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五年高考三年模拟(数学)-三角函数的图象和性质及三角恒等变换


第四章
第二节

三角函数及三角恒等变换
三角函数的图象和性质及三角恒等变换 第一部分 五年高考荟萃

2009 年高考题 一、选择题
2 1.(2009 年广东卷文)函数 y ? 2 cos ( x ?

?
4

) ? 1是

A.最小

正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为

B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2

解析 因为 y ? 2cos 2 ( x ? A. 答案 A

?

2? ?? ? ? ? ,所以选 ) ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x 为奇函数, T ? 2 4 2? ?

2.(2009 全国卷Ⅰ理)如果函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ?

? 4? ? ,0 ? 中心对称,那么 ? 3 ?

| ? | 的最小值为(
A .

) B.

? 6

? 4

C.

? 3

D.

? 2

解析:

函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ?

? 4? ? ,0 ? 中心对称 ? 3 ?

?2?

4? 4? ? ? ? ? k? ?? ? k? ? 2 ? (k ? Z ) 由此易得 | ? |min ? .故选 C 3 3 3

答案 C 3.(2009 全国卷Ⅰ理)若 解析:令 tan x ? t ,

?
4

?x?

?
2

,则函数 y ? tan 2x tan x 的最大值为
3



?
4

?x?

?
2

?t ? 1,

? y ? tan 2 x tan 3 x ?

2 tan 4 x 2t 4 2 2 2 ? ? ? ? ? ?8 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 ? tan x 1 ? t ? ( 2? ) ? ? t4 t2 t 2 4 4

答案 4..(2009 浙江理)已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 是 ( ...

)

解析 对于振幅大于 1 时,三角函数的周期为 T ? 求,它的振幅大于 1,但周期反而大于了 2? . 答案:D

2? , a

a ? 1,?T ? 2? ,而 D 不符合要

5..(2009 浙江文)已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 是( ...



【命题意图】此题是一个考查三角函数图象的问题,但考查的知识点因含有参数而丰富,结 合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度. 【解析】对于振幅大于 1 时,三角函数的周期为 T ? 要求,它的振幅大于 1,但周期反而大于了 2? . 答案 D 6.(2009 山东卷理)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 图象的函数解析式是( A. y ? cos 2 x ).
2

2? , a

a ? 1,?T ? 2? ,而 D 不符合

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得 4

B. y ? 2cos x

C. y ? 1 ? sin( 2 x ?

?
4

)

D. y ? 2sin x
2

解析 将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移

y ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式为 2

?

? ? 个单位,得到函数 y ? sin 2( x ? ) 即 4 4

y ? 1 ? cos 2x ? 2cos2 x ,故选 B.
答案:B 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析 式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 7.(2009 山东卷文)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 图象的函数解析式是( A. y ? 2cos x
2

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得 4

). B. y ? 2sin x
2

C. y ? 1 ? sin( 2 x ?

?
4

)

D. y ? cos 2 x

解析 将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移

y ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式为 2

?

? ? 个单位,得到函数 y ? sin 2( x ? ) 即 4 4

y ? 1 ? cos 2x ? 2cos2 x ,故选 A.
答案:A 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析 式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 8(2009 安徽卷理)已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的两个相邻交点的距离等于 ? ,则 f ( x ) 的单调递增区间是 A. [k? ? ? , k? ? 5? ], k ? Z 12 12 C. [k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z 3 6 解析 f ( x) ? 2sin(? x ? 由 2 k? ? 答案 C B. [k? ? 5? , k? ? 11? ], k ? Z 12 12 D. [k? ? ? , k? ? 2? ], k ? Z 6 3

?
6

) ,由题设 f ( x) 的周期为 T ? ? ,∴ ? ? 2 ,

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

得, k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

, k ? z ,故选 C

9..(2009 安徽卷文)设函数 导数 的取值范围是

,其中

,则

A.

B.
x ?1

C.

D.

解析 f ?(1) ? sin ? ? x2 ? 3 cos ? ? x

? sin ? ? 3 cos ? ? 2sin(? ? ) 3

?

? ? ?0,

? ? 2 ? ? 5 ? ? ? ? ? sin(? ? ) ? ? ,1? ? f ?(1) ? ? ? 2, 2 ? ,选 D 3 ? 2 ? ? 12 ?

10.(2009 江西卷文)函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x 的最小正周期为 A. 2? 答案:A 解析 由 f ( x) ? (1 ? 3 tan x) cos x ? cos x ? 3 sin x ? 2sin( x ? B.

3? 2

C. ?

D.

? 2

?
6

) 可得最小正周期为

2? ,故选 A.
11.(2009 江西卷理)若函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x , 0 ? x ? B. 2 C. 3 ? 1 D. 3 ? 2

?
2

,则 f ( x ) 的最大值为

A.1 答案:B

解析 因为 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x = cos x ? 3 sin x = 2 cos( x ? 当x?

?
3

)

?
3

是,函数取得最大值为 2. 故选 B

12.(2009 湖北卷理)函数 y ? cos(2 x ?

?
6

) ? 2 的图象 F 按向量 a 平移到 F ' , F ' 的函数解析

式为 y ? f ( x), 当 y ? f ( x) 为奇函数时,向量 a 可以等于

A.( ?

?
6

, ?2)

B.( ?

?
6

, 2)

C.( , ?2) 6

?

D.( , 2) 6

?

答案 B 解析 直接用代入法检验比较简单.或者设 a ? ( x?, y?) ,根据定义

v

y ? y? ? cos[2( x ? x?) ? ] ? 2 ,根据 y 是奇函数,对应求出 x? , y? 6
13.(2009 全国卷Ⅱ理)若将函数 y ? tan ? ? x ?

?

? ?

??

? ? ?? ? 0 ? 的图像向右平移 6 个单位长度 4?

后,与函数 y ? tan ? ? x ?

? ?

??

? 的图像重合,则 ? 的最小值为 6?

A.

1 6

B.

1 4
?

C.

1 3

D.

1 2

解析: y ? tan ? ? x ?

? ?

??

向右平移 个单位 ? ? ?? ? 6 ? y ? tan[? ( x ? ) ? ] ? tan ? ? x ? ? ? ?????? 4? 6 4 6? ?

?


?
4

?

?
6

? ? k? ?

? ? 0 ??min

1 ? ? ? 6k ? ( k ? Z ) , 6 2 1 ? .故选 D 2

?

答案 D 14..(2009 福建卷理)函数 f ( x) ? sin x cos x 最小值是 A.-1 答案 B 解析 ∵ f ( x) ? B. ? ( D.1 )

1 2

C.

1 2

1 1 sin 2 x ∴ f ( x) min ? ? .故选 B 2 2

15.(2009 辽宁卷理)已知函数 f ( x ) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示, f ( ) ? ?

?

2

2 ,则 3

f (0) =(
A. ?

) B.

2 3

2 3

C.-

1 2

D.

1 2

2π 解析 由图象可得最小正周期为 3 2π 2π π 7π 于是 f(0)=f( ),注意到 与 关于 对称 3 3 2 12

2 2π π 所以 f( )=-f( )= 3 2 3
答案 B 16. (2009 全国卷Ⅰ文) 如果函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 ( 的最小值为 A.

4? , 0) 中心对称, 那么 ? 3

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

【解析】本小题考查三角函数的图象性质,基础题。

解:

函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ?

? 4? ? ,0 ? 中心对称 ? 3 ?

?2?

4? ? 13? ? ? ? ? k? ? ? ? ? k? ? (k ? Z ) 由此易得 | ? |min ? .故选 A 3 2 6 6

? / / 17. (2009 湖北卷文) 函数 y ? cos(2 x ? ) ? 2 的图像 F 按向量 a 平移到 F , F 的解析式 y=f(x), 6
当 y=f(x)为奇函数时,向量 a 可以等于

? A. ( ,?2) 6
答案 D

? B. ( ,2) 6

C. (?

?
6

,?2)

D. (?

?
6

,2)

解析 由平面向量平行规律可知,仅当 a ? ( ?

?
6

, 2) 时,

F ? : f ( x ) ? cos[2( x ?

?
6

)?

?
6

] ? 2 = ? sin 2 x 为奇函数,故选 D.

18.(2009 湖南卷理)将函数 y=sinx 的图象向左平移 ? ( 0 ? ? <2 ? ) 的单位后,得到函数 y=sin ( x ? A.

? 6

? ) 的图象,则 ? 等于 6 5? B. 6

(D) C.

7? 6

D.

11? 6

答案 D 解析 由函数 y ? sin x 向左平移 ? 的单位得到 y ? sin( x ? ? ) 的图象,由条件知函数

y ? sin( x ? ? ) 可化为函数 y ? sin( x ? ) ,易知比较各答案,只有 6 11? ? y ? sin( x ? ) ? sin( x ? ) ,所以选 D 项 6 6
19.(2009 天津卷理)已知函数 f ( x) ? sin(? x ?

?

?

4

)( x ? R,? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为

了得到函数 g ( x) ? cos? x 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象

? 个单位长度 8 ? C 向左平移 个单位长度 4
A 向左平移 解析:由题知 ? ? 2 ,所以

? 个单位长度 8 ? D 向右平移 个单位长度 4
B 向右平移

【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换,基础题。

f ( x ) ? sin( 2x ?
答案 A 二、填空题

?

) ? cos[ ? ( 2 x ? )] ? cos(2 x ? ) ? cos 2( x ? ) ,故选择 A 4 2 4 4 8

?

?

?

?

