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物理奥赛辅导:第8讲 热力学基础


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第8讲
一,知识点击 1.气体的压强和内能 ⑴理想气体状态方程

热力学基础

理想气体的状态方程表述了一定质量的气体的压强 p, 体积 V 和热力学温度 T 之间的关系

p1V1 p2V2 m p p = ,将密度

公式 V = 代人,可得 1 = 2 T1 T2 ρ ρ1T1 ρ 2T2
利用 1 mol 的理想气体在标准状态下的参量可以得到 pV = ⑵理想气体的内能 由于理想气体分子间不存在分子力,也就没有分子力势能.因此,理想气体的内能就是 气体所有分子热运动动能的总和,即 E = N

m RT M

i i m i kT = PV = ( R )T 2 2 2 m i ( R )T 2

一定质量理想气体内能的改变量是 E = 2.液体的表面张力,浸润现象和毛细现象

⑴液体的表面张力:存在于液体表面层能使液面相互收缩的拉力叫表面张力.其方向与 所取分界线段垂直,与液面相切.其大小为 f = σ L ⑵浸润现象:液体表面层总有收缩趋势.与固体相接触的液体薄层叫附着层.液体的附 着层有的有收缩趋势,有的有仲展趋势,这要由两接触物质的相对性质来决定.附着层伸展, 就说液体浸润该固体;若附着层收缩,就说液体不浸润该固体,例如水能浸润玻璃,但水不 浸润石蜡. ⑶毛细现象:浸润液体在细管里上升,而不浸润液体在细管里下降的现象称为毛细现 象.能发生毛细现象的细管称为毛细管,毛细管内浸润液体的液面上升高度: h = 3.晶体与非晶体 空间点阵 ⑴晶体与非晶体:固体常分晶体和非晶体.晶体又有单晶体和多晶体之分.单晶体是整 个物质就是一个完整的晶体,因此它有规则的儿何外形,是各向异性的(即不同方向上具有 不同的物理性质) .多晶体是大量小单晶粒杂乱无章的聚集体,如金属,岩石等,因此它没有
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2σ cos θ ρ gr

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规则的外形,是各向同性的. 非晶体(玻璃,橡胶,塑料,沥青等)也没有规则的几何外形,也是各向同性的.但品 体和非晶体的主要区别是晶体具有确定的熔点,即晶体在熔解或凝固的过程中,温度保持不 变,非晶体的温度升高时,会由硬变软,再变稠变稀而为液体,无明显的熔点可言. ⑵ 空间点阵: 从微观结构上看, 晶体是由大量物质微粒在空间周期性规则排列组成的. 其 微粒质心所在的几何点叫结点.结点在空间排列的总体叫空间点阵.点阵结构具有周期性和 对称性. 4.分子热运动的特点 能量守恒定律和热力学第一定律

⑴物质分子热运动特点:由于晶体中微粒间的作用力很强,占主要地位.微粒的热运动 主要表现为以结点为平衡位置的微振动,这称为热振动.其振动的时间,方向,振幅,频率 等都是杂乱无章的;气体中分子间距大,分子力往往可以忽略,热运动占主要地位.分子能 在空间自由运动,是完全无序的.因此它充满能到达的空间,没有一定的体积和形状,容易 被压缩,具有流动性;液体分子间距离小,相互作用力较强,其分子热运动主要表现为在平 衡位置作微振动,但它也能迁移到新的平衡位置振动.上表现出不易压缩,具有一定体积的 特点,这像固体;同时它具有流动性,没有固定形状,这像气体.可见液体的性质是介于气 体与固体之间的. ⑵能量守恒定律和热力学第一定律 能量守恒和转化定律是自然界最普遍,最根本的规律之一,它在物理学的各个领域有不 同的体现,而热力学第一定律和物态变化就是该定律在热学领域中的生动体现. 热力学第一定律:在某一变化过程中,如果外界对物体做的功是 W,物体从外界吸收的 热量是 Q,则物体内能的增量ΔE=W+Q.在使用这个定律时要注意三个量的正负;外界对物体 做功,W 取正;物体对外界做功,W 取负;物体从外界吸热,Q 取正;物体对外界放热,Q 取负;物体内能增加,ΔE 取正;物体内能减少,ΔE 取负. 二,方法演练 类型一, 类型一,气体的压强问题解题关键就在于受力分析时不能遗漏缸内气体产生的压强和缸 外大气压强产生的压力,然后列出力的平衡方程或动力学方程即可求解. 外大气压强产生的压力,然后列出力的平衡方程或动力学方程即可求解. 例 1.两端开口的横截面积为 S 的直管固定在水平方向上,在管内有两个活塞.开始左边活塞 . 通过劲度系数为 k 的未形变的弹簧与固定的壁相连.两个活塞之间的气体压强 P0 等于 外界大气压强.右活塞到右管口的距离为 H,它等于两活塞之间的距离(图 8—1) .将 右活塞缓慢地拉向右管口,为了维持活塞在管口的平衡,问需用多大的力作用在此活
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塞上?摩擦不计.温度恒定. 分析和解: 分析和解:随着右活塞被拉向管口,两活塞之间气体的体积将扩大,压强减小,于是左活塞 也向右移动, 弹簧拉长; F 作用在右活塞上, 力 将它拉到管口处, 列出此时两活塞的平衡条件: 左活塞:P0SPSkx=0 右活塞:F 十 PSP0S=0 ① ②

