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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第11章 第3节 推理与证明


第十一章

第三节

一、选择题 1. (文)观察下列各式: 55=3125, 56=15625, 57=78125, ?, 则 52015 的末四位数字为( A.3125 C.0625 [答案] D [解析] 因为 58=390625,59=1953125. 所以 5n(n≥5)的末四位数字周期为 4, 2015=503×4+3,故 52015 的末四位数字为 8125,故选 D. (理)将正整数排成下表: 1 2 5 10 3 6 11 4 7 12 8 13 ? 则在表中数字 2014 出现在( A.第 44 行第 78 列 C.第 44 行第 77 列 [答案] B [解析] 第 n 行有 2n-1 个数字,前 n 行的数字个数为 1+3+5+?+(2n-1)=n2.∵442 =1936,452=2025,且 1936<2014,2025>2014,∴2014 在第 45 行. 2014-1936=78,∴2014 在第 78 列,选 B. 2. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1,3,6,10?这样的数称为“三角形数”, 而把 1,4,9,16? 这样的数称为“正方形数”.如图,可以发现,任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看作 两个相邻的“三角形数”之和,下列等式中,符合这一规律的表达式是( ) ) B.第 45 行第 78 列 D.第 45 行第 77 列 ? 9 14 15 16 B.5625 D.8125 )

①13=3+10;②25=9+16;③36=15+21;④49=18+31;⑤64=28+36. A.①④ C.③⑤ [答案] C B.②⑤ D.②③

-1-

[解析] 这些“三角形数”依次是 1,3,6,10,15,21,28,36,45,?且“正方形数”是“三角形 数”中相邻两数之和,很容易得到:15+21=36,28+36=64,只有③⑤是对的. 3.如图,在梯形 ABCD 中,AB∥DC,AB=a,CD=b(a>b).若 EF∥AB,EF 到 CD 与 AB ma+nb 的距离之比为 m n, 则可推算出: EF= , 试用类比的方法, 推想出下述问题的结果. 在 m+n 上面的梯形 ABCD 中,延长梯形两腰 AD、BC 相交于 O 点,设△OAB、△OCD 的面积分别为 S1、S2,EF∥AB,且 EF 到 CD 与 AB 的距离之比为 m n,则△OEF 的面积 S0 与 S1、S2 的关 系是( )

mS1+nS2 A.S0= m+n nS1+mS2 B.S0= m+n C. S0= m S1+n S2 m+n n S1+m S2 m+n

D. S0=

[答案] C [解析] 根据面积比等于相似比的平方求解. 4.定义 A*B,B*C,C*D,D*A 的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4),那么下图中(A)(B)所 对应的运算结果可能是( )

A.B*D,A*D C.B*C,A*D [答案] B

B.B*D,A*C D.C*D,A*D

[解析] 观察图形及对应运算分析可知,基本元素为 A→|,B→□,C→——,D→○,从 而可知图(A)对应 B*D,图 B 对应 A*C. 5.(2014· 湖南长沙一模)在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外 S1 1 接圆面积为 S2,则 = .推广到空间可以得到类似结论,已知正四面体 P-ABC 的内切球体积 S2 4

-2-

V1 为 V1,外接球体积为 V2,则 =( V2 1 A. 8 1 C. 27 [答案] C

) 1 B. 9 D. 1 64

[解析] 从平面图形类比空间图形,从二维类比三维,可知选 C.

证明如下:如图,设正四面体的棱长为 a,E 为等边三角形 ABC 的中心,O 为内切球与外 接球球心.则 AE= 3 6 a,DE= a, 3 3

设 OA=R,OE=r, 则 OA2=AE2+OE2, 即 R2=( ∴R= 6 3 a-R)2+( a)2, 3 3

6 6 a,r= a, 4 12

r 1 ∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是 = , R 3 r 1 故正四面体 P-ABC 的内切球体积 V1 与外接球体积 V2 之比等于( )3= . R 27 6. (文)若定义在区间 D 上的函数 f(x), 对于 D 上的任意 n 个值 x1、 x2、 ?、 xn, 总满足 f(x1) +f(x2)+?+f(xn)≥nf?

