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三角形的五心整理


中英文学校自主招生平面几何讲义(三角形的五心) 一、三角形的重心 1、重心的性质:
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2:1。

证明一 三角形 ABC,E、F 是 AB,AC 的中点。EC、FB 交于 G。 过 E 作 EH 平行 BF。 AE=BE 推出 AH=HF=1/2AF AF=CF 推出 HF=1/2CF 推出 EG=1/

2CG 2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。

证明二 证明方法: 在△ABC 内,三边为 a,b,c,点 O 是该三角形的重心,AOA1、BOB1、COC1 分别为 a、 b、 c 边上的中线根据重心性质知, OA1=1/3AA1, OB1=1/3BB1, OC1=1/3CC1 过 O,A 分别作 a 边上高 h1,h 可知 Oh1=1/3Ah 则, S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC);同理可证 S(△AOC)=1/3S(△ABC),S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以, S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB) 3、重心到三角形 3 个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形) 证明方法:

设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为(x,y) 则该点到三顶点距离平方和为: (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 =3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^ 2 =3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y 2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 显然当 x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3(重心坐标)时 上式取得最小值 x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 最终得出结论。 4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均, 即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3); 空间直角坐标系——横坐标: (X1+X2+X3)/3 纵坐标: (Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标: (z1+z2+z3)/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。 6。在△ABC 中,若 MA 向量+MB 向量+MC 向量=0(向量) ,则 M 点为△ABC 的重心,反之也成立。 7.设△ABC 重心为 G 点,所在平面有一点 O,则向量 OG=1/3(向量 OA+向量 OB+向量 OC) 8.相同高三角形面积比为底的比,相同底三角形面积比为高的比。 证明方法:

∵D 为 BC 中点, ∴BD=CD, 又∵h△ABD=h△ACD,h△BOD=h△COD, ∴S△ABD=S△ACD,S△BOD=S△COD, 即 S△AOF+S△BOF+S△BOD=S△AOE+S△COE+S△COD,S△BOD=S△COD, ∴S△AOF+S△BOF=S△AOE+S△COE. 同理,

∵E 为 AC 中点, ∴S△AOF+S△BOF=S△BOD+S△COD. ∴S△AOE+S△COE=S△BOD+S△COD. 又∵S△BOF/S△BOD+S△COD=OF/OC,S△AOF/S△AOE+S△COE, 即 S△BOF=S△AOF。 ∴BF=AF, ∴CF 为 AB 边上的中线, 即三角形的三条中线相交于一点。 重心顺口溜 三条中线必相交,交点命名为“重心” 重心分割中线段,线段之比听分晓; 长短之比二比一。

二、三角形的外心
定义 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心. 三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点,三角形的三个顶点就 在这个外接圆上 三条中垂线共点证明 . ∵l、m 分别为线段 AB、AC 的中垂线

∴AF=BF=CF

∴BC 中垂线必过点 F 三角形外心的性质 设⊿ABC 的外接圆为☉G(R), 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, p=(a+b+c)/2. 性质 1:(1)锐角三角形的外心在三角形内;

(2)直角三角形的外心在斜边上,与斜边中点重合; (3)钝角三角形的外心在三角形外. 性质 2:∠BGC=2∠A,(或∠BGC=2(180°-∠A). 性质 3:∠GAC+∠B=90° 证明:如图所示延长 AG 与圆交与 P ∵A、C、B、P 四点共圆 ∴∠P=∠B ∵∠P+∠GAC=90° ∴∠GAC+∠B=90° 性质 4:点 G 是平面 ABC 上一点,点 P 是平面 ABC 上任意一点,那么点 G 是 ⊿ABC 外心的充要条件是: (1)向量 PG=(tanB+tanC)向量 PA+(tanC+tanA)向量 PB+(tanA+tanB)向量 PC)/2(tanA+tanB+tanC). 或(2)向量 PG=(cosA/2sinBsinC)向量 PA+(cosB/2sinCsinA)向量 PB+(cosC/2sinAsinB)向量 PC. 性质 5:三角形三条边的垂直平分线的交于一点,该点即为三角形外接圆的 圆心.外心到三顶点的距离相等。 性质 6:点 G 是平面 ABC 上一点,那么点 G 是⊿ABC 外心的充要条件 (向量 GA+向量 GB)·向量 AB= (向量 GB+向量 GC)·向量 BC=(向量 GC+向量 GA)·向量 CA=0. 三角形外心的做法 分别作三角形两边的中垂线交点计作 O

以 O 为圆心 OA 为半径画圆 圆 O 即为所求 外心的求法 设三角形三边及其对角分别为 a、b、c,∠A、∠B、∠C 正弦定理有 r=a/(2sinA)=b/(2sinB)=c/(2sinC) r=abc/(4S△ABC)

