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对数函数知识点总结


对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 .a 为底 ..N 的对数,
x

记作: x ? log a N ( a — 底数, N — 真数, log a N — 对数式) 说明:○ 1 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 2 ○ 3 ○ 1 ○ 2 ○

a x ? N ? log a N ? x ;
注意对数的书写格式.

两个重要对数: 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ?为底的对数的对数 ln N .

(二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 ○ 2 ○ 3 ○

log a ( M · N ) ? log a M + log a N ;

log a

M ? log a M - log a N ; N log a M n ? n log a M (n ? R) .
log c b log c a
( a ? 0 ,且 a ? 1 ;c ? 0 ,且 c ? 1 ;b ? 0 ) .

注意:换底公式

log a b ?

利用换底公式推导下面的结论 (1) log a m b n ?

1 n (2) log a b ? . log a b ; log b a m

(二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 y ? log a x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函 数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) . 注意:○ 1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意 辨别。如: y ? 2 log 2 x , y ? log 5 x 都不是对数函数,而只能称
5

其为对数型函数. 2 ○ 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . 0<a<1
3 2.5 2 1.5

2、对数函数的性质: a>1
3 2.5 2 1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都 过定点 (1, 0)

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点 (1,0)

对数函数·例题解析 例 1.求下列函数的定义域: (1) y ? log a x ;
2

(2) y ? log a (4 ? x) ;

(3) y ? log a (9 ? x ) .
2

2 2 解: (1)由 x >0 得 x ? 0 ,∴函数 y ? log a x 的定义域是 x x ? 0 ;

?

?

(2)由 4 ? x ? 0 得 x ? 4 ,∴函数 y ? log a (4 ? x) 的定义域是 x x ? 4 ;
2 g(9 ? x ) 的 定 义 域 是 ( 3 ) 由 9- ? x ? 0 得 -3 ? x ? 3 , ∴ 函 数 y ? l o a
2

?

?

1? ?1? ? ? ? 2 和函数 y ? ? ? ? x ? 3 ? x ? 3? .例 2.求函数 y ? ? ?2? ?5?

x

x 2 ?1

? 2 ( x ? 0) 的反函数。

解: (1) ? ? ? y ? 2

?1? ?5?

x

∴ f ?1 ( x) ? log 1 ( x ? 2)
5

( x ? -2) ;

?1? (2) ? ? ?2?

x 2 ?1

? y-2

∴ f ( x) ? ? log 1 ( x - 2)
-1 2

5 (2 ? x ? ) . 2

例 4.比较下列各组数中两个值的大小: (1) log 2 3.4 , log 2 8.5 ; (2) log 0.3 1.8 , log 0.3 2.7 ; (3) log a 5.1 , log a 5.9 .

解: (1)对数函数 y ? log 2 x 在 (0, ??) 上是增函数,于是 log 2 3.4 ? log 2 8.5 ; (2)对数函数 y ? log 0.3 x 在 (0, ??) 上是减函数,于是 log 0.3 1.8 ? log 0.3 2.7 ; (3) 当 a ? 1 时, 对数函数 y ? log a x 在 (0, ??) 上是增函数, 于是 log a 5.1 ? log a 5.9 , 当 o ? a ? 1时,对数函数 y ? log a x 在 (0, ??) 上是减函数,于是 log a 5.1 ? log a 5.9 . 例 5.比较下列比较下列各组数中两个值的大小: (1) log 6 7 , log 7 6 ; (3) 1.1 , log1.1 0.9 , log 0.7 0.8 ;
0.9

(2) log 3 ? , log 2 0.8 ; (4) log 5 3 , log 6 3 , log 7 3 .

解: (1)∵ log 6 7 ? log 6 6 ? 1 , log 7 6 ? log 7 7 ? 1 ,∴ log 6 7 ? log 7 6 ; (2)∵ log3 ? ? log3 1 ? 0 , (3 ) ∵

log 2 0.8 ? log 2 1 ? 0 ,∴ log 3 ? ? log 2 0.8 .
.

1

0

? .

1 ?9

,1

0

.

log 1 1.1 0.9 ? 1 log1.1 1 ? 0



0 ? log 0.7 1 ? log 0.7 0.8 ? log 0.7 0.7 ? 1 ,
∴ 1.1
0.9

? log 0.7 0.8 ? log1.1 0.9 .
∴ log 5 3 ? log 6 3 ? log 7 3 .