?

x1+x2+?+xn? ?0,π? n ?,则称 f(x)为 D 上的凹函数,现已知 f(x)=tanx 在? 2? )

上是凹函数,则在锐角三角形 ABC 中,tanA+tanB+tanC 的最小值是( A.3 C .3 3 [答案] C [ 解析 ] tanC≥3tan? 2 B. 3 D. 3

π? 根据 f(x) = tanx 在 ? ?0,2? 上是凹函数,再结合凹函数定义得, tanA + tanB + A+B+C? π 3 ?=3tan3=3 3.故所求的最小值为 3 3.

?

3 3 (理)观察等式:sin230° +cos260° +sin30° cos60° = ,sin220° +cos250° +sin20° cos50° = 和 4 4

-3-

3 sin215° +cos245° +sin15° cos45° = ,?,由此得出以下推广命题,则推广不正确的是( 4 A.sin2α+cos2β+sinαcosβ= 3 4

)

3 B.sin2(α-30° )+cos2α+sin(α-30° )cosα= 4 C.sin2(α-15° )+cos2(α+15° )+sin(α-15° )cos(α+15° )= D.sin2α+cos2(α+30° )+sinαcos(α+30° )= [答案] A [解析] 观察已知等式不难发现,60° -30° =50° -20° =45° -15° =30° ,推广后的命题应 具备此关系,但 A 中 α 与 β 无联系,从而推断错误的命题为 A.选 A. 二、填空题 1 4 x x 4 7. (2013· 山西四校联考)已知 x∈(0, +∞), 观察下列各式: x+ ≥2, x+ 2= + + 2≥3, x x 2 2 x 27 x x x 27 a x+ 3 = + + + 3 ≥4,?,类比得 x+ n≥n+1(n∈N*),则 a=________. x 3 3 3 x x [答案] nn [解析] 第一个式子是 n=1 的情况,此时 a=11=1,第二个式子是 n=2 的情况,此时 a =22=4,第三个式子是 n=3 的情况,此时 a=33=27,归纳可知 a=nn. π 1 8.(文)(2014· 温州适应性测试)已知 cos = , 3 2 π 2π 1 cos cos = , 5 5 4 π 2π 3π 1 cos cos cos = , 7 7 7 8 ?? (1)根据以上等式,可猜想出的一般结论是________; π π 2π π 2π 3π 1023 (2)若数列{an}中, a1=cos , a =cos cos , a =cos · cos cos , ?, 前 n 项和 Sn= , 3 2 5 5 3 7 7 7 1024 则 n=________. π 2π nπ 1 [答案] (1)cos · cos · ?· cos = n(n∈N*) (2)10 2n+1 2n+1 2n+1 2 [解析] (1)从题中所给的几个等式可知,第 n 个等式的左边应有 n 个余弦相乘,且分母均 1 为 2n+1,分子分别为 π,2π,?,nπ,右边应为 n,故可以猜想出结论为 2 π 2π nπ 1 cos · cos · ?· cos = n(n∈N*). 2n+1 2n+1 2n+1 2 3 4 3 4

-4-

1 1 [1-? ?n] n 2 2 1 1 2 -1 1023 (2)由(1)可知 an= n,故 Sn= =1- n= n = ,∴n=10. 2 1 2 2 1024 1- 2 5 5 1 1 2 (理)考察下列一组不等式:23+53>22· 5+2· 52,24+54>23· 5+2· 53,2 +5 >22· 5 +2 · 5 ,?. 2 2 2 2 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广,使以上的不等式成为推广不等式的 特例,则推广的不等式为________________________. [答案] am n+bm n>ambn+anbm(a,b>0,a≠b,m,n>0)
+ +

