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广东省“六校联盟”2016届高三上学期第二次联考数学文试题


2016 届“六校联盟”高三第二次联考

文科数学试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,
1.设集合 A ? {1, 2,3,5} ,集合 A ? B ? {2,5} , A ? B ? ?1,2,3,4,5,6? ,则集合 B = A. {2,5} 2.已知 sin( A. B. {2, 4,5} C. {2,5, 6} D. {2, 4,5,6} 只有一项是符合题目要求的。

?
4

??) ?

5 9 3.设 ? 、 ? 为两个不同的平面,l、m 为两条不同的直线,且 l ? ? , m ? ? ,有如下的两个 命题:①若 ? ∥ ? ,则 l∥m;②若 l ? ? ,则 ? ⊥ ? .那么
D. ? 4.已知 A ? ?1,1? 、 B ? x ?1, 2x ? ,若向量 OA 与 OB ( O 为坐标原点)的夹角为锐角,则实 数 x 的取值范围是 A. ? ?1, ? ? ? , ?? ? A.①是真命题,②是假命题 C.①②都是真命题

7 9

2 ,则 sin 2? 的值为 3 5 1 B. C. 9 3

??? ?

B.①是假命题,②是真命题 D.①②都是假命题

??? ?

? ?

1? ?1 3? ? 3

? ?

B. ? ?1, ?? ?

C. ? ?1,3? ? ? 3, ???

D. ? ??, ?1?

5.各项都是正数的等比数列{ an },若 a2 , A.2 B.2 或 ?1

1 a ? a4 a3 , 2a1 成等差数列,则 3 的值为 2 a 4 ? a5 1 1 C. D. 或 ?1 2 2
f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 恒成立,设 a ? f (?2) , x2 ? x1

6.已知函数 f ? x ? 是偶函数,当 0 ? x1 ? x2 时,

b ? f (1) , c ? f (3) ,则 a,b,c 的大小关系为 A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. a ? b ? c D. b ? a ? c 7 .已知函数 f ( x) ? 2 sin ?? x ? ?? ? ? ? 0, 0? ? ? ?? 的图象上相邻两个最高点的距离为

? 若将函数 f ( x ) 的图象向左平移 个单位长度后, 所得图象关于 y 轴对称. 则函数 f ( x ) ?.
6
的解析式为

?? ? ? 6? ? ?? ? C. f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? 6? ?
A. f ( x) ? 2sin ? x ?

?? ? ? 3? ? ?? ? D. f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? 3? ?
B. f ( x) ? 2sin ? x ?

8.给出如下四个判断: ①若“ p 或 q ”为假命题,则 p 、 q 中至多有一个为假命题; ②命题“若 a ? b ,则 log 2 a ? log 2 b ”的否命题为“若 a ? b ,则 log 2 a ? log 2 b ” ; ③对命题“ ?x ? R, x ? 1 ? 1 ”的否定是“ ?x ? R, x ? 1 ? 1 ” ;
2 2

④在 ?ABC中, " sin A ? 确 的判断的个数是 . A.3 B.2

3 ? "是" ?A ? " 的充分不必要条件. 2 3
C.1 D.0

其中不 .正 .

9.已知点 P 为 ?ABC 所在平面上的一点,且 AP ? 若点 P 落在 ?ABC 的内部,则 t 的取值范围是 A. 0 ? t ?

??? ?

? ???? 1 ??? AB ? t AC ,其中 t 为实数, 3
D. 0 ? t ? 1

2 3

B. 0 ? t ?

1 1 2 C. ? t ? 3 3 3

10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A. 3? ? 2 2 ? 1 C. 2? ? 2 2 ?1 B. 3? ? 2 2 D. 2? ? 2 2
3

11 .定义运算法则如下: a ? b ?

a ? b?2 , a ? b ? lg a2 ? lg b ;若 M ? 27 ?

2 , 2

N?
A.2

2 ? 25 ,则 M ? N ? 2
B.3 C.4 D.5

? 1 (an ? 1) ? 12.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? a , an ?1 ? ? 3 ? an ,若 a3 ? a1 成立,则 a 在 ? 0,1? 内的 ? 2a (a ? 1) n n ?
B.3 个 C.2 个 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 13.已知 a ? ? 2,1? , b ? ? ?1, ?3 ? ,若 a ? ? b ? b ,则 ? ? 可能值有 A.4 个 D.1 个 .

