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金湖二中2014届高三数学周末测试卷(七)


金湖二中 2014 届高三第七次周末测试

数 学 试 卷(文理合卷)
本试卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟.

2014.4.17

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答卷纸相应位 ......
置 上. . 1.已知全集 U=R,函数 f ( x) ? 2x ? 3x 的定义域为 A,则 CU A = 2.已知复数 z 满足 (1 ? i) z ? ?1 ? 5i ,则 | z |? ▲ 。 ▲ . ▲ .

3.已知两条直线 y ? ax ? 2 和 3x ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 互相平行,则 a 等于

4.我市开展的“魅力教师”学生原创网文大赛,各校上传文章的时间为 3 月 1 日到 30 日, 评委会把各校上传的文章按 5 天一组分组统计,绘制了频率分布直方图(如图) 。已知从 左至右各长方形的高的比为 2 : 3 : 4 : 6 : 4 : 1 ,第三组的频数为 60.那么本次活动收到的文 章数是 ▲ 。

5.执行上面的流程图,输出的结果 S ?





6.从集合 {2,3, 4,5} 中随机抽取一个数 a ,从集合 {2,3,5} 中随机抽取一个数 b ,则向量

m ? (a, b) 与向量 n ? (1, ?1) 垂直的概率为



2 2 2 2 7 .如果双曲线 x ? y ? 1 的渐近线与圆 ( x ? 2) ? y ? 1 相切,则该双曲线的离心率为 2 2

a

b





8. 设 ? , ? 是互不重合的平面, m, n 是互不重合的直线,给出下列四个命题: ① 若m / / n, n ? ? , 则m / /? ③ 若? / / ? , m ? ? , n ? ?,则m / / n 其中正确命题的序号为 ▲ . ② ? ? ? , ? ? ? ? m, n ? ? , n ? m, 则n ? ? ④ 若m ? ? , n ? ? , m / / ?,n / / ?,则? / / ? 。
1

9 .已知定义在实数集 R 上的偶函数 f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? ?3x ? 4 ;则不等式

f ( x) ? x2 ? 0 的解集为





10.已知等差数列{an}的公差不为零,a1+a2+a5>13,且 a1,a2,a5 成等比数列,则 a1 的取值范围为____▲____. 11.若 x ? (0,

?
4

) ,且 sin 2 x ?

1 ? ,则 f ( x ) ? 2 sin( x ? ) 的值为 ▲ 3 4



12. 已知函数 f ( x) ? xn?1 ( n? N*) 的图象在 的图象与直线 x? 1 交于点 P若函数 , f ( x) 点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn,则 log 2014 x1 ? log2014 x2 ? 为 ▲ .

? log2014 x2013 的值

13. 已知函数 f ( x) ?| x ?

恰有 6 个不同实数解,则 a 的取值范围是

1 1 关于 x 的方程 f 2 ( x) ? a f ( x) ? b ? 0( a, b ? R ) | ?| x ? |, x x
▲ .

14. AB 为单位圆上的弦, P 为单位圆上的动点,设 f (? ) ? BP ? ? BA 的最小值为 M , 若 M 的最大值 M max 满足 M max ?

5 ,则 AB 的取值范围为 4



.

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答卷纸指定区域内 作答,解答时应写出 ........
文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 16 分) 如图,设 A 、 B 是单位圆 O 上的动点,且 A 、 B 分别在第一、二象限. C 是圆 O 与 x 轴 正半轴的交点,△ AOB 为等边三角形.记以 Ox 轴正半轴为始边,射线 OA 为终边的角为 ?.

sin 2 ? ? sin 2? ?3 4? (1)若点 A 的坐标为 ? , ? ,求 的值; cos2 ? ? cos 2? ?5 5?
2 (2)设 f (? ) ?| BC | ,求函数 f (? ) 的解析式和值域.

y A B O C x

2

16. (本小题满分 14 分) 如图,正方形 ABCD 和三角形 ACE 所在的平面互相垂直,EF∥BD, AB= 2EF. (1)求证:BF∥平面 ACE; (2)求证:BF⊥BD.

17. (本小题满分 14 分) 某开发商用 9000 万元在市区购买一块土地建一幢写字楼,规划要求写字楼每层建筑面积 为 2000 平方米。已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米 4000 元,从第二层开始,每 一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加 100 元。 (1)若该写字楼共 x 层,总开发费用为 y 万元,求函数 y=f(x)的表达式; (总开发费用=总建筑费用+购地费用) (2)要使整幢写字楼每平方米开发费用最低,该写字楼应建为多少层?

