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平面向量的概念及其线性运算


课时跟踪检测(二十一) 平面向量的概念及其线性运算

第Ⅰ组:全员必做题 1.(2012· 浙江高考)设 a、b 是两个非零向量( A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa D.若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 2. 设 D, E, F 分别是△ABC 的三边 BC、 CA、 AB 上的点, 且 DC =2 BD ,CE =2 EA , )

AF =2 FB ,则 AD + BE + CF 与 BC (
A.反向平行 C.互相垂直

) B.同向平行 D.既不平行也不垂直

3.(2013· 安庆二模)已知 a,b 是不共线的两个向量, AB =xa+b, AC =a+yb(x,y ∈R),若 A,B,C 三点共线,则点 P(x,y)的轨迹是( A.直线 C.圆 B.双曲线 D.椭圆 )

4.(2014· 杭师大附中模拟)已知平面内一点 P 及△ABC,若 PA + PB + PC = AB ,则 点 P 与△ABC 的位置关系是( A.点 P 在线段 AB 上 C.点 P 在线段 AC 上 ) B.点 P 在线段 BC 上 D.点 P 在△ABC 外部

5.(2014· 大连高三双基测试)设 O 在△ABC 的内部,且有 OA +2 OB +3 OC =0,则△ ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( A.3 C.2 ) 5 B. 3 3 D. 2

6.(2014· 舟山模拟)已知△ABC 和点 M 满足 MA + MB + MC =0.若存在实数 m 使得

AB + AC =m AM 成立,则 m=________.
7.(2013· 大庆模拟)已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点,且向量 OA ,OB ,OC ,

OD 满足等式 OA + OC = OB + OD ,则四边形 ABCD 的形状为________.
8.已知 D,E,F 分别为△ABC 的边 BC,CA,AB 的中点,且 BC =a, CA =b,给 1 1 1 1 出下列命题:① AD = a-b;② BE =a+ b;③ CF =- a+ b;④ AD + BE + CF = 2 2 2 2 0.

其中正确命题的个数为________. 9.设两个非零向量 e1 和 e2 不共线. (1)如果 AB =e1-e2, BC =3e1+2e2, CD =-8e1-2e2, 求证:A、C、D 三点共线; (2)如果 AB =e1+e2, BC =2e1-3e2, CD =2e1-ke2,且 A、C、D 三点共线,求 k 的值.

2 10.如图所示,在△ABC 中,D,F 分别是 BC,AC 的中点, AE = AD , 3

AB =a, AC =b.
(1)用 a,b 表示向量 AD , AE , AF , BE , BF ; (2)求证:B,E,F 三点共线.

第Ⅱ组:重点选做题 1.A,B,O 是平面内不共线的三个定点,且 OA =a, OB =b,点 P 关于点 A 的对称 点为 Q,点 Q 关于点 B 的对称点为 R,则 PR 等于( A.a-b C.2(a-b) )

B.2(b-a) D.b-a

2.如图,在△ABC 中,设 AB =a, AC =b,AP 的中点为 Q, BQ 的中点为 R,CR 的中点恰为 P,则 AP 等于________.





第Ⅰ组:全员必做题 1.选 C 对于 A,可得 a,b =-1,因此 a⊥b 不成立;对于 B,满足 a⊥b 时|a a,b =-1,因此成立,而 D 显然不一定成立.

+b|=|a|-|b|不成立;对于 C,可得

1 1 2.选 A 由题意得 AD = AB + BD = AB + BC ,BE = BA + AE = BA + AC , 3 3

CF = CB + BF = CB +3 BA ,
1 2 1 因此 AD + BE + CF = CB + ( BC + AC - AB )= CB + BC =- BC , 3 3 3 故 AD + BE + CF 与 BC 反向平行. 3.选 B ∵若 A,B,C 三点共线,∴ AB =λ AC .
?x=λ, ? 即 xa+b=λ(a+yb)?? ?xy=1,故选 B. ?1=λy, ?

1

4. 选 C 由 PA + PB + PC = AB 得 PA + PC = AB - PB = AP , 即 PC = AP -

PA =2 AP ,所以点 P 在线段 AC 上,选 C.
5. 选 A 设 AC, BC 的中点分别为 M, N, 则已知条件可化为( OA + OC )+2( OB + OC ) =0,即 OM +2 ON =0,所以 OM =-2 ON ,说明 M,O,N 共线,即 O 为中位线 MN S△ABC 2 21 1 上的靠近 N 的三等分点,S△AOC= S△ANC= ·S△ABC= S△ABC,所以 =3. 3 32 3 S△AOC 6.解析:由题目条件可知,M 为△ABC 的重心,连接 AM 并延长交 BC 于 D,则 AM 2 = AD ,因为 AD 为中线,则 AB + AC =2 AD =3 AM ,所以 m=3. 3 答案:3 7.解析:∵ OA + OC = OB + OD , ∴ OA - OB = OD - OC , ∴ BA = CD ,BA 綊 CD, ∴四边形 ABCD 为平行四边形. 答案:平行四边形 1 1 8.解析: BC =a, CA =b, AD = CB + AC =- a-b,故①错; 2 2

BE = BC +2 CA =a+2b,故②错;

1

1

CF =2( CB + CA )=2(-a+b)
1 1 =- a+ b,故③正确; 2 2

1

1

1 1 1 1 ∴ AD + BE + CF =-b- a+a+ b+ b- a=0. 2 2 2 2 ∴正确命题为②③④. 答案:3 9.解:(1)证明:∵ AB =e1-e2, BC =3e1+2e2, CD =-8e1-2e2, ∴ AC = AB + BC =4e1+e2 1 1 =- (-8e1-2e2)=- CD , 2 2 ∴ AC 与 CD 共线.又∵ AC 与 CD 有公共点 C,∴A、C、D 三点共线. (2) AC = AB + BC =(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2, ∵A、C、D 三点共线,∴ AC 与 CD 共线,从而存在实数 λ 使得 AC =λ CD ,即 3e1
? ?3=2λ, -2e2=λ(2e1-ke2),得? ?-2=-λk, ?

3 4 解得 λ= ,k= . 2 3 10.解:(1)延长 AD 到 G, 1 使 AD = AG , 2 连接 BG,CG,得到?ABGC, 所以 AG =a+b,

AD =2 AG =2(a+b), AE =3 AD =3(a+b),
AF =2 AC =2b, BE = AE - AB =3(a+b)-a=3(b-2a), BF = AF - AB =2b-a=2(b-2a).
2 (2)证明:由(1)可知 BE = BF ,又因为 3 1 1 1 1 1 1

1

1

2

1

BE , BF 有公共点 B,
所以 B,E,F 三点共线. 第Ⅱ组:重点选做题 1.选 B

PR = OR - OP =( OR + OQ )-( OP + OQ )=2 OB -2 OA =2(b-a).

2.解析:如图,连接 BP, 则 AP = AC + CP =b+ PR ,①

AP = AB + BP =a+ RP - RB ,②

①+②,得 2 AP =a+b- RB .③ 1 1 又 RB = QB = ( AB - AQ ) 2 2 1 1 a- AP ?,④ = ? 2 ? 2? 将④代入③, 1 1 a- AP ?, 得 2 AP =a+b- ? ? 2? 2 2 4 解得 AP = a+ b. 7 7 2 4 答案: a+ b. 7 7


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