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2014版高中数学复习方略课时提升作业:5.4数列的求和(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)


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课时提升作业(三十三)
一、选择题 1.(2013·南昌模拟)已知等比数列{an}公比为 q,其前 n 项和为 Sn,若 S3,S9,S6 成 等差数列,则 q3 等

于 ( (A)(C)- 或 1 (B)1 (D)-1 或 )

2.(2013·长春模拟)在等差数列{an}中,a9= a12+6,则数列{an}的前 11 项和 S11 等 于 ( ) (B)48 (C)66 (D)132 )

(A)24

3.已知数列{an}的通项公式是 an=2n-3( )n,则其前 20 项和为 ( (A)380- (1- ) (C)420- (1- ) (B)400- (1- ) (D)440- (1- )

4.(2013·阜阳模拟)已知直线(3m+1)x+(1-m)y-4=0 所过定点的横、纵坐标分别 是等差数列{an}的第一项与第二项,若 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则 T10= ( (A) (B) (C) (D) )

5.(2013·太原模拟)已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等比数列,则 = ( (A) ) (B) (C)
-1-

(D)

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6.数列{an}的前 n 项和 Sn=3n+b(b 是常数),若这个数列是等比数列,那么 b 为 ( (A)3 (B)0 (C)-1 (D)1 ) )

7.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 am-1+am+1- =0,S2m-1=38,则 m= ( (A)38 (B)20 (C)10 (D)9

8.(能力挑战题)数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-1,则 + + +…+ 等于 ( (A)(2n-1)2 (C)4n-1 二、填空题 9.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a3=20-a6,则 S8 等于 10.数列{1+2n-1}的前 n 项和为 . . (B) (2n-1)2 (D) (4n-1)

)

11.(2013· 芜湖模拟)已知数列{an}中,a1=1,a2=2,当整数 n>1 时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1) 都成立,则 S5= .

12.(2013·哈尔滨模拟)在数列{an}中,若对任意的 n 均有 an+an+1+an+2 为定值(n∈ N+),且 a7=2,a9=3,a98=4,则此数列{an}的前 100 项的和 S100= 三、解答题 13.已知数列{log2(an-1)}(n∈N+)为等差数列,且 a1=3,a3=9. (1)求数列{an}的通项公式. (2)求和: Sn= + + …+ . .

14.(2012 ·湖州模拟 ) 设 {an} 是等差数列 ,{bn} 是各项都为正数的等比数列 , 且 a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.
-2-

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(1)求{an},{bn}的通项公式. (2)求数列{ }的前 n 项和 Sn. 15.(能力挑战题)已知数列{an}的通项公式是 an=n·2n-1,bn= n 项和. ,求数列{bn}的前

答案解析
1. 【 解 析 】 选 A. 当 q=1 时 , 显 然 不 可 能 ; 当 q ≠ 1 时 , 根 据 已 知 得 2 × = + ,

即 2q9=q6+q3,即 2q6-q3-1=0, 解得 q3=1(舍),或 q3=- . 2. 【解析】选 D. 设公差为 d, 则 a1+8d= a1+ d+6, 即 a1+5d=12, 即 a6=12, 所以 S11=11a6=132. 3.【解析】选 C.由 an=2n-3( )n, 得 S20=2(1+2+…+20)-3( + +…+ ) =2× -3× =420- (1- ),故选 C.

4.【解析】选 B.将直线方程化为(x+y-4)+m(3x-y)=0, 令 解得 即直线过定点(1,3),

所以 a1=1,a2=3,公差 d=2, ∴an=2n-1, ∴bn= =( ), )
-3-

∴T10= ×( - + - +…+

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= ×( - )= . 5.【解析】选 C.等差数列{an}中,a1=a1,a3=a1+2d,a9=a1+8d,因为 a1,a3,a9 恰好构成 某等比数列,所以有 =a1a9,即(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得 d=a1,所以该等差数列的 通项为 an=nd.则 的值为 .

