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2004年全国高中数学联赛模拟试卷4


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2 0 0 4 年8 月上 
^ ^^ , V  V  、 ^^. ^ ^  、 ^ ,   ^.  ^^ .  . ^ .   ^ V、 、   .  .   0  

中学生数学 

般学竞秦之宙  

; 金牌 学校 模拟试卷 

r />. . 一 、  ’  、 . ^, ’   ,   .   ’   . ^, ’   .   ’   ^  ’ 、   ’ 、   、   ’   r   . 一 ’  r . ^. ^, 、   ’   . ^.   ’ ~ . 一   .   ’   .  ^ 一 0 

2 0 0 4 年  画高中数学联赛模拟试卷 
湖北省武钢三中( 4 3 0 0 8 0 )   郭希连 

数学奥林 匹克在 武钢三 中  
武钢三中是湖北省重点中学, 是一所在 国   内外都享有盛誉的中学.   1 9 9 4年 7月起 , 武钢三 中承 办湖北省 高  

次入选中国数学冬令营; 7人次入选 中国数学 

国家集训队; 3 人 次入 选中国国家代表队, 且 
均获 I MO金牌 ; 其 中独立辅导的学生 曾宪 乙  
获4 3 届I MO金 牌 !  

近几年参与编著 的数学竞赛方面的书籍 
十几部 , 字数 达 1 5 0多万字.  

中理科试验班( 数 学) , 一直到现在 , 每年面向  
湖北省招生, 另外武钢 三中是武汉大学、 华中  

科技大学等高校艺术人才培养基地 !  
八十年代以来, 武钢三中一直把培养 高素  质有创新意识的理科人 才作为办学 目标, 学校 


第一试 


选择题( 每小题 6 分, 共3 6 分)  

1 .从 { 1 , 2 , 3 , 4 , ……, 2 0 } 中选取 四个不  同的数 口 , b , c , d , 满足 口 +c —b +d, 若不考虑 

注重学生在全面发展的基础上, 同时培养学生  
的学科特 长. 希望通过理科试验班教 育环境,  

n , b , c , d 的顺 序, 则 选 取方 法 的 总数 为  
(   ) .  

充分利用数学的特殊功能, 为国家培养一批能   够在 国际某一领域里有所建树的特殊人才, 打  
下 良好 的基础.  

( A)1 0 5 0   ( C)1 1 4 0  

( B)5 2 5   ( D)1 9 0  

武钢三中参 加数 学奥林 匹克 以来, 共有 
1 2 人次入选国家队, 共获 7 金2 银, 其中9 8 年 

2 .若空间四点 A、 B、 C、 D满足AB—C D   一8 , AC =B D=1 0 , A D=B C一1 3 , 则这样的  三棱锥 AB C D共有(   ) 个.  
( A)0  ( B )1  ( C )2  ( D )多于 2  

共有 3 人入 选国家队( 9 8年 中国队 因故未参 
加 I M O) .  

2 0 0 2年 8月, 中国数学奥林 匹克协作 体 

3 .设 口 、 d为非负实数 , b 、 c 为正实数 , 点b  

夏令营在 武钢 三 中举 办, 且 取得 同行一致好  评; 2 0 0 3年 8月, 第二届 中国女子数学奥林 匹  
克在武钢三 中举行, 且取得圆满成功 !  

+ c ≥ 口 +   , 则   为 +  的 最 小 值 为 (  ) .  
( A)1  ( B)   ( c)   一1  ( D)  
1 01   —3  

作者简介  
郭希连 , 1 9 6 3年 4月, 湖北省武 穴市人,  

4 ? 若z   一  , 则T 一 善  
值为(   ) .  
( A)5 1   ( B )5 2  ( C)5 3  ( D)5 4  

的  

数学教育研 究生, 武汉市 中数学会 常务理事,  
中国数 学奥林 匹克高级教练. 1 9 8 6年华 中师  

5 . 若干个棱长为 2 , 3 , 5的长方体 , 依相   同的方向拼成棱长为 9 0 的正方体, 则正方体  的一条对角线贯穿的小长方体个数是(  
( A)6 4  ( B )6 6  ( C)6 8  ( D)7 0  

大毕业后 , 一直在武钢三中工作 至今 , 现任 武  
钢三中教科室副主任 , 分管全校各学科竞赛工  作, 中学特级教师, 武汉市第二届“ 十大” 名师,  

) .  