?

?

?

?

?

?

?

14.若曲线 y ? x ln x上点P 处的切线平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0, 则点P 的坐标是_______.

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 15 . 若 实 数 x , y 满 足 ? y ? 3     , 且 x 2 ? y 2 的 最 大 值 等 于 25 , 则 正 实 数 ? ax ? y ? a ? 0 ?

. a? 16.2015 年 10 月 4 日凌晨 3 点,代号为“彩虹”的台风中心位于 A 港口的东南方向 B 处,且 台风中心 B 与 A 港口的距离为 400 2 千米。预计台风中心将以 40 千米/时的速度向正北 方向移动,离台风中心 500 千米的范围都会受到台风影响,则 A 港口从受到台风影响到影 响结束,将持续 小时.

三、解答题:
第 17 到 21 题为必做题,从第 22、23、24 三个小题中选做一题,满分 70 分。 17. (本小题满分 12 分) 在锐角 ?ABC 中, a、b、c 为角 A、B、C 所对的三边,设向量 m ? ? cos A, sin A? ,

??

?? ? ? 2? . n ? ? cos A, ? sin A? ,且 m 与 n 的夹角为 3 (1)求角 A 的值; (2)若 a ? 3 ,设内角 B 为 x , ?ABC 的周长为 y ,求 y ? f ( x) 的最大值.
18. (本小题满分 12 分) 已知:数列 {an } 满足 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ?? 3n?1 an ? n , n ? N ? . (1)求数列 {an } 的通项; (2)设 bn ? log 3

?b ? 3 ,求数列 ? n ? 的前 n 项和 Sn . an ? an ?

19. (本小题满分 12 分) P 如图, 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,AD ? AA 1 上的动点, 1 ? 1, AB ? 2 , 为线段 AD (1)当 P 为 AD1 中点时,求证: PD ? 平面 ABC1D1 ; (2)求证:无论 P 在何处,三棱锥 D ? PBC1 的体积恒为定值;并求出这个定值.

D1 A1 P D A
20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? a ?
第 19 题图

C1 B1 C B

2 ? x ? R? 为奇函数. 2 ?1
x

(1)求实数 a 的值; (2)判断函数 f ( x ) 的单调性; (3)若对任意的 t ? ? ?1, ? ,不等式 f (t 2 ? 2) ? f (t 2 ? tk ) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值 2

? ?

1? ?

范围. 21. (本小题满分 12 分) 设函数

f ( x) ? ln x ?

(1)当 m ? e ( e 为自然对数的底数)时,求 (2)记

m , m? R. x

f ( x) 的最小值;

g ( x) ? f '( x )?

成立. g ( x0 ) ? f (1)

x ? m, 试 讨 论 是 否 存 在 x0 ? 0, 3 ? 3

?

? ?

3, ?? , 使 得

?

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写 清题号。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 AB 是圆 O 的直径,直线 CD 与圆 O 相切于点 C , AC 平分 ? DAB , AD 与 圆 O 相交于点 E . (1)求证: AD ? CD ; E (2)若 AE ? 3 , CD ? 2 ,求 OC 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

?x ? 3 t ? ( t 为参 数) , 以坐标原点为极点, ? ?y ? 2?t x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为: ? ? 4sin ? . (1)直线 l 的参数方程化为极坐标方程; (2)求直线 l 与曲线 C 交点 的极坐标( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) .
在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程 ?

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? | x ? 2 | ? | x ? 1| ?1, g ( x) ? ? x ? a . (1)求不等式 f ( x) ? 0 的解集; (2)若方程 f ( x) ? g ( x) 有三个不同的解,求 a 的取值范围.

参考答案
1 D 2 B 1 13. 2 3 B 4 A 5 C 6 D 15.1 7 C 8 B 16.15 9 A 10 A 11 C 12 D

14. (e, e)
?? ?

17. 解: (1)由题知: m ? n ? 1 ,且 m 与 n 的夹角为 ∴

??

?