6.【思路点拨】根据数列的前 n 项和减去前 n-1 项的和得到数列的第 n 项的通 项公式,即可得到此等比数列的首项与公比 ,根据首项和公比 ,利用等比数列的 前 n 项和公式表示出前 n 项的和,与已知的 Sn=3n+b 对比后,即可得到 b 的值. 【解析】选 C.因为 an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=3n-3n-1=2×3n-1(n≥2),所以此数列 是首项为 2,公比为 3 的等比数列, 则 Sn= =3n-1,

所以 b=-1. 7. 【解析】选 C. 因为 {an} 是等差数列 , 所以 am-1+am+1=2am, 由 am-1+am+12am- =0,所以 am=2(am=0 舍),又 S2m-1=38,即 得 m=10,故选 C. 8.【解析】选 D.an=Sn-Sn-1=2n-1(n>1),又 a1=S1=1=20,适合上式,∴an=2n-1(n∈N+), ∴{ }是 =1,q=22 的等比数列,由求和公式得 + + +…+ = 9.【解析】因为 a3=20-a6, 所以 S8=4(a3+a6)=4×20=80. 答案:80 10.【解析】前 n 项和 Sn=1+20+1+21+1+22+…+1+2n-1=n+ 答案:n+2n-1 11.【解析】由 Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)
-4-

=0, 得

=38,即(2m-1)×2=38,解

= (4n-1).

=n+2n-1.

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得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1=2, 即 an+1-an=2(n≥2),数列{an}从第二项起构成等差数列, 则 S5=1+2+4+6+8=21. 答案:21 12.【解析】设定值为 M,则 an+an+1+an+2=M,进而 an+1+an+2+an+3=M,后式减去前式得 an+3=an,即数列{an}是以 3 为周期的数列.由 a7=2,可知 a1=a4=a7=…=a100=2,共 34 项, 其和为 68;由 a9=3,可得 a3=a6=…=a99=3,共 33 项,其和为 99;由 a98=4,可得 a2=a5=… =a98=4,共 33 项,其和为 132.故数列{an}的前 100 项的和 S100=68+99+132=299. 答案:299 13.【解析】(1)设等差数列{log2(an-1)}的公差为 d. 由 a1=3,a3=9 得 2(log22+d)=log22+log28, 即 d=1. 所以 log2(an-1)=1+(n-1)×1=n,即 an=2n+1. (2)因为 所以 Sn= + = = , +…+

= + + +…+ = =1- .

14. 【 解 析 】 (1) 设 {an} 的 公 差 为 d,{bn} 的 公 比 为 q, 则 依 题 意 有 q>0 且 解得 所以 an=1+(n-1)d=2n-1,bn=qn-1=2n-1. (2) = , + , ①
-5-

Sn=1+ + +…+

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2Sn=2+3+ +…+

+

. ② -

②-①,得 Sn=2+2+ + +…+ =2+2×(1+ + +…+ =2+2× =6).

【变式备选】已知各项都不相等的等差数列{an}的前 6 项和为 60,且 a6 为 a1 和 a21 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式. (2)若数列{bn}满足 bn+1-bn=an(n∈N+),且 b1=3,求数列{ }的前 n 项和 Tn. 【解析】(1)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0), 则 解得 ∴an=2n+3.

(2)由 bn+1-bn=an, ∴bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N+), bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1 =an-1+an-2+…+a1+b1=n(n+2), 当 n=1 时,b1=3 也适合上式, ∴bn=n(n+2)(n∈N+). ∴ = =(), ) . =

Tn= (1- + - +…+ =()=

15.【解析】 = =

-6-

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= 故 =( =4-

+ -

,k=1,2,3,…,n +…+ )+( . )+…+[ ]= -

【方法技巧】裂项相消法的应用技巧 裂项相消法的基本思想是把数列的通项 an 分拆成 an=bn+1-bn 或者 an=bn-bn+1 或者 an=bn+2-bn 等,从而达到在求和时逐项相消的目的,在解题中要善于根据这个基本 思想变换数列 an 的通项公式,使之符合裂项相消的条件.在裂项时一定要注意把 数列的通项分拆成的两项一定是某个数列中的相邻的两项或者是等距离间隔的 两项,只有这样才能实现逐项相消后剩下几项,达到求和的目的.

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