20. (2009 江苏卷) 函数 y ? A sin(? x ? ? )( A, ? , ? 为常数,A ? 0, ? ? 0 ) 在闭区间 [?? , 0] 上的图象如图所示,则 ? = 答案 3 解析 考查三角函数的周期知识 .

3 2 T ? ? , T ? ? ,所以 ? ? 3 , 2 3

21(2009 宁夏海南卷理)已知函数 y=sin( ? x+ ? ) ( ? >0, - ? ? ? < ? )的图像如图所示, 则

? =________________

T?
解析:由图可知,

5? 4 ?4 ? ,?? ? , 把 ? 2? ,1? 代入y=sin ? x ? ? ? 有: 2 5 ?5 ?

9? ?8 ? 1=sin ? ? ? ? ? ,?? ? 10 ?5 ?

答案:

9? 10

22.(2009 宁夏海南卷文)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的图像如图所示,则

? 7? f? ? 12

? ?? ?



答案

0

解析 由图象知最小正周期 T= =0,即 2 sin(3 ?

2 5? ? 2? 2? ? ? )= ( = ,故 ? =3,又 x= 时,f(x) 3 4 4 3 ? 4

?
4

? ? )=0,可得 ? ?

?
4

,所以, f ?

? 7? ? 12

7? ? ? ? ? 2 sin( 3 ? 12 ? 4 ) =0 ?

23.(2009 湖南卷理)若 x∈(0, 答案 2 2 解析 由 x ? (0,

? ? )则 2tanx+tan( -x)的最小值为 2 2

? 1 ) ,知 tan ? ? 0, tan( ? ? ) ? cot ? ? ? 0, 所以 2 2 tan ? ? 1 2 tan ? ? tan( ? ? ) ? 2 tan ? ? ? 2 2, 当且仅当 tan ? 2 时取等号,即最小值是 2 tan ?
?

2 2
24.(2009 年上海卷理)函数 y ? 2cos2 x ? sin 2x 的最小值是_____________________ . 答案 1 ? 2 解析 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ?

2 sin(2 x ? ) ? 1 ,所以最小值为: 1 ? 2 4 ?x ? kx 成立,则实数 k 的取值范围是 25.(2009 年上海卷理)当 0 ? x ? 1时,不等式 sin 2
_______________. 答案 k≤1 解析 作出 y1 ? sin

?

?x
2

与 y 2 ? kx 的图象,要使不等式 sin

?x
2

? kx 成立,由图可知须 k≤1

26. (2009 年上海 的等差数列 ?an ? 满足 a n ? ? ?

卷理) 已知函数 f ( x) ? sin x ? tan x .项数为 27

? ? ?? , ? ,且公差 d ? 0 .若 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a27 ) ? 0 , ? 2 2?

则当 k =____________是, f (ak ) ? 0 . 答案 14 解析 函数 f ( x) ? sin x ? tan x 在 ( ?

? ?

, ) 是增函数,显然又为奇函数,函数图象关于原 2 2

点对称,因为 a1 ? a27 ? a2 ? a26 ? ? ? ? ? 2a14 , 所以 f (a1 ) ? f (a27 ) ? f (a2 ) ? f (a26 ) ? ??? ? f (a14 ) ? 0 ,所以当 k ? 14 时, f (ak ) ? 0 . 27.(2009 上海卷文)函数 f ( x) ? 2cos2 x ? sin 2 x 的最小值是 答案 解析 。

1? 2
f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ,所以最小值为:1 ? 2 4

?

28.(2009 辽宁卷文)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图象如图所示, 则? =

4π 解析 由图象可得最小正周期为 3 2 π 4π ∴T= = ω 3 答案 ? ω=

3 2

3 2

三、解答题 29.(2009 全国卷Ⅰ理)在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知

a 2 ? c 2 ? 2b ,且 sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b
分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) a ? c ? 2b 左侧是
2 2

二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)

sin A cos C ? 3cos A sin C, 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在
已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一:在 ?ABC 中

sin A cos C ? 3cos A sin C, 则由正弦定理及余弦定理

有: a

a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c2 ? a 2 ?3 c, 化简并整理得: 2(a 2 ? c 2 ) ? b2 .又由已知 2ab 2bc

a 2 ? c 2 ? 2b ? 4b ? b2 .解得 b ? 4或b ? 0(舍) .
解法二:由余弦定理得: a ? c ? b ? 2bc cos A .又 a ? c ? 2b , b ? 0 。
2 2 2 2 2

所以 b ? 2c cos A ? 2 ?????????????① 又 sin A cos C ? 3cos A sin C ,? sin A cos C ? cos A sin C ? 4 cos A sin C

sin( A ? C ) ? 4cos A sin C ,即 sin B ? 4 cos A sin C
由正弦定理得 sin B ?

b sin C ,故 b ? 4c cos A ?????????② c

由①,②解得 b ? 4 。 评析:从 08 年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提 高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒:两纲中明确不再考的 知识和方法了解就行,不必强化训练。 30.(2009 北京文) (本小题共 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?

解析 本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的 最值等基础知识,主要考查基本运算能力. 解(Ⅰ)∵ f ? x ? ? 2sin ?? ? x ? cos x ? 2sin x cos x ? sin 2x , ∴函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? . (Ⅱ)由 ?

?
6

?x?

?
2

??

?
3

? 2 x ? ? ,∴ ?

3 ? sin 2 x ? 1 , 2

∴ f ( x ) 在区间 ? ?

3 ? ? ?? . , ? 上的最大值为 1,最小值为 ? 2 ? 6 2?

31.(2009 北京理) (本小题共 13 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ? (Ⅰ)求 sin C 的值;

?
3

, cos A ?

4 ,b ? 3 。 5

(Ⅱ)求 ?ABC 的面积. 解析 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础 知识,主要考查基本运算能力. 解(Ⅰ)∵A、B、C 为△ABC 的内角,且 B ? ∴C ?

?
3

, cos A ?

2? 3 ? A,sin A ? , 3 5

4 , 5

∴ sin C ? sin ?

3 1 3? 4 3 ? 2? ? . ? A? ? cos A ? sin A ? 2 10 ? 3 ? 2
3 3? 4 3 , ,sin C ? 5 10

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 sin A ? 又∵ B ?

, b ? 3 ,∴在△ABC 中,由正弦定理, 3 b sin A 6 ? . ∴a ? sin B 5
∴△ABC 的面积 S ?

?

1 1 6 3 ? 4 3 36 ? 9 3 ab sin C ? ? ? 3 ? ? 2 2 5 10 50

32.(2009 江苏卷) 设向量 a ? (4cos ?,sin ?), b ? (sin ?,4cos ?), c ?(cos ?, ? 4sin ?) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b . 【解析】 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角 的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。满分 14 分。

33.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=cos(2x+ (1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期.

? 2 )+sin x. 3

(2)

设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB=

1 c 1 , f ( ) ? ? ,且 C 为锐角,求 sinA. 3 2 4

解: (1) f(x)=cos(2x+

? ? ? 1 ? cos 2 x 1 3 2 )+sin x.= cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? ? ? sin 2 x 3 3 3 2 2 2
1? 3 ,最小正周期 ? . 2
所以 sin C ?

所以函数 f(x)的最大值为

(2) f ( ) =

c 2

1 1 3 ? sin C =- , 4 2 2

3 , 2

因为 C 为锐角,

所以

C?

?
3

, cosB=

又因为在 ? ABC 中,

1 , 3

所以

sin B ?

2 3, 3

所以

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

2 1 1 3 2 2? 3 . 2? ? ? ? 3 2 3 2 6

【命题立意】:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的 性质以及三角形中的三角关系. 34.(2009 山东卷文)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=2 sin x cos (1)
2

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

求 ? .的值; 在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ?

(2) 角 C..

2, f ( A) ?

3 ,求 2

解: (1) f ( x) ? 2sin x ?

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? )
因为函数 f(x)在 x ? ? 处取最小值,所以 sin(? ? ? ) ? ?1 ,由诱导公式知 sin ? ? 1 ,因为

0 ? ? ? ? ,所以 ? ?
(2)因为 f ( A) ?

?
2

.所以 f ( x) ? sin( x ?

?
2

) ? cos x

? 3 3 ,所以 cos A ? ,因为角 A 为 ? ABC 的内角,所以 A ? .又因为 6 2 2

a ? 1, b ? 2, 所以由正弦定理,得
因为 b ? a ,所以 B ?

a b b sin A 1 2 ? ,也就是 sin B ? , ? 2? ? sin A sin B a 2 2

3? . 4 4 ? 3? ? ? 7? ? 3? ? ? . 当 B ? 时, C ? ? ? ? ? ;当 B ? 时, C ? ? ? ? 4 4 6 4 12 6 4 12

?

或B ?

【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数 的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合. 35.(2009 全国卷Ⅱ文) (本小题满分 12 分)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、 c, cos( A ? C ) ? cos B ?

3 2 , b ? ac ,求 B. 2

解析: 本题考查三角函数化简及解三角形的能力, 关键是注意角的范围对角的三角函数值的 制约,并利用正弦定理得到 sinB= cos(A ? C)+cosB=

3 ? (负值舍掉),从而求出 B= 。 2 3

解:由

3 及 B=π ? (A+C) 2

cos(A ? C) ? cos(A+C)=

3 , 2 3 , 2

cosAcosC+sinAsinC ? (cosAcosC ? sinAsinC)= sinAsinC=
2

3 . 4

又由 b =ac 及正弦定理得

sin 2 B ? sin A sin C,
故 sin B ?
2

3 , 4


sin B ?
于是 B= 又由

3 2

sin B ? ?

