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3.1.1 函数的单调性与导数(共71张ppt)


3 导数在研究函数中的应用 3.1.1 函数的单调性与导数

一、函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a,b)内的函数y=f(x), (1)如果_________ f′(x)>0 ,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增. (2)如果_________ f′(x)<0 ,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.

1.1

探究点一 问题1

函数的单调性与导函数正负的关系

观察下面四个函数的图像,回答函数的单调性与其导

函数正负有何关系?

研一研·问题探究、课堂更高效
1.1

答 (1)在区间(-∞,+∞)内,y′=1>0,y是增函数;
(2)在区间(-∞,0)内,y′=2x<0,y是减函数;
在区间(0,+∞)内,y′=2x>0,y是增函数;
(3)在区间(-∞,+∞)内,y′=3x2≥0,y是增函数;

1 (4)在区间(-∞,0),(0,+∞)内,y′=- 2<0,y是减函数. x
小结 一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系: 在某个区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区 间内单调递增;如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单 调递减.

填一填·知识要点、记下疑难点
1.1

一般地,在区间(a,b)内函数的单调性与导数有如下
关系:
导数 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)=0 函数的单调性 单调递 增 单调递 减 常函数

问题 2 若函数 f(x)在区间(a,b)内单调递增,那么 f′(x)一定 大于零吗?

答 由问题1中(3)知f′(x)≥0恒成立.
提示:不一定成立.例如y=x3在R上是增函数,但其在x=0处 的导数为零,故f′(x)>0是y=f(x)在某区间上是增函数的

充分不必要

条件.

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1.1

问题3 (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个, 那么如何表示这些区间?试写出问题1中(4)的单调区间. (2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系?
答 (1)不能用“∪”连接,只能用“,”或“和”字隔 开.问题1中(4)的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞). (2)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的, 故单调区间是定义域的子集.

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1.1

跟踪训练1

函数y=f(x)的图像如图所示,试画出导函数f′(x)

图像的大致形状.
解 f′(x)图像的大致形状如下图:

注:图像形状不唯一.

二、函数单调性与导数值大小的关系 一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)上 (1)如果|f′(x)|越大,函数在区间(a,b)上变化得_____ 越快 ,函 数的图象就比较“陡峭”(向上或向下). (2)如果|f′(x)|越小,函数在区间(a,b)上变化得_____ 越慢 ,函

数的图象就比较“平缓”(向上或向下).

判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数的导数越小,函数的变化越慢,函数的图象就越“平缓”.( (2)函数在某一点的导数越大,函数在该点处的切线越“陡峭”.( (3)函数在某个区间上变化越快,函数在这个区间上导数的绝对值越 大.( ) ) )

提示:(1)错误.函数的导数的绝对值越小,函数的变化越慢, 函数的图象就越“平缓”. (2)错误.函数在某一点的导数的绝对值越大,函数在该点处的 切线斜率的绝对值越大,切线越“陡峭”. (3)正确.函数变化越快,对应的导数的绝对值越大,对应的 函数图象越“陡峭”. 答案:(1)× (2)× (3)√

【知识点拨】

1.对函数的单调性与其导数正负的关系的三点说明
(1)利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便,

但应注意f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是函数f(x)在某个区间上
递增(或递减)的充分条件.

(2)在区间(a,b)内可导的函数f(x)在区间(a,b)上递增(或

递减)的充要条件应是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(x∈(a,b))恒
成立且f′(x)在区间(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.

(3)特别地,如果f′(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间内是
常数函数.

2.利用导数研究函数单调性时应注意的三个问题

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定
义域,解决问题的过程只能在定义域内,通过讨论导数的符 号来判断函数的单调区间. (2)在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的 点外,还要注意在定义域内的间断点. (3)如果一个函数的单调区间不止一个,这些单调区间之间不 能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字等隔开.

类型 一

判断函数的单调性

【典型例题】1.设f′(x)是函数f(x)的导数,y=f′(x)

的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是选项中
的( )

1 2.证明:f(x)= e ? x 在(0,+∞)上是 e
x

增函数.

【解题探究】1.函数的单调性与导函数的图象有何关系? 2.利用导数证明函数在某区间上是增函数的关键是什么 ?

探究提示:
1.对于函数y=f(x),x∈(a,b),导函数的图象在x轴上方的区间,

对应的函数y=f(x)在这个区间内单调递增;导函数的图象在x轴
下方的区间,函数y=f(x)在这个区间内单调递减.

2.要证明函数在某区间上是增函数,只需证明导函数f′(x)≥0.

【解析】1.选B.由y=f′(x)的图象得:当-1<x<1时,

f′(x)>0,所以y=f(x)在(-1,1)上单调递增.
因为当x<-1和x>1时,f′(x)<0,所以y=f(x)在(-≦,-1)和(1,

+≦)上分别单调递减.综合选项得只有B正确.