武钢行业专家, 武汉市行业专 家. 他参与指导  
的学生中有 5 0多人次获全国高中数学联赛全 

6 .已知方 程 z  + ( 1 3 x 一1 )  一0有 1 0  

国一等奖; 1 0 0多人次获全 国二、 三等奖; 1 1 人 

个 复 根 : z   ,  , z z ,  , … … , z s ,  , 则 善 仨  
旧 

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文学竞 赛之窗   的值为(   ) .  

中学生数学 

2 0 0 4年 8 月上 

Y   一a y +z +2 b =0 , 已知 C 1 与C   在一个交点  处的切线互相垂直 , 试证 C   必过定点 , 并求该  点的坐标.  

( A)7 5 0  ( B )8 5 0  ( C)9 5 0   ( D)1 3 0 0  

二、 填空题( 每小题 9 分, 共5 4 分)  
7 .已知/  ̄ A BC的各顶点都是整点 ( 横纵 

坐标为整数的点数为整点) 是 A( 0 , 0 ) 、 B ( 3 6 ,   1 5 ) ,  ̄ U / X A B C的面积的最小值是
.  
— —

加试试题 
( 每题 5 O 分, 合计 1 5 0分 )  


8 . A, B, C, D   4人互相传球 , 第一次从 A   传给B, C, D中的任一人 , 第 2次由拿球者再  传给其他 3人 的任一人 , 这样共传 了 4次, 则 



M 为/ X A B C 内一点 , 满 足  A MC一  

9 0 。 ,   AMB一1 5 0 。 ,  B MC一1 2 0 。 , 设 P、 Q、 R  

分别为/ X A MC , I X A MB和I X B MC的外心, 求 
证: S △ P Q R >S △ A B c .  

第4 次仍传 回到 A的方法有

. 




9 .设方程 z   +z 一1 一x e   一  +( z   一1 ) e   ( 其中 e 为无理数) 的解集为 M , 则 M 中所有  元素的平方和等于  .  

二、 设 口为方程 z 。 一3 x   +1 =0的最大正 

根, 证明: 1 7 I [ 口  ] .  
三、 设S   一{ 1 , 2 , …  n ) ( n ≥5 ) , 取X  

s   , y  s   ( 无顺序) , 若x   y或 x   y时, 则  
称 X, y为“ 包含子集对” , 否则称为非包含子  集对 , 问S  中包含子集对多还是非包含子集 

1 0 .已知抛物线为 y 一一  - V+h , ( h >0 ) ,   点 P( 2 , 4 ) 在抛物线上 , 直线 AB在 Y轴上截 

距大于 0 , 且 与抛物线交 于 A, B两点 , 直线  P A与 P B 的倾 角互补 , 则s △ P A   的最大值是 
l 1 .已知等差数列{  ) 、 {  ) 的前 n 项和分 

对多?证明你的结论.  

答案或提示 
第一试 
1 .( B ) . 不妨设 口 >b >d , 由口 +c =b +  得 

别 为   S   和   , 且   一   著, , 则   一 — — .  
1 2 .设 A( 2 , 0 ) 为平 面上 的一定点, 动点  P( s i n ( 2 t 一6 0 。 ) , c o s ( 2 t 一6 0 。 ) 随t 由1 5 。 到4 5 。   的变化而移动 , 线段 AP所扫过 的图形的面积 

.  
— —

>C , 从1 , 2 , ……, 2 0 中选出三个数 口 >b >c 的 

选法有   种, 但其中 口 +c = b +d的不合要求,   这相当于 口 和C 同奇偶的不合要求 , 而从 1 , 2 ,  
… …



2 0中取两个奇数的选法有 C 品 种, 取两个 

偶数的选法有 C 品 种, 于是从 1 , 2 , ……, 2 0中选  三个数 口 >6 >C 且确定 口 +c ≠b +d的选法有 

三、 解答题( 满分 6 0分, 每小题 2 0 分)  

