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抛物线题型归纳


抛物线题型归纳 一 基本知识归纳: 1 抛物线定义: 到 F 的距离和到 L 距离相等的点的轨迹即为抛物线。 其中,定 点 F 叫做抛物线的 ,定直线叫做抛物线的 。 2 抛物线的标准方程: (1)焦点在 x 轴正半轴上时: 焦点 F ;准线 L (2)焦点在 y 轴正半轴上时: 焦点 F ;准线 L (3)焦点在 x 轴负半轴上时: 焦点 F ;准线 L (4)焦点在 y 轴负半轴上时: 焦点 F ;准线 L 3 相关概念:抛物线上一点与焦点 F 的连线叫做 ,过焦点的直线与抛物线相交所得 弦叫做 。设抛物线上任意一点 P(x0,yo),焦点弦端点 A(x1,y1),B(x2,y2), 则四种标准形式下的焦点弦,焦半径公式为 标准方程 焦半径|PF| 焦点弦|AB| 过 y2=2px(p>0)焦点交抛物线于 P(x1, y1),Q(x2, y2),则 x1 x2= 4 以焦点弦为直径的圆一定与 以焦半径为直径的圆一定与 5 在所有的焦点弦中,长度最短的是 证明: 相切。 相切。 ,其长度为 , y1 y2= y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)



二 题型分类 (一) 最值问题 1 P 是 y2=10x 上的动点,M(3,0) ,求|PM|最小值及此时点 P 坐标。

2 P 是 y2=4x 上的动点,F 为焦点,A(6,3),求|PA|+|PF|最小值,并指出此时点 P 坐标。 (若 A(3,6)呢?)

3 直线:y=2x-5,抛物线 y=x2, P 为抛物线上一点,求 P 到直线距离最小值。

4 点 P 在 y2=2x 上,P 到点(0,2)距离和 P 到准线距离和最小值是 5 点 A(x,y)在 y2=4x 上运动,求 z=x2+



1 2 y +3 最小值。 2

1

(二)定义应用: 1 抛物线焦点在 x 轴上,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点距离是 5, (1) 求抛物线方程及 m 的值。 (2)求抛物线焦点和准线方程。

(三) 焦点弦长公式的应用 1 若 x1 +x2=3p,则|PQ|=(



A 4p

B 5p

C 6p

D 8p

2 y2=2x 上两点 A,B 两点到焦点距离之和是 5,则线段 AB 中点横坐标是 4 线段 AB 是抛物线焦点弦,F 是焦点,若 A,B 在准线上的射影分别为 A1,B1, 则∠A1FB1= 5 已知抛物线 y2=2px (p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点,若线段 A,B 的中点的纵坐标为 2,求该抛物线的准线方程。 6 (四) 其它: 1 正三角形一个顶点在原点,另外两顶点在抛物线 y2=2px(p>0)上,求 这个正三角形边长。

2 边长为 1 的等边三角形 AOB,O 为原点,AB⊥X 轴,以 O 为顶点,且过 A, B 的抛物线方程是

3 双曲线

x 2 16 y 2 ? 2 ? 1 ,左焦点在 y2=2px 准线上,求 p. 3 p

4 y2=2px(p>0)上有一点 M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为 10,求抛物线 方程和 M 坐标。

5 已知抛物线顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上的点 M(m,-2)到焦点的 距离为 4,则 m 的值为( ) A 4 B -2 C 4 或-4 D 2 或-2

6 已知抛物线 y2=6x 的弦 AB 经过点 P(4,2)且 OA⊥OB(O 为坐标原点),求 弦 AB 的长。
2

7 过抛物线 y=ax2(a>0)的焦点 F 做一直线交抛物线于 P,Q 两点,若 PF 与 FQ 的 长分别为 p,q,则

1 1 ? ?( p q
(C)4a (D)



(A)2a (B)

1 2a

4 a

8 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y0 ) 。 若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? ( A、 2 2 B、 2 3 C、 4 ) D、 2 5

9 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y0 ) 。 若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? ( A、 2 2
2 2

) D、 2 5

B、 2 3

C、 4

10 方程 ay ? b x ? c 中的 a, b, c ?{?2,0,1, 2,3} ,且 a, b, c 互不相同,在所有这些 方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( ) A、28 条 B、32 条 C、36 条
2

D、48 条

11 过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点,若 | AF |? 3 ,则

| BF | =______。
(五) 直线和抛物线的位置关系 1 已知抛物线 y2=2px (p>0) 的准线为 l ,过 M(1,0)且斜率为 3 的直线与 l 相交于点 A, 与 C 的一个交点为 B,若 AM ? MB ,求 p 的值。

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3


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