?? ? 1 2? m?n cos ? ?? ? ? cos 2 A ? sin 2 A ,即 cos 2 A ? ? ???????3 分 2 3 m n
又∵ 0 ? A ? ∴ 2A ?

2? 3

????????1 分

?
2



0 ? 2A ? ?

???????????4 分 ????????????5 分

2? 3

故A?

?
3

(2)?

AC BC BC 3 ? , ? AC ? ? sin x ? ? sin x ? 2 sin x ? sin x sin A 3 sin 3 2 BC 2? ? sin C ? 2 sin( ? x) 同理: AB ? ????????????7 分 sin A 3 ? 2? ? y ? 2 sin x ? 2 sin( ? x) ? 3 ? 2 3 sin( x ? ) ? 3 ??????9 分 6 3 ? ? 0?B? x? ? ? ? ? ? 2 ?x? ? A ? , ∴? ∴ ??????11 分 6 2 3 ?0 ? C ? 2? ? x ? ? ? 3 2 ?

?x ?

?
6

?

?
2

即x ?

?
3

时, y max ? 3 3

????????????12 分

18.解: (1)当 n ? 2 时, a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ?? 3n?1 an ? n

a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ?? 3n?2 an?1 ? n ?1
1 (n ? 2) ???????4 分 3n ?1 1 当 n ? 2 时, a1 ? 1 也满足上式.∴ an ? n ?1 (n ? N *) ??????6 分 3
两式作差得: 3n?1 an ? 1 ∴

an ?

(2) bn ? log3

3 ? log3 3n ? n an

?????????7 分



Sn ?

b b1 b2 b3 ? ? ??? n a1 a2 a3 an
???????????8 分

? 1? 30 ? 2 ? 31 ? 3 ? 32 ? ? ? n ? 3n?1

3Sn ? 1? 31 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ?? n ? 3n
?2Sn ? 1 ? 3 ? 32 ? ?? 3n?1 ? n ? 3n ?


1 ? 3n ? n ? 3n ???????11 分 1? 3

n n 1 n 1 ?3 ? ?3 ? . ???????????12 分 2 4 4 19.证明: (1) 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 平面 AA1D1D 又 PD ? 平面 AA1D1D ∴ AB ? PD ???????2 分 Sn ?
∵ AD ? AA 1

? 四边形 AA1D1D 为正方形, 且 P 为对角线 AD1 的中点, D1 ∴ PD ? AD1 ????4 分 A1 又∵ AB ? AD1 ? A , P AB ? 平面 ABC1D1 , AD1 ? 平面 ABC1D1 D
A
第 19 题图

C1 B1 C B

∴ PD ? 平面 ABC1D1

?????6 分

(2)在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,

AD ? AA1 ? 1, AB ? 2 , ∵ AD1 // BC1 , P 为线段 AD1 上的点 ∴三角形 PBC1 的面积为定值 1 即 S ?PBC1 ? ? 2 ? 2 ? 2 ???????????8 分 2 又∵ CD / / AB , CD ? 平面 ABC1D1 , AB ? 平面 ABC1D1 ∴ CD // 平面 ABC1D1 ∴点 D 到平面 PBC1 的距离 h 为定值
由(1)知: P 为 AD1 的中点时, PD ? 平面 ABC1D1 ,即 h ? PD ? ∴三棱锥 D ? PBC1 的体积为定值,即 VD ? PBC1 ?

2 2

???10 分

1 1 2 1 ? S?PBC1 ? h ? ? 2 ? ? 3 3 2 3 1 也即无论 P 在线段 AD1 上的何处,三棱锥 D ? PBC1 的体积恒为定值 ???12 分 3
20.解: (1)∵函数 f ( x) 为奇函数, ∴ f (0) ? a ? 1 ? 0 , ∴ a ? 1 ?????????2 分

2x - 1 2 当 a ? 1 时, f ( x) = 1- x = . 2 + 1 2x + 1
f (- x) =

2- x - 1 1 - 2 x 2x - 1 = =- =- f ( x) , f ( x) 为奇函数. 2- x + 1 1 + 2 x 2x + 1
所以, a ? 1 ????????????????4 分

(2)由(1)知: f ( x) = 1-

2 . x 2 +1



f ?( x) ?

?2

2 x ?1 ln 2
x

? 1?

