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人教版高中数学必修3知识点和练习题


人教版高中数学必修 3 知识点和练习题
第一章
1.1.1 算法的概念

算法初步

1、算法概念: 在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题 是程序或步骤, 这些程序或步骤必须是明确和有效的, 而且能够在有限步之内 完成. 2. 算法的特点: (1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在

有限操作之后停止,不能 是无限的. (2)确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结 果,而不应当是模棱两可. (3)顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步 骤只能有一个确定的后继步骤, 前一步是后一步的前提, 只有执行完前一步才 能进行下一步,并且每一步都准确无误,才能完成问题. (4)不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有 不同的算法. (5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算 器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.
1.1.2 程序框图

1、程序框图基本概念: (一)程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线 及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程 序框外必要文字说明。

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(二)构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 起止框 不可少的。 表示一个算法输入和输出的信息, 可用在算 输入、输出框 法中任何需要输入、输出的位置。 赋值、计算,算法中处理数据需要的算式、 处理框 公式等分别写在不同的用以处理数据的处 理框内。 判断某一条件是否成立, 成立时在出口处标 判断框 明“是”或“Y” ;不成立时标明“否”或 “N” 。 功能 表示一个算法的起始和结束, 是任何流程图

学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框 图的规则如下: 1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、 除判断框外, 大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。 判断框具有超 过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类,一类判断框“是”与“否” 两分支的判断,而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断,有几种不同的 结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 (三) 、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。
1、顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到 下的顺序进行的,它是由若干个依次执行的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不 开的一种基本算法结构。

顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 下地连接起来,按顺序执行算法步骤。如在示意图中,A 框和 B
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A 框是依次执行的,只有在执行完 A 框指定的操作后,才能接着执 行 B 框所指定的操作。 2、条件结构: 条件结构是指在算法中通过对条件的判断 根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。 条件 P 是否成立而选择执行 A 框或 B 框。无论 P 条件是否成立,只能执行 A 框或 B 框之一,不可能同时执行 A 框和 B 框,也不可能 A 框、B 框都不执行。 一个判断结构可以有多个判断框。
3、循环结构:在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处

B

理步骤的情况,这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然,循环 结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构,循环结构可细分为两类: (1) 、一类是当型循环结构,如下左图所示,它的功能是当给定的条件 P 成立 时,执行 A 框,A 框执行完毕后,再判断条件 P 是否成立,如果仍然成立,再 执行 A 框,如此反复执行 A 框,直到某一次条件 P 不成立为止,此时不再执行 A 框,离开循环结构。 (2) 、另一类是直到型循环结构,如下右图所示,它的功能是先执行,然后判 断给定的条件 P 是否成立,如果 P 仍然不成立,则继续执行 A 框,直到某一次 给定的条件 P 成立为止,此时不再执行 A 框,离开循环结构。

A P 不成立p
成立 成立

A P
不成立

当型循环结构

直到型循环结构

注意:1 循环结构要在某个条件下终止循环,这就需要条件结构来判断。因此,循环
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结构中一定包含条件结构,但不允许“死循环” 。2 在循环结构中都有一个计数变量和累 加变量。计数变量用于记录循环次数 ,累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一 ...... 般是同步执行的,累加一次,计数一次。 1.2.1 输入、输出语句和赋值语句

1、输入语句 (1)输入语句的一般格式 图形计算器 格式

INPUT“提示内容” ;变量

INPUT “提示内容” ,变量

(2)输入语句的作用是实现算法的输入信息功能; (3) “提示内容”提示用户输入什么 样的信息,变量是指程序在运行时其值是可以变化的量; (4)输入语句要求输入的值只 能是具体的常数,不能是函数、变量或表达式; (5)提示内容与变量之间用分号“; ”隔 开,若输入多个变量,变量与变量之间用逗号“, ”隔开。 2、输出语句 (1)输出语句的一般格式 图形计算器 格式

PRINT“提示内容” ;表达式

Disp “提示内容” ,变量

(2)输出语句的作用是实现算法的输出结果功能; (3) “提示内容”提示用户输入什么 样的信息,表达式是指程序要输出的数据; (4)输出语句可以输出常量、变量或表达式 的值以及字符。 3、赋值语句 (1)赋值语句的一般格式 图形计算器 格式

变量=表达式

表达式 ? 变量

(2)赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量; (3)赋值语句中的“=”称作赋 值号,与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换,它将赋值号右边 的表达式的值赋给赋值号左边的变量; (4)赋值语句左边只能是变量名字,而不是表达 式,右边表达式可以是一个数据、常量或算式; (5)对于一个变量可以多次赋值。 注意:①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。如:2=X 是错误的。②赋值号 左右不能对换。如“A=B” “B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进
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行代数式的演算。 (如化简、因式分解、解方程等)④赋值号“=”与数学中的等号意义 不同。