1 2.因为f(x)= e ? x,所以f′(x)=ex-e-x=e-x(e2x-1), e
x

当x∈(0,+≦)时,由指数函数的性质知e-x>0,e2x>1,
1 所以f′(x)>0,因此函数f(x)= e ? x 在(0,+≦)上是 e
x

增函数.

【拓展提升】利用导数证明或判断函数单调性的思路 函数的单调性与其导函数的正负的关系:在某个

区间(a,b)内,若f′(x)>0,则y=f(x)在(a,b)上单
调递增;如果f′(x)<0,则y=f(x)在这个区间上单调 递减;若恒有f′(x)=0,则y=f(x)是常数函数,不具

有单调性.

【变式训练】设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则f(x)为R
上的增函数的充要条件是( A.b2-4ac>0 )

B.b>0,c>0

C.b=0,c>0

D.b2-3ac≤0

【解题指南】要使函数f(x)为R上的增函数,必须满足 函数的导数f′(x)≥0在R上恒成立且f′(x)不恒为0.

可利用一元二次方程根的判别式求解.

【解析】选D.因为a>0,f(x)为增函数, 所以f′(x)=3ax2+2bx+c≥0恒成立,

所以Δ=(2b)2-4×3a×c=4b2-12ac≤0, 所以b2-3ac≤0.

类型 二

求函数的单调区间 )

1 2 【典例】1.函数 y ? 2 x ? ln x的单调递减区间为(

A.(-1,1]
C.[1,+∞)

B.(0,1)
D.(0,+∞)

2.已知函数f(x)=x2(x-3),则f(x)在R上的单调递减区 间是________,单调递增区间为_______. 3.讨论函数f(x)=x2-aln x(a≥0)的单调性.

【解题探究】1.解含有对数函数的问题,应注意 什么?利用导数求函数的单调区间,其实质是什么? 2.如何求多项式乘积形式函数的导数? 3.当函数的解析式中含有参数时,一般的处理思路 是什么?

探究提示: 1.(1)要注意对数函数的定义域,即真数大于零.(2)求函数的 单调区间就是求不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)的解集. 2.求多项式乘积式的导数,可以利用积的导数法则求解,也可以 把乘积式展开,利用和与差的导数法则求解.

3.当函数的解析式中含有参数时,一般的处理思路是对参数进
行分类讨论,然后在参数的不同情况下,分别求出结果.

1 2 1 【解析】1.选B.由 y? ? ( x ? ln x)? ? x ? <0 2 x
?0<x<1,或x<-1,又函数的定义域为(0,+≦),故单调递减 区间为(0,1). 2.f′(x)=3x2-6x,由f′(x)>0得x>2或x<0; 由f′(x)<0得0<x<2.

所以函数f(x)的单调递减区间是(0,2),函数f(x)的单调递增
区间是(-≦,0)和(2,+≦).

答案:(0,2)

(-≦,0)和(2,+≦)

3.函数f(x)的定义域是(0,+≦),

a 2x 2-a f ?(x) ? 2x- ? , x x
设g(x)=2x2-a,由g(x)=0得2x2=a.
当a=0时,f′(x)=2x>0,函数f(x)在区间(0,+≦)上为增函数; 2a 2a x ? x ? ? 当a>0时,由g(x)=0得 或 (舍去). 2 2 2a 当x∈(0, )时,g(x)<0,即f′(x)<0; 2 当x∈(

2a ,+≦)时,g(x)>0,即f′(x)>0. 2

所以当a>0时,函数f(x)在区间(0, 在区间(
2a ,+≦)上为增函数 . 2

2a 2

)上为减函数,

综上,当a=0时,函数f(x)的单调递增区间是(0,+≦); 当a>0时,函数f(x)的单调递增区间是( 单调递减区间是(0,
2a 2

2a ,+≦), 2

).

【互动探究】若把题3中的条件“a≥0”改为“a<0”,结果如何?

【解析】函数f(x)的定义域是(0,+≦),

a 2x 2-a f ?(x) ? 2x- ? , x x
设g(x)=2x2-a,当a<0,g(x)>0,进而f′(x)>0.所以函数f(x)
在(0,+≦)上是增函数.

【拓展提升】 1.求函数y=f(x)单调区间的步骤 (1)确定函数y=f(x)的定义域. (2)求导数y′=f′(x). (3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为增区间.

(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为减区间.

2.含有参数的函数单调性问题的处理方法 (1)在判断含有参数的函数的单调性时,不仅要考虑到参数的 取值范围,而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号,否 则会产生错误. (2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题 ,在每一个 局部问题中,原先的不确定因素,就变成了确定性问题,当这些 局部问题都解决了,整个问题就解决了.