式中 P 为后来两活塞之间气体压强.可得: F 二 P0SPS=kx 可见,x=0,F=0;k=0,F=0. 因温度恒定,根据玻意耳定律有 P0HS=P(2Hx)S 由此,得 P =

H kH P0 = P0 2H x 2kH F



将③式代入②式,得到关于 F 的二次方程: F2(P0S +2kH) F+P0SkH=0

P0 S P02 S 2 + kH ± + k 2H 2 其解 F1,2 = 2 4
既然 k=0 时,F=0,所以最终答案应为 F =

P0 S P2S 2 + kH 0 + k 2H 2 2 4

类型二,与气体的压强相联系的不稳定平衡问题,可通过力的分析列出力的平衡方程和 类型二,与气体的压强相联系的不稳定平衡问题,可通过力的分析列出力的平衡方程和 位置变化后的能量变化相结合来求解. 位置变化后的能量变化相结合来求解. 例 2.一个质量为 m=200.0kg,长 L0=2.00 m 薄底大金属桶倒扣在宽旷的水池底部(图 8—2) . , 桶内横截面积 S=0.500 m2, 桶的容积为 L0 S, 桶本身 (桶壁与桶底) 的体积 V0=2.50×10-3m3, 桶内封有高度 L=0.200 m 的空气,池深 H0=20.00 m,大气压强 P0=10.00 m 水柱高,水的密 度ρ=1.00×103kg/m3,重力加速度 g=10.00m/s2.若用图中所示吊绳将桶上提,使桶底能 达到水面处,则绳拉力所需做的功有一最小值.试求从开始到绳拉力刚完成此功的过程 中,桶和水(包括池水和桶内水)的机械能改变多少?不计水的阻力,不计饱和水汽压 的影响,上下水温一致且保持不变. 分析和解:本题是一个与气体压强相联系的不稳定 平衡问题.在上提过程中,桶内空气体积增大,压 强减小,从而对桶和桶内空气这一整体的浮力会增大.

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若存在桶所受浮力等于重力的位置,则此位置是桶的 不稳定平衡点.再稍上提,浮力大于重力,桶就上浮. 从这时起,绳不必再拉桶,桶会在浮力作用下,上浮 到桶底到达水面并冒出.因此绳对桶的拉力所需做的 最小功的过程,就是缓慢地将桶由池底提高至浮力等 于重力的位置所经历的过程. 下面先看这一位置是否存在.假设存在,如图 6 一 13 所示.设此位置处桶内空气的高度 为 L′ ,因为浮力等于重力,应有

mg = ρ ( L′S + V0 ) g
可得 L′ =0. 350 m 设此时桶的下方边缘距池底的高度为 H,由玻意耳定律可知.

[ P0 + H 0 ( L0 L)] L = [ P0 + H 0 ( L0 L′)] L′
可得 H=12.24 m 因为 H<(H0L0),即桶仍浸在水中,可知存在上述浮力等于重力的位置. 现在再求将桶由池底缓慢地提高到 H 处,桶和水的机械能的增量ΔE. ΔE 包括三都分. (1)桶势能的增量:ΔE1=mgH; (2)在高度 H 处桶本身排开的水,可看作下降去填充在池底时桶本身所占的空间而引起 水势能的增量:ΔE2=ρV0gH; (3)在高度 H 时桶内空气所排开的水,可看作一部分下降去填充在池底时空气所占的空 间,另一部分(由于空气膨胀)上升到水池表面.由此引起水的势能的增量:

L L′ E3 = ρ SLg ( L0 ) + ρ S ( L′ L) gH 0 ρ SL′g ( H + L0 ) 2 2
综上所述从池底到 H 处桶和水的机械能的变化为