1.2.2 条件语句 1、条件语句的一般格式有两种: (1)IF—THEN—ELSE 语句; (2)IF—THEN 语句。2、 IF—THEN—ELSE 语句 IF—THEN—ELSE 语句的一般格式为图 1,对应的程序框图为图 2。

IF 条件 THEN 语句 1 ELSE 语句 2 END IF
图1 图2

否 满足条件? 是 语句 1 语句 2

分析:在 IF—THEN—ELSE 语句中, “条件”表示判断的条件, “语句 1”表示满足条件 时执行的操作内容; “语句 2”表示不满足条件时执行的操作内容;END IF 表示条件语 句的结束。 计算机在执行时, 首先对 IF 后的条件进行判断, 如果条件符合, 则执行 THEN 后面的语句 1;若条件不符合,则执行 ELSE 后面的语句 2。 3、IF—THEN 语句 IF—THEN 语句的一般格式为图 3,对应的程序框图为图 4。

IF 条件 THEN 语句 END IF (图 3) (图 4) 满足条件? 否



语句

注意: “条件”表示判断的条件; “语句”表示满足条件 时执行 的操作内容,条件不满足时,结束程序;END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行 时首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合就执行 THEN 后边的语句,若条件不符合 则直接结束该条件语句,转而执行其它语句。 1.2.3 循环语句

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循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构,一般程序设 计语言中也有当型 (WHILE 型) 和直到型 (UNTIL 型) 两种语句结构。 即 WHILE 语句和 UNTIL 语句。 1、WHILE 语句 (1)WHILE 语句的一般格式是 对应的程序框图是

循环体 WHILE 循环体 WEND 满足条件? 否
(2)当计算机遇到 WHILE 语句时,先判断条件的真假,如果条件符合,就执行 WHILE 与 WEND 之间的循环体;然后再检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这 个过程反复进行,直到某一次条件不符合为止。这时,计算机将不执行循环体,直接跳 到 WEND 语句后,接着执行 WEND 之后的语句。因此,当型循环有时也称为“前测试 型”循环。 2、UNTIL 语句 (1)UNTIL 语句的一般格式是 对应的程序框图是

条件 是

DO 循环体 LOOP UNTIL 条件

循环体 满足条件? 是 否

(2)直到型循环又称为“后测试型”循环,从 UNTIL 型循环结构分析,计算机执行该语 句时,先执行一次循环体,然后进行条件的判断,如果条件不满足,继续返回执行循环 体,然后再进行条件的判断,这个过程反复进行,直到某一次条件满足时,不再执行循 环体,跳到 LOOP UNTIL 语句后执行其他语句,是先执行循环体后进行条件判断的循环语 句。 分析:当型循环与直到型循环的区别: (先由学生讨论再归纳) (1) 当型循环先判断后执行,直到型循环先执行后判断; 在 WHILE 语句中,是当条件满足时执行循环体,在 UNTIL 语句中,是当条件不满足时执 行循环
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1.3.1 辗转相除法与更相减损术 1、辗转相除法。也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: (1) :用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 n 为 m, n 的最大公约数; 若 (3) :若 一个商

S0 和一个余数 R0 ; R (2) :若 0 =0,则

R0 ≠0, R S R 则用除数 n 除以余数 0 得到一个商 1 和一个余数 1 ;

R1 =0,则 R1 为 m,n 的最大公约数;若 R1 ≠0,则用除数 R0 除以余数 R1 得到
依次计算直至

S2 和一个余数 R2 ;??

Rn =0,此时所得到的 Rn?1 即为所

求的最大公约数。 2、更相减损术 我国早期也有求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减 损术求最大公约数的步骤:可半者半之,不可半者,副置分母?子之数,以少减多,更相 减损,求其等也,以等数约之。 翻译为: (1) :任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用 2 约简;若不是, 执行第二步。 (2) :以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大 数减小数。继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大 公约数。 例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数. 分析: (略) 3、辗转相除法与更相减损术的区别: (1) 都是求最大公约数的方法, 计算上辗转相除法以除法为主, 更相减损术以减法为主, 计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的 区别较明显。 (2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到,而更相减损 术则以减数与差相等而得到

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1.3.2 秦九韶算法与排序 1、秦九韶算法概念: f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0 求值问题 f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=( =(( anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0 =......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0 求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即 v1=anx+an-1 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0、 anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0

这样,把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个一次多项式的值的问题。 2、两种排序方法:直接插入排序和冒泡排序 1、直接插入排序 基本思想:插入排序的思想就是读一个,排一个。将第1个数放入数组的第1个元素中, 以后读入的数与已存入数组的数进行比较,确定它在从大到小的排列中应处的位置.将 该位置以及以后的元素向后推移一个位置,将读入的新数填入空出的位置中. (由于算法 简单,可以举例说明) 2、冒泡排序 基本思想:依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第 1 个数和第 2 个数,大数放前,小数放后.然后比较第 2 个数和第 3 个数......直到比较最后两个数. 第一趟结束,最小的一定沉到最后.重复上过程,仍从第 1 个数开始,到最后第 2 个数...... 由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序.

