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四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断考试数学(理)试卷


资阳市高中 2014 级第一次诊断性考试

数 学(理工类)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) 。答题前,考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案

写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 M ? x | x2 ? 4 ,N ? ??3, ? 2,,, 2 3 4? ,则 M ? N ?

?

?

4? (A) ?3,
3 4? (C) ??2,,
2.设 i 是虚数单位,则复数 z ? (A) 4i 3. “ x ? 2 ”是“ (B) 4
1 1 ? ”的 x 2 4 ? 3i 的虚部为 i

3 4? (B) ??3,,
? 2,,, 2 3 4? (D) ??3,

(C) ? 4 i

(D) -4

(A) 充分不必要条件 (C) 充要条件

(B) 必要不充分条件 (D) 既不充分又不必要条件

4.函数 y ? sin 2x ? 3 cos 2x 的图象的一条对称轴方程为 (A) x ?
π 12

(B)

x??

π 12

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(C) x ?

π 6

(D) x ? ?

π 6

5.已知各项均为正数的等比数列 ?an ? 满足 a3 ? a5 ? 64 , a2 ? 2 ,则 a1 ? (A) 4 (B) 2 (C) 1 (D)
1 2

? 2m) (m ? 0) 是角α 终 6.已知角α的顶点与原点O重合,始边与 x 轴的非负半轴重合, P(m,

? 边上的一点.则 tan(? ? ) 的值为 4

(A) 3 (C) ?
1 3

(B)

1 3

(D) ?3

7.函数 y ? 2| x | ? x2 ? 2 的图象可能是

8.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若
18 5

a5 S ? 2 ,则 9 ? a3 S5

(A) (C)

(B) (D)

14 5

12 5

9 5

9.公元 263 年左右,我国数学家刘徽发现,当圆内接多边形的边数无限增加 时,多边形面积可无限逼近圆的面积,由此创立了割圆术,利用割圆术刘 徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14,这就是著名的徽 率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图,则输出的 n 值为 (参考数 据: 3 ? 1.732 , sin15? ? 0.2588 , sin 7.5? ? 0.1305 ) (A) 12 (B) 24 (C) 48 (D) 96

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10.已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,则下列结论一定成立的是 (A) 若 a5 ? 0 ,则 a2017 ? 0 (B) 若 a6 ? 0 ,则 a2018 ? 0 (C) 若 a5 ? 0 ,则 S2017 ? 0 (D) 若 a6 ? 0 ,则 S2018 ? 0

??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? 11.已知△ABC 的外接圆半径为 1,圆心为 O,且满足 OA ? 2OB ? 4OC ? 0 ,则 AB ? OC ?
(A) ? (C)
15 16

(B) ? (D)

7 16

7 16

15 16

? ?) 上的函数,其导函数为 f ?( x) ,且不等式 x f ?( x) ? 2 f ( x) 12.已知 f ( x) 是定义在区间 (0,

恒成立,则 (A) 4 f (1) ? f (2) (C)
f (1) ? 4 f (2)

(B) 4 f (1) ? f (2) (D) f (1) ? 4 f ?(2)

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第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题?第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答。第 22 题、第 23 题为选考题,考生根据要求做答。 注意事项: 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先 用铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

? 1 x 1 ?( ) ,x ≤ 0, f ( x ) ? 13.已知 则 f (8) ? f (log2 ) ? ___________. ? 2 4 ? ?log 2 x,x ? 0,
? x ≥ 0, ? 14.已知实数x,y满足不等式组 ? y ≥ ?2, 则 2 x ? y 的最大值是___________. ?2 x ? y ? 2 ≤ 0, ?
1 ? b) ,若 m∥n,则 a ? b 最小 15.已知 a,b 为正实数,向量 m ? (a,a ? 4) ,向量 n ? (b,

值为___________. 16.已知数列 {an } 是以 t 为首项,以 2 为公差的等差数列,数列 {bn } 满足 2bn ? (n ? 1)an .若 对 n ? N* 都有 bn ≥ b4 成立,则实数 t 的取值范围是___________. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)
? 1 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ) ? cos ? x ? (其中 ? ? 0 )的最小正周期为 π . 6 2

