2 13、若实数集 M 中至少含有两个元素,且 M 中任意两个元素之差的绝对值都大于 2,则称
11、已知复数 z ? 。已知集合 A ? ?1, 2,3,? ,10? ,则 A 的所有子集中“绝对好集”的个数 M 为“绝对好集” 为 。

考生注意:14、15、16 为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分。 14、如题 ?14 ? 图所示,过 ? O 外一点 A 作一条直线与 ? O 交 于 C , D 两点, AB 切 ? O 于 B ,弦 MN 过 CD 的中点 P 。已 知 AC ? 4, AB ? 6 ,则 MP ? NP ? 15、直线 ? 弦长为 。

? x ? 1 ? 2t ? t ? R ? 与曲线 ? ? 2cos? 相交,截得的 ? y ? 1? t


16 、 若 关 于 x 的 不 等 式 x ? m ? x ? 1 ? 2m ? 3 的 解 集 是 R , 则 实 数 m 的 取 值 范 围

是 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (本小题满分 13 分)甲、乙、丙、丁四名志愿者被随机分到 A 、 B 、 C 三个不同的岗 位服务,每个岗位至少有一名志愿者。 (I)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (II)设随机变量 ? 为这四名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,求 ? 的分布列与数学期望。

18、 (本小题满分 13 分)函数 f ? x ? ? cos ? x ?
2

? ?

??

?? 2? ? ? cos ? x ? ? 。 6? 3? ?

(I)当 x ? ?0,

? ?? 时,求 f ? x ? 的值域; ? 2? ?

(II) 在 ?ABC 中, 已知 sin B ? cos A sin C , f ? B ? ?

? ???? 1 ??? 求 ?ABC 的面积。 , AB ? AC ? 4 3 , 2

19 、 ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 二 次 函 数 y ? f ? x? 的 图 象 经 过 点 ? 0, 0 ? , 其 导 函 数

f ' ? x? ? 2 x? 5, ,n ? 3 ? n??N 当 x ? ?n ? 2
(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)令 bn ?

*

? 时,函数 f ? x ? 值域中整数值的个数记为 a

n



? 2?

an

?

4 ? n ? N * ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n 。 a2 n ?1a2 n ?1

20、 (本小题满分 12 分)已知 f ? x ? ? ? (I)讨论函数 f ? x ? 的单调性;

1 2 ax ? ?1 ? a ? x ? ln x 。 2

(II) 当 a ? 0 时, 令 g ? x? ? f ? x? ? x , 求经过点 ? ?e, ?1? 且与曲线 g ? x ? 相切的直线方程。

21、 (本小题满分 12 分)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? , A 、 B 是椭圆的左、右顶点, a 2 b2

F 是椭圆的左焦点,点 P 是椭圆上的动点。其中, PF 的最小值是 2 ? 2 , ?PFA 的面
积最大值是 2 ? 1 。 (I)求该椭圆的方程; (II)如图,直线 BM ? AB, BM 交AP于M ,

OM 交BP于N ,求点 N 到点 Q ? 0, 2 ? 的距离的最大值。

22 、( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 各 项 均 大 于 1 的 数 列

?an ?

满 足 :

3 1? 1 ? a1 ? , an ?1 ? ? an ? ? ? n ? N * ? 。 2 2? an ?
(I)求证:数列 ?log 5

? ?

an ? 1 ? ? 是等比数列; an ? 1 ?

(II)求证:

a a1 a2 1 ? ?? ? n ? n ? ?n ? N * ? 。 a2 a3 an ?1 2


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