跟踪训练

求下列函数的单调区间: x e (1)f(x)=x2-ln x;(2)f(x)= ; x-2 (3)f(x)=sin x(1+cos x)(0≤x<2π).
解 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
1 ? 2x-1?? 2x+1? f′(x)=2x- x = . x

1.1

因为x>0,所以 2x+1>0,
2 由f′(x)>0得x> 2 ,

? 所以函数f(x)的单调递增区间为? ? ?

? 2 ? ,+ ∞ ?; 2 ?

2 由f′(x)<0得x< 2 ,

? 又x∈(0,+∞),所以函数f(x)的单调递减区间为? ?0, ?

1.1 2? ? . 2? ?

(2)函数f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞).
ex?x-2?-ex ex?x-3? f′(x)= = . ?x-2?2 ?x-2?2
因为x∈(-∞,2)∪(2,+∞),

所以ex>0,(x-2)2>0.
由f′(x)>0得x>3,

所以函数f(x)的单调递增区间为(3,+∞); 由f′(x)<0得x<3,
又定义域为(-∞,2)∪(2,+∞),

所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,2)和(2,3).
(3)f′(x)=cos x(1+cos x)+sin x(-sin x) =2cos2x+cos x-1=(2cos x-1)(cos x+1). 因为0≤x<2π,所以cos x+1≥0, π 5π 由f′(x)>0得0<x< 或 <x<2π; 3 3 π 5π 由f′(x)<0得 <x< , 3 3
? ? π? ?5π ? ? ? 故函数f(x)的单调递增区间为 0,3 , 3 ,2π?, ? ? ? ? ?π 5π? ? 单调递减区间为 3, 3 ?. ? ?

1.1

类型 三

利用导数求参数的取值范围

【典型例题】

1.(2013·郑州高二检测)若函数f(x)=x3-ax2-x+6在

(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围为(
A.a≥1 C.a≤1 B.a=1 D.0<a<1

)

2.已知函数f(x)=x3-kx在区间(-3,-1)上不单调,则 实数k的取值范围是______. 3 3. 设函数f(x)=ax3+ 2 (2a-1)x2-6x(a∈R),若函数f(x) 在区间(-∞,-3)上是增函数,求实数a的取值范围.

【解题探究】1.函数在某个区间上单调递增(或 递减)应满足什么条件?

2.函数y=f(x)在某个区间上不单调指的是什么?
3.函数中含有参数问题的一般解题策略是什么?

探究提示: 1.如果函数在某个区间上单调递增(或递减),那么函数在这个

区间上的导数f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立.
2.函数y=f(x)在某个区间上不单调指的是在这个区间上既有增

区间又有减区间或为常函数,即导函数在这个区间上有零点.
3.解题中要根据实际情况,对参数进行分类,利用分类讨论的思 想求解.

【解析】1.选A.因为f′(x)=3x2-2ax-1,f(x)在(0,1)内单调

递减,所以f′(0)≤0,f′(1)≤0,所以a≥1.
2.因为f′(x)=3x2-k.当k≤0时,f′(x)≥0,不合题意,舍

去,所以k>0.

k x?? . 令f′(x)=0,则 3

因为在(-3,-1)上函数不单调,
k 所以-3<- 3 <-1,即3<k<27.

答案:3<k<27

3.f′(x)=3ax2+3(2a-1)x-6=3(ax-1)(x+2).
(1)若a=0,则f′(x)=-3(x+2)>0?x<-2,此函数在(-≦,-2) 上单调递增,从而在(-≦,-3)上单调递增,满足条件.

1 (2)若a≠0,则令f′(x)=0,得x1=-2, x 2 ? , a
因为f(x)在(-≦,-3)上是增函数,即x<-3时,f′(x)>0恒成

立,a>0时,则-2>-3恒成立,即a>0.
a<0时,不合题意.

综上所述,实数a的取值范围是[0,+≦).

【互动探究】将题2改为“在区间R上单调”,则实数 k的取值范围是______.

【解析】由f′(x)=3x2-k,显然不存在实数k使
f′(x)<0恒成立,若f′(x)≥0,即3x2-k≥0在R上恒 成立,只需k≤0,所以k的取值范围是(-≦,0].

答案:(-≦,0]

【拓展提升】 1.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 (1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题,即 f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,利用分离参数或函数性质

求解参数范围,然后检验参数取“=”时是否满足题意.
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0),求出参数的取值范围后,

再验证参数取“=”,看此时f(x)是否满足题意.

2.恒成立问题的重要思路 (1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.

(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.

【变式训练】已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)e-x(x∈R,e

为自然对数的底数)
(1)若函数f(x)在(-1,1)内单调递减,求a的取值范围. (2)函数f(x)是否为R上的单调函数?若是,求出a的取

值范围,若不是,请说明理由.