L′2 L2 4 ′ L)( H 0 L0 ) + E = E1 + E2 + E3 = ρ Sg ( L = 1.37 × 10 J 2
类型三,液体的表面张力问题及估算问题常要用到微元法来处理, 类型三,液体的表面张力问题及估算问题常要用到微元法来处理,估算题主要根据物理 知识对某些物理量的数量予以确定或对精度要求不高的问题近似计算. 知识对某些物理量的数量予以确定或对精度要求不高的问题近似计算. 例 3.在水平放置的洁净玻璃板上倒些水银,由于重力和表面张力的影响,水银近似呈圆饼状 . (侧面向外凸出) ,过圆饼轴线的竖直截面如图 8—3 所示.为计算方便,水银和玻璃的 接触角可按 1800 计算.已知水银密度ρ=13.6×103kg/m3,水银表面张力系数σ=0.49
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N/m.当圆饼半径很大时,试估算其厚度 h 的数值大约是多少. (取 1 位有效数字即可) 分析和解: 分析和解:本题由于水银上表面处的表面张力与水平方向的夹角θ未知,只能给出它的取值 范围,从而得到水银厚度的估算值. 如图所示,在圆饼侧面处,取宽 x ,高 h 的面积元ΔS,由于重力使水银对ΔS 的侧压力 为 F = PS =

1 1 ρ gh hx = ρ gh 2 x 2 2



由于压力 F 使圆饼侧面向外凸出, 因而使侧面积增大. 但是在水银与空气接触的表面层中, 由于表面张力的作用使水银表面有收缩到尽可能小的趋势.上下两层表面张力 F1,F2 合力的 水平分力 f ′ 是指向水银内部的,其方向与 F 的方向相反.设上表面处的表面张力 F1 与水平方 向成θ角,则 f ′ 的大小为

f ′ = F2 + F1 cos θ = σx + σx cos θ = (1 + cos θ )σx



当水银的形状稳定时, f ′ = F .由于圆饼半径很大,ΔS 两侧的表面张力 F3 , F4 可认为方 向相反而多消,因而 (1 + cos θ )σx = 可得 h =

1 ρ gh 2 x 2



2σ (1 + cos θ ) ≈ 0.0027 1 + cos θ ρg



由于θ的实际数值一定大于 0,小于

π
2

,所以,1 < 1 + cos θ <

2 ,④式中 h 的取值范围是

2.7 × 103 < h < 1.4 × 2.7 × 103
所以水银层厚度的估算值可取 3 × 10 m 或 4 ×10 m . 类型四,热力学系统的问题从内部考虑重点是理想气体状态方程, 类型四,热力学系统的问题从内部考虑重点是理想气体状态方程,从外部考虑主要是能 内部考虑重点是理想气体状态方程 量交换的问题,重点是用热力学第一定律来解题. 量交换的问题,重点是用热力学第一定律来解题.
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3 3

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例 4.绝热容器 A 经一阀门与另一容积比 A 容积大很多的绝热容器 B 相连.开始时阀门关闭, . 两容器中盛有同种理想气体,温度均为 30oC,B 中气体的压强是 A 中的两倍.现将阀门 缓慢打开,直至压强相等时关闭,问此时容器 A 中气体的温度为多少?假设在打开到关 闭阀门的过程中,处在 A 中的气体与处在 B 中的气体之间无热交换.已知每摩尔该气体 的内能为 U =

5 RT . 2

分析和解: 分析和解:气体 B 比 A 的容积大很多,这表明 B 是一个相当大的热力学系统,当小系统 A 与 它发生能量交换时,它所受到的影响极小,可以忽略不计,以致可以认为它的状态参量不会 改变.因此将 B 与 A 之间的阀门打开后关闭,容器 A 中的压强也是 2P. 设气体的摩尔质量为μ,容器 A 的体积为 V.阀门打开前,其中气体的质量为 M,压强 为 P,温度为 T,由

PV =

M



RT ,得 M =

P V RT



因为 B 容积很大, 所以在题述的过程中, 中气体的压强和温度皆可视为不变. B 根据题意, 打开阀门又关闭后, 中气体的压强变为 2P, A 若其温度为 T ′ , 质量为 M ′ , 则有 ② 由 B 进入 A 的气体的质量为 M = M ′ M =