(4)∵ 0 ? log3 5 ? log 3 6 ? log 3 7 , 例 7.求下列函数的值域:

(1) y ? log 2 ( x ? 3) ; (2) y ? log 2 (3 ? x ) ; (3) y ? log a ( x ? 4 x ? 7) ( a ? 0 且
2
2

. a ? 1)

解: (1)令 t ? x ? 3 ,则 y ? log 2 t , (2)令 t ? 3 ? x ,则 0 ? t ? 3 ,
2
2 2

∵ t ? 0 , ∴ y ? R ,即函数值域为 R . ∴ y ? log 2 3 , 即函数值域为 (??, log 2 3] . 当 a ? 1 时, y ? loga 3 , 即值域为

( 3 )令 t ? x ? 4 x ? 7 ? ( x ? 2) ? 3 ? 3 ,

[log a 3, ??) ,
当 0 ? a ? 1时, y ? log a 3 , 即值域为 (??, log a 3] . 例 8.判断函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 1 ? x) 的奇偶性。
2

2 解:∵ x ? 1 ? x 恒成立,故 f ( x) 的定义域为 (??, ??) , f (? x) ? log 2 ( x ? 1 ? x)

2

? ? log 2

1 x ?1 ? x
2

? ? log 2

x2 ? 1 ? x ( x ? 1) ? x
2 2 2

? ? log 2 x 2 ? 1 ? x ? ? f ( x) ,所以, f ( x)

为奇函数。 例 9.求函数 y ? 2log 1 ( x 2 ? 3x ? 2) 的单调区间。
3

解:令 u ? x ? 3x ? 2 ? ( x ? ) ?
2 2

3 2

1 3 3 在 [ , ??) 上递增,在 ( ??, ] 上递减, 2 2 4

又∵ x ? 3x ? 2 ? 0 ,
2 2

∴ x ? 2 或 x ? 1, 又∵ y ? 2log 1 u 为减函数,
3

故 u ? x ? 3x ? 2 在 (2, ??) 上递增,在 (??,1) 上递减,
2

所以,函数 y ? 2log 1 ( x ? 3x ? 2) 在 (2, ??) 上递增,在 (??,1) 上递减。
3

例 10.若函数 y ? ? log 2 ( x ? ax ? a) 在区间 (??,1 ? 3) 上是增函数, a 的取值范围。
2

解:令 u ? g ( x) ? x ? ax ? a ,
2 2

∵函数 y ? ? log 2 u 为减函数,

∴ u ? g ( x) ? x ? ax ? a 在 区 间 (? ?, 1 ?

3上 ) 递 减 , 且 满 足 u?0 , ∴

?a ? ? 1? 3 ,解得 2 ? 2 3 ? a ? 2 , ?2 ? g (1 ? 3) ? 0 ?
所以, a 的取值范围为 [2 ? 2 3, 2] .

【例1】 (1) 求函数y = log 1
2

3x ? 2 的定义域. 2x ? 1 (a> 0,且a≠1) 的定义域.

(2) 求函数y =

1 1 ? log a ( x ? a )

(3) 已知函数f(x) 的定义域是[0,1],求函数y = f[log 1 (3-x)]的定义
3

3x ? 2 ? ? x ?1 ?log 1 2 x ? 1 ≥ 0 ? 3x ? 2 ? 2x ? 1 ≤0 ? 2 x ? 1 ≤1 ? 2 ? ? ? 3x ? 2 1 2 ? 解 (1) 由 ? >0 ? ?(3x ? 2)(2 x ? 1) > 0 ? ?x< 或x> ? 2 3 ? 2x ? 1 ? ? 1 1 ?2 x ? 1≠ 0 ?x≠ ? x≠ 2 ? ? ? 2 ? ?
?1 ? 2 <x≤1 ? 1 2 2 ? ?x< 或x> ? <x≤1 2 3 3 ? 1 ? x≠ ? 2 ?

2 ∴ 所求定义域为{x| <x≤1} 3
解 (2)∵1-loga(x+a)>0,∴loga(x+a)<1. 当 a>1 时,0<x+a<a,∴函数的定义域为(-a,0). 当 0<a<1 时,x+a>a,∴函数的定义域为(0,+∞).
解 (3) ∵f(x) 的定义域为[0,1],∴函数y = f[log 1 (3-x)]有意义,
3

必须满足 0≤log 1 (3-x) ≤1,即log 11 ≤log 1 (3-x) ≤log 1
3 3 3 3

1 1 ,∴ ≤ 3- 3 3

8 8 x≤1,∴ 2 ≤x≤ .故函数y = f[log 1 (3-x)]的定义域为[2 , ]. 3 3 3
10 x 【例2】 已知函数y = ,试求它的反函数,以及反函数的定义域和值域. 1 ? 10 x