1.3.3 进位制 1、概念:进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用 数字符号的个数称为基数,基数为 n,即可称 n 进位制,简称 n 进制。现在最常用的是十 进制,通常使用 10 个阿拉伯数字 0-9 进行记数。对于任何一个数,我们可以用不同的进 位制来表示。 比如: 十进数 57, 可以用二进制表示为 111001, 也可以用八进制表示为 71、
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用十六进制表示为 39,它们所代表的数值都是一样的。 一般地,若 k 是一个大于一的整数,那么以 k 为基数的 k 进制可以表示为:

an an?1...a1a0( k )

(0 ? an ? k ,0 ? an?1,..., a1 , a0 ? k ) ,

而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如 111001(2)表示二进制数,34(5)表示 5 进制数 2011 届高一同步练习题 新课标必修 3

算法部分练习(一)
(定义及古算法案例)

1. 家中配电盒至电视机的线路断了,检测故障的算法中,为了使检测的次数 尽可能少,第一步检测的是 (A)靠近电视的一小段,开始检查 (C)靠近配电盒的一小段开始检查 (B)电路中点处检查 (D)随机挑一段检查

2. 早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡 面(3min)、吃饭(10min)、听广播(8min)几个步骤,从下列选项中选最好 的一种算法 (A)S1 洗脸刷牙、S2 刷水壶、S3 烧水、S4 泡面、S5 吃饭、S6 听广播 (B)S1 刷水壶、S2 烧水同时洗脸刷牙、S3 泡面、S4 吃饭、S5 听广播 (C)S1 刷水壶、S2 烧水同时洗脸刷牙、S3 泡面、S4 吃饭同时听广播 (D)S1 吃饭同时听广播、S2 泡面、S3 烧水同时洗脸刷牙、S4 刷水壶 3. 算法: S1 S2 输入 n ; 判断 n 是否是 2,若 n ? 2 ,则 n 满足条件,若 n ? 2 ,则执行S3;

S3 依次从 2 到 n ? 1 检验能不能整除 n ,若不能整除 n ,则 n 满足条件; 满足上述条件的 n 是 (A)质数 4. (B)奇数 (C)偶数 (D)约数 算法: S1 m=a; S2 若b<m, 则m=b; S3 若c<m, 则m=c; S4 若d<m, 则 m=d; S5 输出m。则输出的m表示 (A)a,b,c,d中最大值 (C)将a,b,c,d由小到大排序 (B) a,b,c,d中最小值 (D)将a,b,c,d由大到小排序
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5.

给出以下四个问题: ①输入一个数x,输出它的相反数; ②求面积为 6 的正方形的周长; ③求三个数a,b,c,中的最大数; ④求函数 f ( x) ? ?

?x ? 1( x ? 0) 的函数值; ?x ? 2( x ? 0)

⑤求两个正整数a,b相除的商及余数. 其中不需要用条件语句来描述其算法的有____________. 6. 下面的问题中必须用条件分支结构才能实现的是____________. ①求面积为 1 的正三角形的周长; ②求方程 ax ? b ? 0 ( a , b 为常数)的根; ③求两个实数 a , b 中的最大者; ④求 1+2+3+…+100 的值 7. 840 和 1764 的最大公约数是 8. 数 4557,1953,5115 的最大公约数为 9. 两个正整数 120 与 252 的最小公倍数为 . . .

10. 用等值法求 294 和 84 的最大公约数时,需要做减法的次数是 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5

11. 用秦九韶算法计算多项式 f ( x) ? 12 ? 35x ? 8x2 ? 79x3 ? 6x4 ? 5x5 ? 3x6 ,在
x ? ?4 时的值时, V3 的值为

(A)-845

(B)220

(C)-57

(D)34

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12. 用秦九韶算法求 n 次多项式 f ( x) ? an x n ? an?1 x n?1 ? ? ? a1 x ? a0 ,当 x ? x0 时,求 f ( x0 ) 需要算乘方、乘法、加法的次数分别为 (A)
n(n ? 1) , n, n 2

(B) n,2n, n

(C) 0,2n, n

(D) 0, n, n
新课标必修 3

2011 届高一同步练习题

算法部分练习(二)
(程序框图)

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1.阅读下面的程序框图,该程序输出的结果是________. 开始
a = 1 ,S = 1 是

a>3 否 S=S+9 a=a+1

输出 S 结束 2.如图所示的程序框图输出的结果是 开始
A = 1/2 ,i = 1 否

.