3 (舍去) , 2

2 π π 或 B= . 3 3

b 2 ? ac 知 b ? a 或 b ? c

所以

B=

π 。 3

36.(2009 江西卷文) (本小题满分 12 分)

在△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , A ? (1)求 C ; (2)若 CB ? CA ? 1 ? 3 ,求 a , b , c . 解: (1)由 (1 ? 3)c ? 2b

?
6

, (1 ? 3)c ? 2b .



b 1 3 sin B ? ? ? c 2 2 sin C

sin(? ?
则有

?

6 sin C

? C)

?

sin

得 cot C ? 1 即 C ? (2) 由 CB ? CA ? 1 ? 3

?
4

5? 5? cos C ? cos sin C 1 3 1 3 6 6 = cot C ? ? ? 2 2 2 2 sin C

.

推出 ab cos C ? 1 ? 3 ;而 C ?

?
4

,

即得

2 ab ? 1 ? 3 , 2
?a ? 2 ? ? 解得 ?b ? 1 ? 3 ?c ? 2 ? ?

? 2 ab ? 1 ? 3 ? 2 ? ? 则有 ?(1 ? 3)c ? 2b ? a c ? ? ? ? sin A sin C

37.(2009 江西卷理)△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

tan C ?

sin A ? sin B , sin( B ? A) ? cos C . cos A ? cos B

(1)求 A, C ; (2)若 S?ABC ? 3 ? 3 ,求 a , c . 解:(1) 因为 tan C ?

sin A ? sin B sin C sin A ? sin B ? ,即 , cos A ? cos B cos C cos A ? cos B

所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) . 即 2C ? A ? B , 得 C ? 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立).

?
3

,所以. B ? A ?

又因为 sin( B ? A) ? cos C ?

1 ? 5? ,则 B ? A ? ,或 B ? A ? (舍去) 2 6 6

2? 3

得A?

?
4

,B ?

5? 12

(2) S?ABC ?

1 6? 2 ac sin B ? ac ? 3 ? 3 , 2 8
a c ? , 2 3 2 2



a c ? , 即 sin A sin C

得 a ? 2 2, c ? 2 3. 38.(2009 全国卷Ⅱ理)设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,

3 2 , b ? ac ,求 B 。 2 3 3 分析: 由 cos( A ? C ) ? cos B ? , 易想到先将 B ? ? ? ( A ? C ) 代入 cos( A ? C ) ? cos B ? 2 2 cos( A ? C ) ? cos B ?
得 cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ?

3 3 然后利用两角和与差的余弦公式展开得 sin A sin C ? ; 2。 4
2

又由 b ? ac ,利用正弦定理进行边角互化,得 sin B ? sin A sin C ,进而得 sin B ?
2

3 . 2

2? 2? 。大部分考生做到这里忽略了检验,事实上,当 B ? 时,由 3 3 3 1 3 cos B ? ? cos( A ? C ) ? ? ,进而得 cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? ? 2 ? 1 ,矛盾,应舍去。 2 2 2? 2 也可利用若 b ? ac 则 b ? a或b ? c 从而舍去 B ? 。不过这种方法学生不易想到。 3
故B ?

?



评析:本小题考生得分易,但得满分难。 39.(2009 陕西卷理)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 点中,相邻两个交点之间的距离为

?
2

)的图象与 x 轴的交

? 2? , ?2) . ,且图象上一个最低点为 M ( 2 3 ? ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [ , ] ,求 f ( x ) 的值域. 12 2 2? , ?2) 得 A=2. 解(1)由最低点为 M ( 3 ? T ? 2? 2? ? ?2 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 得 = ,即 T ? ? , ? ? 2 2 2 T ? 2? 2? 4? , ?2) 在图像上的 2sin(2 ? ? ? ) ? ?2, 即sin( ? ? ) ? ?1 由点 M ( 3 3 3



4? ? ? ? ? 2 k? ? , k ? Z 3 2

?? ? 2 k? ?

又 ? ? (0,

, 故f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 2 6 6 ? ? ? ? 7? ? 2 x ? ?[ , ] (2) x ? [ , ],      12 2 6 3 6
当 2x ?

?

),?? ?

?

?

11? 6

? ? ? ? 7? = ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最大值 2;当 2 x ? ? 6 2 6 6 6 ? 即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值-1,故 f ( x ) 的值域为[-1,2] 2
40. (2009 湖北卷文) 在锐角△ABC 中, a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 所对的边, 且 3a ? 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小: (Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为

3 3 2

,求 a+b 的值。

解(1)由 3a ? 2c sin A 及正弦定理得,

a 2sin A sin A ? ? c sin C 3

Q sin A ? 0,? sin C ?

3 2

Q ?ABC 是锐角三角形,? C ?
(2)解法 1: Q c ?

?
3

7, C ?

?
3

. 由面积公式得

1 ? 3 3 ab sin ? ,即ab ? 6        ① 2 3 2
由余弦定理得

a 2 ? b 2 ? 2ab cos

?
3
2

? 7, 即a 2 ? b 2 ? ab ? 7     ②

由②变形得 (a+b) ? 25, 故a ? b ? 5 解法 2:前同解法 1,联立①、②得

?a 2 ? b2 ? ab ? 7 ?a 2 ? b2=13   ?? ? ?ab ? 6 ?ab ? 6
消去 b 并整理得 a ? 13a ? 36 ? 0 解得 a ? 4或a ? 9
4 2 2 2

所以 ?

?a ? 2 ?a ? 3 故a ?b ? 5 或? ?b ? 3 ?b ? 2

40.(2009 湖南卷理)在 ?ABC ,已知 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC ? 3BC ,求角 A,B,C 的
2

大小. 解:设 BC ? a, AC ? b, AB ? c

由 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC 得 2bc cos A ? 3bc ,所以 cos A ? 又 A ? (0, ? ), 因此 A ?

3 2

?
6
2

2 由 3 AB ? AC ? 3BC 得 bc ? 3a 2 ,于是 sin C ? sin B ? 3 sin A ?

3 4

所以 sin C ? sin(

5? 3 1 3 3 , sin C ? ( cos C ? ,因此 ? C) ? sin C ) ? 6 4 2 2 4

? 2sin C ? cos C ? 2 3sin 2 C ? 3,sin 2C ? 3 cos 2C ? 0 ,既 sin(2C ? ) ? 0 3 ? ? 5? ? 4? 由 A= 知 0 ? C ? ,所以 ? , 2C ? ? ,从而 3 6 6 3 3 ? 2? ? ? ,故 2C ? ? 0, 或 2C ? ? ? , ,既 C ? , 或 C ? 6 3 3 3 ? 2? ? ? ? 2? A? ,B ? ,C ? , 或 A ? , B ? ,C ? 6 3 6 6 6 3 ? 41.(2009 福建卷文) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 , | ? |? 2 ? ?? sin ? ? 0, 求 ? 的值; (I)若 cos cos, ? ? sin 4 4
(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于

? ,求 3

函数 f ( x ) 的解析式;并求最小正实数 m ,使得函数 f ( x ) 的图像象左平移 m 个单位所对应 的函数是偶函数。 解法一: (I) 即 cos( 由 cos

?
4

cos ? ? sin

?
4

? ? ) ? 0 又 | ? |?

?
2

3? ? ? sin ? ? 0 得 cos cos ? ? sin sin ? ? 0 4 4 4

,?? ?

?

4

(Ⅱ)由(I)得, f ( x) ? sin(? x ? 依题意,

?
4

)

T ? ? 2 3

又T ?

2?

?

,

故函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为

?? ? g ( x) ? sin ?3( x ? m) ? ? 4? ?
g ( x) 是偶函数当且仅当 3m ?
即m ?

?
4

? k? ?

?
2

(k ? Z )

k? ? ? (k ? Z ) 3 12

从而,最小正实数 m ? 解法二: (I)同解法一

? 12

(Ⅱ)由(I)得, f ( x) ? sin(? x ? 依题意, 又T ?

?
4

)

2?

T ? ? 2 3

?

,故 ? ? 3,? f ( x) ? sin(3 x ?

?
4

)

函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g ( x) ? sin ?3( x ? m) ?

? ?

??
4? ?

g ( x) 是偶函数当且仅当 g (? x) ? g ( x) 对 x ? R 恒成立
亦即 sin( ?3 x ? 3m ?

?

) ? sin(3 x ? 3m ? ) 对 x ? R 恒成立。 4 4

?

? sin(?3x) cos(3m ? ) ? cos(?3 x) sin(3m ? ) 4 4 ? sin 3x cos(3m ? ) ? cos 3 x sin(3m ? ) 4 4
即 2sin 3 x cos(3m ?

?

?

?

?

?

? cos(3m ? ) ? 0 4
故 3m ?

?

4

) ? 0 对 x ? R 恒成立。

?

?m ?

k? ? ? (k ? Z ) 3 12

4

? k? ?

?
2

(k ? Z )

从而,最小正实数 m ?

? 12

42.(2009 重庆卷理) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分. )

设函数 f ( x) ? sin(

?x ?

?x ? ) ? 2 cos 2 ?1 . 4 6 8

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ] 时 y ? g ( x) 的最大值. 解: (Ⅰ) f ( x ) = sin

4 3

?
4

x cos

?
6

? cos

?
4

x sin

?
6

? cos

?
4

x

=

3 ? 3 ? sin x ? cos x 2 4 2 4

= 3 sin(

?

x? ) 4 3

?

故 f ( x ) 的最小正周期为 T =

2?

? 4

=8

(Ⅱ)解法一: 在 y ? g ( x) 的图象上任取一点 ( x, g ( x)) ,它关于 x ? 1 的对称点 (2 ? x, g ( x)) . 由题设条件,点 (2 ? x, g ( x)) 在 y ? f ( x) 的图象上,从而

g ( x) ? f (2 ? x) ? 3 sin[ (2 ? x) ? ] 4 3
= 3 sin[

?