1 3 . 求证 : 只要二次 函数 厂 ( z ) 一口 z   +b x  
+C 满足条件 :  

C 品 一2 C 品 一1 0 5 0 种, 这样每三元数组确定一个  符合要求的四 元数组, 但每个 四元数组( 口 , b , C ,  
) 出现两次( 口 , 6 , c ) 和(  d , c ) ( 因为 d >c ) 产生 
1  

1 ) 口 >0 ; 2 )I   f ( x ) I ≤1 , z ∈[ 一1 , 1 ] ;   3 ) z 。 一一   ∈[ 一2 , 一1 ) U( 1 , 2 ] 则必有, ( z )  

的四元数组, 共有÷×1 0 5 0 =5 2 5 种.  
厶 

≥÷, z ∈[ 一2 , 2 ] . 并求出这样的二次函数  

2 .( A) . 作/ X A B C , 使A B一8 , B C 一1 3 ,   A C 一1 0 , 以B C为一边继续作 I X B D C , 显然 ,  
当I X AB C与 I X B C D 在同一平面时, AD有最  大值 , 此时四边形 AB C D为平行 四边形 , 则有 
AD  + BC   一 2( AB  + AC   ) , AD  = 2( 8  + 

厂 ( z ) , 使厂 ( z ) 在[ 一 2 , 2 ] 的最小值为一÷.  
1 4 .已知 z ,  , z ER, 求证: , / S g   +1 (
Y   +z   ) ≥z   +2   z +2 z z .  
X 2 + 

1 0   ) 一1 3   一1 5 9  ̄1 3   , 所以AD的最大值小于  1 3 , 与A D一1 3 矛盾 , 故选( A) .  
1  

1 5 .已知抛物线 C   的顶点为 ( √ 2 —1 , 1 ) ,  

焦 点 为( √   一 ÷, 1 ) , 而抛物 线组C   的 方程为  
团 

3 .( C ) . 因6 +c ≥口 +d , 则6 +c ≥÷( 口 +6  

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数学竞赛之 窗  

+ c +   ) , 不 妨 设a + 6 ≥ c +   , 则  _ _ ≥  _ -, 于  

由于 l   5 x 一1 2 y l ∈z , z ∈z , Y ∈  , 则z 一5 ,  一2  

时, l   5 x 一1 2 y l 最小且最小值为 1 , 故S △ A B c 最  

o .   是 南+  =   b + c _ c (   c + d 一   1 ) ≥   小值为 


? a 可 +b +c +d   ( ‘ — 干  一 一  十   八   4   a 一   c

) 一   2?  

8 . 有2 1 种方法. 第四次仍传到 A有两种   情况: 1 ) 第二次就回到 A手中, 这一过程进行  两次即可有 C   C   一9 种方法, 2 ) 前3 次传球 
均不到 A, 有C  ? C   ? C   一1 2 种方法 , 故只有  2 1 种方法.   9 .平方和为 2 . 方程可变为 z ( e   一  一1 )  

瑞+  一  
4 .( A) .  
. .  
‘ 

3z 2 — 3z + 1 。3 ( 1一 z . ) 0 —3 ( 1 一r   ) +1  
. .

二 兰   :  

: =



1 一z   +3 x   一3 z  .   - ̄ -  3 x   一3 z   +1   。   3 z   一3 z   +1 ’  
1 O1  
I  

+( z 。 一1 ) ( e   一1 ) 一0 , 可判断其两项若不等 
于0 , 就一定 同号 , 所 以一定为零 , 故z 一0 , 1 ,  
]  


. . .  2 丁 =∑r  

( 1 -x  ̄ ) 。  

1 , 所以 M 中元素的平方和为 2 .   1 0 .   . 由题 已知 h 一6 , 直线 P A 和 

。 3 ( 1 一z   ) 。 -3 ( 1 -x 1 ) +1   l = o   3   一3 x   +1  

一 1× 1 0 2,  

故 T一5 1 .  

