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八年级《分式与分式方程》专题复习(范根深老师)


《分式与分式方程》专题复习
知识点 1 分式的定义 我们将 的式子叫做分式。 练习 下列各式是分式的打√,不是分式的打╳. ① 3x ? 2
1 ② a 2

m 2 ? 4m (7) 16 ? m 2

(8)

x2 ? 4x ? 4 x?2

m2 ? n2 ③ 2

>
1 ④ x



1

?

2x ⑥ 2 x ? y2

1 ⑦ ( x ? y) x

⑧ xy

?1

知识点 2 分式有意义的条件 当分式的 时,分式有意义。 练习 x 取何值时,下列分式有意义? ①
1 x?2 x ?1 x ? 3x
2

知识点 5 分式的乘除运算 乘法法则:分式乘以分式,把它们的分子、分母 除法法则:分式除以分式,将除式中的分子、分母 a c ac a c a d ad ? ? ? ? 用符号表示为: ? ? b d bd b d b c bc 练习 1.填空:

8x 9y ? (? 3 ) ? __ 2y 2x

. .

____.



x 2 ? xy ? 3x ? 3 y ? ? __ x2 3x

____.



x? y 3x 1 x ?1
2



x?2 ( x ? 1)(x ? 3)



x?2 x2 ? 4



1 ? ( a ? b) ? ___ a?b

___.



ab ? b 2 ? a2 ? b2 ? ? a 2 ? 2ab ? b 2 a 2 ? ab

.







x? y x? y

2. 计算: ①

知识点 3 分式的值为零的条件 当分式的分子 ,分母 练习 x 取何值时,下列分式的值为零? ①
a ?1 a?3

时,分式的值为零。
a2 ?1 a ?1 x2 ? 9 x 2 ? 3x


5y ? 2 xy 2 2 3 8x y



m 2 ? 4n 2 m 2 ? 2m n ? m2 ? m n m?n



( a ? 1)( a ? 2) a?3





知识点 4 分式的基本性质 分式的分子、分母同时 练习 1. 利用分式的基本性质填空: ①

x2 ?1 1 1 ? . 2 ( x ? 1) x ?1 x ? 1



3a ? 2 25a 2 ? b 2 ? 5a ? b 4 ? 9a 2

,分式的值不变。

2x 9 xy a ? b (a ? b) 2 x2 ? 4 x?2 ? 2 ? ② 2 ③ ④ 2 ? ? x ? 3 x ? 3x 6 x ? 3x 2 x ? 1 a?b x ? 4x ? 4

2. 约分:
?10ab (1) 15ac
1.6 x 2 y (2) ? 3.2 x 3 y

m ?1 (3) 2 m ?1



a 4 ? a 2 b 2 a 2 ? ab b 2 ? ? a a2 ?2ab?b2 b2



2x ? 6 x?2 ? ( x ? 3) ? 2 3? x 4 ? 4x ? x

y 2 ? 4 xy ? 4 x 2 (4) 2 x? y

(5)

12a 2 (b ? a) 2 27(a ? b)3

知识点 6 法则

分式的加减运算 同分母分式相加减,分母不变,分子相加减. 异分母分式相加减,先通分,变成同分母分式后再加减.

⑤(x-

2x - 1 1 )÷(1- ) x x

⑥(

a 1 b ? )? 2 a ?b a ?b b?a
2

用符号表示为:

a c a?c ? ? b b b

a c ad bc ad ? bc ? ? ? ? b d bd bd bd
2 ? 1 x 2 ? 2x ? 1 ? x ? 1 1 ? x -2x+1 ? ⑦ ? ? x ?1 ? x2 ?1 ? ? ? x ? 1 ⑧先化简,再求值:?1+x-2?÷ x2-4 ,其中 x=-5. ? ?

练习 计算: ①
x2 ? 2x ? 4 x2 ? 2? x x?2



x2 ? 4 x2 ? x ? 6 2x2 ? 2x ? 5 ? ? x?3 x?3 3? x



a ? 2b b 2a ? ? a ?b b?a a ?b



y x ? 2 x ? xy y ? xy
2

知识点 8 整数指数幂 公式 : x ?n ?