18. (本小题满分 16 分)

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 短轴两个端点为 A, B , 且四 a2 b2 边形 F1 AF2 B 是边长为 2 的正方形.
已知椭圆 (1)求椭圆的方程; (2)若 C , D 分别是椭圆长轴的左右端点,动点 M 满足 MD ? CD ,连接 CM ,交椭圆于点

P .证明: OM ? OP 为定值;
(3)在(2)的条件下,试问 x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q ,使得以 MP 为直径的圆恒过 直线 DP, MQ 的交点,若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

y
A P M

C

F1

O

F2

D

x

B

3

19. (本小题满分 16 分) 1 已知函数 f(x)= ax2-2xsin2α 和函数 g(x)=ln x,记 F(x)=f(x)+g(x). 2 π (1)当 α= 时,若 f(x)在[1,2]上的最大值是 f(2),求实数 a 的取值范围; 3 (2)当 a=1 时,判断 F(x)在其定义域内是否有极值,并予以证明; π 2 ? (3)对任意的 α∈? ?6,3π? ,若 F(x)在其定义域内既有极大值又有极小值,试求实数 a 的取 值 范围.

20. (本小题满分 16 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 Sn ? tSn?1 ? n ( n ? 2 , n ? N* ,t 为常数) ,且 a1 ? 1 . (Ⅰ)当 t ? 2 时,求 a 2 和 a 3 ; (Ⅱ)若 {an ? 1} 是等比数列,求 t 的值; (Ⅲ)求 Sn .

出卷人:王吉明 做卷人:周 芸 审核人:王吉明

4

金湖二中 2014 届高三第七次周末测试

数 学 试 卷(附加题部分)
本试卷满分为 40 分,考试时间为 30 分钟.

2014.4.17

请直接在试卷上作答!
21.B.选修 4—2:矩阵与变换(本小题 10 分) 求使等式 成立的矩阵 M。

5

21.C.选修 4—4:坐标系与参数方程(本小题 10 分) 在直角坐标 xoy 中,以 O 为 极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标 方程为 ? ? 2cos ? ,如图,曲线 C 与 x 轴交于 O,B 两点,P 是曲线 C 在 x 轴上方图象上 任意一点,连结 OP 并延长至 M,使 PM=PB,当 P 变化时,求动点 M 的轨迹的长度。

6

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. 如图,PCBM 是直角梯形, ∠ PCB =90°,PM ∥ BC ,PM =1,BC =2, 又 AC =1,∠ ACB =120°, AB ⊥ PC ,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60°. (Ⅰ)求二面角 M ? AC ? B 的的余弦值; (Ⅱ)求点 C 到面 MAB 的距离.

7

23. 已知二项式 ( 5 x ? 降幂排列. (Ⅰ)求 m 及 t 的值.

1 m ) 的展开式中第 2 项为常数项 t , 其中 m ? N * , 且展开式按 x 的 2x

(Ⅱ)数列 ?an ? 中, a1 ? t , an ? t an?1 , n ? N * ,求证: an ? 3 能被 4 整除.

出卷人:王吉明 做卷人:周 芸 审核人:王吉明

8

金湖二中 2014 届高三第七次周末测试

数学试卷(文理合卷)参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。 1. (0, ??) 2. 13 3. 1或 -3 4.300 5.-20 10. ?

6.

1 4

7.

2 3 3

8.②

[-1,1] 9.

6 3

11. (1, ??)

12.-1

13.-4<a<-2

14. (0,

15 ] 4

二、解答题: (本大题共 6 小题,共计 90 分。

4 3 ?3 4? , ? ,故 sin ? ? , cos ? ? ,????3 分 5 5 ?5 5? 2 2 sin ? ? sin 2? sin ? ? 2 sin ? cos? ? ? 20 .????(6 分) 所以 2 cos ? ? cos 2? 2 cos2 ? ? sin 2 ? (2)因为以 OA 为终边的角是 ? ,且△ AOB 为等边三角形, ? ? ? ?? ? ?? ? 所以以 OB 为终边的角为 ? ? ,所以点 B 的坐标是 ? ,8 分 cos?? ? ? , sin?? ? ? ? ? 3 3? 3 ?? ? ? ? ? 而 C (1 , 0) .所以
15. (1)因为点 A 的坐标为 ?