i≤4 是 A = 1/(2-A) i=i+1

输出 A 结束

3. (07-海南宁夏-5)如果执行下面的程序框图,那么输出的 S ? (A)2450 (B)2500 (C)2550 (D)2652

开始
k = 1 ,S = 0 否

k≤50 是 S = S + 2k k=k+1

输出 S 结束
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4.在如图所示的程序框图中输入 3,结果会输出________. 开始 输入 n
s = 1 ,k = 1 否

k≤n 是 s = s ×2 k=k+1

输出 s 结束

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5.(08-山东-13)执行下边的程序框图,若 p ? 0.8 ,则输出的 n ? 开始 输入 p
n = 1 ,S = 0 否



S<p 是

S?S?

1 2n

输出 n 结束

n=n+1

6.(07-山东-10)阅读右边的程序框图,若输入的 n 是 100,则输出的变量 S 和 T 的值依次是 .

开始 输入 n
S = 0 ,T = 0 是

n<2 否 S=S+n

输出 S,T
n=n-1 T=T+n n=n-1

结束

7.(08- 广东 -9) 阅读下图的程序框图,若输入 m ? 4 , n ? 3 ,则输出 a ? i? ; 若输入 m ? 4 , n ? 6 ,则输出 a ? _____, i ? _____.



开始 输入 m,n
i=1 a = m×i
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i = i +1

8.按如图所示的框图运算:若输入 x=8,则输出 k= 的 x 的取值范围是 . 开始 输入 x
k=0 x = 2x + 1 k=k+1 x>115 是 否

;若输出 k=2,则输入

输出 x,k 结束

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2 1 9. 阅读下面的程序框图,回答下列问题:若 a ? log3 2 、 b ? 、 c ? ( ) 3 ,则输 3 2

1

出的数是______ 开始 输入 a,b,c
a>b 且 a>c 否 b>c 否 是 是

输出 a

输出 b

输出 c 结束 10.下面的程序框图循环体执行的次数是___ 开始
i = 2 ,sum = 0 sum = sum + i i=i+2 i≥100 是 否

___.

输出 sum 结束

11. 阅读下边的程序框图,请你写出 y 关于 x 的函数解析式

.

开始 输入 x
x>0 是 y=1 否 x<0 是 y = -1 y=0 否
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12. 下图给出的是计算 1 1 1 1? ? ??? 的值的一个程序框图(其中 n 的值由键盘输入) ,其中①处 3 5 2n ? 1 应填 ,②处应填 . 开始 输入 n
s = 0 ,i = 1 否

i≤n 是 ① ②

输出 s 结束

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13.下面是一个算法的程序框图,当输入的 x 值为 3 时,输出的 y 的结果恰好是 1/3,则?处的关系式是 . 开始 输入 x
否 x=x-2

x≤0 是 ?

输出 y 结束 14.(08-宁夏-5)下面的程序框图,如果输入三个实数 a、b、c,要求输出这三个数 中最大的数,那么在空白的判断框中,应该填入 .

开始 输入 a、b、c
x=a b>x 否 是 x=b 是 否 x=c

输出 x
100 结束 15.下面的程序框图可以计算 ? (2n ? 1)2 的值,则在判断框中可以填写的表达式 n ?1



. 开始
S = 0 ,i = 1 S = S + i2 i=i+2 否 是
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16.下图是计算 条件是

1 1 ? ? 1? 2 2 ? 3 .

?

1 的值的算法框图, 其中在判断框中应填入的 9 ?10

开始
i = 1 ,m = 0, n = 0 否 是 i=i+1 m =m + 1 2011 届高一同步练习题 n = n + 1/(m×i)

输出 n 结束
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算法部分练习(三)
(基本算法语句)

13. 下列给出的赋值语句中正确的是 (A) 4 ? M (B) M ? ? M (C) B ? A ? 3 (D) x ? y ? 0

14. 下列给变量赋值的语句正确的是 (A) 3 ? a (B) a ? 1 ? a (C) a ? b ? c ? 3 (D) a ? a ? 8 15. 下列赋值语句中错误的是 (A) N ? N ? 1 (B) K ? K * K (C) C ? A( B ? D) (D) C ? A / B

16. 已知变量 a , b 已被赋值,要交换 a , b 的值,应使用的算法语句是 . 17. 下边程序运行后的结果是 (A)1,2,3 (B)2,3,1 (C)2,3,2 (D)3,2,1 18. 阅读下面的程序,当 x ? 3 时,该程序运行后,输出的结果是 (A)3 (B)9 (C) N
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(D) x 2

19. 下面的程序是用来计算( (A)3 ? 10 (B) 355

)的值 (C) 310 x=input(“x=”) if x>3 y=x*x; print(%io(2),y) else disp(“N”) end (D) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 10 S=1; for i=1:1:10 S=(3^i)*S; end print(%io(2),S)

a=1;b=2;c=3; a=b;b=c;c=a; print(%io(2),c,b,a)