P B的方程分别为Y一4 一一k ( z 一2 ) , 及 一4  
一是 ( z 一2 ) , z 。 +2 忌 z 一4 忌 一4 —0 . , 从而 z A 一2 k  


5 .( B ) . [ 2 , 3 , 5 ] 一3 0 , 故只须先求出棱长  为3 0 的正方体对面成贯穿的长方体的个数: S  
一  

2 , z B ~ 2 k  2 , 由此得 忌 A 月 一2 . 设直线 A B  

2   。   3   。   5  



 

一  一 2× 5 。 2 ×3   3× 5    

旦  

和方程为  一2 x +m ( m >o ) , 代入 一一   +  

方体个数为 3 S , 即6 6 个.  

z 。 +4 x +2  一1 2 —0 , 由△ < <8 , I A BI 。   若 _一 ) 2 2 , 棱 长 为 9 0 的 正 方 体 贯 穿 的 小 长   6得 一5 ( z A —z B ) 。 一4 0 ( 8 一  ) , 点P ( 2 , 4 ) 到直线  6 .( B ) . 由原方程得(   一1 3 )   。 一一1 ,   对一根 a有 l 三一1 3   l 一1 , 有 
a 

A B 距 离 为   一  一 √ b  √   b   , s   m e 一 { × 等? u    
4 0 ( 8 一   ) ≤ 8 X   ( 导 詈  即 ) 。 , 即   S a e A B ≤   .  
I I .  a   7 一两 4 1
. 

5   一 壹I ∑    一   1 3   I   z 。 一 ∑ 5 (  一   1 3   ) (  一   1 3   )




笔   , 故 设  
一( 2 n 。 +n ) k,  

一 圣 壹 T 奇 _  - 1 3   n 壹 ∑ = l   (   X i +   去   ) + 5 × 1 6 9 . ?  


S   一( 3 n 。 +2 n ) k ,  
‘ . . 

a 7 一 S7 一 S6 —4 l k,   b 5 一 T5 一 T4 —1 9 k,  

另一方 面 ,  
1  


1  
.  

1 一(   ) 1 0 —1 3 0 (   ) 。 +…… ,  



 

一  b 5   1 9 ‘  

由 韦 达 定 理 知  壹 (  +  ) 一 1 3 0 ,  
‘ . . 

1 2 . 詈 . P 点 位 置  
的起 点 P1 ( 一   ,   终点 P 。(   1
,  

●   y  

原 式 一8 5 0 .  
. 

7 . 号 . z 加 :   一 丽 1 5   z , 即 5 x - 1 2   一 0 , 设  
c ( x ,  ) , z ∈z , Y ∈z , AA B C中, A B边上的高  
即为 c到 z A 月 的距离, 则  一  兰   A B=3 9 , 则S a a  ̄ c =I  I A BI
,   一  

) .由  

/  

, 又 

S a e   m—S a e   m知 S a p   肌一S z x e   O B , 于是所求  

3   l   5 z 一1 2  I
,  

面 积 一 s 扇 形  一 詈 .  
阿 

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1 3 ? 不 妨 设 z 。 一 一 麦 ∈ [ 1 , 2 ] , 注 意 到 n   2xzcosB,  
>0 , 故只需证明 厂 ( z ) ≥一   5 由1 <一   ≤ 


I . ?  z   +y   +z   ≥2 x y c o s A+2 y z c o s C ̄ -  

令 B—C且 c o s B一2 c o s A  ( C O S B> 0 ) ,  
C O S . B一2 c o s ( 7 r 一2 B) 一   2 c o s 2 B,  


2 , 得 ( 2 n + 6 ) ( 4 n + 6 ) ≤ 0 , n ≥ 一 ÷ 6 , 即 一 b   ≥  
8 a 2 +6 n 6 , n ≥一   1   6


4 c o s   B+c o s B一2 —0 .  
. . - c 。 s B—  ,c 。 s A —  ,  

所以   ≥c + 

f ( x o ) 一  


一c + 

?


.   z   + . ) ,   + z   ≥   薯  ( z . ) , + 2 z z +  

c + 2 n + 导 6 .  
,  

2 y z ) 成立.  