? ? ?? ? ?? ?? ? ? f (? ) ? | BC | 2 ? ?cos ?? ? ? ? 1? ? sin 2 ?? ? ? ? 2 ? 2 cos ?? ? ? .??10 分 3? ? 3? 3? ? ? ? ? ? ?? ? 因为点 A 、 B 分别在第一、二象限,所以 ? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? , k ? Z , 6 2? ? ?? ? ? 5? ? ? 所以 ?? ? ? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? , k ? Z .????11 分 3? ? 2 6 ? ?

2

? 3 ? 2 ? , 0? ? 的值域为 ? ? ? ,所以 | BC | ? (2 , 2 ? 3) .????13 分 2 3? ? ? ?? ? 因此函数 f (? ) ? 2 ? 2 cos?? ? ? , f (? ) 的值域是 (2 , 2 ? 2 3) .????14 分 3? ?
所以 cos?? ?

? ?

??

16.证明 (1)AC 与 BD 交于 O 点,连接 EO. 正方形 ABCD 中, 2BO=AB,又因为 AB= 2EF, ∴BO=EF,又因为 EF∥BD, ∴EFBO 是平行四边形, ∴BF∥EO,又∵BF?平面 ACE,EO?平面 ACE, ∴BF∥平面 ACE ???7 分
9

(2)正方形 ABCD 中, AC⊥BD, 又因为正方形 ABCD 和三角形 ACE 所在的平面互相垂直, BD?平面 ABCD,平面 ABCD∩平面 ACE=AC, ∴BD⊥平面 ACE,∵EO?平面 ACE, ∴BD⊥EO,∵EO∥BF,∴BF⊥BD. ???14 分 17. (1)由已知,写字楼最下面一层的总建筑费用为: 4000 ? 2000 ? 8000000 (元) ? 800 (万元) , 从第二层开始,每层的建筑总费用比其下面一层多: 100 ? 2000 ? 200000 (元) ? 20 (万元) , 写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以 800 为首项,20 为公差的等差数列???2 分 所以函数表达式为:

y ? f ( x) ? 800x ?

x( x ? 1) ? 20 ? 9000 ? 10x2 ? 790x ? 9000 ( x ? N* ) ;????6 分 2

(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为:
2 f ( x) 5 ( 1x 0? 79 ? x0 9000) ? 1000 ?0 ??????????10 分 2 0 0x 0 x 900 ? ? ? 50 ? x ? ? 79 ? ≥ 50 ? (2 900 ? 79) ? 6950 (元)????????12 分 x ? ? 900 当且仅当 x ? ,即 x ? 30 时等号成立. x 答:该写字楼建为 30 层时,每平方米平均开发费用最低. ????14 分

g ( x )?

x2 y2 ? ? 1 ???4 分 18. 解:(1) a ? 2, b ? c, a ? b ? c ,? b ? 2 ,? 椭圆方程为 4 2
2 2 2
2

(2) C (?2,0), D(2,0) ,设 M (2, y0 ), P( x1 , y1 ) ,则 OP ? ( x1 , y1 ), OM ? (2, y 0 ) . 直线 CM :

?

?

y 1 x ? 2 y ? y0 ,即 y ? 0 x ? y 0 , ? 4 2 4 y0

代入椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 4 得
2 y0 1 2 1 2 ) x 2 ? y0 x ? y0 ?4?0 8 2 2 2 2 8y 4( y0 ? 8) 2( y0 ? 8) ,? y1 ? 2 0 . ? x1 (?2) ? ,? x1 ? ? 2 2 y0 ? 8 y0 ? 8 y0 ? 8

(1 ?

2 2( y0 ? 8) 8 y0 ? OP ? (? 2 , 2 ), y0 ? 8 y0 ?8 ? 2 2 2 4( y0 ? 8) 8 y0 4 y0 ? 32 ? OP? OM ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 (定值). y0 ? 8 y0 ? 8 y0 ? 8 (3)设存在 Q(m,0) 满足条件,则 MQ ? DP . ? ? 2 4 y0 8y MQ ? (m ? 2,? y0 ) , DP ? (? 2 , 2 0 ), y0 ? 8 y0 ? 8
?

???10 分

?

10

则由 MQ? DP ? 0 得

?

?

?