5 5 1 1 [解析] 由“23+53>22· 5+2· 52”,“24+54>23· 5+2· 53”,“2 +5 >22· 5 +2 · 5”,可得 2 2 2 2 推广形式的最基本的印象:应具有“□ +□ >□ · □ +□ · □ ”的形式. 再分析底数间的关系,可得较细致的印象:应具有“a +b >a · b +a · b ”的形式. 再分析指数间的关系,可得准确的推广形式:am n+bm n>ambn+anbm(a,b>0,a≠b,m,
+ + □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □

n>0). 9.(2014· 福建漳州质检)对于等差数列{an}有如下命题:“若数列{an}是等差数列,a1=0, s,t 是互不相等的正整数,则有(s-1)at-(t-1)as=0”.类比此命题,给出等比数列{bn}相应 的一个正确命题是________. bts 1 [答案] 若数列{bn}是等比数列,b1=1,s,t 是互不相等的正整数,则有 t-1 =1 bs


[解析] 在等差数列{an}中,设 d 为公差,因为 a1=0, 所以 at=(t-1)d,as=(s-1)d, at t-1 所以 = ,即(s-1)at-(t-1)as=0. as s-1 类比此法,在等比数列{bn}中, 设 q 是公比,bt=b1qt 1,bs=b1qs 1,
- -

bts 1 则当 b1=1 时,有 t-1 =1. bs


三、解答题 10.已知直线 AP⊥平面 ABC,底面△ABC 是锐角三角形,若 H 是 A 在平面 BPC 上的射 影,求证:H 不可能是△BPC 的垂心. [分析] 由于本题是证 H 不可能是△BPC 的垂心,因此可从问题的反面出发,假设 H 是 △BPC 的垂心,然后推出一个矛盾的结论. [证明] 假设 H 是△BPC 的垂心,连接 CH 延长交 BP 于 E,则 CE ⊥PB. 又 AH⊥平面 BPC.故 PB⊥AH.

-5-

所以 PB⊥平面 ACE.则 AC⊥BP. 由 PA⊥平面 ABC 知 AC⊥AP,故直线 AC⊥平面 ABP,则 AC⊥AB. 即∠BAC=90° ,这与△ABC 是锐角三角形矛盾,所以 H 不可能是△BPC 的垂心.

一、选择题 11.已知结论:“在三边长都相等的△ABC 中,若 D 是 BC 的中点,G 是△ABC 外接圆 的圆心, 则 AG =2”. 若把该结论推广到空间, 则有结论: “在六条棱长都相等的四面体 ABCD GD AO = OM

中,若 M 是△ BCD 的三边中线的交点, O 为四面体 ABCD 外接球的球心,则 ______.”( A.2 C .4 [答案] B ) B.3 D.9

[解析] 如图,易知球心 O 在线段 AM 上,不妨设四面体 ABCD 的边长为 1,外接球的半 径为 R,则 BM= AM= R= ? 3 2 3 × = , 2 3 3 32 6 ?= , 3 3

12-?

6 3 6 -R?2+? ?2,解得 R= . 3 3 4

6 4 AO 于是, = =3. OM 6 6 - 3 4 12.规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步,现程序设计师让机器狗以“前进 3 步, 然后再退 2 步”的规律移动.如果将此机器狗放在数轴原点,面向正方向,以 1 步的距离为 1 个单位长度移动,令 P(n)表示第 ns 时机器狗所在的位置坐标,且 P(0)=0,则下列结论中正确 的是( ) B.P(2013)=404 D.P(2015)=405

A.P(2012)=404 C.P(2014)=405 [答案] A

[解析] 显然每 5s 前进一个单位,且 P(1)=1,P(2)=2,P(3)=3,P(4)=2,P(5)=1, ∴P(2012)=P(5×402+2)=402+2=404, P(2013)=405,P(2014)=404,P(2015)=403,故选 A. 二、填空题