M′ =

2 P V RT ′

P V 2 1 ( ) R T′ T RT M 2P



设这些气体处在容器 B 中时所占的体积为△V,则 V =



为把这些气体压入容器 A,容器 B 中其他气体对这些气体将等压做功为

W = 2 PV = PV (

2T 1 ) T′



A 中气体内能的变化为 U =

M′ 5 R T ′ T) ( 2



因为 A 与外界没有热交换,根据热力学第一定律,有

W = U
结果为 T ′ = 353K . 类型五,气体状态和气体功量的问题解题时,气体状态参量根据理想气体状态方程处理, 类型五,气体状态和气体功量的问题解题时,气体状态参量根据理想气体状态方程处理, 而功量的计算往往用公式比较复杂,常结合图象来解题. 而功量的计算往往用公式比较复杂,常结合图象来解题. 例 5.如图 7-5,在一大水银槽中竖直插入一根玻璃管,管上端封闭,下端开口,已知槽中水 .

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银面以上的那部分玻璃管的长度 L=76 cm,管内封闭有 n=1.0×10-3mol 的空气,保持水 银槽与玻璃管都不动而设法使玻璃管内空气的温度缓慢地降低 10℃,问在此过程中管内 空气放出的热量为多少?已知管外大气压强为 76 cmHg,空气的摩尔内能 U=CV T, V =20. 5 C J/mol K. 分析和解: 分析和解:先找出管内空气降温的过程方程,可知在管内 气降温过程中,体积和压强均减小,再在 P—V 图中作过 程曲线一过原点的直线,然后利用其过程曲线下的面积来 计算功的大小. 设管内空气柱长度为 h,大气压强为 P0,管内空气压 强为 P,水银密度为ρ,由图可知 P0=P+ρg(Lh) 根据题给数据可知 P0 =ρgL.管内空气压强为 ①

P = ρ gh = ρ g

V S



S 为玻璃管横截面积,V 为管内空气体积,由②式可知, 管内空气压强与其体积成正比.由克拉伯龙方程 PV=nRT,得

ρg
S

V 2 = nRT



由③式可知,随着温度降低,管内空气体积变小,由②式知管内空气压强也变小.压强随体 积变化关系 P—V 图中过原点的直线,如图 8—5 所示.

在管内气温度 T1 降到 T2 的过程中,气体体积由 V1 减小到 V2,外界对气体做正功,其值可 用图 8—5 中划有斜线的梯形面积来表示,即有

W=

1 V V ρg 1 ρ g 1 + 2 )(V1 V2) (V12 V22) nR T1 T2) ( = = ( 2 S S 2S 2




管内空气内能的变化为 U = nCV (T2 T1 ) 设 Q 为外界传给气体的热量,根据热力学第一定律, 有
2 1

)

(

代入有关数据后得:Q=0. 247 J,负号表示空气放出热量. 类型六,混合气体等温压缩液化问题, 类型六,混合气体等温压缩液化问题,首先要弄清楚 题中混合气等温线的意义,然后才能根据气态方程来求解. 题中混合气等温线的意义,然后才能根据气态方程来求解. 例 7.把质量 m1=100 g 的氮气与未知质量的氧气混合. . 在 T=77.4 K 的条件下,让单位体积的混合气体等温压缩,
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)(

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混合气体压强和体积的关系如图 8—6 所示. (l)确定氧气的质量 m2; (2)计算 T=77.4 K 时饱和氧气的压强 P2. 说明:T=77. 4 K 是标准大气压下液态氮的沸点,液态氧的 沸点更高. 分析和解: 分析和解:这是一道将氧气与氮气混合后等温压缩液化的题. 首先要弄清楚题中混合气等温线的意义,A,B 应是氧气和 氮气先后达到饱和时的态,还要注意图线的 P,V 坐标并未 标示单位,其 P 或 V 的不同值只是一种比例关系.第二要 理解题给"说明" ,它隐含了这样的信息,即 77. 4 K 时氮气 的饱和汽压是 1 atm,而 77. 4 K 时氧气的饱和汽压小于 1 atm. 这就为判断 77. 4 K 时氧气的饱和汽压的计算结果是否正确提供了依据. 图线表明,氧气和氮气是先后达到饱和状态的. 在该混合气等温压缩过程中,设氧气先达到饱和.在 A 点,氧气压强为饱和汽压 P2,氮 气仍为未饱和汽,压强为 P0.在 A 到 B 的讨程中,氧气保持 P2 不变,但气体质量在减少;氮 气仍为未饱和汽到达 B 点,氮气也达到饱和,其饱和汽压为 P1.利用气态万程和道尔顿分压 定律,有 A 点:氧气 P2