?

?

2

?

?

x? ) 4 3 4 3 ? ? ? 2? 当 0 ? x ? 时, ? x ? ? ,因此 y ? g ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值为 3 4 3 4 3 3
= 3 cos(

?

x? ] 4 3

?

?

? 3 gm a ? 3 c o s? x 3 2
解法二: 因区间 [0, ] 关于 x = 1 的对称区间为 [ , 2] ,且 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图象关于 x = 1 对称,故 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 y ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值 由(Ⅰ)知 f ( x ) = 3 sin( 当

4 3

2 3

?

4 3

2 ? ? ? ? ? x ? 2 时, ? ? ? ? 3 6 4 3 6

x? ) 4 3

?

2 3

因此 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为

4 3

gmax ? 3 sin

?
6

?

3 2
2? . 3

. 42.(2009 重庆卷文) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分. ) 设函数 f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x)2 ? 2cos2 ? x(? ? 0) 的最小正周期为 (Ⅰ)求 ? 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 的图像是由 y ? f ( x) 的图像向右平移

? 个单位长度得到,求 2

y ? g ( x) 的单调增区间.
解: (Ⅰ)

f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x)2 ? 2cos2 ? x ? sin 2 ? x ? cos2 ? x ? sin 2? x ?1 ? 2cos 2? x
? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 ? 2 sin(2? x ? ) ? 2 4 3 2? 2? ? 依题意得 ,故 ? 的最小正周期为 . 2 2? 3
(Ⅱ)依题意得: g ( x) ? 由 2 k? ?

?

? ?? 5? ? 2 sin ?3( x ? ) ? ? ? 2 ? 2 sin(3x ? ) ? 2 2 4? 4 ?

5? ? ≤ 2 k? ? (k ? Z ) 2 4 2 2 ? 2 7? (k ? Z ) \ 解得 k? ? ≤ x ≤ k? ? 3 4 3 12 2 ? 2 7? ] (k ? Z ) 故 y ? g ( x) 的单调增区间为: [ k? ? , k? ? 3 4 3 12 ≤ 3x ?
43.(2009 上海卷文) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题 满分 8 分 . 已知Δ ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m ? (a, b) ,

?

n?( s i B n
(1) (2)

, , s A ip n ? () b ? 2, a ? 2) .

若 m // n ,求证:Δ ABC 为等腰三角形; 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C =

? ,求Δ ABC 的面积 . 3

证明: (1) Q m // n,? a sin A ? b sin B,

u v v

即a?

a b ? b? ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a ? b 2R 2R

? ?ABC 为等腰三角形
解(2)由题意可知 m // p ? 0,即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0

u v u v

? a ? b ? ab
由余弦定理可知, 4 ? a2 ? b2 ? ab ? (a ? b)2 ? 3ab

即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0
? ab ? 4(舍去ab ? ?1)
?S ? 1 1 ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 2 2 3

2005——2008 年高考题 一、选择题 1.(2008 山东)函数 y ? ln cos x( ?

?

? x ? ) 的图象是 2 2

?





答案:A 解析 本题考查复合函数的图象。

?? ? ? y ? ln cos x ? ? ? x ? ? 是偶函数,可排除 B,D; 由 cos x ? 1 ? ln cos x ? 0 排除 C,选 A 2? ? 2
2.(海南、宁夏理科卷)已知函数 y ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0) )在区间 ?0, 2?? 的图像如下:那 么 ? =( A.1 ) B.2 C. y

1 2

D.

1 3

1 O 1



x

答案:B 解析 由图象知函数的周期 T ? ? ,所以 ? ?

2? ?2 T


3、 (2008 广东)已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin 2 x, x ? R ,则 f ( x ) 是(

? 的奇函数 2 ? C、最小正周期为 ? 的偶函数 D、最小正周期为 的偶函数 2 1 1 ? cos 4 x 2 2 2 2 解析 f ( x) ? (1 ? cos 2 x) sin x ? 2 cos x sin x ? sin 2 x ? 2 4
A、最小正周期为 ? 的奇函数 B、最小正周期为 答案:D 4.(2008 海南、宁夏文科卷)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为( A. -3,1 B. -2,2 C. -3, )

3 2
2

D. -2,

3 2

1? 3 ? 解析 ∵ f ? x ? ? 1 ? 2sin x ? 2sin x ? ?2 ? sin x ? ? ? 2? 2 ?
2

∴当 sin x ? 答案:C

1 3 时, f max ? x ? ? ,当 sin x ? ?1 时, f min ? x ? ? ?3 ;故选C; 2 2

5.(2007 福建)已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ? 象( )

? ?

?? ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图 ??

A.关于点 ? , 0 ? 对称

?? ?? ?? ??

? ? ? ?

B.关于直线 x ?

? 对称 ? ? 对称 ?

C.关于点 ? , 0 ? 对称 答案 A 6.(2007 广东)若函数 f ( x) ? sin x ?
2

D.关于直线 x ?

1 ( x ? R ) ,则 f ( x) 是( 2



A.最小正周期为

π 的奇函数 2

B.最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数

C.最小正周期为 2 π 的偶函数 答案 D

7.(2007 海南、宁夏)函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ? π ? ? 在区间 ? ? ,π ? 的简图是( 3? ? 2 ?



答案 A 8.(2007 浙江)若函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) , x ? R (其中 ? ? 0 , ? ? 期是 ? ,且 f (0) ? 3 ,则( )

? )的最小正周 2

1 ? ,? ? 2 6 ? C. ? ? 2,? ? 6
A. ? ? 答案 D

1 ? ,? ? 2 3 ? D. ? ? 2,? ? 3
B. ? ?

9. (2006年天津) 已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x( a、 b为常数,a ? 0 ,x ? R ) 在x ?

?
4

3? ? x) 是( ) 处取得最小值,则函数 y ? f ( 4
A.偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 C.奇函数且它的图象关于点 ( 答案 D B.偶函数且它的图象关于点 (

3? ,0) 对称 2

3? ,0) 对称 2

D.奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称

sin x ? a 10.(2006年安徽卷)设 a ? 0 ,对于函数, f ? x? ? (0 ? x ? ? ) 下列结论正确的是 sin x
( ) B.有最小值而无最大值 D.既无最大值又无最小值

A.有最大值而无最小值 C.有最大值且有最小值

答案 B 11.(2005 全国卷Ⅰ) (6)当 0 ? x ?

?
2

时,函数 f ( x) ?

1 ? cos 2 x ? 8 sin 2 x 的最小值为 sin 2 x
D. 4 3

A.2 答案 C 二、填空题

B. 2 3

C.4

12.(2008 江苏卷) f ( x ) ? cos( wx ?

?
6

) 的最小正周期为

解析 本小题考查三角函数的周期公式。 T ? 答案:10

2? ? ? ? w ? 10 w 5

? ,其中 w ? 0 ,则 w ? 5

13.(广东理科卷)已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x , x ? R ,则 f ( x ) 的最小正周期 是 .
2

解析 f ( x) ? sin x ? sin x cos x ?

T?

2? ?? 。 2

1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ,所以函数的最小正周期 2 2

答案: ? 14.(2007 安徽)函数 f ( x) ? 3sin ? 2 x ? (写出所有正确结论的编号 ) . .. ①图象 C 关于直线 x ? ②图象 C 关于点 ?

? ?

π? ? 的图象为 C ,如下结论中正确的是__________ 3?

11 π 对称; 12

? 2π ? , 0 ? 对称; ? 3 ? ? π 5π ? , ? 内是增函数; ? 12 12 ?
π 个单位长度可以得到图象 C 3

③函数 f ( x ) 在区间 ? ?

④由 y ? 3sin 2 x 的图角向右平移 答案 ①②③

15.(2007 四川)下面有五个命题: ①函数 y=sin x-cos x 的最小正周期是 ? .
4 4

②终边在 y 轴上的角的集合是{a|a=

k? , k ? Z }. 2

③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点. ④把函数 y ? 3 sin( 2 x ? ⑤函数 y ? sin( x ?

? ? )的图象向右平移 得到 y ? 3 sin 2 x的图象 . 3 6

? )在〔0,?〕上是减函数 . 2

其中真命题的序号是 答案 ① ④

三、解答题 16.(2008 山东)已知函数 f(x)= 3 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )(0 ? ? ? π ,? ? 0) 为偶函 数,且函数 y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 (Ⅰ)求 f(

π . 2

π )的值; 8 π 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到 6

(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向右平移

原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间. 解(Ⅰ)f(x)= 3 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? ) = 2?

? 3 ? 1 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )? 2 ? 2 ?
π ) 6

=2sin( ?x ? ? -

因为 f(x)为偶函数, 所以对 x∈R,f(-x)=f(x)恒成立,

π π )=sin( ?x ? ? - ). 6 6 π π π π 即-sin ?x cos( ? - )+cos ?x sin( ? - )=sin ?x cos( ? - )+cos ?x sin( ? - ), 6 6 6 6 π π 整理得 sin ?x cos( ? - )=0.因为 ? >0,且 x∈R,所以 cos( ? - )=0. 6 6 π π π 又因为 0< ? <π ,故 ? - = .所以 f(x)=2sin( ?x + )=2cos ?x . 6 2 2 2? ? ? 2 ? ,所以 ?  =2 由题意得 ? 2
因此 sin(- ?x ? ? -

故 f(x)=2cos2x. 因为 f ( ) ? 2 cos

?