(Ⅰ) 求 ? 的值; (Ⅱ) 将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移
? 个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长为 6

?] 上零点. 原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 g ( x) 的图象.求函数 g ( x) 在 [??,

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18. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时, f ( x) ? ( x ? a)e x ? 2 (其中 a ? R ,e 是 自然对数的底数,e=2.71828…) . (Ⅰ) 求 a 的值;
2] 时,方程 f ( x) ? m 有实数根,求实数 m 的取值范围. (Ⅱ) 若 x ? [?1,

19.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,满足
2c ? a b ? ,D 是 BC 边上的一点. cos A cos B

(Ⅰ) 求角 B 的大小; (Ⅱ) 若 AC=7,AD=5,DC=3,求 AB 的长.

20.(本小题满分12分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,且 Sn?1 ? 2Sn ? n ? 1 ? 0 ( n ? N* ). (Ⅰ) 求证:数列 {an ? 1} 为等比数列; (Ⅱ) 令 bn ? nan ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

21.(本小题满分 12 分)
b 已知函数 f ( x) ? a ( x ? ) ? b ln x (其中 a,b ? R ). x

(Ⅰ) 当 b ? ? 4 时,若 f ( x) 在其定义域内为单调函数,求a的取值范围; (Ⅱ) 当 a ? ?1 时,是否存在实数b,使得当 x ?[e,e2 ] 时,不等式 f ( x) ? 0 恒成立,如果 存在,求b的取值范围,如果不存在,说明理由(其中e是自然对数的底数,e=2.71828…).

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请考生在 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时,请 用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑。

22.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t, ?x ? 6 ? ? 2 (其中 t 为参数) 在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 ? .现以坐标原 2 ? y? t ? ? 2
点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 6cos? . (Ⅰ) 写出直线 l 普通方程和曲线 C 的直角坐标方程;
0) 且与直线 l 平行的直线 l1 交 C 于 A , B 两点,求 | AB | . (Ⅱ) 过点 M (?1,

23.(本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? | x ? 1| ? | m ? x | (其中 m ? R ) . (Ⅰ) 当 m ? 3 时,求不等式 f ( x) ≥ 6 的解集; (Ⅱ) 若不等式 f ( x) ≥ 8 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围.

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资阳市高中 2014 级第一次诊断性考试 数学参考答案及评分意见(理工类)

一、选择题 1.B 2.D 3.A 4.B 5.C 6.C 7.D 8.A 9.B 10.C 11.C 12.B 二、填空题 13.7;14.6;15. 三、解答题
? 1 1 17.(Ⅰ) f ( x) ? 2sin(? x ? ) ? cos ? x ? ? 3 sin ? x ? cos ? x ? cos2 ? x ? 6 2 2
? 3 1 ? sin 2? x ? cos 2? x ? sin(2? x ? ) . 2 2 6

9 ;16. [?18, ?14] . 2

由最小正周期 T ?

2? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ? ? ,得 ? ? ? . · 2?

? ? (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 f ( x) ? sin(2x ? ) ,将函数 f ( x) 的图象向左平移 个单位, 6 6

? ? ? 得到图象的解析式 h( x) ? sin[2( x ? ) ? ] ? sin(2 x ? ) , 6 6 6 ? 将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍,得到 g ( x) ? sin( x ? ) . 6

由x?

? ? ? k ?,k ? Z ,得 x ? k ? ? , 6 6

? ?? ?] 时,函数 g ( x) 的零点为 ? 和 故当 x ? [??, .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 6 6

