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2017年春季学期苏教版高中数学必修5学案:不等式第11课时


学习札记 第 2 课时 【学习导航】 【解】 知识网络 基本不等式 内容 证明 最值定理 使用条件: 一正二定三相等 例 2. 错在哪里? (1)求 y= 学习要求 作用:求最值 x2 + 5 x2 + 4 (x∈R)的最小值. 1. 理解最值定理的使用条件: 一正二定三相等. 2. 运用基本不等式求解函数最值问题. 【课堂互动】 解∵y= x2 + 5 x2 + 4 x2 + 4 + 1 x2 + 4 1 x2 + 4 2 自学评价 1.最值定理: 若 x、y 都是正数, (1)如果积 xy 是定值 P , 那么当且仅当 x=y 时, 和 x+y 有最小值 .. = ? 2 x2 4? ∴ y 的最小值为 2 . .(2)已知 x , y∈R+ 且 x+4y=1,求 (2)如果和 x+y 是定值 S , 那么当且仅当 x=y 时, 积 xy 有最大值 2.最值定理中隐含三个条件: 【精典范例】 例 1.(1).已知函数 y=x+ 求此函数的最小值. (2)已知 x< 大值; (3)已知 x>0 , y>0 , 且 5x+7y=20 , 求 xy 的最大值; (4) 已 知 x , y ∈ R+ 且 x+2y=1 , 求 . . 1 1 + x y 的最小值. 法 一 : 由 1 = x ? 4 y ? 2 4xy 得 16 (x>-2), x+ 2 1 xy ?4 1 1 2 + ? ? 8. x y xy 5 1 , 求 y=4x-1+ 的最 4 4x - 5 所以 所以原式最小值为8. 法二:由 1 1 2 + ? (当且仅当 x=y x y xy 1 1 + 的最小值. x y 时 等 号 成 立 ). 于 是 有 ? ?x ? y 得 ?x ? 4 y ? 1 x=y=0.2.所以 1 1 + 的最小值为 5+5=10. x y 学习札记 思维点拔: 1.利用基本不等式求最值问题时,一定要 交代等号何时成立,只有等号成立了,才能 求最值,否则要用其它方法了.而在证明不 等式时,不必要交代等号何时成立. 2.例 2 是常见典型错误,它违背了最值定 理使用前提: “一正二定三相等”中的后两 条。 思维点拔: 利用基本不等式求解时,等号不能成立,故 改用函数单调性求解. 追踪训练一 9 1. 求函数 y=4x + 2 的最小值; x 2 追踪训练二 求函数 y ? 4 ? sin 2 x 的最小值. 2 sin x 1+ x2 2. 已知 x<0 , 求 y= 的最大值; x 3. 已知 x , y∈ R+, 且 x+y 的最小值; 1 9 + =1 , 求 x y - x2 + 3 4. 已知 x>-2 , 求 y= 的最大 x+ 2 值; 5. 已知 x>1 ,0<y<1 求 logyx+logxy 的 取值范围; 【师生互动】 学生质疑 教师释疑 【选修延伸】 利用函数单调性求函数最值. 例 3: 求函数 y ? x ? 值. 16 ( x ? 4) 的最小 x?2

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