m2
A

2



氮气 P0

m1
A

1



P2 + P0
AB:氮气 P0
A A 1 B

③ ④ ⑤ ⑥ , P = 6 , P2 = 1 1

B

B 点: P + P2 = 7 1 由诸式可以解出: P0

根据题给说明可知:77.4 K 时氮气的饱和汽压 P1=1 atm,因此 77.4 K 时氧气的饱和汽压

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P2 =

P 1 1 = atm 6 6

这个结果符合题给说明.原有氧气质量由①,②式可得

m2 =
三,小试身手

2 m1 ≈ 38.1g 1 3

1.一个装有进水孔 a 和排水孔 b 的铁制水箱, 质量 840 kg,容积 1m3,此箱不慎沉人湖 底,箱内充满了水,湖面与 b 相距 10 m 如图 8 一 7 所示.今采用充气法打捞水箱, 先将管子与 a 连接,用压气机把空气打进箱 内,使箱内的水排出一部分.试问要打进 1atm,27℃的空气多少体积铁箱才开始上浮? 设湖底水温 7℃,空气重量和箱壳的体积可略, 水的密度随湖深的变化也可忽略.

2.一直径 2r=100mm 的直立的圆筒形容器,内装 T0 = 20.0 C (即室温) n = 0.100mol 的 ,
0

气体,筒的上盖是可自由上下移动,质量 m=800g 的玻璃板,圆筒(包括上盖和筒底)的 热导率和热容量很小, 一束功率固定的激光器发射 λ = 5.14 × 10 m 的光无吸收地穿过空
7

气和玻璃板照入筒内, 被筒内气体完全吸收并转化为热运动, 照射Δt=10s 后关掉激光器, 测得玻璃板位移Δh=30.0mm.求: (l)辐射后空气的温度和压强;(2)气体吸收的辐射能, 气体吸收的辐射功率及单位时间内吸收的光子数;(3)光能转化为机械势能的效率; (4)让
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圆筒缓慢地旋转 900 后成水平方向,气体的温度和压强? 已知大气压强 P0=101 .3 kPa,气体定容摩尔热容 Cυ = 20.8 J / mol K .

3.厚度均为 h=0.2mm 的钢片和青铜片,在 T1=293 K 时,将它们端点焊接起来,成为等长的 平面双金属片.若钢和青铜的线膨胀率分别为 10 /K 和 2 ×10 / K .当把它们的温度升 高到 T2=393 K 时,它们弯成圆弧形,试求这圆弧半径.
5 5

4.如图所示,绝热的活塞 S 把一定质量的稀薄气体(可视为理想气体)密封在水平放置的绝 热气缸内.活塞可在气缸内无摩擦地滑动.气缸左端的电热丝可通弱电流对气缸内气体 十分缓慢地加热.气缸处在大气中,大气压强为 p0.初始时,气体的体积为 V0 ,压强 为 p0.已知 1 摩尔该气体温度升高 1K 时其内能的增量为一已知恒量. ,求以下两种过程 中电热丝传给气体的热量 Ql 与 Q2 之比. (1)从初始状态出发,保持活塞 S 位置固定,在电热丝中通以弱电流,并持续一段时间, 然后停止通电,待气体达到热平衡时,测得气体的压强为 pl . (2)仍从初始状态出发,让活塞处在自由状态,在电热丝中通以弱电流,也持续一段时 间,然后停止通电,最后测得气体的体积为 V2.

r

p0

5.如图所示,一容器左侧装有活门 K 1 ,右侧装有活塞 B,一厚度可以忽略的隔板 M 将容器
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隔成 a,b 两室,M 上装有活门 K 2 .容器,隔板,活塞及活门都是绝热的.隔板和活塞 可用销钉固定,拔掉销钉即可在容器内左右平移,移动时不受摩擦作用且不漏气.整个 容器置于压强为 P0,温度为 T0 的大气中.初始时将活塞 B 用销钉固定在图示的位置, 隔板 M 固定在容器 PQ 处,使 a,b 两室体积都等于 V0; K 1 , K 2 关闭.此时,b 室真 空,a 室装有一定量的空气(容器内外气体种类相同,且均可视为理想气体) ,其压强为 4P0/5,温度为 T0.已知 1mol 空气温度升高 1K 时内能的增量为 CV,普适气体常量为 R.

(1)现在打开 K 1 ,待容器内外压强相等时迅速关闭 K 1 (假定此过程中处在容器内的气 体与处在容器外的气体之间无热量交换) ,求达到平衡时,a 室中气体的温度. (2)接着打开 K 2 ,待 a,b 两室中气体达到平衡后,关闭 K 2 .拔掉所有销钉,缓慢推动 活塞 B 直至到过容器的 PQ 位置.求在推动活塞过程中,隔板对 a 室气体所作的功. 已知在推动活塞过程中,气体的压强 P 与体积 V 之间的关系为 PV
CV + R CV

=恒量.