?
4

? ? 个单位后,得到 f ( x ? ) 的图象,再将所得图象横坐标 6 6 ? ? 伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到 f ( ? ) 的图象. 4 6
(Ⅱ)将 f(x)的图象向右平移个 所以 g ( x) ? f ( 当 2 k? ?

8

? 2.

?

? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 2cos ?2( ? ) ? ? 2cos f ( ? ). 4 6 2 3 ? 4 6 ?

? 2k? ? ? (k∈Z), 3 2? 8? 即 4kπ +≤ ≤x≤4kπ + (k∈Z)时,g(x)单调递减. 3 3 2 ?
因此 g(x)的单调递减区间为 ?4k? ?

?

?

? ?

2? 8? ? ,4k? ? ? 3 3?

(k∈Z)

0 ? ? ? π) , x ? R 的最大值是 1, 17.(2008 广东)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,
其图像经过点 M ? , ? . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ?

?π 1? ? 3 2?

? ?

π? 2?

3 12 , f (? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 5 13

解(1)依题意有 A ? 1 ,则 f ( x) ? sin( x ? ? ) ,将点 M ( 而 0 ? ? ? ? ,?

? 1

? 5 ? ? ? ? ? ,?? ? ,故 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x ; 2 3 6 2 3 12 ? (2)依题意有 cos ? ? , cos ? ? ,而 ? , ? ? (0, ) , 5 13 2

?

? 1 , ) 代入得 sin( ? ? ) ? , 3 2 3 2

3 4 12 5 ?sin ? ? 1 ? ( )2 ? ,sin ? ? 1 ? ( )2 ? , 5 5 13 13
3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 5 13 5 13 65
18.(2007 湖北)已知函数 f ( x) ? cos ? x ?
2

? ?

1 π? ? , g ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x . 12 ?

(I)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值. (II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间. 解: (I)由题设知 f ( x) ?

1 π [1 ? cos(2 x ? )] . 2 6
π ? kπ , 6

因为 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,所以 2 x0 ?

π (k ?Z ) . 6 1 1 π 所以 g ( x0 ) ? 1 ? sin 2 x0 ? 1 ? sin( kπ ? ) . 2 2 6
即 2 x0 ? kπ ? 当 k 为偶数时, g ( x0 ) ? 1 ? 当 k 为奇数时, g ( x0 ) ? 1 ?

1 ? π? 1 3 sin ? ? ? ? 1 ? ? , 2 ? 6? 4 4
1 π 1 5 sin ? 1 ? ? . 2 6 4 4

(II) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1? π ?? 1 ? 1 ? cos ? 2 x ? ?? ? 1 ? sin 2 x ? 2? 6 ?? 2 ?

?

? 3 1? ? π? ? 3 1? 3 1 cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x ? ? ? ? cos2x ? sin 2 x ? ? ? ?? 2 2? ? 6? 2 ? 2 2? 2 ?

1 ? π? 3 ? sin ? 2 x ? ? ? . 2 ? 3? 2
当 2kπ ?

π π π 5π π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,即 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ( k ? Z )时, 2 3 2 12 12

函数 h( x) ?

1 ? π? 3 sin ? 2 x ? ? ? 是增函数, 2 ? 3? 2 ? ? 5π π? . ,kπ ? ? ( k ? Z ) 12 12 ?
π 2

故函数 h( x) 的单调递增区间是 ? kπ ?

0 ? ≤ ) 的图象与 y 轴交于点 19.(2007 江西)如图,函数 y ? 2 cos(? x ? ? )( x ? R,≤

(0,3) ,且在该点处切线的斜率为 ?2 .
(1)求 ? 和 ? 的值; (2) 已知点 A ? , 点 P 是该函数图象上一点, 点 Q( x0,y0 ) 0? ,

y

3
O
A

P

?π ?2

? ?

x

是 PA 的中点,当 y0 ?

3 ?π ? , x0 ? ? ,π ? 时,求 x0 的值. 2 ?2 ? 3 , 2

解: (1)将 x ? 0 , y ? 3 代入函数 y ? 2cos(? x ? ? ) 得 cos ? ? 因为 0 ≤ ? ≤

? ? ,所以 ? ? . 6 2
x ?0

又因为 y? ? ?2? sin(? x ? ? ) , y? 因此 y ? 2cos ? 2 x ?

? ?2 , ? ?

? ,所以 ? ? 2 , 6

? ?

?? ?. 6? ? ? 3 , 2

(2)因为点 A ? , 0 ? , Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点, y0 ?

?? ?2

所以点 P 的坐标为 ? 2 x0 ?

? ?

? ? ,3 ? . 2 ? ?? 5? ? 3 ? . ? 的图象上,所以 cos ? 4 x0 ? ? ? 6? 6 ? 2 ?

又因为点 P 在 y ? 2cos ? 2 x ? 因为

? ?

? 7? 5? 19? ≤ x0 ≤ ? ,所以 ≤ 4 x0 ? ≤ , 2 6 6 6 5? 11? 5? 13? ? ? 从而得 4 x0 ? 或 4 x0 ? . 6 6 6 6 2? 3? 即 x0 ? 或 x0 ? . 3 4

第二部分 三年联考汇编 2009 年联考题 一、选择题 1.(2009 福建省)为了得到函数 y= sin x ? 3 sin x cos x 的图象,可以将函数 y=sin2x 的
2

图象(

)

A.向左平移

1 ? 个单位长度,再向下平移 个单位长度 2 6

1 ? 个单位长度,再向上平移 个单位长度 2 6 1 ? C.向左平移 个单位长度,再向下平移 个单位长度 2 12 1 ? D.向右平移 个单位长度,再向上平移 个单位长度 2 12
B.向右平移 答案 D 2.(2009 厦门一中)把函数 y ?

2 (cos3 x ? sin 3 x) 的图象适当变化就可以得到 2
) B.沿 x 轴方向向左平移

y ? ? sin 3x 的图象,这个变化可以是 (
A.沿 x 轴方向向右平移

? 4
? 12

? 4
? 12

C.沿 x 轴方向向右平移 答案 D 3.(2009 泉州市)

D.沿 x 轴方向向左平移

?? ? 将函数y ? sin ? 2 x ? ?的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移 4? ? ?
4 个单位,所得到的图形对应的函数式是

A. f ? x ? ? sin x
答案 A

B. f ? x ? ? cos x

C. f ? x ? ? sin 4x

D. f ? x ? ? cos 4x

4.(2009 滨州一模)(5)已知 f ( x) ? sin( x ? A.与 g ( x) 的图象相同 C.向左平移 答案 D 5.(2009 青岛一模)设函数 f ( x) ? sin(2 x ? A. f ( x ) 的图像关于直线 x ? B. f ( x ) 的图像关于点 (

?
2

), g ( x) ? cos( x ?

?
2

) ,则 f ( x) 的图象

B.与 g ( x) 的图象关于 y 轴对称 D.向右平移

? 个单位,得到 g ( x) 的图象 2

? 个单位,得到 g ( x) 的图象 2

?
3

) ,则下列结论正确的是





?
3

对称

?
4

, 0) 对称

C.把 f ( x ) 的图像向左平移

? 个单位,得到一个偶函数的图像 12

D. f ( x ) 的最小正周期为 ? ,且在 [0, 答案 C

?
6

] 上为增函数

6.(2009 长郡中学第六次月考)下列命题: ①若 f ( x) 是定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0]上是增函数, ? ? (

? ?

, ) ,则 4 2

f (sin? ) ? f (cos? ) ;
②若锐角 ? 、 ? 满足 cos? ? sin ? , 则 ? ? ? ?

?
2

;

③在 ?ABC 中, “ A ? B ”是“ sin A ? sin B ”成立的充要条件; ④要得到函数 y ? cos( 其中真命题的个数有( A.1 答案 B 7. (2009 长沙一中期末) 函数 f(x)=sin x+ 3 sin x cos x 在区间 ?
2

x ? x ? ? ) 的图象, 只需将 y ? sin 的图象向左平移 个单位. 2 4 2 4
) C.3 D.4

B.2

?? ? ? 上的最大值是( , ?4 2? ?

)

A.1 答案 C

B

1? 3 2

C.

3 2

D.1+ 3

8.(2009 常德期末)若函数 y ? 2 sin(2 x ? ? ) 的图象过点 ( 可能是 A. x ?

?
6

,1) ,则它的一条对称轴方程

?
12

B. x ?

?
6

C. x ?

?
3

D. x ?

5? 12

答案 C
2 9.(2009 衡阳四校联考)已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin x, x ? R ,则 f ( x ) 是

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 ? 的偶函数 答案 D

? 的奇函数 2 ? D.最小正周期为 的偶函数 2
B.最小正周期为

二、填空题 10. (2009 年 4 月北京海淀区高三一模文)函数 y ? sin πx 的最小正周期是 答案 2 11.(2009 淮安 3 月调研)函数 y ? x ? 2 sin x在区间[? 答案 .

3?

?
3
2

2? 2? , ] 上的最大值为 3 3

12. (2009 扬州大学附中 3 月月考) 函数 y ? 1 ? sin ( x ? 答案

?
3

) 的最小正周期是



?

13.(2009 上海十校联考)函数 y ? sin 4 x ? cos4 x 的单调递增区间是______________. 答案

? k? ? k? ? ? , ? k ? Z? ? ? 2 4 2 ? ?

三、解答题 14.(2009 福州三中)已知 a ? (2 cos x,1),b ? (cosx, 3 sin 2x ? m) , f(x)= a ? b 。 (1)求函数在[0,?]上的单调增区间; (2)当 x ? [0,

?

?

? ?