? 存在 Q(0,0) 满足条件

2 2 4 y0 8 y0 ( m ? 2 ) ? ? 0 ,从而得 m ? 0 . 2 2 y0 ?8 y0 ?8

???16 分

π 1 2 3 19. 解:(1)α = 时,f(x)= ax - x. 3 2 2 3 ①当 a=0 时,f(x)=- x,不合题意; 2 3? 1 2 3 ? ?3 ? ②当 a<0 时, f(x) = ax - x 在?-∞, ? 上递增,在? ,+∞? 上递减,而 [1,2]? 2a? 2 2 ? ? 2a ? ? 3 ,+∞?,故不合题意; ?2a ? ? ? 3? 1 2 3 ? ?3 ? ③当 a>0 时,f(x)= ax - x 在?-∞, ?上递减,在? ,+∞?上递增,f(x)在[1,2] 2a? 2 2 ? ? 2a ? 1 3 上的最大值是 max{f(1),f(2)}=f(2),所以 f(1)≤f(2),即 a- ≤2a-3,所以 a≥1. 2 2 综上所述,实数 a 的取值范围是[1,+∞). ???6 分 1 2 2 (2)a=1 时,F(x)= x -2xsin α +ln x 的定义域为(0,+∞), 2 1 F′(x)=x+ -2sin2α ≥2-2sin2α =2cos2 α ≥0.

x

①当 cos α ≠0 时,F′(x)>0,F(x)在(0,+∞)上单调递增,从而 F(x)在其定义域内没 有极值; 1 x- 2 ②当 cos α =0 时, F′(x)=x+ -2= , 令 F′(x)=0, 有 x=1, 但是 x∈(0,1)

x

x

时,F′(x)>0,F(x)单调递增,x∈(1,+∞)时,F′(x)>0,F(x)也单调递增,所以 F(x) 在其定义域内也没有极值. 综上,F(x)在其定义域内没有极值. ???12 分 1 2 2 2 (3)据题意可知,令 F′(x)=ax+ -2sin α =0,即方程 ax -2xsin α +1=0 在(0,+

x

? ?Δ =4sin α -4a>0, ∞)上恒有两个不相等的实数根. 即? ? ?a>0

4

?π 2 ? 恒成立, 因为 α ∈? , π ?, ?6 3 ?

1 ?1 ? sin α ∈? ,1?,所以 0<a< . 16 ?2 ? 1 0, ? 所以 a 的取值范围为? 16 ? ? 20. (Ⅰ)因为 t ? 2 及 Sn ? tSn?1 ? n ,得 Sn ? 2Sn?1 ? n 所以 (a1 ? a2 ) ? 2a1 ? 2 且 a1 ? 1 ,解得 a2 ? 3 同理 (a1 ? a2 ? a3 ) ? 2(a1 ? a2 ) ? 3 ,解得 a3 ? 7 (Ⅱ)当 n ? 3 时, Sn ? tSn ?1 ? n , 得 Sn?1 ? tSn?2 ? n ? 1 , 两式相减得: an ? tan?1 ? 1 (**)
11

???16 分

---------2 分 --------------4 分

-----------------5 分 --------------------6 分



an ? 1 ? tan?1 ? 2

当 t=0 时, an ? 1 ? 2 ,显然 {an ? 1} 是等比数列 因为 {an ? 1} 是等比数列,所以 {bn } 为等比数列, 当 n ? 2 时, bn ?1 ? bn ?1 ? bn 2 恒成立, b ? (2 ? t ) 即 [tbn ? (2 ? t )] ? n ? bn 2 恒成立, t 化简得 (t ? 2)(t ? 1)bn ? (2 ? t )2 ? 0 恒成立,
? (t ? 2)(t ? 1) ? 0 即? ,解得 t ? 2 2 ?(2 ? t ) ? 0 综合上述, t ? 0 或 t ? 2 (Ⅲ)当 t ? 1 时,由(**)得 an ? an?1 ? 1

----------------------7 分

当 t ? 0 时,令 bn ? an ? 1 ? tan ?1 ? 2 ,可得 bn ? tbn ?1 ? 2 ? t ----------------------8 分

-----------------9 分

数列 {an } 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列, 所以 Sn ? 1 ? 2 ?

n(n ? 1) 2 当 t ? 1 时,由(**)得 an ? tan ?1 ? 1 ?n?
设 an ? k ? t (an?1 ? k ) (k 为常数) 整理得 an ? tan?1 ? (t ? 1)k 1 显然 k ? t ?1 1 1 所以 an ? ? t (an?1 ? ) t ?1 t ?1 即数列 {an ?