6.如图所示,水平放置的横截面积为 S 的带有活塞的圆筒形绝热容器中盛有 1mol 的理想气
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体.其内能 U = CT ,C 为已知常量,T 为热力学温度.器壁和活塞之间不漏气且存在摩擦, 最大静摩擦力与滑动摩擦力相等且皆为 F.图中 r 为电阻丝, 通电时可对气体缓慢加热.起 始时,气体压强与外界大气压强 p0 相等,气体的温度为 T0.现开始对 r 通电,已知当活塞 运动时克服摩擦力做功所产生热量的一半被容器中的气体吸收.若用 Q 表示气体从电阻丝 吸收的热量,T 表示气体的温度,试以 T 为纵坐标,Q 为横坐标,画出在 Q 不断增加的过 程中 T 和 Q 的关系图线. 并在图中用题给的已知量及普适气体常量 R 标出反映图线特征的 各量(不要求写出推导过程) . T
T1 =

( p0 S + F )
p0 S

T0

d

b

θ2
tanθ2=

2( p 0 S + F ) 2Cp 0 S + 2CF + 2 Rp 0 S + FR

θ1
T0 a

tan θ 1 =

1 C

Q1 =

CFT0 p0 S

Q

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7.如图所示,两根位于同一水平面内的平行的长直金属导轨,处于恒定的磁场中,磁场方向 与导轨所在平面垂直.一质量为 m 的均匀导体细杆,放在导轨上,并与导轨垂直,可沿导轨 无摩擦地滑动,细杆与导轨的电阻均可忽略不计,导轨的左端与一根阻值为 R0 的电阻丝相连, 电阻丝置于一绝热容器中,电阻丝的热容量不计.容器与一水平放置的开口细管相通,细管 内有一截面为 S 的小液柱(质量不计) ,液柱将 1 mol 气体(可视为理想气体)封闭在容器中, 已知温度升高 1 K 时,该气体的内能的增加量为 5R/2(R 为普适气体常量) ,大气压强为 p0, 现令细杆沿导轨方向以初速 v0 向右运动,试求达到平衡时细管中液柱的位移.

r

p0

R0

v0

8.一根长为 L(以厘米为单位)的粗细均匀的,可弯曲的细管,一端封闭,一端开口,处在大气 中, 大气的压强与 H 厘米高的水银柱产生的压强相等, 已知管长 L>H.现把细管弯成 L 形, 如图所示.假定细管被弯曲时,管长和管的内径都不发生变化.可以把水银从管口徐徐注入 细管而不让细管中的气体泄出.当细管弯成 L 形时,以 l 表示其竖直段的长度,问 l 取值满 足什么条件时,注入细管的水银量为最大值?给出你的论证并求出 量的最大值(用水银柱的长度表示). 水银

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参考解答:

1.解:设充气使水箱内空气体积为 V 时,水箱刚好上浮. 应有 ρVg = mg 式中水的密度 ρ = 103 kg / m3 ,水箱质量 m = 840 kg,故

V = 0.84m3
此体积小于水箱容积 lm3,表明充气法使箱上浮是可行的.湖底压强为

P = P0 + ρ gh = 2 P0
式中 h=10 m, P0 = 1.0 × 10 Pa .由于 b 位于湖底,与 h 相比水箱高度可忽略,湖底压
5

强就是充入水箱的空气压强.湖底温度亦即箱内空气温度 T=273+7=280 K.湖底箱内 需要(P, V,T)的空气,必须在湖面打进 P0 = 1 atm, T0 = 300 K,体积为 V0 的空气, 由

PV0 PV 0 = T0 T
得到 V0 = 1.8m .
3

2.解: (l)辐射后气体的压强: P = P0 +

mg = 1.0232 × 105 Pa 2 πr

这是等压过程,开始气体占有容器高度 h1;

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h1 =

nRT V1 = 2 0 2 π r π r P0 + mg

辐照后 h2 = h1 + h

(π r 2 P0 + mg )h h1 + h h = T0 + T0 = T0 + = 322 K = 49 0C T2 = T0 h1 h1 nR
(2)气体吸收的辐射能 Q:

W ′ = mg h + P0π r 2 h = 24.1J E = nCυ (T2 T0 ) = nCυ T0 h h = Cυ (mg + P0π r 2 ) h1 R