-6-

13.(2014· 浙江嘉兴一中摸底)记定义在 R 上的函数 y=f(x)的导函数为 f ′(x).如果存在 x0∈[a,b],使得 f(b)-f(a)=f ′(x0)(b-a)成立,则称 x0 为函数 y=f(x)在区间[a,b]上的“中 值点”.那么函数 f(x)=x3-3x 在区间[-2,2]上的“中值点”为________. 2 3 [答案] ± 3 [解析] 由 f(x)=x3-3x 求导可得 f ′(x)=3x2-3,设 x0 为函数 f(x)在区间[-2,2]上的“中 f?2?-f?-2? 2 3 值点”,则 f ′(x0)= =1,即 3x2 . 0-3=1,解得 x0=± 3 2-?-2? 14.(2014· 新课标Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A、B、C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为________. [答案] A [解析] 由丙可知,乙至少去过一个城市. 由甲可知,甲去过 A,C 且比乙多,且乙没有去过 C 城市,故乙只去过 A 城市. 15. (文)(2013· 临沂二模)对于大于或等于 2 的自然数 n 的二次方幂有如下分解方式: 22=1 +3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,?,根据上述分解规律,对任意自然数 n,当 n≥2 时,有 ____________. [答案] n2=1+3+5+?+(2n-1) (理)(2014· 山东潍坊期中)如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内 角的正弦值,则△A2B2C2 是________三角形. [答案] 钝角 [解析] 由条件知,△A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则△A1B1C1 是锐角三角形, 假设△A2B2C2 是锐角三角形.

? ? π 由?sinB =cosB =sin?2-B ?, ? -C ?, ?sinC =cosC =sin?π 2
2 1 1 2 1 1

π sinA2=cosA1=sin? -A1?, 2

? ? π 得?B =2-B , ? -C . ?C =π 2
2 1 2 1

π A2= -A1, 2

-7-

π 那么,A2+B2+C2= ,这与三角形内角和为 180° 相矛盾. 2 所以假设不成立,又显然△A2B2C2 不是直角三角形,所以△A2B2C2 是钝角三角形. 16.(文)观察下列几个三角恒等式: ①tan10° tan20° +tan20° tan60° +tan60° tan10° =1; ②tan5° tan100° +tan100° tan(-15° )+tan(-15° )tan5° =1; ③tan13° tan35° +tan35° tan42° +tan42° tan13° =1. 一般地,若 tanα , tanβ , tanγ 都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 ______________________. [答案] 当 α+β+γ=90° 时,tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1 [解析] 所给三角恒等式都为 tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1 的结构形式,且 α,β,γ 之 间满足 α+β+γ=90° . (理)(2013· 福州模拟)对一个边长为 1 的正方形进行如下操作:第一步,将它分割成 3×3 5 方格,接着用中心和四个角的 5 个小正方形,构成如图①所示的几何图形,其面积 S1= ;第 9 二步,将图①的 5 个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作,得到图②;依 5 此类推,到第 n 步,所得图形的面积 Sn=( )n.若将以上操作类比推广到棱长为 1 的正方体中, 9 则到第 n 步,所得几何体的体积 Vn=________.

1 [答案] ( )n 3 [解析] 将棱长为 1 的正方体分割成 3×3×3=27 个全等的小正方体,拿去分别与中间小 正方体的六个面重合的 6 个小正方体和分别与中间小正方体有 1 条棱重合的 12 个小正方体, 1 则余下的 9 个小正方体体积 V1= ,第二步,将余下的 9 个小正方体作同样的操作,则余下的 3 1 1 9×9 个小正方体的体积 V2=( )2,故到第 n 步,所得几何体的体积 Vn=( )n. 3 3 三、解答题 17.(文)已知 a>b>c,且 a+b+c=0,求证: b2-ac< 3a. [证明] 要证 b2-ac< 3a,只需证 b2-ac<3a2, 因为 a+b+c=0, 只需证 b2+a(a+b)<3a2,只需证 2a2-ab-b2>0,

-8-

只需证(a-b)(2a+b)>0,只需证(a-b)(a-c)>0. 因为 a>b>c,所以 a-b>0,a-c>0, 所以(a-b)(a-c)>0,显然成立,故原不等式成立. (理)已知:a>0,b>0,a+b=1.求证: [证明] 要证 1 a+ + 2 1 b+ ≤2, 2 1 1 ?a+ ??b+ ?≤4, 2 2 1 1 1 1 1 ?a+ ??b+ ?≤1,只需证(a+ )(b+ )≤1,只需证 ab≤ . 2 2 2 2 4 1 a+ + 2 1 b+ ≤2. 2