分 18.(Ⅰ) 因为 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 由 f(0)=0 得 f (0) ? (0 ? a)e0 ? 2 ? 0 即 a=-2. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (Ⅱ) 由(Ⅰ),当 x≥0 时, f ( x) ? ( x ? 2)e x ? 2 . 当 x<0 时, ? x ? 0 , f (? x) ? (? x ? 2)e? x ? 2 .
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由于 f ( x) 是奇函数,则 f ( x) ? ? f (? x) ? ?[(? x ? 2)e? x ? 2] , 故当 x<0 时, f ( x) ? ( x ? 2)e? x ? 2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 当 ?1 ≤ x ? 0 时, f ( x) ? ( x ? 2)e? x ? 2 , f ?( x) ? ?( x ? 1)e? x , 由 ?1 ≤ x ? 0 ,知 f ?( x) ≤ 0 ,则当 ?1 ≤ x ? 0 时, f ( x) 单调递减, 此时 f (0) ? f ( x) ≤ f (?1) ,即 f ( x) ? (0,e ? 2] . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 当 0 ≤ x ≤ 2 时, f ( x) ? ( x ? 2)e x ? 2 , f ?( x) ? ( x ? 1)e x ,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 , 当 0 ? x ? 1时, f ?( x) ? 0 , 当 1 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 , 则 f ( x) 在 (0,1) 上单调递减; 在 (1, 2) 上单调递增.则 f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? 2 ? e ,又 f (0) ? 0 , f (2) ? 2 , 故当 0 ≤ x ≤ 2 时, f ( x) ? [2 ?e,2] .
2] 时, f ( x) ? [2 ?e,2] , 综上,当 x ? [?1,

所以实数 m 的取值范围是 [2 ?e,2] . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 19.(Ⅰ) 由
2c ? a b ? , cos A cos B

得 2c cos B ? a cos B ? b cos A ,即 2c cos B ? a cos B ? b cos A , 根据正弦定理, 2 sin C cos B ? sin A cos B ? sin B cos A ? sin( A ? B) ? sin C , · · · · · · · · · · · 4分 所以 cos B ?
2 ,又 0? ? B ? 180? , 2

所以 B ? 45? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ) 在△ADC 中,AC=7,AD=5,DC=3, 由余弦定理得 cos ?ADC ?

AD2 ? DC 2 ? AC 2 52 ? 32 ? 72 1 ? ?? , 2 AD ? DC 2?5?3 2

所以 ? ADC=120°, ? ADB=60°, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 在△ABD 中,AD=5, ? B=45°, ? ADB=60°, 由正弦定理,得
AB AD , ? sin ?ADB sin B

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AD ? sin ?ADB 5sin 60? ? ? 所以 AB= sin B sin 45?

5?

3 2 ? 5 6 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 2 2 2

分 20.(Ⅰ) 由 Sn?1 ? 2Sn ? n ? 1 ? 0 , 当 n ≥ 2 时, Sn ? 2Sn ?1 ? n ? 1 ? 1 ? 0 , 两式相减,得 an?1 ? 2an ? 1 ? 0 ,可得 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1)(n ≥ 2) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 又 (a1 ? a2 ) ? 2a1 ? 1 ? 1 ? 0 ,则 a2 ? 3 ,满足 a2 ? 1 ? 2(a1 ? 1) , 即 {an ? 1} 是一个首项为 2,公比为 2 的等比数列. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ) 据(Ⅰ)得 an ? 2n ? 1 . 所以 bn ? nan ? n ? 2n ? n , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 则 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n ? (1 ? 2 ? ? ? n) .
令 Wn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n , 则 2Wn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? n ? 2n?1 , 所以 ?Wn ? 2 ? 22 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1 ?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n?1 ? (1 ? n)2n?1 ? 2 . 1? 2

则 Wn ? (n ? 1)2n?1 ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 所以 Tn ? (n ? 1)2n?1 ? 分
4 4 4 ax2 ? 4x ? 4a 21.(Ⅰ) 由题 x>0, f ( x) ? a( x ? ) ? 4ln x , f ?( x) ? a(1 ? 2 ) ? ? . x x x x2
n(n ? 1) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 ?2 .· 2

①当a≤0时,知 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 是单调递减函数; ②当a>0时,只有对于x>0,不等式 ax 2 ? 4 x ? 4a ≥ 0 恒成立,才能使f(x)为单调函数, 只需 ? ? (?4)2 ? 16a2 ≤ 0 ,解之得 a ≤ ?1或a ≥ 1 ,此时a≥1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 综上所述,a的取值范围是 (??, 0] ? [1, ??) . ·

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(Ⅱ) f ( x) ? b ln x ? x ?