Q = E + W ′ = (mg + P0π r 2 )(1 +

Cυ )h = 84 J R

因为激光器功率恒定,因此吸收光的功率为

N=
光子能量为

Q = 8.4W t
,单位时间气体吸收的光子数

hc

λ

N = 2.2 ×1019 / s hc

λ

(3)光能转化为机械势能的效率:

η=

mg h = 0.3% Q

(4)圆筒转向水平方向是绝热过程.压强由 P 变为 P0,温度由 T2 变为 T3,因为

a=

Cp Cυ

= 1+

R = 1.399 Cυ

T3 = T2 (

P0 aa 1 ) = 321K = 48 0C P

3.解:每一金属片中性层长度等于它加热后的长度,与是否弯曲无关.设弯成圆弧的半径为 R, 为圆弧所对圆心角, α1 和 α 2 分别为钢和青铜的线膨胀率:L 为金属片原长,△L1 和ΔL2 分别为钢片和青铜片由 T1 升高到 T2 时的伸长量.如下图所示. 对于钢片 ( R ) = L + L1

h 2

L1 = Lα1 (T2 T1 )

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对于铜片 ( R + ) = L + L2

h 2

L2 = Lα 2 (T2 T1 )
由上四式可以得到 R =

[ 2 + (α1 + α 2 ) (T2 T1 )] h
2(α 2 α1 ) (T2 T1 )

代入题给数据后得: R = 20.03cm . m 4.解:初状态:P0V0= RT0,过程 1 是等容过程,气体不做功,



Q1=

m



c(T1-T0) ,末状态:P1V0=

m



RT1,

c 可解得:Q1=R V0(p1-p0) ,过程 2 是等压过程, Q2= m



c(T2-T0)+p0(V2-V0) ,末状态:P0V2=

m



RT2,

c+R V0(p1-p0) Q1 c 可解得:Q2= R p0(V2-V0) ,所以Q = . c+R p0(V2-V0) 2 5.解: (1)设 a 室中原有气体为ν mol ,打开 K1 后,有一部分空气进入 a 室,直到 K1 关闭时, a 室中气体增加到ν ′ mol ,设 a 室中增加的 (ν ′ ν ) mol 气体在进入容器前的体积为 V , 气体进入 a 室的过程中,大气对这部分气体所作的功为

A = p0 V

(1)

用 T 表示 K1 关闭后 a 室中气体达到平衡时的温度,则 a 室中气体内能增加量为

U = ν ′CV (T T0 ) (2)
由热力学第一定律可知

U = A (3)
由理想气体状态方程,有

4 p0V0 = ν RT0 (4) 5
p0 V = (ν ′ ν ) RT0 (5)
p0V0 = ν ′RT (6)
由以上各式解出

T=

5 ( CV + R ) 5CV + 4 R

T0 (7)

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(2)K2 打开后, 室中的气体向 b 室自由膨胀, a 因系统绝热又无外界做功,气体内能不变, 所以温度不变(仍为 T ) ,而体积增大为原来的 2 倍.由状态方程知,气体压强变为

p=
关闭 K2,两室中的气体状态相同,即

1 p0 (8) 2

1 pa = pb = p , Ta = Tb = T , Va = Vb = V0 ,且ν a = ν b = ν ′ (9) 2
拔掉销钉后,缓慢推动活塞 B,压缩气体的过程为绝热过程,达到最终状态时,设两室气

′ ′ 体的压强,体积和温度分别为 pa , pb , Va′ , Vb′ , Ta′ , Tb′ ,则有 paVa pbVb
由于隔板与容器内壁无摩擦,故有
CV + R CV

′ = paVa′ ′ = pbVb′

CV + R CV

(10) (11)

CV + R CV

CV + R CV

′ ′ pa = pb (12)
由理想气体状态方程,则有

′ paVa′ = ν a RTa′ (13) ′ pbVb′ = ν b RTb′ (14)


Va′ + Vb′ = V0 (15)
由(8)~(15)式可得

1 Va′ = Vb′ = V0 (16) 2
R

Ta′ = Tb′ = 2 CV T (17)
在推动活塞压缩气体这一绝热过程中,隔板对 a 室气体作的功 W 等于 a 室中气体内能的 增加,即

1 W = ν ′CV (Ta′ T ) (18) 2
由(6)(17)和(18)式得 W = ,
R CV CV 2 1 p0V0 2R

(19)