(第 5 题) (第 6 题) (第 7 题) 20. 下面为一个求 20 个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为 (A) i ? 20 (B) i ? 20 (C) i ?? 20 . (B)19 (C)21 (D) i ?? 20 21. 下面的程序运行后的输出结果为 22. 下面的程序运行后的输出结果为 (A)17
S ? 0;i ? 1; while _______ x ? input("x ? ") S ? S ? x; i ? i ? 1; end a ? S/20; a

(D)23 i=1; while i<8 i = i +2; s = 2 * i +3; i = i –1; end s
(第 10 题)

s=0; for i ? 1:2:7 s=2*i+s; end print(%io(2),s)
(第 9 题)

(第 8 题)

23. 已知语句 for i=1:2:99,该语句一共执行循环次数为 24. for i=-100:10:190,该语句共执行循环 25. 下面的程序语句执行后的输出是 26. 下面的程序语句执行后的输出是 i= 27. 下面的程序语句执行后的输出是 j= a=1;b=2;c=3; (a*a+b*b+c*c)/(2*a*b*c)
(第 13 题)

次.

次. . ,j= . .
j=1; while j*j<100,j=j+1;end disp(j) (第 15 题)

i=5;j=-2 i=i+j,j= i+j
(第 14 题)

28. 右面程序运行的结果为 (A)17 (B)19 (C)21 (D)23 .

i=1;while i<8 i=i+2; S=2*i+3;end print(%io(2),S)

29. Scilab 中用 rand()函数产生(0,1)的均匀随机数,要想得到(-2,6)之间的随机 数需使用变换 30. 下面的程序输出的结果是 .

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31. 为了在运行下面的程序之后得到输出 y ? 9 ,键盘输入应该是 32. 下面的程序语句执行后输入 a=3,b=-1,n=5,输出的是
S=0; for i=1:2:11 S=2S+3; if S>20 S=S-20; end end S a=input(“a=”); b=input(“b=”); c=input(“c=”); for i=1:1:n-2 c=a+b; a=b;b=c; end c

. .

x=input(“x=”); if x<0 y= (x+1)*(x+1) else y= (x-1)*(x-1) end y

(第 18 题) (第 40 19 ,输出的是 题) 33. 右面的程序语句执行后输入

y?

.

34. 请写出一个程序 , 找出这样的矩形 , 使它满足 以下三个条件 ①四条边均为整数; ②面积数与周长相等; ③各边长不超过 400.

(第 20 题) x=input(“x=”); if x>50,y=x*x+2; else if x<=10,y=0; else if x<=30,y=0.1*x; else y=0.25*x; end end end y

开始 35. 给出 30 个数:1,2,4,7,11,……,其规律是: 第 1 个数是 1,第 2 个数比第 1 个数大 1, 第 3 个 数比第 2 个数大 2, 第 4 个数比第 3 个数大 3, 依此 类推, 要计算这 30 个数的和, 现已给出了该问题算 法的程序框图. (1)补充右边的程序框图, 使之能完成该题算法功能. (2) 根据程序框图写出程序 .( 所用变量要与算法中 一致)
i=i+1 是 否 i=0,p=1,s=0

结束 24. 有一个正方形的网格,其中每一个最小正方形的边长都等于 6cm,现用直径 为 2cm 的硬币投掷到此网格上.
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(1)求硬币落下后与格线有公共点的概率; (2)编写一个 Scilab 程序模拟这个试验.

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2011 届高一年级数学同步练习之必修 3

2009 年 3 月

参考答案
算法部分练习(一) 01-05.B,C,A,B,①②⑤ 算法部分练习(三) 01-05.B,D,C, c ? a; a ? b; b ? c ,C
7 ,3;1,10,C 6 18-21.9,-4 或 4,3,10 22.

06-10.②③,84,93,2520,C

11-12.B,D

06-10.C,B,D,32,C 17.rand()*8-2 或 6-rand()*8

11-16.50,30,

for a=1:1:400 for b=1:1:400 if a*b==2*(a+b) a,b end end end

p=1;s=0; for i=1:1:29 p=p+i;s=s+p end s

23. i ? 30 , p=p+i,s=s+p,输出 n

24.5/9

第二章

统计

简单随机抽样 1. 简单随即抽样的含义
一般地,设一个总体有 N 个个体, 从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本 (n ≤N), 如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等, 则这种抽样方 法叫做简单随机抽样. ⑴每个个体每次被抽到的概率是 ⑵每个个体被抽到的概率是 ⑴总体的个体数有限; ⑵样本的抽取是逐个进行的,每次只抽取一个个体; ⑶抽取的样本不放回,样本中无重复个体; ⑷每个个体被抽到的机会都相等,抽样具有公平性. 2.简单随机抽样常用的方法:
第 25 页

; ;

●根据你的理解,简单随机抽样有哪些主要特点?

