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2011清华大学自主招生试题数学


2011 年自主招生华约数学试题
一、选择题 (1) 设复数 z 满足|z|<1 且 | z ?

1 5 |? 则|z| = ( ) z 2 4 3 2 1 A? ???????B? ???????C? ???????D? 5 4 3 2 1 5 5 2 解:由 | z ? |? 得 | z | ?1 ? | z | ,已经转化为一个实数的方程。解得|z| =2(舍 z 2 2 1 去) ? 。 , 2
角的正切为 2 。则异面直线 DM 与 AN 所成角的余弦为(

(2) 在正四棱锥 P-ABCD 中,M、N 分别为 PA、PB 的中点,且侧面与底面所成二面 )

1 1 1 1 A? ???????B? ???????C? ???????D? 3 6 8 12
[分析]本题有许多条件,可以用“求解法” ,即假设题中的一部分要素为已知,利用 这些条件来确定其余的要素。本题中可假设底面边长为已知(不妨设为 2) ,利用侧 面与底面所成二面角可确定其他要素,如正四棱锥的高等。然后我们用两种方法, 一种是建立坐标系,另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。

z P

M

D O

N

C y B

A x

解法一:如图,设底面边长为 2,则由侧面与底面所成二面角的正切为 2 得高为

2 。如图建立坐标系,则 A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,0,
???? ? 3 1 2 ???? 1 1 2 1 1 2 1 3 2 2 ),则 M ( , ? , ), N , , ) , DM ? ( , ? , ( ), AN ? (? , , ) 。设所 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ???? ???? ? DM ?AN 1 成的角为θ ,则 cos ? ? ???? ???? ? 。 ? 6 DM AN

解法二:如图,设底面边长为 2,则由侧面与底面所成二面角的正切为 2 得高为

2 。平移 DM 与 AN 在一起。即 M 移到 N,D 移到 CD 的中点 Q。于是 QN = DM = AN。
而 PA = PB = AB = 2,所以 QN = AN = P

3 ,而 AQ =

5 ,容易算出等腰Δ AQN 的顶角

M

D

N

Q

C

A

B

cos ?ANQ ?
略。

1 。 6

解法三:也可以平移 AN 与 DM 在一起。即 A 移到 M,N 移到 PN 的中点 Q。以下

(3)过点(-1, 1)的直线 l 与曲线相切,且(-1, 1)不是切点,则直线 l 的斜率为 (

)

A?2??????B1??????C?? 1???????D?? 2 ?
此题有误,原题丢了,待重新找找。 (4)若 A ? B ?

2? ,则 cos 2 A ? cos 2 B 的最小值和最大值分别为 ( 3

)

A1 ? ?

3 3 1 3 3 3 1 2 ?, ?????B? , ??????C1 ? ? ,1 ? ???????D? ,1 ? 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2

[分析]首先尽可能化简结论中的表达式 cos A ? cos B ,沿着两个方向:①降次: 把三角函数的平方去掉;②去角:原来含两个角,去掉一个。 解: cos A ? cos B ?
2 2

1 ? cos 2 A 1 ? cos 2 B 1 ? ? 1 ? (cos 2 A ? cos 2 B) 2 2 2

1 ? 1 ? cos( A ? B) cos( A ? B) ? 1 ? cos( A ? B) ,可见答案是 B 2

[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的,有点眼花缭乱。我们来转化一下,就 可以去掉三个圆,已知条件变为:Δ O O1 O2 边 O1 O2 上一点 C,O O1、O O2 延长 线上分别一点 A、B,使得 O1A = O1C,O2B = O2C。 解 法 一 : 连 接 O1O2 , C 在 O1O2 上 , 则 ?O O O? ? O O ? ? ? ? , 1 2 2 O 1

1 1 ?O1 AC ? ?O1CA ? ?OO1O2 , ?O2 BC ? ?O2CB ? ?OO2O1 ,故 2 2 1 ? ?? ?O1CA ? ?O2CB ? (?OO1O2 ? ?OO2O1 ) ? , 2 2 ? ?? ? ? ? ? ? (?O1CA ? ?O2CB ) ? , sin ? ? cos 。 2 2
解法二:对于选择填空题,可以用特例法,即可以添加条件或取一些特殊值,在 本题中假设两个小圆的半径相等,则 ?OO1O2 ? ?OO2O1 ?

? ??
2



?O1CA ? ?O2CB ?

1 ? ?? ?OO1O2 ? , 2 4 ? ?? ? ? ? ? ? (?O1CA ? ?O2CB ) ? , sin ? ? cos 。 2 2

(6) 已知异面直线 a, 成 60°角。 为空间一点则过 A 与 a, 都成 45°角的平面 ( ) b A b A 有且只有一个 B 有且只有两个 C 有且只有三个 D 有且只有四个 [分析]已知平面过 A,再知道它的方向,就可以确定该平面了。因为涉及到平面的方 向,我们考虑它的法线,并且假设 a,b 为相交直线也没关系。于是原题简化为:已 知两条相交直线 a,b 成 60°角,求空间中过交点与 a,b 都成 45°角的直线。答案 是 4 个。 (7) 已 知 向 量 a ? (0,1), b ? (?