三、三角形内心

定义 在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心, 而三角形内切圆的圆心就叫做三角形的内心,(该点到三边距离相等)。 三条角分线共点证明

证明:如图所示 作∠B、∠C 角分线与 AC、AB 交与 F、D CD 与 BF 交与 I 连接 AI 交 BC 于 E 由塞瓦定理有(AD/BD)*(BE/CE)*(CF/AF)=1

∵BF、CD 为角分线 ∴由角分线定理有 AD/BD=AC/BC CF/AF=BC/AB ∴BE/CE=AB/AC 由角平分线定理的逆定理有 AE 为∠A 的角分线 证毕 三角形内心的性质 设△ABC 的内切圆为☉I(r), 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, p=(a+b+c)/2. 1、三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径 r. 2、∠BIC=90°+∠A/2. 3、如图 在 RT△ABC 中,∠A=90°△内切圆切 BC 于 D 则 S△ABC=BD*CD

4、点 O 是平面 ABC 上任意一点,点 I 是△ABC 内心的充要条件是: 向量 OI=[a(向量 OA)+b(向量 OB)+c(向量 OC)]/(a+b+c). 5、△ABC 中,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),那么△ABC 内心 I 的坐 标是: (ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c), ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)). 6、(欧拉定理)⊿ABC 中,R 和 r 分别为外接圆为和内切圆的半径,O 和 I 分 别为其外心和内心,则 OI^2=R^2-2Rr. 7、点 O 是平面 ABC 上任意一点,点 O 是△ABC 内心的充要条件是: a(向量 OA)+b(向量 OB)+c(向量 OC)=向量 0. 8、 双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为 对应支的顶点。 9、△ABC 中,内切圆分别与 AB,BC,CA 相切于 P,Q,R,则 AP=AR=(b+c-a) /2,BP =BQ =(a +c-b)/2,CR =CQ =(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。 10、(内角平分线定理) △ABC 中,0 为内心,∠A 、∠B、 ∠C 的内角平分线分别交 BC、AC、AB 于 Q、P、R, 则 BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.

三角形内心的做法 做出三角形的外接圆○O

过 O 分别作 AC、BC(任意两边)垂线与圆 O 交于 E、F 连接 AF、BE 交于 I, 点 I 即为内心 三角形内接圆半径 1、在 Rt△ABC 中,∠C=90°,r=(a+b-c)/2. 2、在 RT△ABC 中,∠C=90°,r=ab/a+b+c 3 任意△ABC 中 r=(2*S△ABC)/C△ABC (C 为周长)

四、三角形垂心
三角形垂心的性质 设⊿ABC 的三条高为 AD、BE、CF,其中 D、E、F 为垂足,垂心为 H,角 A、B、 C 的对边分别为 a、b、c,p=(a+b+c)/2. 1、锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角 三角形的垂心在三角形外. 2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说,三角形的内心是它旁心 三角形的垂心; 3、 垂心 H 关于三边的对称点,均在△ABC 的外接圆上。 4、 △ABC 中,有六组四点共圆,有三组(每组四个)相似的直角三角形,且 AH·HD=BH·HE=CH·HF。 5、 H、A、B、C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样 的四点为一—垂心组)。 6、 △ABC,△ABH,△BCH,△ACH 的外接圆是等圆。

7、 在非直角三角形中,过 H 的直线交 AB、AC 所在直线分别于 P、Q,则 AB/AP·tanB+

三角形的垂心与外心的位置关系 AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。 8、 三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的 2 倍。 9、 设 O,H 分别为△ABC 的外心和垂心,则∠BAO=∠HAC,∠ABH=∠OBC, ∠BCO=∠HCA。 10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之 和的 2 倍。 11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶 点在原三角形的边上)中,以垂足三角形的周长最短。 12、 西姆松(Simson)定理(西姆松线) 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形 的外接圆上。 13、 设锐角⊿ABC 内有一点 T,那么 T 是垂心的充分必要条件是 PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。

五、三角形旁心

1、旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。

三角形五心 2、与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆。

三角形旁心的性质
设⊿ABC 在∠A 内的旁切圆☉I1(r1)与 AB 的延长线切于点 P1。内切圆半径为 r。 1、三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点,该点即为三角形的 旁心。 2、旁心到三角形三边的距离相等。 3、三角形有三个旁切圆,三个旁心。旁心一定在三角形外。 4、∠BI1C=90° -∠A/2. 5、AP1=r1· cot(A/2)=(a+b+c)/2. 6、∠AI1B=∠C/2. 7、S⊿ABC=r1(b+c-a)/2. 8、r1=rp(p-a). 9、r1=(p-b)(p-c)/r. 10、1/r1+1/r2+1/r3=1/r. 11、r1=r/(tanB/2)(tanC/2). 12、直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。

中英文学校自主招生平面几何讲义(四点共圆)
一、证明四点共圆有下述一些基本方法:

方法 1
从被证共圆的四点中先选出三点作一圆,然后证另一点也在这个圆上,若能证明这一 点,即可肯定这四点共圆.