2

?0

所以,函数 f ( x) 为 R 上的增函数.

???????????????6 分

(也可以用定义证明函数 f ( x) 为 R 上的增函数) (3)由(2)知: f ( x) 为 R 上的增函数,且 f ( x) 是奇函数. 从而不等式: f (t ? 2) ? f (t ? tk ) ? 0 等价于
2 2

f (t 2 ? 2) ? f (tk ? t 2 ) ,


即 t ? 2 ? tk ? t
2

2

? 1? 2t 2 ? kt ? 2 ? 0 对任意的 t ? ? ?1, ? 恒成立, ? 2?
2

??????????8 分

记 g (t ) ? 2t ? kt ? 2 ,则 g (t ) 在 ? ?1, ? 上的最小值大于零. 2

? ?

1? ?



k ? 1? ? ?1 即 k ? ?4 时, g (t ) 在 ? ?1, ? 上单调递增, 4 ? 2?

gmin (t ) ? g (?1) ? k ? 4 ? 0 ,∴ k ? ?4 ,无解
当 ?1 ?

??????????9 分

k 1 k k2 ? 即 ?4 ? k ? 2 时, g min (t ) ? g ( ) ? 2 ? ? 0 ,解得: ?4 ? k ? 4 4 2 4 8
∴ ?4 ? k ? 2 ??????????10 分



k 1 ? 1? ? 即 k ? 2 时, g (t ) 在 ? ?1, ? 上单调递减, 4 2 ? 2?

? 1 ? 5?k g min (t ) ? g ? ? ? ? 0 ,解得: k ? 5 , 2 ?2?


2?k ?5

????????????????11 分

综上,实数 k 的取值范围 k ? 4 ? k ? 5 。 ??????????????12 分 21. 解: (1)由题设,当 m ? e 时, f ( x) ? ln x ?

?

?

e ,其定义域为 (0, ??) x
???????????1 分

? f ?( x) ?

1 e x?e ? ? 2 x x2 x

? 当 x ? (0, e) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (0, e) 上单调递减;
当 x ? (e, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (e, ??) 上单调递增;?????3 分

e ? 当 x ? e 时, f ( x) 取得最小值 f (e) ? ln e ? ? 2 e
(2) 假设存在 x0 ? 0, 3 ?

???????4 分

? 则方程 g ( x) ? f (1) 在区间 ? 0, 3 ? ? ?

?

? ?

3, ?? ,使得 g ( x0 ) ? f (1) 成立. 3, ?? 上有解,

?

x 1 m x ? g ( x) ? f ?( x) ? ? m ? ? 2 ? ? m ( x ? 0) , f (1) ? m 3 x x 3 1 3 方程 g ( x) ? f (1) 可化为: m ? ? x ? x ???????6 分 3 1 3 设 ? ( x) ? ? x ? x ( x ? 0) 3

???( x) ? ? x2 ? 1 ? ?( x ?1)( x ? 1)
当 x ? (0,1) 时, ? ?( x) ? 0 ,此时 ? ( x) 在 (0,1) 上单调递增; 当 x ? (1, ??) 时, ? ?( x) ? 0 ,此时 ? ( x) 在 (1, ??) 上单调递减;???????8 分

所以 x ? 1 是 ? ( x) 的唯一极值点,且是极大值点,因此 x ? 1 也是 ? ( x) 的最大值点,

1 2 ? ? ( x) 的最大值为 ? (1) ? ? ? 1 ? 3 3
又 ? (0) ? ? ( 3) ? 0 ,结合 y ? ? ( x) 的图像,可知 ① 当m ?

???????9 分

Y

区间 0, 3 ?

? ?

2 或 m ? 0 时,方程 g ( x) ? f (1) 在 3

? ? ? ?

3, ?? 上无解;

? ?

O

2 ② 当 0 ? m ? 时,方程 g ( x) ? f (1) 在 3
区间 0, 3 ?

X

3, ?? 上有两解;
2 时,方程 g ( x) ? f (1) 在区间 0, 3 ? 3

③ 当m ? 0或m ? 综上所述,当 m ?

?

? ? ?

3, ?? 上有一个解.

?

