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高中数学竞赛讲义


立体几何 一、基础知识 公理 1 公理 2 公理 3 推论 l 推论 2 推论 3 公理 4 定义 1 一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内.则这条直线在这个平面内,记作:a ? a. 两个平面如果有一个公共点,则有且只有一条通过这个点的公共直线,即若 P∈α ∩β ,则存在唯 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面. 直线与直线外一点确定一个

平面. 两条相交直线确定一个平面. 两条平行直线确定一个平面. 在空间内,平行于同一直线的两条直线平行. 异面直线及成角:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.过空间任意一点分别作两条 一的直线 m,使得α ∩β =m,且 P∈m。 异面直线的平行线,这两条直线所成的角中,不超过 900 的角叫做两条异面直线成角.与两条异面直线都 垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线,公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间 的距离. 定义 2 定义 3 定理 1 定理 2 定理 3 定理 4 定义 5 直线与平面的位置关系有两种;直线在平面内和直线在平面外.直线与平面相交和直线与平面平 直线与平面垂直:如果直线与平面内的每一条直线都垂直,则直线与这个平面垂直. 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,则直线与平面垂直. 两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行. 若两条平行线中的一条与一个平面垂直,则另一条也和这个平面垂直. 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离,若一条直线与平面平行,则直线上每一 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线.由斜线上每一点向平面引垂线,垂足叫这 行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外. 点到平面的距离都相等,这个距离叫做直线与平面的距离. 个点在平面上的射影.所有这样的射影在一条直线上,这条直线叫做斜线在平面内的射影.斜线与它的射 影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角. 结论 1 定理 4 定理 5 定理 6 结论 2 定理 7 定义 6 定理 8 定理 9 定义 7 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角. (三垂线定理)若 d 为平面。的一条斜线,b 为它在平面 a 内的射影,c 为平面 a 内的一条直线,若 直线 d 是平面 a 外一条直线,若它与平面内一条直线 b 平行,则它与平面 a 平行 若直线。与平面α 平行,平面β 经过直线 a 且与平面 a 交于直线 6,则 a//b. 若直线。与平面α 和平面β 都平行,且平面α 与平面β 相交于 b,则 a//b. (等角定理)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,则两个角相等. 平面与平面的位置关系有两种:平行或相交.没有公共点即平行,否则即相交. 平面 a 内有两条相交直线 a,b 都与平面β 平行,则α //β . 平面α 与平面β 平行,平面γ ∩α =a,γ ∩β =b,则 a//b. (二面角),经过同一条直线 m 的两个半平面α ,β (包括直线 m,称为二面角的棱)所组成的图形叫 c ? b,则 c ? a.逆定理:若 c ? a,则 c ? b. 二面角,记作α —m—β ,也可记为 A—m 一 B,α —AB—β 等.过棱上任意一点 P 在两个半平面内分别作 棱的垂线 AP,BP,则∠APB(≤900)叫做二面角的平面角. 它的取值范围是[0,π ]. 特别地,若∠APB=900,则称为直二面角,此时平面与平面的位置关系称为垂直,即α 定理 10 定理 11 定理 12 定义 8 如

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