1 1 只需证 a+ +b+ +2 2 2 又 a+b=1,故只需证

1 ∵a>0,b>0,1=a+b≥2 ab,∴ab≤ ,故原不等式成立. 4 1 18.(文)设 f(x)= x ,先分别求 f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想 3+ 3 一般性结论,并给出证明. 1 1 [解析] f(0)+f(1)= 0 + 3 + 3 31+ 3 = 3-1 3- 3 1 1 3 + = + = , 2 6 3 1+ 3 3+ 3 3 3 ,f(-2)+f(3)= , 3 3

同理可得:f(-1)+f(2)=

注意到在这三个特殊式子中,自变量之和均等于 1. 归纳猜想得:当 x1+x2=1 时,均有 f(x1)+f(x2)= 证明如下: 设 x1+x2=1, f(x1)+f(x2)= = 1 1 + 3x1+ 3 3x2+ 3 3 . 3

?3x1+ 3?+?3x2+ 3? 3x1+3x2+2 3 = ?3x1+ 3??3x2+ 3? 3x1+x2+ 3?3x1+3x2?+3 3x1+3x2+2 3 3 = . 3?3x1+3x2+2 3? 3



1 - (理)(2014· 天津红桥区一模)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-an-( )n 1+2(n 为正整数). 2 (1)令 bn=2nan,求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式; n+ 1 5n (2)令 cn= a ,Tn=c1+c2+?+cn,试比较 Tn 与 的大小,并予以证明. n n 2n+1

-9-

1 - 1 [解析] (1)在 Sn=-an-( )n 1+2 中,令 n=1,可得 S1=-a1-1+2=a1,即 a1= , 2 2 1 - 当 n≥2 时,Sn-1=-an-1-( )n 2+2, 2 1 - ∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1+( )n 1, 2 1 - - ∴2an=an-1+( )n 1,即 2nan=2n 1an-1+1. 2 ∵bn=2nan,∴bn=bn-1+1,即当 n≥2 时,bn-bn-1=1, 又 b1=2a1=1,∴数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列, n 于是 bn=1+(n-1)· 1=n=2nan,∴an= n. 2 n+1 1 (2)由(1)得 cn= an=(n+1)( )n, n 2 1 1 1 1 所以 Tn=2× +3×( )2+4×( )3+?+(n+1)( )n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 + Tn=2×( )2+3×( )3+4×( )4+?+(n+1)( )n 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 + 由①-②得 Tn=1+( )2+( )3+?+( )n-(n+1)( )n 1 2 2 2 2 2 1 1 - [1-? ?n 1] 4 2 n+3 1 + 3 n+3 =1+ -(n+1)( )n 1= - n+1 ,∴Tn=3- n , 1 2 2 2 2 1- 2 n+3 5n 5n Tn- = 3- n - 2 2n+1 2n+1 = ?n+3??2n-2n-1? , 2n?2n+1?

5n 于是确定 Tn 与 的大小关系等价于比较 2n 与 2n+1 的大小, 2n+1 2<2×1+1;22<2×2+1;23>2×3+1;24>2×4+1;25>2×5; 猜想:当 n≥3 时,2n>2n+1.证明如下: 证法 1:(1)当 n=3 时,由猜想显然成立. (2)假设 n=k 时猜想成立.即 2k>2k+1, 则 n=k+1 时,2k 1=2· 2k>2(2k+1)=4k+2=2(k+1)+1+(2k-1)>2(k+1)+1,


所以当 n=k+1 时猜想也成立, 综合(1)(2)可知,对一切 n≥3 的正整数,都有 2n>2n+1. 证法 2:当 n≥3 时,
1 2 n 1 n 0 1 n 1 n 2n=(1+1)n=C0 n+Cn+Cn+?+Cn +Cn≥Cn+Cn+Cn +Cn=2n+2>2n+1,
- -

- 10 -

综上所述,当 n=1,2 时,Tn<

5n 5n ,当 n≥3 时,Tn> . 2n+1 2n+1

- 11 -


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