2 或 m ? 0 时,不存在 x0 ? 0, 3 ? 3, ?? ,使得 g ( x0 ) ? f (1) ; 3 2 当 m ? 且 m ? 0 时,存在 x0 ? 0, 3 ? 3, ?? ,使得 g ( x0 ) ? f (1) . 3

?

?

? ? ? ?

?

???????????????12 分 22. (1)证明:连结 BC . ∵直线 CD 与 ? O 相切于点 C ,∴ ?DCA ? ?B . ∵ AC 平分 ? DAB ,∴ ?DAC ? ?CAB . 故 ?ACD ∽ ?ABC ,∴ ∵ ∴ 是 的直径,∴ ,即 AD ? CD .
2

E

. ????2 分 . ????????????4 分

(2)解:由切割线定理得: DA ? DE ? DC ,即 DA ? ? DA ? 3? ? 4 , 解得: DA ? 4
2 2 2

????????????6 分 ?????????7 分

由(1)知: AD ? CD ,∴ AC ? AD ? CD ? 20

AD AC AC 2 ? ? 5 . ?9 分 又由(1)知: ?ACD ∽ ?ABC , ∴ , ∴ AB ? AC AB AD

所以, OC ?

AB 5 ? . 2 2

????????????10 分

23.解: (1)将直线 l : ?

? ?x ? 3 t ( t 为参 数)消去参数 t , y ? 2 ? t ? ?
????????2 分 ????4 分

化为普通方程: x ? 3 y ? 2 3 ? 0 将?

? x ? ? cos ? 代入上述方程得: ? cos? ? 3? sin ? ? 2 3 ? 0 . ? y ? ? sin ?

(2)方法一:将曲线 C 的化为普通方程得: x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 . 由?

??????6 分

? ?x ? 3y ? 2 3 ? 0
2 2 ? ?x ? y ? 4 y ? 0

解得 : ?

? ?x ? ? 3 ? ?x ? 3 或? ? ? ?y ?1 ?y ? 3

??????8 分

所以直线 l 与曲线 C 交 点的极坐标分别为: ? 2,

? ?

5? ? ?? ? ? , ? 2 3, ? . ????10 分 6 ? 3? ?

方法二:由 ?

? ? cos ? ? 3? sin ? ? 2 3 ? 0 ? , ? ? ? ? 4sin ?

消去 ? 并化简得: sin ? 2? ?

? ?

??

??0 3?

????????????7 分

又因为 ? ? 4sin ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ,所以

?
3

3 ? ? ? 5? 2? ? ? ? 或 2? ? ? 2? ,即 ? ? 或 ? ? 6 3 3 3

? 2? ?

?

?

7? 3
?????????9 分

? ? 5? ? ?? ? ?? ? 3 或? 所以 ? 6 ?? ? 2 3 ? ?? ? 2 ?
所以直线 l 与曲线 C 交 点的极坐标分别为: ? 2,

? ?

5? ? ?? ? ? , ? 2 3, ? . ????10 分 6 ? 3? ?

??4, x ? 2 ? 24.解: (1) f ( x) ? | x ? 2 | ? | x ? 1| ?1 ? ? ?2 x, ? 1 ? x ? 2 ?2, x ? ?1 ?
当 x ? 2 时, f ( x) ? ?4 ? 0 不合题意; 当 ?1 ? x ? 2 时, f ( x) ? ?2 x ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 0 ; 当 x ? ?1 时, f ( x) ? 2 ? 0 符合题意. 综上, f ( x) ? 0 的解集为 ? ??,0? ??????????????5 分 (2) 当 x ? 2 时,方程 f ( x) ? g ( x) ,即 ?4 ? ? x ? a ,解得: x ? a ? 4 ;

当 ?1 ? x ? 2 时,方程 f ( x) ? g ( x) ,即 ?2 x ? ? x ? a ,解得: x ? ?a ; 当 x ? ?1 时, 方程 f ( x) ? g ( x) ,即 2 ? ? x ? a ,解得: x ? a ? 2 .

?a ? 4 ? 2 ? 使方程 f ( x) ? g ( x) 有三个不同的解,则 ? ?1 ? a ? 2 ,解得: ?2 ? a ? 1 . ? a ? 2 ? ?1 ?
所以 a 的取值范围是 ? ?2,1? . ??????????????10 分


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