⑴抽签法;⑵随机数表法;⑶计算机模拟法;⑷使用统计软件直接抽取。 ★抽签法的操作步骤? 第一步,将总体中的所有个体编号,并把号码写在形状、大小相同的号签上. 第二步,将号签放在一个容器中,并搅拌均匀 第三步, 每次从中抽取一个号签, 连续抽取 n 次, 就得到一个容量为 n 的样本. ●抽签法有哪些优点和缺点? 优点:简单易行,当总体个数不多的时候搅拌均匀很容易,个体有均等的机 会被抽中,从而能保证样本的代表性. 缺点: 当总体个数较多时很难搅拌均匀,产生的样本代表性差的可能性很大; 误差相比其它抽样也比较大。 ★利用随机数表法从含有 N 个个体的总体中抽取一个容量为 n 的样本,其抽样 步骤如何? 第一步,将总体中的所有个体编号. 第二步,在随机数表中任选一个数作为起始数. 第三步,从选定的数开始依次向右(向左、向上、向下)读,将编号范围内 的数取出,编号范围外的数去掉,直到取满 n 个号码为止,就得到一个容量为 n 的样本.

系统抽样: 1. 系统抽样的定义:
一般地,要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,可将总体分成均衡 的若干部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要 的样本,这种抽样的方法叫做系统抽样. ●由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特征: ⑴当总体容量 N 较大时,采用系统抽样。 ⑵将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,分段的间隔要求相等,因 N 此,系统抽样又称等距抽样,间隔一般为 k= . n ⑶预先制定的规则指的是:在第 1 段内采用简单随机抽样确定一个起始编 号,在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号 ★系统抽样的一般步骤 ⑴用系统抽样从总体中抽取样本时, 首先要做的工作是什么?将总体中的所 有个体编号. 如果用系统抽样从 605 件产品中抽取 60 件进行质量检查,由于 605 件产品不能 均衡分成 60 部分, ⑵应先从总体中随机剔除 5 个个体, 再均衡分成 60 部分. 一般地, 用系统抽样从含有 N 个个体的总体中抽取一个容量为 n 的样本,其操作 步骤如何? 第一步,将总体的 N 个个体编号.
第 26 页

第二步,确定分段间隔 k,对编号进行分段. 第三步,在第 1 段用简单随机抽样确定起始个体编号 l. 第四步,按照一定的规则抽取样本.

分层抽样
1. 分层抽样的定义: 若总体由差异明显的几部分组成,抽样时,先将总体分成互不交叉的层,然 后按照一定的比例, 从各层独立地抽取一定数量的个体,再将各层取出的个体合 在一起作为样本,这样的抽样叫做分层抽样. 所以分层抽样又称类型抽样. ●应用分层抽样应遵循以下要求及具体步骤: ⑴分层:将相似的个体归入一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不 交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则。 ⑵分层抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每 层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等。 ★一般地,分层抽样的操作步骤如何? 第一步,计算样本容量与总体的个体数之比. 第二步,将总体分成互不交叉的层,按比例确定各层要抽取的个体数. 第三步,用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应数量的个体. 第四步,将各层抽取的个体合在一起,就得到所取样本 2. 简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样的类比学习
方法 类别 共同 特点 抽样特征 相互联系 适应范围

简单随 机抽样 系统 抽样 抽样过 程中每 个个体 被抽取 的概率 相等

从总体中 逐个不放 回抽取 将总体分成 均衡几部 分,按规则 关联抽取 将总体分 成几层, 按比例分 层抽取 用简单随 机抽样抽 取起始号 码 用简单随 机抽样或 系统抽样 对各层抽 样

总体中 的个体 数较少 总体中 的个体 数较多 总体由 差异明 显的几 部分组 成

分层 抽样

练习题:
一、选择题: 1.某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人.为了调查他们的身 体状况,需从他们中抽取一个容量为 36 的样本,最适合抽取样本的方法是 ( ).