由题设得  I 厂 ( z ) I ≤1 , I 厂 ( 一1 ) I ≤1 ,  

1 5 . 设 抛 物 线 c 。 的 焦 点 参 数 为 P , 则 导  
一( √   一   3 ) 一( √   一1 ) 一   1 所 以 P=   1
, ,

又易知 b -l[ f ( 1 ) 一厂 ( 一1 ) ]

故抛 

所 以f ( x 。 ) ≥ 厂 ( 1 ) + 专 [ 厂 ( 1 ) 一 厂 ( 一 1 ) 7  

物线 C 。 的方程为 z一( . ) , 一1 )   +  一1即 y  


詈 , ( 1 ) 一 i f ( _ 1 )   ≥ 一 - 詈 - 一 吉 一 一 } .  


2 . ) , 一z +   一0 , 设C 1 与C   在交点( z 。 , y 。 )  

处的切线互相垂直, 因为 C 。 的切线为 :  . ) , 一  
( . ) , +. ) , 。 ) 一  1(
1   c


z+z 。 ) +J 2 =o , 斜率, 忌 1 一  

等号成立条件为 
f 厂 ( 1 ) 一n +b +c 一一1 ,  

的 切 线 为 . ) , 。 . ) , 一 号 ( . ) , + . ) , 。 ) +   1 ( z  
~; 故有  
Y o— n  

J 厂 ( 一1 ) 一 n 一 6 + c 一一1 ,  
一  

+z o ) +2 b 一0 , 斜率 忌 2 一一  
( 一  

) =一1 . 即4 . ) , 5 —2 ( n +2 ) . ) , 。  

解得
所以

n 一   1


6 一 一 1 , c 一 ÷ ,  

. . ..



 ̄ - 2 a 一1 —0 ①. 由于( z 。 , Y 。 ) 既在 C 。 上又在 

厂 ( z ) -1 Z' 2-

C , 卜, 故 

Z ' -

4.  

y 5 -2 y o —z o + √   一0 ,  
y   一a y o +z o +2 6 —0 ,  

同 理, 当z 。 一 一 共∈ 口  [ 一 2 , 一 1 ) 时 , 所 求 ’    

两式相加, 得 

的 二 次 函 数 为 厂 ( z ) 一   1   z   + z 一 ÷ .  


2 y 5 一( n +2 ) . ) , 。 +2 6 +   一0  

② 

1 4 . 原式等价于 z   +. ) ,   +z   ≥ 

?  

①一② ×2 , 有2 a -1 —4 b -2   一0 , 故  6 一   代人抛物线 c   方程有 
. ) ,   一n . ) , +z+  一 

( x y +2 y z +2 x z ) . 先证 一个引理. 在△AB C   中, 有z   +y   +z   ≥2 x y c o s A+2 y z c o s C+ 
2 xz c o s B.  

。 I .   ( z— y c o s A—z c o s B)  4 -( y s i n A — 



2 y   +2 x -1 —2 , 4  ̄- -2 a ( y -1 ) -0 ,  

z s i n B )   ≥0 ,  
‘ .

?  

z  + y  + z  一 2 x y c o s A + 



所 以J I   2 . ) ,   + 2 z 一   一 2 √   一 0 的 解 (   一  
v一 1 —0   。  

2 y z c o s Ac o s B -2 x z c o s B -2 y z s i n As i n B ≥0 ,  
I . .   z   +y   +z   一2 x y c o s A+ 2 y z c o s ( A  + B) 一2 x Z C 0 s B  O .  

1 ) 即为定点坐标.  

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中学生数学 

文学竞赛之窗   ( 2 ) 口   +   +  一1 <口   <口   +p   +   0  

加试题答案 


<口   +  < 1 .  



设A Mn   P Q—  

2 。 . 证明: ( 1 ) 设U   一口   +  +  , 则  
U H +3   3 u H + 2 一U H ,  

U, C Mn   P R—W , B Mn  
RQ—V.   且
C 
’ .

U 0 一U 1 =3 , “ 2 =9 ,  

因 P, Q, R为 外心 ,8  

.   U   ∈z .  

则 U, w, V分别为A M,   C M 和B M 的中 点, 且 
P Q上A M, Q R上B M, R P上 C M, 从而 P Q上 
PR.  

( 2 )由 y +   一3 -a >0 = > p >I y I ,  
。 . .  