解 已知函数的定义域为R,∵y = (1-y)10 x = y,∴10 x =

10 x 10 x ∴ y ≠ 1 ,由 y = 得 1 ? 10 x 1 ? 10 x

y > 0 ? 0<y<1,即为函数的值域. 1? y

由10 x =

y y x 得x = lg ,即反函数f ?1 (x) = lg . 1? y 1? y 1? x

反函数的定义域为(0,1),值域为 y∈R. 【例 3】 作出下列函数的图像,并指出其单调区间. (1)y=lg(-x) (2)y=log2|x+1|

(3)y =|log 1 (x-1)| ,(4)y=log 2 (1-x) .
2

解 (1)y=lg(-x)的图像与 y=lgx 的图像关于 y 轴对称,如图 2.8-3 所示, 单调减区间是(-∞,0). 解 (2)先作出函数 y=log2|x|的图像,再把它的图像向左平移 1 个单位就得 y=log2|x+1|的图像如图 2.8-4 所示. 单调递减区间是(-∞,-1). 单调递增区间是(-1,+∞).

解 (3) 把y = log 1 x的图像向右平移1个单位得到y = log 1 (x-1) 的图像,保留其在 x
2 2

轴及 x 轴上方部分不变,把 x 轴下方的图像以 x 轴为

对称轴翻折到x轴上方,就得到y =|log 1 (x-1)| 的图像.如图2.8-5
2





单调减区间是(-1,2]. 单调增区间是[2,+∞). 解 (4)∵函数 y=log2(-x)的图像与函数 y=log2x 的图像关于 y 轴对称,故 可先作 y=log2(-x)的图像,再把 y=log2(-x)的图像向右平移 1 个单位得到

y=log2(1-x)的图像.如图 2.8-6 所示. 单调递减区间是(-∞,1).

【例 4】 图 2.8-7 分别是四个对数函数,①y=logax②y=logbx③y=logcx④y=logdx 的图像,那么 a、b、c、d 的大小关系是 [ ] A.d>c>b>a B.a>b>c>d C.b>a>d>c D.b>c>a>d 解 选 C,根据同类函数图像的比较,任取一个 x>1 的值,易得 b>a>1>d>c. 【例 5】 已知 loga3>logb3,试确定 a 和 b 的大小关系. 解法一 令 y1=logax,y2=logbx,∵logax>logb3,即取 x=3 时,y1>y2, 所以它们的图像,可能有如下三种情况: (1)当 loga3>logb3>0 时,由图像 2.8-8,取 x=3,可得 b>a>1. (2)当 0>loga3>logb3 时,由图像 2.8-9,得 0<a<b<1. (3)当 loga3>0>logb3 时,由图像 2.8-10,得 a>1>b>0.

【例6】 若a 2 >b>a>1,则log a
_____.

a b 、log b 、log b a、log a b的大小 顺 序 是 : b a

a b a b 解 ∵a 2 >b>a>1,∴ 0< <1, >1,∴log a < 0,log b > b a b a b b 0, 0<log b a<1,log a b>1.由a 2 >b>a>1得a> >1∴log b <log b a< a a a b 1,故得:log a <log b <log b a<log a b. b a

【例8】 已知函数f(x) = log a (x+ 1 ? x 2 )(a> 0,且a≠1) ,判断其 奇偶性.
解法一 已知函数的定义域为 R,则-x∈R

f( -x) = log a ( 1 + x 2 -x) = log a ( 1 ? x 2 ? x)( 1 ? x 2 ? x) 1 ? x2 ? x 1 ? x2 ? x2

= log a = log a

1 ? x2 ? x 1 1 ? x2 ? x

= ? log a ( 1 ? x 2 ? x) ? ? f ( x)
∴f(x)是奇函数. 解法二 已知函数的定义域为 R

由f(x) +f( -x) = log a ( 1 + x 2 +x) +log( 1 + x 2 -x) = log a [( 1 + x 2 ? x)( 1 + x 2 ? x)]
=loga1=0 ∴f(x)=-f(x),即 f(x)为奇函数.