--------------------10 分

--------------------12 分



1 1 } 是以 1 ? 为首项, t 为公比的等比数列 t ?1 t ?1 1 1 n ?1 ? (1 ? )t , 所以 an ? t ?1 t ?1 t n ?1 1 an ? t ? t ?1 t ?1
t (1 ? t n ) n t (t n ? 1) n t n ?1 ? (1 ? t )n ? t t ? 1 ? ? ? ? 所以 Sn ? 1? t t ? 1 (1 ? t )2 1 ? t (1 ? t )2

? n(n ? 1) ? ? 2 所以 Sn ? ? n ?1 ? t ? (1 ? t )n ? t ? (1 ? t )2 ?

(t ? 1)

----------------------16 分
(t ? 1)

12

金湖二中 2014 届高三第七次周末测试

数 学 试 卷(附加题部分)参考答案
21.

BC ? B ∴ PC ? 平面ABC . C ABC CD ? CB 在平面 内,过 作 ,建立空间直角坐 标系 C ? xyz (如图)
22.(Ⅰ)∵ PC ? AB, PC ? BC, AB
3 1 ? ,设 P ? 0,0, z ?? z ? 0? , 由题意有 A ? ,? ,0? 0 0 ? ? ? ? 2 2 ?

? ? 则 M ? 0,1, z0 ? , AM ? ? 3 , ? 1 , z0 ? , CP ? ? 0, 0, z0 ? ? 2 ? 2 ? ?
0 由 直 线 AM 与 直 线 PC 所 成 的 解 为 60 , 得 0 , A M? C P ? AM ? Cc? P os 6 0

即 z0 2 ?

?
2

z0 2 ? 3 ? z0 ,解得 z0

?1

? ? ∴ CM ? ? 0, 0,1? , CA ? ? 3 , ? 1 , 0 ? ,设平面 MAC 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , ? 2 2 ? ? ?

13

? y1 ? z1 ? 0 ? 则? 3 , 取 x1 ? 1 , 得 n1 ? (1, 3 ? , 1 y ? z ? 0 ? 1 1 ? 2 2 n2 ? ? 0 , 0 ,?1
设 n1 与 n2 所成的角为 ? ,则 cos ? ?

, 3 ) 平 面 ABC 的 法 向 量 取 为

n1 ? n2 n1 ? n2

?

? 3 . 7

显然,二面角 M ? AC ? B 的平面角为锐角,故二面角 M ? AC ? B 的余弦值为 ??????5 分

21 . 7

3 1 3 3 , ? , 0) , B(0, 2, 0) ,? AM ? ( , ,1) , MB ? (0,1, ?1) . 2 2 2 2 ? 3 3 x2 ? y2 ? z2 ? 0 ? 设平面 MAB 的一个法向量 m ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则 ? 2 , 2 ?y ? z ? 0 ? 2 2
(Ⅱ) M (0,1,1) , A(? 取 z2 ? 1 ,得 m ? ( ??????10 分
m?6 1 1 1 1 23.解:(Ⅰ) T2 ? C ( x ) ( ) ? Cm ? ? x 5 , 2x 2 m?6 1 1 ? 0 , m ? 6 , t ? C6 ? ? 3. 故 5 2 (Ⅱ)证明:①当 n ? 1 时, a1 ? 3 , a1 ? 3 ? 0 ,能被 4 整除. 1 m 1 5 m ?1

5 | CB ? m | 2 93 , ?1, ?1) ,则点 C 到平面 MAB 的距离 d ? . ? 31 3 | m|
??????2 分 ??????4 分

②假设当 n=k 时, ak ? 3 能被 4 整除,即 ak ? 3 ? 4 p ,其中 p 是非负整数. 那么当 n =k+1 时,
0 1 2 2 4 p?3 4 P?3 ak ?1 ? 34 p?3 ? (1? 2)4 p?3 ? C4 p?3 ? C4 p?3 ? 2 ? C4 p?3 ? 2 ? .... ? C4 p?3 2

= 1 ? 8 p ? 6 ? 4(C4 p?3 ? .... ? C4 p?3 2
2

4 p ?3

4 P?1

2 4 p ?3 4 P?1 ) = 3 ? 8 p ? 4 ? 4(C4 ) p ?3 ? .... ? C4 p?3 2

= 3 ? 4(2 p ? 1 ? C4 p?3 ? .... ? C4 p?3 2
2

4 p ?3

4 P?1

)

显然 2 p ? 1 ? C4 p?3 ? .... ? C4 p?3 2
2

4 p ?3

4 P?1

是非负整数,

ak ?1 ? 3 能被 4 整除.
由①、②可知,命题对一切 n ? N 都成立.
*

??????10 分

14


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