抛物线题型归纳

抛物线题型归纳 一 基本知识归纳： 1 抛物线定义: 到 F 的距离和到 L 距离相等的点的轨迹即为抛物线。 其中，定 点 F 叫做抛物线的 ，定直线叫做抛物线的 。 2 抛物线的标准方程： （1）焦点在 x 轴正半轴上时： 焦点 F ；准线 L （2）焦点在 y 轴正半轴上时： 焦点 F ；准线 L （3）焦点在 x 轴负半轴上时： 焦点 F ；准线 L （4）焦点在 y 轴负半轴上时： 焦点 F ；准线 L 3 相关概念：抛物线上一点与焦点 F 的连线叫做 ，过焦点的直线与抛物线相交所得 弦叫做 。设抛物线上任意一点 P（x0,yo）,焦点弦端点 A（x1,y1）,B（x2,y2）, 则四种标准形式下的焦点弦，焦半径公式为 标准方程 焦半径|PF| 焦点弦|AB| 过 y2=2px(p>0)焦点交抛物线于 P（x1, y1）,Q(x2, y2）,则 x1 x2= 4 以焦点弦为直径的圆一定与 以焦半径为直径的圆一定与 5 在所有的焦点弦中，长度最短的是 证明： 相切。 相切。 ，其长度为 , y1 y2= y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)

。

二 题型分类 （一） 最值问题 1 P 是 y2=10x 上的动点，M（3，0） ，求|PM|最小值及此时点 P 坐标。

2 P 是 y2=4x 上的动点，F 为焦点，A(6,3),求|PA|+|PF|最小值，并指出此时点 P 坐标。 （若 A（3，6）呢？）

3 直线:y=2x-5，抛物线 y=x2, P 为抛物线上一点，求 P 到直线距离最小值。

4 点 P 在 y2=2x 上，P 到点（0，2）距离和 P 到准线距离和最小值是 5 点 A（x,y）在 y2=4x 上运动，求 z=x2+

。

1 2 y +3 最小值。 2

1

（二）定义应用： 1 抛物线焦点在 x 轴上，抛物线上的点 M（-3，m）到焦点距离是 5， （1） 求抛物线方程及 m 的值。 （2）求抛物线焦点和准线方程。

（三） 焦点弦长公式的应用 1 若 x1 +x2=3p,则|PQ|=（

）

A 4p

B 5p

C 6p

D 8p

2 y2=2x 上两点 A,B 两点到焦点距离之和是 5，则线段 AB 中点横坐标是 4 线段 AB 是抛物线焦点弦，F 是焦点，若 A,B 在准线上的射影分别为 A1,B1, 则∠A1FB1= 5 已知抛物线 y2=2px (p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点，若线段 A,B 的中点的纵坐标为 2，求该抛物线的准线方程。 6 （四） 其它： 1 正三角形一个顶点在原点，另外两顶点在抛物线 y2=2px(p>0)上，求 这个正三角形边长。

2 边长为 1 的等边三角形 AOB，O 为原点，AB⊥X 轴，以 O 为顶点，且过 A， B 的抛物线方程是

3 双曲线

x 2 16 y 2 ? 2 ? 1 ，左焦点在 y2=2px 准线上，求 p. 3 p

4 y2=2px(p>0)上有一点 M，其横坐标为-9，它到焦点的距离为 10，求抛物线 方程和 M 坐标。

5 已知抛物线顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上的点 M（m,-2）到焦点的 距离为 4，则 m 的值为（ ） A 4 B -2 C 4 或-4 D 2 或-2

6 已知抛物线 y2=6x 的弦 AB 经过点 P（4，2）且 OA⊥OB(O 为坐标原点)，求 弦 AB 的长。
2

7 过抛物线 y=ax2(a>0)的焦点 F 做一直线交抛物线于 P,Q 两点，若 PF 与 FQ 的 长分别为 p,q,则

1 1 ? ?（ p q
(C)4a (D)

）

（A）2a (B)

1 2a

4 a

8 已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O ，并且经过点 M (2, y0 ) 。 若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ，则 | OM |? （ A、 2 2 B、 2 3 C、 4 ） D、 2 5

9 已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O ，并且经过点 M (2, y0 ) 。 若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ，则 | OM |? （ A、 2 2
2 2

） D、 2 5

B、 2 3

C、 4

10 方程 ay ? b x ? c 中的 a, b, c ?{?2,0,1, 2,3} ，且 a, b, c 互不相同，在所有这些 方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ） A、28 条 B、32 条 C、36 条
2

D、48 条

11 过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点，若 | AF |? 3 ，则

| BF | =______。
（五） 直线和抛物线的位置关系 1 已知抛物线 y2=2px (p>0) 的准线为 l ，过 M（1,0）且斜率为 3 的直线与 l 相交于点 A, 与 C 的一个交点为 B，若 AM ? MB ,求 p 的值。

uuur

uuu r

3