单元测试
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分). 1.对数式 log a ? 2 (5 ? a) ? b 中,实数a的取值范围是 A. (??,5) B.(2,5) C. (2,??) ( D. (2,3) ? (3,5) ( ) )

2.如果lgx=lga+3lgb-5lgc,那么 A.x=a+3b-c

3ab B. x ? 5c

ab3 C. x ? 5 c

D.x=a+b3-c3

3.设函数y=lg(x2-5x)的定义域为M,函数y=lg(x-5)+lgx的定义域为N,则 A.M∪N=R B.M=N
2





C.M ? N
2

D.M ? N ( )

4.若a>0,b>0,ab>1, log 1 a =ln2,则logab与 log 1 a 的关系是 A.logab< log 1 a
2

B.logab= log 1 a
2

C. logab> log 1 a
2

D.logab≤ log 1 a
2

5.若函数log2(kx2+4kx+3)的定义域为R,则k的取值范围是 A. ? 0, ?

( D. (??,0] ? ? ,?? ?



? ?

3? 4?

B. ?0, ?

? 3? ? 4?

C. ?0, ? 4

? 3? ? ?

?3 ?4

? ?

6.下列函数图象正确的是





A 7.已知函数 g ( x) ? f ( x) ? A.是奇函数又是减函数 C.是奇函数又是增函数

B

C

D ( )

1 ,其中log2f(x)=2x,x ? R,则g(x) f ( x)
B.是偶函数又是增函数 D.是偶函数又是减函数

9.如果y=log2a-1x在(0,+∞)内是减函数,则a的取值范围是 A.|a|>1 B.|a|<2 C.a ? ? 2
0

( D. 1 ? a ?



2
( )

10.下列关系式中,成立的是

?1? A. log 3 4 ? ? ? ? log 1 10 ?5? 3
C. log 3 4 ? log 1 10 ? ? ?
3

0

?1? B. log 1 10 ? ? ? ? log 3 4 ?5? 3
0

?1? ?5?

D. log 1 10 ? log 3 4 ? ? ?
3

?1? ?5?

0

二、填空题: (每小题 6 分,共 24 分). 11.函数 y ?

log 1 (2 ? x 2 ) 的定义域是
2

,值域是 .

.

12.方程 log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2 的解为
x

13.将函数 y ? 2 的图象向左平移一个单位,得到图象 C1,再将 C1 向上平移一个单位得到 图象 C2,作出 C2 关于直线 y=x 对称的图象 C3,则 C3 的解析式为 . 14.函数y= log 1 ( x ? 4 x ? 12) 的单调递增区间是
2 2

.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分). 15. (12分)已知函数 f ( x) ? log 2

x ?1 ? log 2 ( x ? 1) ? log 2 ( p ? x) . x ?1

(1)求函数f (x)的定义域;(2)求函数f (x)的值域.

16.(12分)设x,y,z∈R+,且3x=4y=6z. (1)求证:

1 1 1 ; (2)比较3x,4y,6z的大小. ? ? z x 2y

17. (12分)设函数 f ( x) ? lg( x ?

x 2 ? 1) .

(1)确定函数f (x)的定义域; (2)判断函数f (x)的奇偶性; (3)证明函数 f (x)在其定义域上是单调增函数; (4)求函数 f(x)的反函数.

18.现有某种细胞100个,其中有占总数

1 的细胞每小时分裂一次,即由1个细胞分裂成2个 2
10

细胞,按这种规律发展下去,经过多少小时,细胞总数可以超过 10 个?(参考数据:

lg 3 ? 0.477,lg 2 ? 0.301 ).

20. (14 分)已求函数 y ? log a ( x ? x )( a ? 0, a ? 1) 的单调区间.
2

一、DCCAB 二 、 11 .

必修 1 数学章节测试(7)—第二单元(对数函数) BDBDA

??

2 ? 1 ? 1, 2 , ?0,??? ;

? ?

?

12 . 0 ;

13 . y ? log 2 ( x ? 1) ? 1 ;

14. (??,?2) ; 三、 15. 解:(1)函数的定义域为(1,p). (2)当p>3时,f (x)的值域为(-∞,2log2(p+1)-2); 当 1<p ? 3 时,f (x)的值域为(- ? ,1+log2(p+1)). 16. 解:(1)设3x=4y=6z=t. ∵x>0,y>0,z>0,∴t>1,lgt>0,

x ? log 3 t ?

lg t lg t lg t ,y ? ,z ? lg 3 lg 4 lg 6
lg t lg t 2 lg t 2y

∴ 1 ? 1 ? lg 6 ? lg 3 ? lg 2 ? lg 4 ? 1 .
z x lg t

(2)3x<4y<6z.
? x ? x 2 ? 1 ? 0 得x∈R,定义域为R. (2)是奇函数. 17.解: (1)由 ? ? 2 ? ? x ?1 ? 0

(3)设x1,x2∈R,且

x1<x2,

2 则 f ( x ) ? f ( x ) ? lg x1 ? x1 ? 1 . 令 t ? x ? 1 2

x2 ?1 ,

x2 ? x ? 1
2 2

2 则 t1 ? t 2 ? ( x1 ? x12 ? 1) ? ( x 2 ? x 2 ? 1) .