?

?

? ? 3 1 ? 3 1 ? , ? ), c ? ( , ? ), xa ? yb ? zc ? (1,1) 则 2 2 2 2

x2 ? y 2 ? z 2 的最小值为(

)

4 3 A?1???????B? ???????C? ???????D?2 3 2 ? ? ? 解:由 xa ? yb ? zc ? (1,1) 得

? 3 ? 3 3 y? z ? 1 ?? ( y ? z) ? 1 ?? ? 2 ? 2 ,  2 ? ? ? x ? y ? z ?1 ? x ? y ? z ?1 ? ? ? 2 2 ? 2
由于 x ? y ? z ? x ?
2 2 2 2

( y ? z )2 ? ( y ? z )2 ,可以用换元法的思想,看成关于 x,y 2

2 ? ? y?z ?? + z,y - z 三个变量,变形 ? 3 ,代入 ? y ? z ? 2( x ? 1) ?
x2 ? y 2 ? z 2 ? x2 ?
? x 2 ? 2( x ? 1) 2 ?

( y ? z )2 ? ( y ? z )2 2

2 8 2 4 ? 3x 2 ? 4 x ? ? 3( x ? ) 2 ? ,答案 B 3 3 3 3
?

(8)AB 为过抛物线 y2 = 4x 焦点 F 的弦,O 为坐标原点,且 ?OFA ? 135 ,C 为抛物线 准线与 x 轴的交点,则 ?ACB 的正切值为 ( )

A?2 2???????B?

4 2 4 2 2 2 ???????C? ???????D? 5 3 3

解法一:焦点 F(1,0) ,C(-1,0) ,AB 方程 y = x – 1,与抛物线方程 y2 = 4x 联立, 解得 A???? 2 2? ? ? 2 2)?,B????? 2 2? ? ? 2 2)? ,于是 ???

kCA ?

k ? kCB ??2 2 2 ??2 2 2 , tan ?ACB ? CA ? 2 2 ,答 = ,kCB ? =1 ? kCAkCB 2 ??2 2 2 ??2 2

案A 解法二: 如图, 利用抛物线的定义, 将原题转化为: 在直角梯形 ABCD 中, BAD = 45°, ∠ EF∥DA,EF = 2,AF = AD,BF = BC,求∠AEB。 D G A

E

F

C

B

tan ?AEF ? tan ?EAD ?

DE GF 2 ? ? 。类似的,有 AD AF 2

tan ?BEF ? tan ?EBC ?

2 , ?AEB ? ?AEF ? ?BEF ? 2?AEF , 2

tan ?AEB ? tan 2?AEF ? 2 2 ,答案 A

解: S ?BDF ?

DF BD S ?BDE ? zS ?BDE , S?BDE ? S?ABE ? (1 ? x) S?ABE , DE AB
D F

S ?ABE ?

AE S ?ABC ? yS ?ABC , 于 是 S?B AC

? ( 1 x ) y z SA ? ? ?

B C

? ( 1 。 )将 z 2 x y

y ? z ? x ?1 ,变形为y ? z ? x ? 1 ,暂时将 x 看成常数,欲使 yz 取得最大值必须
x ?1 1 1 2 ,于是 S ?BDF ? (1 ? x )( x ? 1) ,解这个一元函数的极值问题, x ? 时 2 2 3 16 取极大值 。 27 y?z?
(10) 将一个正 11 边形用对角线划分为 9 个三角形,这些对角线在正 11 边形内两两不 相交,则( ) A 存在某种分法,所分出的三角形都不是锐角三角形 B 存在某种分法,所分出的三角形恰有两个锐角三角形 C 存在某种分法,所分出的三角形至少有 3 个锐角三角形 D 任何一种分法所分出的三角形都恰有 1 个锐角三角形 解:我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形。如图,假设Δ ABC 是锐角 三角形, 我们证明另一个三角形Δ DEF(不妨设在 AC 的另一边)的(其中的边 EF 有可能与 AC 重合)的∠D 一定是钝角。事实上,∠D ≥ ∠ADC,而四边形 ABCD 是圆内接四边形,所 以∠ADC = 180°-∠B,所以∠D 为钝角。这样就排除了 B,C。 A E

B

D F

C

下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形。

A

B

D

C 假设Δ ABC 中∠B 是钝角,在 AC 的另一侧一定还有其他顶点,我们就找在 AC 的另一 侧的相邻(指有公共边 AC) Δ ACD,则∠D = 180°-∠B 是锐角,这时如果或是钝角,我们 用同样的方法继续找下去,则最后可以找到一个锐角三角形。所以答案是 D。 二、解答题

解: (I) tan C ? ? tan( A ? B ) ?