?
6

] 时,f(x)的最大值为 4,求实数 m 的值。

解: (1)依题意得:

f ( x) ? a ? b
? (2 cos x,1) ? (cos? 3 sin 2x ? m)
? 2 cos2 x ? 3 sin 2x ? m
2 ? 3 sin 2 x ? (2 x ? ) ? m ? 1 6
令?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

得 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

k?z

? 2? ? f ( x)在[0, ? ] 上的单调增区间为 [0, ],[ ? ] 6 3,

(2)? x ? [0,

?
6 ?

]

? ? ?

?
6

? 2x ?

?
6

?
2

1 ? ? ? sin( 2 x ? ? ) 2 6 2 1 ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 2 6

?当2 x ?

?
6

?

?
2

即x ?

?
6



f ( x) max ? 2 ? m ? 1
依题意得: 3 ? m ? 4

?m ? 1
15.(2009 枣庄一模)已知函数 f ( x) ? sin ?x ? 3 sin ?x sin(?x ?
2

?
2

)(? ? 0)

的最小正周期为 ?
(1)求 f ( x);

, ]时, 求函数 f ( x) 的值域。 12 2 1 ? cos 2?x ? 3 sin ?x cos ?x 解: (1) f ( x) ? 2

(2)当 x ? [?

? ?

?

3 1 1 ? 1 sin 2?x ? cos2?x ? ? sin(2?x ? ) ? . 2 2 2 6 2

?函数f ( x)的最小正周期为 ? , 且? ? 0,
? 2? ? ? , 解得 ? ? 1. 2?

? f ( x) ? sin( 2 x ?
(2)? x ? [?

?

? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ]. 12 2 6 3 6
?
2 , 即x ?

? ?

1 )? . 6 2

根据正弦函数的图象可得: 当 2x ?

?
6

?

?
3

时,

g ( x) ? sin( 2 x ?
当 2x ?

?
6

) 取最大值 1

?
6

??

?
3

,即x ? ?

?
12



? 3 g ( x) ? sin(2 x ? )取最小值 ? . 6 2
1 3 ? 1 3 ? ? ? sin(2 x ? ) ? ? , 2 2 6 2 2
16. ( 2009 长 郡 中 学 第 六 次 月 考 ) 已 知 函 数

f ( x) ? s

i 2x ? n )( ? s 6

?

i 2x ? n )(? c 6

?

2 o x ?sa(a ? R, a 为常数) .

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (3) 若 x ? [0,

?
2

] 时, f ( x) 的最小值为 ? 2 ,求 a 的值.

解:(1) f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? sin( 2 x ? ) ? a.

?
6

) ? cos 2 x ? a ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? a

? 2 sin( 2 x ?

?
6

∴ f ( x) 的最小正周期 T ? ? . (2) 当 2k? ? 即 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) ,

?
6

? x ? k? ?

?
3

(k ? Z ) 时,函数 f ( x) 单调递增,

故所求区间为 [ k? ? (3) 当 x ? [0,

?
6

, k? ?

?
3

]( k ? Z )

?
2

] 时, 2 x ?

?
6

? [?

? 5?
6 , 6

]

∴当 x ? 0 时 f ( x) 取得最小值, 即 2 sin( ?

?
6

) ? a ? ?2 , ∴ a ? ?1 . x x x cos ? 3 cos 2 . 3 3 3

17.(2009 上海奉贤区模拟考)已知函数 f ( x) ? sin

(1)将 f ( x ) 写成 A sin(?x ? ? ) 的形式,并求其图象对称中心的横坐标; (2)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b =ac,且边 b 所对的角为 x ,试求角 x 的范围及此时
2

函数 f ( x ) 的值域.

x x x f ( x) ? sin cos ? 3 cos 2 3 3 3
=

1 2x 3 2x 3 sin ? cos ? 2 3 2 3 2

= sin(

2x ? 3 ? )? 3 3 2
2x ? ? ) =0, 3 3
-

若 x 为其图象对称中心的横坐标,即 sin(

2x ? ? ? k? , 3 3 3 ? 解得: x ? k? ? (k ? Z ) 2 2
(2) cos x ? 即 cos x ?

a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac ? ? , 2ac 2ac 2ac

1 ? ,而 x ? (0, ? ) ,所以 x ? (0, ] 。 2 3 2x ? ? 8? 2x ? 8? ? ? ( , ] , sin( ? ) ? [sin ,1] , 3 3 3 9 3 3 9

所以 f ( x) ? [sin 18 ( 安

8? 3 3 ? ,1 ? ] 9 2 2
徽 合 肥 2009 模 拟 ) 已 知 函 数

f ( x) ? 2sin x cos( ? x) ? 3 sin(? ? x) cos x ? sin( ? x) cos x 2 2
(1)求函数 y ? f ( x) 的最小正周期和最值; (2)指出 y ? f ( x) 图像经过怎样的平移变换后得到的图像关于原点对称。 .解: (1) y ? f ( x) 最小正周期 T ? ?

?

?

3 5 3 1 y ? f ( x) 的最大值为 ? 1 ? ,最小值为 ? 1 ? 2 2 2 2
(2) ,∵ y ?

???6 分

3 ? ? 3 ? sin(2 x ? )左移 单位,下移 单位y ? sin 2 x 2 6 12 2
2009 年 高 考 模 拟 试 题 ) 设 函 数

19.( 山 东 省 聊 城 市

f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? a 。
(1)写出函数 f ( x) 的最小正周期及单调递减区间;

(2)当 x ? ??

3 ? ? ?? , ? 时,函数 f ( x) 的最大值与最小值的和为 ,求 a 的值。 2 ? 6 3?

解(1) f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x ? 1 sin 2 x ? ? a ? sin(2 x ? ) ? a ? , 2 2 6 2

?T ? ? .



?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

3? ? 2? ? 2k? , 得 ? kx ? x ? ? k? . 2 6 3

故函数 f ( x) 的单调递减区间是 ? (2)? ? 当 x ? ??

2? ?? ? ? k? , ? k? ? (k ? Z) 。 3 ?6 ?

?
6

?x?

?
3

,? ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? 1 ? . ? ? ? sin( 2 x ? ) ? 1. 6 2 6

1 1 1 ? ? ?? , ? 时,原函数的最大值与最小值的和 (1 ? a ? ) ? (? ? a ? ) 2 2 2 ? 6 3?

?

3 ,? a ? 0 2
20.(2009 玉溪市民族中学第四次月考)已知函数 f ( x) ? sin

x x x cos ? cos 2 ? 2. 2 2 2

? x ? ? )? B (A ? 0, ? ? 0, ? ? [0,? 2 的形式,并指出 )) (Ⅰ)将函数 f ( x ) 化简成 A sin(
f ( x) 的最小正周期;
(Ⅱ)求函数 f ( x )在[? ,

17? ] 上的最大值和最小值 12

解 (Ⅰ) f(x)=

1 1 ? cos x 1 3 2 ? 3 sinx+ ? 2 ? (sin x ? cos x) ? ? sin(x ? ) ? . 2 2 2 2 2 4 2

故 f(x)的最小正周期为 2π {k∈Z 且 k≠0} 。 (Ⅱ)由π ≤x≤

17? 5? ? 5? 2 ? 3 ? x? ? sin(x ? ) ? 在 ,得 .因为 f(x)= 12 4 4 3 2 4 2

[? ,

5? 5? 17? 5? 3? 2 , ]上是减函数, 在[ ]上是增函数, 故当 x= 时, f(x)有最小值- ; 4 4 12 4 2

而 f(π )=-2,f(

17 6? 6 π )=- <-2,所以当 x=π 时,f(x)有最大值-2. 12 4

21.(2009 玉溪一中期中) f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的一条对称轴

是直线 x ?

?
8



(Ⅰ)求 ? ; (Ⅱ)画出函数 y ? f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的图像。 解: (Ⅰ)? x ?

?

?

?
4

? ? ? k? ?

?

8 2

是函数 y ? f ( x) 的图像的对称轴,? sin( 2 ? , k ? Z.
3? )知 4

?
8

? ? ) ? ?1,

? ?? ? ? ? 0, ? ? ?

3? . 4

(Ⅱ)由 y ? sin( 2 x ?

x

0

? 8
-1

3? 8
0

5? 8
1

7? 8
0

?
? 2 2

y

?

2 2

[0, ? ]上图像是 故函数 y ? f ( x)在区间

22. ( 福 州 市 普 通 高 中

2009

年 高 中 毕 业 班 质 量 检 查 ) 已 知

f ( x) ? sin 2 ?x ?

3 1 sin 2?x ? ( x ? R, ? ? 0).若f ( x) 的最小正周期为 2? 。 2 2

(I)求 f ( x)的表达式和 f ( x) 的单调递增区间; (II)求 f ( x)在区间[? 解: (I)由已知 f ( x) ? sin

? 5?
6 , 6

] 的最大值和最小值

2

?x ?

8 1 sin 2?x ? ( x ? R, ? ? 0) 2 2

?

1 8 1 8 1 (1 ? cos 2?x) ? sin 2?x ? ? sin 2?x ? cos 2?x 2 2 2 2 2

? sin(2?x ?

?

6

) ????3分 2? 1 ? 2? ? 1 ? ? ? ???? 4分 2? 2

又由f ( x)的周期为2? ,2? ? ? f ( x) ? sin(x ? 2k? ?

?
6

) ????5分

?
2

3 2? 即f ( x)单调递增区间的为 [2k? ? ,2k? ? ](k ? z ) ???? 7分 3 3 ? 5? ? 5? ? ? ? 5? ? ]? ? ? x ? ?? ? ? x? ? ? (II) x ? [? , 6 6 6 6 6 6 6 6 6

? x?