2 = ( x1 ? x 2 ) ? ( x12 ? 1 ? x 2 ? 1)

= ( x1 ? x 2 ) ? ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) 2 x12 ? 1 ? x 2 ?1 =
2 ( x1 ? x2 )( x12 ? 1 ? x2 ? 1 ? x1 ? x2 2 x12 ? 1 ? x2 ?1

2 2 2 ∵x1-x2<0, x1 ? 1 ? x1 ? 0 , x 2 ? 1 ? x 2 ? 0 , x1 ? 1 ?

2 x2 ?1 ? 0 ,

∴t1-t2<0,∴0<t1<t2,∴ 0 ?

t1 ? 1, t2

∴f (x1)-f (x2)<lg1=0,即f (x1)<f (x2),∴ 函数f(x)在R上是单调增函数.
2x (4)反函数为 y ? 10 ? 1 (x ? R). 2 ? 10 x 18.解:现有细胞 100 个,先考虑经过 1、2、3、4 个小时后的细胞总数, 1 小时后,细胞总数为 1 ?100 ? 1 ?100 ? 2 ? 3 ?100 ;

2

2

2

2 小时后,细胞总数为 1 ? 3 ?100 ? 1 ? 3 ?100 ? 2 ? 9 ?100 ; 2 2 2 2 4 1 9 1 9 27 3 小时后,细胞总数为 ? ?100 ? ? ?100 ? 2 ? ?100 ; 2 4 2 4 8 1 27 1 27 4 小时后,细胞总数为 ? ?100 ? ? ?100 ? 2 ? 81 ?100 ; 2 8 2 8 16 可见,细胞总数 y 与时间 x (小时)之间的函数关系为:
3? 10 ,得 ? 3 ? 由 100 ? ? ? ? ? 10 ? ?
?2?
x
x

? ?3? y ? 100 ? ? ? , x ? N ?2?

x

?2? 8 ∴x? , lg 3 ? lg 2

? 108

,两边取以 10 为底的对数,得 x lg

3 ? 8, 2



8 8 ? ? 45.45 , lg 3 ? lg 2 0.477 ? 0.301

∴ x ? 45.45 . 答:经过 46 小时,细胞总数超过 10 个. 19.解: (1)过A,B,C,分别作AA1,BB1,CC1垂直于x轴,垂足为A1,B1,C1, 则S=S梯形AA1B1B+S梯形BB1C1C-S梯形AA1C1C.
10

t 2 ? 4t 4 ? log 1 ? log 3 (1 ? 2 ) 2 (t ? 2) t ? 4t 3

(2)因为v= t ? 4t 在 [1,??) 上是增函数,且v ? 5,
2

4 9 ? 9? v ? 1 ? 在?5. ? ? ? 上是减函数,且1<u ? ; S ? log 3 u在?1, ? 上是增函数, 5 v ? 5?

4 )在?1,?? ? 上是减函数 t ? 4t 9 (3)由(2)知 t=1 时,S 有最大值,最大值是 f (1) ? log 3 ? 2 ? log 3 5 5
所以复合函数S=f(t) ? log 3 (1 ?
2
2 20.解:由 x ? x >0得0<x<1,所以函数 y ? log a ( x ? x ) 的定义域是(0,1)
2

因为0< x ? x = ? ( x ? ) ?
2

1 2

2

1 1 ? , 4 4
2

所以,当0<a<1时, log a ( x ? x ) ? log a

1 4

2 函数 y ? log a ( x ? x ) 的值域为 ?log a 1 ,?? ? ?; ? 4 ? ?

当a>1时, log a ( x ? x ) ? log a
2

1 4
a

2 1? 函数 y ? log a ( x ? x ) 的值域为 ? ? ? ?, log

?

4? ?

2 ? 1 ? 上是减函数,在 ? 1 ? 上是增函数; 当0<a<1时,函数 y ? log a ( x ? x ) 在 ? 0, ,1?

?

2? ?

?2 ? ?

1? ?1 ? 2 当 a>1 时,函数 y ? log a ( x ? x ) 在 ? ? 0, ? 上是增函数,在 ? ,1? 上是减函数. ?2 ? ? 2?


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