口   +  > I   y  + I  > /o ,  


又   +  ≤  +f   f   ≤ 』 9 2 +7 上  
( 口 + +y ) 2 —2 (   +y a +  ) 一口 。  


设 MU=a , MW=C , MV =b , 则 
S△ A B c =4 S △ u w v  

9 一口 。 <9 一( 2 √ 2 ) 。 一1 .  

故猜想成立 , 于是[ a   ] 一U   一1 , 问题等价 
1  
?



4?   (  

譬  )  

于: 1 7 I ( U 2 0 o 4 —1 ) .  
3 。 .证 明 u 2 0 0 4  ̄1 ( mo d 1 7 ) .  

一n 6 + 

+2 c a .  

考察 { “   ( mo d 1 7 ) ) : 3 , 3 , 9 , 7 , 1 , l l , 9 , 9 ,  
1 6, 5, 6 , 2, 1 , 1 4, 6, 0, 3, 3, 9, …….  
。 . . 

另一方 面, 在 四边形、 MU QV中, 2 MV=  
一  

u +Q u , 即Q u=2 6 +, / g a , P Q=P u +  
Rw 一  2 十  1  

{ “ , z ( mo d ( 1 7 ) ) 是周期 为 1 6的周期 

数列 ,  
。 .

Q U =c +2 6 + √ 3 n , 同理,  
c ,PR  n +  + 

.  U 2 0 0 4 =U 1 2 5 × 1 7 + 4 三U 4 三1 ( mo d 1 7 ) 成 

立, 故 问题得证.  

0 3   0 3  

3  

3  

三、 设S   中包含子集对有 a   个, 非包含  子集对有 b   个. 下面比较 a   与b   的大小.   先求 a   , 因为 X, y无顺序, 不妨设 X  y ,   记 y中有 i 个元素( 0 ≤  ≤, z ) , 对 y有 C   种取  法, 而对 y的每一种取法 , X都是 y 的子集,  
有2   种取法. 由乘法原理 , 得 
a   一∑C   2   一3   .  

由/ X P Q R为直角三角形 , 得 

s △ P O R 一   (   2 b +   + 隽 6 +  ,  
即 S △ 嘲 一S △ 眦 

一   =E ( , / g a +b —c ) 。 +3 b 。 ] >0 .  
2   4 3  

二、 设, (  ) 一  。 一3 x 。 +1易知, ( 一1 ) 一  


3 <0 , , ( 0 ) 一1 >0 , , ( 2 ) 一 一3 <0 , , ( 3 ) 一1  

又由于 S   中有 2   个子集 , 从 中任取不相 

>0 , 且, ( 2  ) 一1 6 , / g 一2 3 <0 , 于是设 , (   )  
一0的 2 个根为 y <  口 , 则一1 <y <0 , 0 <  1 , 2   <口 <3 , 再由韦达定理 , 得 

同的 2 个有 C ; , z 种取法, 计及 一  有 2   种取 

法, 得 C ; , z +2   一寺( 4   +2   ) .  
从而  一  (  +2 1 ) 一口 , I 一  (  + ) 一  .  
1  

f 口 + p +y 一3 ,  

{ 口   +  +  一0 ,  

【  一 一 1 .  
1 。 . 下面研究[ 口 ” ] , 因2 , / g <a <3 ,  
’ . .  

由  b   一n   一÷( 4   +2   ) 一2 ? 3  

>   . 4 一 一 2 . 3 一 一 2 . 3 一 一   [ ( 导 ) 一 一   一 3 ]  
≥2 ? 3 一   [ ( ÷) ‘ 一3 ] ( , z ≥5 )  
一2? 3 —  ( 2 5 6 —2 4 3 ) >0 .  

[ 口 ] =2 ,   [ 口 ] 一2 一口 +口 +y 一1 ,  

’ . .  

[ 口 。 ] 一8 = 口 。 + 』 9 2 +  一1 .  
于是猜想 [ 口   ] 一 口   +口   +   一1 ,   故要证 : ( 1 ) 口   +  +   ∈z ,  

即不包含子集对比包含子集对多 : 注意 , z  
≤4 , a   >6   .   口 

圈 


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