?
6

? 2k? ?

?
2

(k ? z ) ? 2k? ?

?

? x ? 2k? ?

2? (k ? z ) 3

?

??

?
3

? x?

?
6

?

2? 3

? sin(? ) ? sin(x ? ) ? sin ????10分 3 6 2 8 ? ?? ? sin(x ? ) ? 1????13分 2 6 ? 5? 8 f ( x)在区间[? , ]的最大值和最小值分别 为1和 ? ????13分 6 6 2
23. ( 2009 届 山 东 省 实 验 中 学 高 三 年 级 第 四 次 综 合 测 试 ) 已 知 函 数

?

?

?

f ( x) ? s i n x?c o x s ? 3 c o 2s x ?
(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 的单调递增区间;

1 3 ( x ? R) . 2

(3)求 f ( x) 图象的对称轴方程和对称中心的坐标. 解: f ( x) ?

1 cos 2 x ? 1 1 sin 2 x ? 3 ? 3 2 2 2

? ? ? = ? 1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? = sin(2 x ? ) ?2 ? 2 3 ? ?
(1)T=π ; (2)由 ?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? (k ? z )

可得单调增区间 [k? ?

?
12

, k? ?

5 ? ] ( k ? z) . 12

(3)由 2 x ? 由 2x ?

?
3

?

?
2

? k? 得对称轴方程为 x ?

?
3

? k? 得对称中心坐标为 (

?
6

?

k? ,0)( k ? z ) . 2

5? k? ? (k ? z ) , 12 2

24. ( 金 华 十 校

2009 年 高 考 模 拟 考 试 ( 3

月 ) 试 卷 ) 已 知 函 数

f ( x) ? A sin(ax ? ? ), ( A ? 9, ? ? 0,| ? |?
(1)求函数 f ( x ) 的解析式;

?
2

, x ? R) 的图象的一部分如下图所示。

(2)当 x ? [?6, ? ] 时,求函数 y ? f ( x) ? f ( x ? 2) 的最大值与最小值及相应的 x 的值。

2 3

解: (1)由图像知 A ? 2. T ? 8 ,

T?

2?

?

? 8 ,? ? ?

?
4

,又图象经过点(-1,0)

? 2sin(

?
4

? ?) ? 0

| ? |?

?
2

?? ?

?
4

,

? f ( x) ? 2sin(

x? ) 4 4

?

?

(2) y ? f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2sin(

? ) ? 2sin( x ? ? ) ? 2 cos( x ? ) 4 4 4 2 4 4 4
x

?

?

?

?

?

?

?

? 2 2 sin(

?

x ? ) ? 2 2 cos x 4 2 4 ? 3? ? ? ? x? 2 4 6

?

?

2 x ? [ ?6, ] , 3

?当

?
4

x?

?
6

,即x?

2 ? 时, y ? f ( x) ? f ( x ? 2) 的最大值为 6 ,当 x ? ? , 3 4

即 x ? 4 时, 最小值为 ?2 2

9 月份更新
1.(2009 滨州一模)(5)已知 f ( x) ? sin( x ? A.与 g ( x) 的图象相同

?

), g( x) ? cos( x ? ) ,则 f ( x) 的图象 2 2
B.与 g ( x) 的图象关于 y 轴对称

?

C.向左平移 答案 D

? 个单位,得到 g ( x) 的图象 2

D.向右平移

? 个单位,得到 g ( x) 的图象 2

2.(2009 青岛一模)设函数 f ( x) ? sin(2 x ? A. f ( x ) 的图像关于直线 x ? B. f ( x ) 的图像关于点 (

?
3

) ,则下列结论正确的是

?
3

对称

?
4

, 0) 对称

? 个单位,得到一个偶函数的图像 12 ? D. f ( x ) 的最小正周期为 ? ,且在 [0, ] 上为增函数 6
C.把 f ( x ) 的图像向左平移 答案 C 3.(2009 日照一模)已知函数 f ( x) ? cos x sin x( x ? R) ,给出下列四个命题: ①若 f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ,则 x1 ? ? x2 ; ③ f ( x ) 在区间 [ ? A.①②④ 答案 D ② f ( x ) 的最小正周期是 2? ;

? ?

3? , ] 上是增函数; ④ f ( x) 的图象关于直线 x ? 对称 4 4 4
C.②③ D.③④

B.①③

4.(2009 聊城一模)设函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? a 。 (1)写出函数 f ( x) 的最小正周期及单调递减区间; (2)当 x ? ??

3 ? ? ?? , ? 时,函数 f ( x) 的最大值与最小值的和为 ,求 f ( x) 的图象、y 2 ? 6 3?

轴的正半轴及 x 轴的正半轴三者围成图形的面积。 解(1) f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x ? 1 sin 2 x ? ? a ? sin(2 x ? ) ? a ? , 2 2 6 2

(2 分) (4 分)

?T ? ? .



?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

3? ? 2? ? 2k? , 得 ? kx ? x ? ? k? . 2 6 3

故函数 f ( x) 的单调递减区间是 ? (2) (理)? ? 当 x ? ??

2? ?? ? ? k? , ? k? ? (k ? Z) 。 3 ?6 ?

(6 分)

?
6

?x?

?
3

,? ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? 1 ? . ? ? ? sin( 2 x ? ) ? 1. 6 2 6

1 1 1 ? ? ?? , ? 时,原函数的最大值与最小值的和 (1 ? a ? ) ? (? ? a ? ) 2 2 2 ? 6 3?

?

3 ? 1 ,? a ? 0,? f ( x) ? sin( 2 x ? ) ? . 2 6 2

(8 分)

f ( x) 的图象与 x 轴正半轴的第一个交点为 ( ,0) 2
所以 f ( x) 的图象、y 轴的正半轴及 x 轴的正半轴三者围成图形的面积

?

(10 分)

S??

?
2 0

? 1? ? x? 2 2 3 ?? ? ? 1 sin(2 x ? ) ? ? dx ? ?? cos(2 x ? ) ? ? |0 ? . ? 6 2? 6 2? 4 ? ? 2

?

(12 分)

5. ( 2009 日 照 一 模 ) 已 知 ?ABC 中 , 角 A、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a、 b 、 c, 且 满 足

( 2a ? c ) cosB? b cos C 。
(I)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 m ? (sin A,1), n ? (?1,1) ,求 m n 的最小值。

a c b ? ? ? 2R 解: (I)由于弦定理 sin A sin C sin B ,
有 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C 代入 (2a ? c) cos B ? b cos C, 得 (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C 。 ???????????4 分 即 2sin A cos B ? sin B cos C ? sin C cos B ? sin( B ? C ) 。

A ? B ? C ? ? ,? 2sin A cos B ? sin A
0 ? A ? ? ,?sin A ? 0
? cos B ? 1 2

?????????????6 分

??????????????7 分

0 ? B ? ? ,? B ?

?
3
?????????????8 分 ????????????10 分

(Ⅱ) m ? n ? ? sin A ? 1 ,

B?


?
3 ,得 A

A ? (0,

2? ) 3 。

??????????11 分

?
2 时, m ? n 取得最小值为 0,
????????????12 分

所以,当

6.(2009 枣庄一模)已知函数 f ( x) ? sin ?x ? 3 sin ?x sin(?x ?
2

?
2

)(? ? 0)

的最小正周期为 ?
(1)求 f ( x);

, ]时, 求函数 f ( x) 的值域。 12 2 1 ? cos 2?x ? 3 sin ?x cos ?x 2 分 解: (1) f ( x) ? 2

(2)当 x ? [?

? ?

?

3 1 1 ? 1 sin 2?x ? cos2?x ? ? sin(2?x ? ) ? . 2 2 2 6 2

4分

?函数f ( x)的最小正周期为 ? , 且? ? 0,
? 2? ? ? , 解得 ? ? 1. 2?

? f ( x) ? sin( 2 x ?
(2)? x ? [?

?

? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ]. 12 2 6 3 6
, 即x ?

? ?

1 )? . 6 2

6分

根据正弦函数的图象可得: 当 2x ?

?
6

?

?
2

?
3

时, 8分

g ( x) ? sin( 2 x ?
当 2x ?

?
6

) 取最大值 1

?
6

??

?
3

,即x ? ?

?
12



? 3 g ( x) ? sin(2 x ? )取最小值 ? . 6 2
1 3 ? 1 3 ? ? ? sin(2 x ? ) ? ? , 2 2 6 2 2 [ 即 f ( x)的值域为 1? 3 3 , ]. 2 2
12 分

10 分

2007——2008 年联考题 一、选择题

1.(2008 江苏省启东中学高三综合测试四)已知 f ( x) ? cos( 3x ? ? ) ? 3 sin( 3x ? ? ) 为 偶函数,则 ? 可以取的一个值为( π A. 6 答案:D 2.(2008 四川省成都市新都一中高 2008 级一诊适应性测试)已知函数 f(x)=asinx-bcosx π 3π (a、b 为常数,a≠0,x∈R)在 x= 处取得最小值,则函数 y=f( -x)是( 4 4 π B. 3 π C.- 6 ) π D.- 3

A.偶函数且它的图象关于点(π ,0)对称 C.奇函数且它的图象关于点(
答案:D

B.偶函数且它的图象关于点(

3π ,0)对称 2

3π ,0)对称 D.奇函数且它的图象关于点(π ,0)对称 2

3.(2008 四川省成都市一诊)把函数 y=sin2x 的图象按向量 a ? (?