第 27 页

A.简单随机抽样 C.分层抽样 层抽样

B.系统抽样 D.先从老年人中剔除一人,然后分

2.某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见,打算从高一年级 2007 名学生中抽取 50 名进行抽查,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽 样从 2007 人中剔除 7 人,剩下 2000 人再按系统抽样的方法进行,则每人入 选的机会( ) B. 均不相等 C. 都相等 D. 无法确定

A. 不全相等

3.有 20 位同学,编号从 1 至 20,现在从中抽取 4 人作问卷调查,用系统 抽样方法确定所 抽的编号为( ) B.2,6,10,14 C.2,4,6,8 D.5,8,

A.5,10,15,20 11,14

4.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点,公 司为了调查产品销售的情况, 需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本, 记这项调查为(1); 在丙地区中有 20 个特大型销售点,要从中抽取 7 个调查其销 售收入和售后服务情况,记这项调查为(2)。则完成(1)、(2)这两项调查宜采用 的抽样方法依次是( ) B.分层抽样法,简单随机抽样 D.简单随机抽样法,分层抽样法

A.分层抽样法,系统抽样法 C.系统抽样法,分层抽样法

5. 某校 1000 名学生中,O 型血有 400 人,A 型血有 250 人,B 型血有 250 人,AB 型血有 100 人,为了研究血型与色弱的关系,要从中抽取一个容量为 40 的样本,按照分层抽样的方法抽取样本,则 O 型血、A 型血、B 型血、AB 型血的 人要分别抽的人数为( A.16、10、10、4 D.15、8、8、9 6. 为了了解广州地区初三学生升学考试数学成绩的情况, 从中抽取 50 本密 封试卷,每本 30 份试卷,这个问题中的样本容量是( ) ) B.14 、 10 、 10 、 6 C.13 、 12 、 12 、 3

第 28 页

A.30

B.50

C.1500

D.150

7. 某单位有技工 18 人、技术员 12 人、工程师 6 人,需要从这些人中抽取 一个容量为 n 的样本.如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取, 都不用剔除个体; 如果容量增加一个,则在采用系统抽样时,需要在总体中剔除 1 个个体,则样本 容量 n 为( A.4 二、填空题 8.(2008·安庆模拟)某校高中生共有 900 人,其中高一年级 300 人,高二 年级 200 人,高 三年级 400 人,现分层抽取容量为 45 的样本,那么高一、高二、高三年级抽取 的人数分别为 . ) B.5 C.6 D.无法确定

9.某牛奶生产线上每隔 30 分钟抽取一袋进行检验,则该抽样方法为①;从 某中学的 30 名数 学爱好者中抽取 3 人了解学习负担情况,则该抽样方法为② .那么①,②分别 为 . 10.下列抽样实验中,最适宜用系统抽样的是 (填序号).

①某市的 4 个区共有 2 000 名学生,且 4 个区的学生人数之比为 3∶2∶8∶ 2,从中抽取 200 人入样; ②某厂生产的 2 000 个电子元件中随机抽取 5 个入样; ③从某厂生产的 2 000 个电子元件中随机抽取 200 个入样; ④从某厂生产的 20 个电子元件中随机抽取 5 个入样; 11.(2008·重庆文)某校高三年级有男生 500 人,女生 400 人,为了解该 年级学生的健康情 况,从男生中任意抽取 25 人,从女生中任意抽取 20 人进行调查,这种抽样方法 是 . 12.某中学有高一学生 400 人,高二学生 300 人,高三学生 200 人,学校团 委欲用分层抽样的 方法抽取 18 名学生进行问卷调查,则下列判断不正确的是 号).
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(填序

①高一学生被抽到的概率最大 ②高三学生被抽到的概率最大 ③高三学生被抽到的概率最小 ④每名学生被抽到的概率相等 13.某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分 别有 40 种、10 种、 30 种、20 种,现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测,若采用分层 抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 .

14.(2008·天津文,11)一个单位共有职工 200 人,其中不超过 45 岁的有 120 人,超过 45 岁的有 80 人.为了调查职工的健康状况, 用分层抽样的方法从全体职工中抽取一 个容量为 25 的样本,应抽取超过 45 岁的职工 人.

15.将参加数学竞赛的 1 000 名学生编号如下 0001,0002,0003,…,1000, 打算从中抽取 一个容量为 50 的样本, 按系统抽样的方法分成 50 个部分,如果第一部分编号为 0001,0002,…,0020,从第一部分随机抽取一个号码为 0015,则第 40 个号码 为 . 16.管理人员从一池塘内捞出 30 条鱼,做上标记后放回池塘。10 天后,又 从池塘内捞出 50 条鱼,其中有标记的有 2 条。根据以上数据可以估计该池塘内 共有 条鱼。

17.某校高中部有三个年级,其中高三有学生 1000 人,现采用分层抽样法抽 取一个容量为 185 的样本,已知在高一年级抽取了 75 人,高二年级抽取了 60 人,则高中部共有__ __学生。

用样本的频率分布估计总体分布
一、我们把样本抽取后,要对样本进行分析来研究总体的分布情况,对样本进 行分析常采取两种 方式:⑴列频率分布表; ⑵做频率分布直方图.