方法 2
把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若能 证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等) ,从而即可肯定这四点共圆. (若能证明其两顶 角为直角,即可肯定这四个点共圆,且斜边上两点连线为该圆直径。 )

方法 3
把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补 角的内对角时,即可肯定这四点共圆.

方法 4
把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段,若能证明它们各自被交点分成的两线段 之积相等,即可肯定这四点共圆(相交弦定理的逆定理) ;或把被证共圆的四点两两连结并 延长相交的两线段, 若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一 线段两端点所成的两线段之积,即可肯定这四点也共圆. (割线定理的逆定理)

方法 5
证被证共圆的点到某一定点的距离都相等,从而确定它们共圆.既连成的四边形三边 中垂线有交点,即可肯定这四点共圆. 上述五种基本方法中的每一种的根据,就是产生四点共圆的一种原因,因此当要求证 四点共圆的问题时,首先就要根据命题的条件,并结合图形的特点,在这五种基本方法中选 择一种证法,给予证明. 判定与性质: 圆内接四边形的对角和为 180° ,并且任何一个外角都等于它的内对角。

如四边形 ABCD 内接于圆 O,延长 AB 和 DC 交至 E,过点 E 作圆 O 的切线 EF,AC、 BD 交于 P,则 A+C=π,B+D=π, 角 DBC=角 DAC(同弧所对的圆周角相等) 。 角 CBE=角 ADE(外角等于内对角) △ABP∽△DCP(三个内角对应相等) AP*CP=BP*DP(相交弦定理)

四点共圆的图片 EB*EA=EC*ED(割线定理) EF*EF= EB*EA=EC*ED(切割线定理) (切割线定理,割线定理,相交弦定理统称圆幂定理) AB*CD+AD*CB=AC*BD(托勒密定理 Ptolemy) 弦切角定理

方法 6
同斜边的两个 RT 三角形的四个顶点共圆,其斜边为圆的直径

编辑本段四点共圆的定理

二、四点共圆的判定定理
方法 1 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形, 且两三角形都在这底边的同侧, 若能证明其顶角相等,从而即可肯定这四点共圆. (可以说成:若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等,那么这二点和线段二端点 四点共圆) 方法 2 把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于 其邻补角的内对角时,即可肯定这四点共圆. (可以说成:若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角。那么这 四点共圆)

拓展——托勒密定理
[1]

若 ABCD 四点共圆 (ABCD 按顺序都在同一个圆上) , 那么 AB*DC+BC*AD=AC*BD。

例题:证明对于任意正整数 n 都存在 n 个点使得所有点间两两距离为整数。 解答:归纳法。我们用归纳法证明一个更强的定理:对于任意 n 都存在 n 个点使得所 有点间两两距离为整数,且这 n 个点共圆,并且有两点是一条直径的两端。n=1,n=2 很轻 松。当 n=3 时,一个边长为整数的勾股三角形即可:比如说边长为 3,4,5 的三角形。我 们发现这样的三个点共圆,边长最长的边是一条直径。假设对于 n 大于等于 3 成立,我们来 证明 n+1。假设直径为 r(整数) 。找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一 个整数勾股三角形 ABC(边长 a<b<c) 。把原来的圆扩大到原来的 c 倍,并把一个边长为 ra<rb<rc 的三角形放进去,使得 rc 边和放大后的直径重合。这个三角形在圆上面对应了第 n+1 个点,记为 P。于是根据 Ptolomy 定理,P 和已存在的所有点的距离都是一个有理数。 (考虑 P, 这个点 Q 和直径两端的四个点, 这四点共圆, 于是 PQ 是一个有理数因为 Ptolomy 定理里的其它数都是整数。 )引入一个新的点 P 增加了 n 个新的有理数距离,记这 n 个有理 数的最大公分母为 M。最后只需要把这个新的图扩大到原来的 M 倍即可。归纳法成立,故 有这个命题。

反证法证明
现就“若平面上四点连成四边形的对角互补。 那么这个四点共圆”证明如下 (其它画个证 明图如后) 已知:四边形 ABCD 中,∠A+∠C=180° 求证:四边形 ABCD 内接于一个圆(A,B,C,D 四点共圆) 证明:用反证法 过 A,B,D 作圆 O,假设 C 不在圆 O 上,点 C 在圆外或圆内, 若点 C 在圆外,设 BC 交圆 O 于 C’,连结 DC’,根据圆内接四边形的性质得∠A+∠ DC’B=180° , ∵∠A+∠C=180° ∴∠DC’B=∠C 这与三角形外角定理矛盾,故 C 不可能在圆外。类似地可证 C 不可能在圆内。 ∴C 在圆 O 上,也即 A,B,C,D 四点共圆。


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