?
6

, ?3) 平移后,得到函数

y ? A sin ?? x ? ? ? ? B( A ? 0, ? ? 0, ? ?
A.

?
2

) 的图象,则 ? 和 B 的值依次为
D. ?

?
12

, ?3

B.

? ,3 3

C.

?
3

, ?3

?
12

,3

答案:C 4.(北京市东城区 2008 年高三综合练习二)已知函数 f ( x) ? sin( x ? 判断正确的是 ( )

?
6

) cos( x ?

?
6

), 则下列

A. f ( x) 的最小正周期为 2π ,其图象的一条对称轴为 x ? B. f ( x) 的最小正周期为 2π ,其图象的一条对称轴为 x ? C. f ( x) 的最小正周期为π ,其图象的一条对称轴为 x ? D. f ( x) 的最小正周期为π ,其图象的一条对称轴为 x ? 答案:C

?
12

?

?

6

12

?

6

5.(北京市丰台区 2008 年 4 月高三统一练习一)若 f ( x) ? 2cos2 x ? 3sin 2 x ? a ( a 为实 常数)在区间 [0, A.4 C. -4 答案:C

?
2

] 上的最小值为-4,则 a 的值为
B. -3 D. -6

6、(山东省博兴二中 2008 高三第三次月考)我们知道,函数 y ? sin 2 x 的图象经过适当变换 可以得到 y ? cos 2 x 的图象,则这种变换可以是 ( )

? 个单位 4 ? C.沿 x 轴向左平移 个单位 2
A.沿 x 轴向右平移 答案:B

? 个单位 4 ? D.沿 x 轴向右平移 个单位 2
B.沿 x 轴向左平移

7.

(















2008











试) f ?x ? ? A sin??x ? ? ?? x ? R,A ? 0,? ? 0, ? ? 析式是 A. f ?x ? ? 2 sin? ? ?x ?

? ?

??

? 的图象(部分)如图所 f ?x ? 的解 2?
( )

??

?

??x ? R ? 6?

y 2

?? B. f ?x ? ? 2 sin? ? 2?x ? ??x ? R ? 6? ?
?? C. f ?x ? ? 2 sin? ? ?x ? ??x ? R ? 3? ?
O

1 3

5 6
x

?? D. f ?x ? ? 2 sin? ? 2?x ? ??x ? R ? 3? ?
答案 A

-2

二、填空题 8.( 四 川 省 成 都 市 新 都 一 中 高 2008 级 一 诊 适 应 性 测 试 ) 函 数

f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的 图 象 如 图 所 示 , 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2 0 0 ) 的值等于 7
答案:0 9.(北京市丰台区 2008 年 4 月高三统一练习一)函数 f ( x) ? a sin( x ? 函数,则 a =___________________. 答案:-3 .

?

) ? 3sin( x ? ) 是偶 4 4

?

10.(福建省南靖一中 2008 年第四次月考)下面有五个命题: ①函数 y=sin x-cos x 的最小正周期是 ? .
4 4

②终边在 y 轴上的角的集合是{a|a=

k? , k ? Z }. 2

③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点. ④把函数 y ? 3 sin( 2 x ? ⑤函数 y ? sin( x ?

? ? )的图象向右平移 得到 y ? 3 sin 2 x的图象 . 3 6

? )在〔0,?〕上是减函数 . 2
.(把你认为正确命题的序号都填上)

所有正确命题的序号是 答案:①④

三、解答题 12.(2008 江 苏 省 启 东 中 学 高 三 综 合 测 试 四 ) 已 知 函 数

2 . f ( x) ? 3 c o xs ? 2c o x s s ix ? n s i2 x n

(Ⅰ)求 f ( x) 的最大值,并求出此时 x 的值; (Ⅱ)写出 f ( x) 的单调递增区间. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 3 cos x ? 2 cos x sin x ? sin x ? 3
2 2

? 2 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?
当 2x ?

?
4

1 ? cos 2 x 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 2

)?2

?
4

?

?
2

? 2k? ,即 x ? k? ?

?
8

(k ? Z ) 时,

f ( x) 取得最大值 2 ? 2 .
(Ⅱ)当 ?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
4

?

?
2

? 2k? ,即 k? ?

3? ? , k? ? ] (k ? Z ) 8 8 ? ? 3? ? 2? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? (k ? Z ) 得 ? k? ? x ? ? k? , 2 6 2 6 3 ? 2? ? k? ](k ? Z ) 所以,减区间为 [ ? k? , 6 3
所以函数 f ( x) 的单调递增区间是 [k? ?

3? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 时, 8 8

13. (2008 广 东 省 四 校 联 合 体 第 一 次 联 考 ) 设 函 数 f ( x) ? a ? b , 其 中 向 量

a ? (2cos x,1), b ? (cos x, 3sin 2x), x ? R

(1)若函数 f ( x) ? 1 ? 3, 且x ? ? ?

? ? ?? , , 求x; ? 3 3? ?

(2) 若函数 y ? 2sin 2 x 的图象按向量 c ? ( m, n)( m ? 象,求实数 m 及 n 的值。

?
3

)平移后得到函数 y ? f ( x) 的图

解: (1) a ? b ? 2 cos x ? 3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ?
2

?
6

)

?1 ? 2 sin(2 x ? ? x ? [? ? 2x ?

?
6

) ? 1? 3 ? 2x ?

即 sin(2 x ? ? [?

?
6

)?? 3

? ?

, ] 3 3 ??

?
6

? 5?

, ] 3 6

?
6

?
3

得x ? ?

?
4

(2) y ? 2sin 2 x 的图象按向量 c ? (m, n) 平移后得到 y ? 2 sin(2 x ? 2m) ? n 的图象

?m ? ?
14.. ( 河

?
12


n ?1
省 上 蔡 一 中 2008 届 高 三 月 考 ) 已 知

a?2 ( ? c x o s? ? x,
线x?

cb o ? s

? 1) ,函数 x ) (其中 , ? 0(?x c ?o s 3 a ?s i n f, ? x ? ? b ,若直

)

?
3

是函数 f(x)图象的一条对称轴,

(1)试求 ? 的值; (2)先列表再作出函数 f ( x ) 在区间 ? ?? , ? ? 上的图象. y
3

2

1

??

?

2? 3

?

? 3

O -1

? 3

2? 3

?

x

解: f ( x) ? a ? b ? 2 ? cos ? x,cos ? x ? ? cos ? x, 3 sin ? x ? 2cos ? x ? 2 3 cos ? x sin ? x
2

?

?

? 1 ? cos 2? x ? 3 sin 2? x ? 1 ? 2sin(2? x ? ) 6

?

3 3 1 ?? ? k ? , 2 2 1 1 1 0 ? ? ? 1?? ? k ? ? k ? 0 ? ? ? 3 3 2 ? (2) f ( x) ? 1 ? 2sin( x ? ) 6
x?
函 数 f

(1)

直线 x ?

?

为对称轴,? sin(

2?? ? 2?? ? ? ? ) ? ?1 ,? ? ? k? ? ( k ? Z ) 3 6 3 6 2

?
6

5 ? ? 6

x
y

??
0

2 2 ? ? 3
-1

?

?
?

0

?
6
1

? 2 ? 3
3

?
5 ? 6
1

7 ? 6

?
0

(x)在 的 图 象 示。

[?? ,? ]
如 图 所

15.(2007 届岳阳市一中高三数学能力题训练汇编 ) 设 ? ? (0,

?
2

) ,函数 f ( x) 的定义域为

[0,1] ,且 f (0) ? 0, f (1) ? 1 ,当 x ? y 时, f (
求:(1) f ( ) 及 f ( ) 的值; (2)函数

x? y ) ? f ( x) sin ? ? (1 ? sin ? ) f ( y ) , 2

1 g ( x) ? sin(? ? 2的单调递增区间; x) 4 1 an ? n ,求 f (an ) ,并猜测 x ? [0,1] 时, f ( x) 的表达式. (3) n ? N 时, 2
0 ) ? f (1) sin ? ? (1 ? sin ? ) f (0) ? sin ? f (1 ) ? f ( 1? 2 2
1 2

1 2

解:(1)



1 f( )? f( 4

?0 2

1 ) ? f ( ) sin ? ? (1 ? sin ? ) f (0) ? sin 2 ? 2 ,

1? 1 3 1 2 f( )? f( ) ? f (1) sin ? ? (1 ? sin ? ) f ( ) ? 2 sin ? ? sin 2 ? 4 2 2 ,

1 f( )? f( 2

3 4

? 2

1 4

3 1 ) ? f ( ) sin ? ? (1 ? sin ? ) f ( ) ? 3 sin 2 ? ? 2 sin 3 ? 4 4 ,
1 2 ,

?sin? ? (3 ? 2 sin?) sin 2 ?,?sin? ? 0或sin? ? 1 或sin? ?

?? ? (0, ? ),?? ? ? , 因此, f ( 1 )? 2 6 2
(2)
?) g ( x) ? sin(? ? 2x) ? sin(2 x ? 5 6 6

1 2

, f (1 )? 4

1 4 .

,

? ? g ( x) 的增区间为 [k? ? 23 , k? ? ? 6 ](k ? Z ) .

(3)? n ? N ,

an ?

1 2n ,

1 ?0 n ?1 1 1 1 1 f ( an ) ? f ( n ) ? f ( 2 )? f ( n ?1 ) ? f ( an ?1 )(n ? N ) 2 2 2 2 2 所以 ,
f (a1 ) ? 1 2

因此 f (a n ) 是首项为 猜测 f ( x ) ? x .

1 ,公比为 2 的等比数列,故

f (an ) ? f (

1 1 )? 2n 2n ,


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