●列频率分布表的步骤:

第 30 页

⑴求极差(即样本中的最大值与最小值的差) ; ⑵决定组距与组数( 组数 ? ⑶将数据分组; ⑷列频率分布表. ●根据频率分布表做频率分布直方图应注意两点: ⑴纵轴的意义:
频率 组距 极差 ) ; 组距

⑵横轴的意义:样本内容(每个矩形下面是组距). 二、典例精析 例 1:下表给出了某校 500 名 12 岁男孩中用随机抽样得出的 120 人的身 高(单位cm)

区间界限 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) 人数 5 8 10 22 33 20 区间界限 [146,150) [150,154) [154,158) 人数 11 6 5
(1)列出样本频率分布表﹔ (2)一画出频率分布直方图; (3)估计身高小于 134cm的人数占总人数的百分比.。

频率/组距 0.036 0.032 0.028

例 2:为了了解高一学生的体能情况,某校 抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试, 将所得数据整理后, 画出频率分布直方图(如
第 31 页

0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004 o 次数

90

100

110

120

130

140

150

图),图中从左到右各小长方形面积之比为 2:4:17:15:9:3,第二小组频数 为 12. (1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少? (2)若次数在 110 以上(含 110 次)为达标,试估计该学校全体高一学生的达标 率是多少? (3)在这次测试中,学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内?请说明理由。 分析:在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率,小长方形 的高与频数成正比,各组频数之和等于样本容量,频率之和等于 1。

1.根据某水文观测点的历史统计数据,得到某条河流水位的频率分布直方图如下.从图中 可以看出,该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是( ) A.48 米 B.49 米 C.50 米 D.51 米

2.常用的抽样方法有:



3.(2002 年新课程卷文第 13 题)据新华社 2002 年 3 月 12 日电,1985 年~2000 年我 国农村人均居住面积如图所示,其中,从
第 32 页

25.0 20.0

年到

年的五年间增长最快.

15.0

1985 1990 1995 2000 4 已知 200 辆汽车通过某一段公路时的时速 的频率分布直方图如右图所示,则时速在
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[60,70] 的汽车大约有_________辆.

0 0 0 0

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04 03 02 01

频率 组距

40 ]

50

60

70

80 时速(km)

5.(12 分)为了解某地初三年级男生的身高情况,从其中的一个学校选取容量为 60 的样 本(60 名男生的身 高),分组情况如下: 分组 频数 频率 (1)求出表中 a,m 的值. 147.5~155.5 6 155.5~163.5 2l a 163.5~171.5 171.5~179.5 m 0.1 (2)画出频率分布直方图和频率折线图

第 33 页

答案:一、选择题:1.D 2.C

3.A

4.B 5.A 6.C 7.C 9.系统抽样,简单随机抽样 10.③ 11.分层抽

二、填空题:8.15,10,20 样法 12.①②③ 13.6 14.10

15.0795

16.750

17.3700

解: (1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小, 因此第二小组的频率为:

4 ? 0.08 2 ? 4 ? 17 ? 15 ? 9 ? 3

又因为频率=

第二小组频数 样本容量 第二小组频数 12 ? ? 150 第二小组频率 0.08

所以

样本容量 ?

(2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为

17 ? 15 ? 9 ? 3 ?100% ? 88% 2 ? 4 ? 17 ? 15 ? 9 ? 3
(3)由已知可得各小组的频数依次为 6,12,51,45,27,9,所以前三组的频数之和为 69, 前四组的频数之和为 114,所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。

第三章
3.1.1 —3.1.2 随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念:

概 率

(1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件; (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试 验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例

nA fn(A)= n 为事件 A 出现的概率:对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数
的增加, 事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上, 把这个常数记作 P (A) , 称为事件 A 的概率。 (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n
第 34 页

nA 的比值 n ,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数
的不断增多,这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率, 概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。 频率在大量重复试验的前 提下可以近似地作为这个事件的概率

3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念: (1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件 (2)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=ф ,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (3)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (4)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件 A 与 B 为对立 事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1— P(B) 2、概率的基本性质: 1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1; 2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于 是有 P(A)=1—P(B); 4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不 会同时发生,其具体包括三种不同的情形: (1)事件 A 发生且事件 B 不发生; (2)事件 A 不发生且事件 B 发生; (3)事件 A 与事件 B 同时不发生,而对立事件是指事件 A 与 事件 B 有且仅有一个发生,其包括两种情形; (1)事件 A 发生 B 不发生; (2)事件 B 发 生事件 A 不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。 3.2.1 —3.2.2 古典概型及随机数的产生

1、 (1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 (2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数;

第 35 页

A包含的基本事件数 ②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 P(A)= 总的基本事件个数

3.3.1—3.3.2 几何概型及均匀随机数的产生

1、基本概念: (1) 几何概率模型: 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积) 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式:

构成事件A的区域长度(面积或体 积) 的区域长度(面积或体 积) P(A)= 试验的全部结果所构成 ;
(3)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每 个基本事件出现的可能性相等.

第 36 页


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