6.解:电阻通电后对气体缓慢加热,气体的温度升高,压强增大,活塞开始有向外运动的趋 势,但在气体对活塞的作用力尚未达到外界大气对活塞的作用力和器壁对活塞的最大静
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摩擦之和以前,活塞不动,即该过程为等容过程.因气体对外不做功,根据热力学第一 定律可知,在气体温度从 T0 升高到 T 的过程中,气体从电阻丝吸收的热量,

Q = C (T T0 ) (1)
此过程将持续到气体对活塞的作用力等于外界大气对活塞的作用力和器壁对活塞的最大 静摩擦之和.若用 T1 表示此过程达到末态的温度,p 表示末态的压强,Q1 表示此过程中气体 从电阻丝吸收的热量,由等容过程方程有

p T1 (2) = p 0 T0
由力的平衡可知

pS = p 0 S + F (3)
由(2)(3)两式可得 ,

T1 =

( p 0 S + F )T0
p0 S

(4)

代入(1)式得

Q1 =

CFT0 (5) p0 S

由以上讨论可知,当 Q ≤ Q1 时,T 与 Q 的关系为

T=

Q + T0 C

(6)

在 T ~ Q 图中为一直线如图中 ab 所示,其斜率

K ab =

1 C

(7)

. 直线在 T 轴上的截距等于 T0,直线 ab 的终点 b 的坐标为(T1,Q1)
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当电阻丝继续加热,活塞开始向外运动以后,因为过程是缓慢的,外界大气压及摩擦力 皆不变,所以气体的压强不变,仍是 p,气体经历的过程为等压过程.在气体的体积从初始体 积 V0 增大到 V,温度由 T1 升高到 T 的过程中,设气体从电阻丝吸收的热量为 Q ′ ,活塞运动 过程中与器壁摩擦生热的一半热量为 q,由热力学第一定律可知

Q ′ + q = C (T T1 ) + p(V V0 ) (8)
q 可由摩擦力做功求得,即

q=

1 V V0 F (9) 2 S

代入(8)式得

Q′ +
由状态方程式可知

F (V V0 ) = C (T T1 ) + p (V V0 ) (10) 2S

p(V V0 ) = R(T T1 )
将(11)式和(4)式代入(10)式,得

(11)

FR (T T1 ) Q′ = C + R 2( p 0 S + F )


T=

2( p 0 S + F ) Q ′ + T1 (12) 2Cp 0 S + 2CF + 2 Rp 0 S + FR

从开始对气体加热到气体温度升高到 T( >T1)的过程中,气体从电阻丝吸收的总热量

Q = Q1 + Q ′ (13)
把(13)式代入到(12)式,并注意到(4)式和(5) ,得
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T=

2( p 0 S + F ) CFT0 Q 2Cp 0 S + 2CF + 2 Rp 0 S + FR p0 S

( p 0 S + F )T0 + p0 S

CFT0 Q ≥ Q1 = p0 S

(14)

由此可知,当 Q ≥ Q1 =

CFT0 时,T 与 Q 的关系仍为一直线,此直线起点的坐标为 p0 S

Q = Q1 =

CFT0 , T = T1 ;斜率为 p0 S
2( p 0 S + F ) (15) 2Cp 0 S + 2CF + 2 Rp 0 S + FR

在 T ~ Q 图中,就是直线 bd,当热量 Q 从零开始逐渐增大,气体温度 T 将从起始温度 T0 沿着斜率为 Kab 的直线 ab 上升到温度为 T1 的 b 点,然后沿着斜率为 Kbd 的直线 bd 上升,如图 所示. 7.解:细杆运动时受到安培力作用而减速,最后停下. 1 电阻丝上产生的焦耳热应为 Q=2 mv02, 5 容器中气体吸热后增加的内能为U=2 RT, 气体推动液柱克服大气压力做的功为 A=p0V=p0SL,由于气体压强始终为 p0,由气态 方程得 p0V=RT, 由热力学第一定律 Q=A+U, mv02 可解得:L= 7p S .
0

HL 8.解:设注入水银柱长为 x,则空气柱长变为 L'= ,空气柱上表面与管口的距离 d H+x L =L-L'= x,开始时由于 x 很小,所以 d>x,可继续倒入水银. H+x (1)水银柱上表面与管口相平时,水银柱未进入水平管: 由(H+x) (L-x)=HL,得 x=L-H,可见当 l≥L-H 时,有最大值 xm=L-H. (2)水银柱上表面与管口相平时,一部分水银柱进入水平管: Ll Ll HL 由(H+l) (L-x)=HL,得 x= ,又 l<x,所以 l< ,L>H+l,而 x=L- <L H+l H+l H+l -H,可知当 l≥L-H 时,x 有最大值 xm=L-H.

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