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2.3.1离散型随机变量的均值(2)


高二数学 选修2-3

2.3.1离散型随机变 量的均值(2)

复习
一、离散型随机变量取值的平均值

数学期望
xn

X
P

x1

x2

· · · · · ·

xi

· · ·

p1

p2

pi

· · · pn

EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xi pi ? ?? xn pn
二、数学期望的性质

E (aX ? X b)E ?a

?b

三、如果随机变量X服从两点分布,
X 1 0

P

p

1- p



EX ? p

四、如果随机变量X服从二项分布,即 X~B(n,p),则

EX ? np

例 1 已知随机变量 X 取所有可能的值 1,2,?, n 是等到可能的, 且 X 的均值为 50 .5 ,求 n 的值

变式: .现要发行 10000 张彩票,其中中奖金额为 2 元的彩票 1000 张,

10 元的彩票 300 张, 50 元的彩票 100 张, 100 元的彩票 50 张, 1000 元的彩票 5 张,问一张彩票可能中奖金额的均值是多少元?

例2. 决策问题:

根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为 0.25, 有大洪水的概率为0.01,该地区某工地上有一台大型 设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时 要损失10000元。为保护设备,有以下种方案:
方案1:运走设备,搬运费为3800元。 方案2:建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能

挡住小洪水。
方案3:不采取措施,希望不发生洪水。

试比较哪一种方案好。

解 用X1、X2和X3分别表示三种方案的损 失. 采用第 1种方案,无论有无洪水 , 都损失38 000 元,即X1 ? 38 000.

采用第2 种方案, 遇到大洪水时 ,损失 2 000 ? 60 000 ? 62 000;没有大洪水时 ,损失2 000元, 62 000, 有大洪水; 即 X2 ? 2 000, 无大洪水. 同样,采用第3种方案,有
62 000, 有大洪水; X3 ? 10 000, 有小洪水 0, 无洪水.

EX 2 ? 62 000 ? P?X2 ? 62 000? ? 2 000 ? P?X2 ? 2 000?

于是,EX 1 ? 3 800,

? 62 000 ? 0.01? 2 000 ? ?1? 0.01? ? 2 600,
EX 3 ? 60 000 ? P?X3 ? 60 000? ? 10 000 ? P?X3 ? 10 000? ? 0 ? P?X3 ? 0?
? 60 000 ? 0.01? 10 000 ? 0.25 ? 3100.
采取方案2的平均损失最小 , 所以可以选择方案 2.

变式 1:抛掷两枚骰子,当至少有一枚 5 点或 6 点出现时,就说这次试验成功, 求在 20 次试验中成功次数 X 的期望.

变式 2: 一台机器在一天内发生故障的概率为 0.1 ,若这台机器一周 5 个工作日 不发生故障,可获利 5 万元;发生 1 次故障仍可获利 2 .5 万元;发生 2 次故障的 利润为 0 元;发生 3 次或 3 次以上故障要亏损 1 万元,问这台机器一周内可能 获利的均值是多少?

1.若 ? 是一个随机变量,则 E (? ? E? ) 的值为( ) . A.无法求 B. 0 C. E? D. 2 E? 2 设随机变量 ? 的分布列为 P (? ? k ) ? A.

1 , k ? 1,2,3,4 ,则 E? 的值为 ( 4
D. 2 ) .

) .

5 2
4

B. 3.5

C. 0.25

3.若随机变量 ? ~ B(n,0.6) ,且 E? ? 3 ,则 P(? ? 1) 的值是( A. 2 ? 0.4 C. 3 ? 0.4 B. 2 ? 0.4 D. 3 ? 0.6
5
4 4

4.已知随机变量 ? 的分布列为:

?
P
则x=

0 0 .1 ; P(1 ? ? ? 3) ?

; E? =

1 0 .2


2 0.

3

x

4 0 .1


5. 一盒内装有 5 个球, 其中 2 个旧的, 3 个新的, 从中任意取 2 个, 则取到新球个数的期望值为

例3 (决策问题)

统计资料表明,每年端午节商场内促销活动可获利2万 元;商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元;如遇下 雨可则损失4万元。6月19日气象预报端午节下雨的概率 为40%,商场应选择哪种促销方式?
解:因为商场内的促销活动可获效益2万元 设商场外的促销活动可获效益?万元,则?的分布列

? 10 -4 P 0.6 0.4 所以E?=10×0.6+(-4) ×0.4=4.4
因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销.

(2009·上海理,7)某学校要从5名男生和2名女生 中选出2人作为上海世博会志愿者,若用随机变量ξ 表示选出的志愿者中女生的人数 ,则数学期望 4 E(ξ )=______( 7 结果用最简分数表示). 解析 ξ 的可能取值为0,1,2,
2 5 2 7 2 2 2 7

C CC 10 10 P(? ? 0) ? ? , P(? ? 1) ? ? , 2 C 21 C7 21 C 1 P(? ? 2) ? ? , C 21 10 10 1 4 ? E (? ) ? ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? . 21 21 21 7

1 5

1 2

课外思考:
彩球游戏准备一个布袋,内装6个红球与6个白球,除颜色 不同外,六个球完全一样,每次从袋中摸6个球,输赢的 规则为: 6个全红 赢得100元 5红1白 赢得50元 4 红2 白 赢得20元 3红3白 输100元 2红4白 赢得20元 1 红5 白 赢得50元 6个全白 赢得100元

你动心了吗?

跟踪训练 1.运动员射击一次所得环数X的分布列如下: X 0~6 P 0 7 8 9 10

0.2 0.3 0.3 0.2

现进行两次射击,以该运动员两次射击中最高环数作为 他的成绩,记为ξ. (1)求ξ的分布列;

(2)求ξ的均值.

解:(1)ξ的可能取值为7、8、9、10, P(ξ=7)=0.04,P(ξ=8)=2×0.2×0.3+0.32=0.21,

P(ξ=9)=2×0.2×0.3+2×0.3×0.3+0.32=0.39,
P(ξ = 10) = 2×0.2×0.2 + 2×0.3×0.2 + 2×0.3×0.2 +0.22=0.36, ξ的分布列为 ξ 7 8 9 10

P 0.04 0.21 0.39 0.36 (2)ξ 的 均 值 为 E(ξ) = 7×0.04 + 8×0.21 + 9×0.39 + 10×0.36=9.07.

跟踪训练 2 .随机抽取某厂的某种产品 200 件 , 经质检 , 其中有一 等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已 知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2 万元、1万元,而生产1件次品亏损2万元.设1件产品的

利润为ξ(单位:万元).
(1)求ξ的分布列; (2)求1件产品的平均利润(即ξ的数学期望).

解 :(1)ξ 的所有可能取值有 6,2,1,-2, 126 50 则 P(ξ= 6)= = 0.63,P(ξ=1)= = 0.25, 200 200 20 4 P(ξ=1)= = 0.1,P(ξ=-2)= = 0.02. 200 200 故 ξ 的分布列为: -2 ξ 6 2 1 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)E(ξ)= 6× 0.63+ 2× 0.25+1× 0.1+ (- 2)×0.02= 4.34. 即 1 件产品的平均利润为 4.34 万元.


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