tan A ? tan B ,整理得 tan A tan B ? 1 tan A tan B tan C ? tan A ? tan B ? tan C

(II) 由已知 3 tan A tan C ? tan A ? tan B ? tan C , (I) 与 比较知 tan B ? 3,B= 又

?
3



1 1 2 2 4 ? ? ? ? sin 2 A sin 2C sin 2B sin 2? 3 3



sin 2 A ? sin 2C 4 ? sin 2 A sin 2C 3



sin( A ? C ) cos( A ? C ) 1 3 ? ,而 sin( A ? C ) ? sin B ? , cos 2( A ? C ) ? cos 2( A ? C ) 2 3
cos 2( A ? C ) ? cos 2 B ? ? 1 ,代入得 2cos 2( A ? C ) ? 1 ? 3cos( A ? C ) , 2
1 A?C 6 ? 1, , cos 4 2 4

? 4cos2 ( A ? C) ? 3cos( A ? C) ?1 ? 0 , cos( A ? C ) ? 1,

(12)已知圆柱形水杯质量为 a 克,其重心在圆柱轴的中点处(杯底厚度及重量忽略不 计,且水杯直立放置) 。质量为 b 克的水恰好装满水杯,装满水后的水杯的重心还有 圆柱轴的中点处。 (I)若 b = 3a,求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值; (II)水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低?为什么? 解:不妨设水杯高为 1。 (I)这时,水杯质量 :水的质量 = 2 :3。水杯的重心位置(我们用位置指到水

杯底面的距离)为

1 1 ,水的重心位置为 ,所以装入半杯水的水杯的重心位置为 2 4

1 1 2? ? 3? 2 4? 7 2?3 20
(II) 当装入水后的水杯的重心最低时,重心恰好位于水面上。设装 x 克水。这时, 水杯质量 :水的质量 = a :x。水杯的重心位置为

1 x ,水的重心位置为 ,水面 2 2b

x 位置为 ,于是 b

1 x a ? ? x? 2 2b ? x ,解得 x ? a2 ? ab ? a a?x b
2x 1 2 1 ,f (1) ? 1,f ( ) ? 。令 x1 ? ,xn ?1 ? f ( xn ) 。 ax ? b 2 3 2

(13)已知函数 f ( x) ?

(I)求数列 {xn } 的通项公式;

1 。 2e 1 2 2x 解:由 f (1) ? 1,f ( ) ? 得a ? b ? 1,f ( x) ? 2 3 x ?1
(II)证明 x1 x2 ? xn ?1 ? (I)先求出 x1 ?

1 2 4 8 2n ?1 ,x2 ? ,x3 ? , x4 ? ,猜想 xn ? n ?1 。用数学归纳法 2 3 5 9 2 ?1

证 明 。 当 n = 1 显 然 成 立 ; 假 设 n = k 显 然 成 立 , 即 xk ?

2k ?1 ,则 2k ?1 ? 1

2 xk 2k ,得证。 xk ?1 ? f ( xk ) ? ? xk ? 1 2k ? 1
(II) 我们证明

1 ? 2e 。事实上, x1 x2 ? xn ?1

1 1 1 1 ? 2(1 ? )(1 ? )?(1 ? n ) 。我们注意到 x1 x2 ? xn?1 2 4 2

1? 2a ? (1 ? a)2, , 2n a ? (1 ? a)2 ,于是 ? 1?
n

1 1 n?1 1 n 1 n ? 2(1 ? n )2 ??? 2?1 ? 2(1 ? n )2 ?1 ? 2(1 ? n )2 ? 2e x1 x2 ? xn?1 2 2 2

(14)已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), F1 , F2 分别为 C 的左右焦点。P 为 C 右 a 2 b2

支上一点,且使 ?F1 PF2 =

?
3

, 又?F1 PF2的面积为3 3a 2 。

(I)求 C 的离心率 e ; (II)设 A 为 C 的左顶点, 为第一象限内 C 上的任意一点, Q 问是否存在常数λ(λ >0) , 使得 ?QF2 A ? ??QAF2 恒成立。若存在,求出λ 的值;若不存在,请说明理由。 P F E 2a F1 P 2c x F2
2

解 : 如 图 , 利 用 双 曲 线 的 定 义 , 将 原 题 转 化 为 : 在 Δ P F1 F2 中 ,

?F1 P F= ,? F P的面积为 3 3 2 ,E 为 PF1 上一点,PE = PF2,E F1 =2a, F a 2 1 2 3 c F1 F2 = 2c,求 。 a
设 PE = PF2 = EF2 = x,F F2 =

?

3 x, 2

S?F1PF2 ?

1 1 3 x x PF1 ?FF2 ? ( x ? 2a) x ? 3 3a 2 , 2 ? 4ax ? 12a 2 ? 0 , ? 2a 。 2 2 2
2? c ,于是 2c ? 2 3a , e ? ? 3 。 3 a

Δ E F1 F2 为等腰三角形, ?EF1 F2 ?

(II) (15)将一枚均匀的硬币连续抛掷 n 次,以 pn 表示未出现连续 3 次正面的概率。 (I)求 p1,p2,p3,p4; (II)探究数列{ pn}的递推公式,并给出证明; (III)讨论数列{ pn}的单调性及其极限,并阐述该极限的概率意义。


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