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人教A版数学必修一3.1.1《方程的根与函数的零点》学案


中学高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点学案 新人教 A 版必修 1 学习目标 1. 结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点 与方程根的联系; 2. 掌握零点存在的判定定理. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P86~ P88,找出疑惑之 处) 复习 1:一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 (a ? 0)的解法. 判别式 ? = . 当? 0,方程有两根,为 x1,2 ? 当? 当? 0,方程有一根,为 x0 ? 0,方程无实根. ; ; 复习 2:方程 ax 2 +bx+c=0 (a ? 0)的根与二次函数 y=ax 2 +bx+c (a ? 0)的图象之间有什 么关系? 判别 式 ??0 一元二次 方程 二次函数图象 ??0 ??0 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:函数零点与方程的根的关系 问题: ① 方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解为 ,函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 的图象与 x 轴有 个交 点,坐标为 . ② 方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 的解为 ,函数 y ? x 2 ? 2 x ? 1 的图象与 x 轴有 个交点, 坐标为 . 2 ③ 方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解为 ,函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 的图象与 x 轴有 个交点, 坐标为 . 根据以上结论,可以得到: 一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根就是相应二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的 图象与 x 轴交点的 . 你能将结论进一步推广到 y ? f ( x) 吗? 新知:对于函数 y ? f ( x) ,我们把使 f ( x) ? 0 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点(zero point). 反思: 函数 y ? f ( x) 的零点、方程 f ( x) ? 0 的实数根、函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横 坐标,三者有什么关系? 试试: (1)函数 y ? x 2 ? 4 x ? 4 的零点为 零点为 . ; (2)函数 y ? x 2 ? 4 x ? 3 的 小结:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有 零点. 探究任 务二:零点存在性定理 问题: ① 作出 y ? x 2 ? 4 x ? 3 的图象,求 f (2), f (1), f (0) 的值,观察 f (2) 和 f (0) 的符号 ② 观察下面函数 y ? f ( x) 的图象, 在区间 [a, b] 上 在区间 [b, c] 上 在区间 [c, d ] 上 零点; f (a)?f (b) 零点; f (b)?f (c) 零点; f (c)?f (d ) 0; 0; 0. 新 知 : 如 果 函 数 y ? f ( x ) 在 区 间 [ a, b] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 , 并 且 有 f (a)?f (b) <0,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内有零点,即存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 , 这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根. 讨论:零点个 数一定是一个吗? 逆定理成立吗?试结合图形来分析. ※ 典型例题 例 1 求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6

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