b b b ? x2 ? bx ? b . ,其中x>0, f ?( x) ? ? 1 ? 2 ? x x x x2

(ⅰ) 当b≤0时, f ?( x) ? 0 ,于是 f ( x) 在(0,+∞)上为减函数,则在[e,e?]上也为减函数,
知 f ( x)max ? f (e) ? b ? e ?

b 1 ? (1 ? )b ? e <0恒成立,不合题意,舍去. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 e e

b ? b 2 ? 4b (ⅱ) 当b>0时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? .列表得 2

x
f ?( x) f ( x)

(0,

b ? b 2 ? 4b ) 2

b ? b 2 ? 4b 2

(

b ? b 2 ? 4b ,+∞) 2

+ ↗

0 极大值

- ↘

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ①若

e2 b ? b 2 ? 4b b ≤ ,即 ,则 f ( x) 在[e,e?] 上单调递减, ≤e e ?1 2

知 f ( x)max ? f (e) ? b ? e ? ? (1 ? )b ? e ,而 (1 ? )b ? e ≤ (1 ? )

b e

1 e

1 e

1 e2 ?2e ?e ? ?0, e e ?1 e ?1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 于是 f ( x)max <0恒成立,不合题意,舍去. · ②若

e2 b ? b2 ? 4b , ? e ,即 b ? e ?1 2

b ? b 2 ? 4b b ? b 2 ? 4b )上为增函数,在( ,+∞)上为减函数, 则 f ( x) 在(e, 2 2
? f (e) ? 0, 要使在[e,e?]恒有 f ( x) ? 0 恒成立,则必有 ? 2 ? f (e ) ? 0,

? e2 e4 b ? b ? ? , b ? e ? ? 0 , ? ? ? ? e ? 1 e3 ? e 2 e · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10分 则? 所以 ? 4 ?b ? e . ? 2b ? e 2 ? b ? 0, ? ? e2 ? 2e2 ? 1 ?
3 2 2 3 2 由于 e ? e ? (2e ? 1) ? e ? 3e ? 1 ? 0 ,则

e2 e4 e4 e2 . ? 3 2 ? 2 ,所以 b ? e ?1 e ? e 2e ? 1 e ?1

综上所述,存在实数 b ? (

e2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 , ??) ,使得 f ( x) ? 0 恒成立. · e ?1

分 选做题
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? 2 t, ?x ? 6 ? ? 2 消去参数 t,得直线 l 的普通方程为 x ? y ? 6 ? 0 . 22.(Ⅰ) 由 ? 2 ? y? t ? ? 2
又由 ? ? 6cos? 得 ? 2 ? 6? cos? ,
? x=? cos ?, 由? 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 6 x ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 y = ? sin ? ?

? 2 t, ? x ? ?1 ? ? 2 (Ⅱ) 过点 M (?1,0) 且与直线 l 平行的直线 l1 的参数方程为 ? 2 ? y? t. ? ? 2
将其代入 x2 ? y 2 ? 6 x ? 0 得 t 2 ? 4 2t +7 ? 0 , 则 t1 ? t2 ? 4 2,t1t2 ? 7 ,知 t1 ? 0,t2 ? 0 , 所以 | AB |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 23.(Ⅰ) 当 m ? 3 时, f ( x) ≥ 6 即 | x ? 1| ? | x ? 3 |≥ 6 . ①当 x ? ?1 时,得 ? x ? 1 ? x ? 3 ≥ 6 ,解得 x ≤ ?2 ; ②当 ?1 ≤ x ≤ 3 时,得 x ? 1 ? x ? 3 ≥ 6 ,不成立,此时 x ? ? ; ③当 x ? 3 时,得 x ? 1 ? x ? 3 ≥ 6 成立,此时 x ≥ 4 . 综上,不等式 f ( x) ≥ 6 的解集为 {x | x ≤ ?2 或 x ≥ 4} . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ) 因为 | x ? 1| + | m ? x |≥| x ? 1 ? m ? x | = | m ? 1| , 由题意 m ? 1 ≥ 8 , 即 m ? 1 ≤ ?8 或 m ? 1 ≥ 8 ,
? 9] ? [7, ? ?) .· 解得 m ≤ ?9 或 m ≥ 7 ,即 m 的取值范围是 (??, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10



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