1 . xn

如: 3 ? 2 ?

1 1 ? 32 9



x 2 y ?3 ? x 2 ?
____ ; ( ? )


1 x2 . ? y3 y3
? ____
___. __.

7 3 12 ? ? 2 2x ? 4 x ? 2 x ? 4



2 3 2a ? 15 ? ? 2 2a ? 3 3 ? 2a 4a ? 9

练习

填空: (?a) ?3 =___
____

___ ; ( 3 )?2 ? __

1 5

?3

1 ( ) ?1 ? (? π) 0 ? __ 2

; -1+(3.14)0+2 1=___

知识点 7 分式的混合运算 分式的混合运算,先乘方,再乘除,最后算加减,有括号的先算括号里面的. 练习 ① (
y?2 y ? 2y
2

计算: ... 2 ?3 ?2 ?2 3 ① (a b ) ? (a b )

② ( x y z ) ? xy
2

?5

?3 2

③ (5m n )

?2

3 ?3

? (?mn?2 ) ?2

?

1? y y ? 4y ? 4
2

)?

y?4 y

② (m ?

mn mn ) ? (m ? ) m?n m?n

知识点 9 科学记数法 通常将一个很大 (或很小)的数表示成 a ? 10n ( 1 ? a <10)的形式. 练习 .. 用科学记数法表示:

2 ? x ?1 ? ③ ?1 ? ? ? ? x ? 1? x ? 1

2

? 1 1 ? xy ④? ? x? y ? x? y? ? ? x2 ? y 2 ? ?

(1)0.000 16

(2)-0.000 031 02

(3)104 000 000

(4)—0.000 003

知识点 10 分式方程 ① 解分式方程时,方程各项都乘以最简公分母(没有分母的项也要乘). ② 解分式方程,必须检验.凡是使最简公分母为 0 的根,必须舍去. 练习 确定下列方程中的最简公分母: ①
1 2 7 x x?2 ? ? 2 ② ? x ?5 x ?6 x ?1 x ?1 x ?1

知识点 11

分式方程应用题 可以借助自画的表格列方程.

步骤: 审-----设----列----解----验-----答 练习 根据题意列方程:

1. 某农场挖一条 480 米的渠道,开工后,每天比原计划多挖 20 米,结果提前 4 天完 成任务,求原计划每天挖多少米. ③
3x 5 2 y ? 5 1 4 ? 3y ? ? ? ?1 ④ 2y ? 6 2 4 ? 2y 2x ? 7 7 ? 2x

设原计划每天挖 x 米. 2. 一辆汽车先以一定速度行驶 120 千米,后因临时有任务,每小时加 5 千米,又行驶 135 千米,结果行驶这两段路程所用时间相等,求汽车先后行驶的速度.

解下列分式方程: ①
1 4?x ?2? x?3 x?3

设汽车之前行驶的速度为 x 千米/时. ②
5 6 ? x?2 x?3

3. 一个车间加工 720 个零件,预计每天做 48 个,就能如期完成,现在要提前 5 天完 成,每天应该做多少个? 设每天应该做 x 多少个. 4. 甲、乙两同学学习电脑打字,甲打一篇 3000 字的文章与乙打一篇 2400 字的文章所 用的时间相同,已知甲每分钟比乙多打 12 个字,问甲、乙两人每分钟各打字多少个? 设甲每分钟打字 x 个.
列方程解应用题:

③ 1?

1 5? x ? x?4 x?4



x ? 4x x ?1
2

2

?1?

2x x ?1

某校招生录取时,为了防止数据输入出错,2640 名学生的成绩数据分别由两位程 序操作员各向计算机输入一遍, 然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入 速度是乙的 2 倍, 结果甲比乙少用 2 小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名 学生的成绩?



1 2 4 ? ? 2 x ?1 x ?1 x ?1



7 3 6 + 2 = 2 x ?x x ?x x ?1
2


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