【解题指南】(1)转化为f′(x)≤0在(-1,1)内

恒成立,求参数的范围即可.
(2)转化为f′(x)≤0或f′(x)≥0在R上是否恒 成立即可.

【解析】(1)因为f(x)=(-x2+ax)e-x, 所以f′(x)=[x2-(a+2)x+a]e-x, 要使f(x)在(-1,1)上单调递减, 则f′(x)≤0对一切x∈(-1,1)都成立,

即x2-(a+2)x+a≤0对x∈(-1,1)都成立, ?g(?1) ? 0, 令g(x)=x2-(a+2)x+a,则 ?g(1) ? 0 ? ?1 ? (a ? 2) ? a ? 0, 3 ? ? ?1 ? (a ? 2) ? a ? 0, 解得a≤- 2 . 所以a的取值范围是(-≦,3 2 ].

(2)①若函数f(x)在R上单调递减, 则f′(x)≤0对x∈R都成立, 即[x2-(a+2)x+a]e-x≤0对x∈R都成立, 从而x2-(a+2)x+a≤0对x∈R都成立, 令g(x)=x2-(a+2)x+a,抛物线y=g(x)开口向上,不 可能对x∈R,g(x)≤0都成立.

②若函数f(x)在R上单调递增,则f′(x)≥0对 x∈R都成立,

从而x2-(a+2)x+a≥0对x∈R都成立,
由于Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0,故f′(x)≥0不能对 一切x∈R都成立,

综上可知,函数f(x)不可能是R上的单调函数.

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探究点四 问题 函数的变化快慢与导数的关系

1.1

我们知道导数的符号反映函数 y=f(x)的增减情况,怎样

反映函数 y= f(x)增减的快慢呢?能否从导数的角度解释变化 的快慢呢?



一般地,如果一个函数在某一范围内

导数的绝对值较大,那么函数在这个范围 内变化得快,这时,函数的图像就比较 “陡峭”(向上或向下);反之,函数的图像就“平缓”一 些.如图所示,函数y=f(x)在(0,b)或(a,0)内的图像“陡 峭”,在(b,+∞)或(-∞,a)内的图像“平缓”.

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例 4 如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下 面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水 的高度 h 与时间 t 的函数关系图像.

1.1



(1)→B

(2)→A

(3)→D

(4)→C

1.1

小结

通过函数图像,不仅可以看出函数的增减,还可以看出

函数增减的快慢.从导数的角度研究了函数的单调性及增减快 慢后,我们就能根据函数图像大致画出导函数的图像,反之也 可行.

跟踪训练 已知 f′(x)是 f(x)的导函数, f′(x)的 图像如图所示,则 f(x)的图像只可能是 (D )

1.1

解析

从f′(x)的图像可以看出,在区间
?a+b ? ? ? , b ? 2 ? ? ?

? a+b? ? ? a , ? 2 ? ? ?

内,导数递

增;在区间

内,导数递减.即函数f(x)的图像在

? ?a+b ? a+b? ? ? ? ? 内越来越陡,在 a , , b ? ? ? 2 ?内越来越平缓. 2 ? ? ? ?

利用导数证明不等式 【典型例题】 1.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf′(x)-f(x)≤0,对任意正数a,b,若a<b,则必有( A.af(b)<bf(a) C.af(a)<f(b) 2.已知函数f(x)=
1 2 x +ln x. 2
3

)

B.bf(a)<af(b) D.bf(b)<f(a)

求证:在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数 g(x) ? 2 x 3 的图象的下方.

【解析】1.选A.令 F(x) ? f (x) , F?(x) ? xf ?(x) ? f (x) ? 0,
x x2

故 F(x) ? f (x) 在(0,+≦)上是减函数.
x

由a<b有 f (a) ? f (b) ?af(b)<bf(a).
a b

2.设F(x)=g(x)-f(x),

即F(x)= x 3 ? x 2 ? ln x,
2 1 (x ? 1)(2x ? x ? 1) 则 F?(x) ? 2x ? x ? ? . x x 2

2 3

1 2

2 (x ? 1)(2x ? x ? 1) 当x>1时, F?(x) ? ? 0, x

从而F(x)在(1,+≦)上为增函数, 所以F(x)>F(1)= 1 >0,
6

所以当x>1时,g(x)-f(x)>0,即f(x)<g(x), 故在区间(1,+≦)上,函数f(x)的图象在函数 g(x) ? x 3 的图象的下方.
2 3

【拓展提升】利用导数证明不等式的解题技巧
(1)构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数 的单调性或求最值. (2)证明f(x)>g(x),x∈(a,b),等价转换为证明f(x)-g(x)> 0.如果(f(x)-g(x))′>0,说明函数f(x)-g(x)在(a,b)上是 增函数;如果f(a)-g(a)≥0,由增函数的定义可知,当 x∈(a,b)时,f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x).

【易错误区】误用函数单调递增(减)的充要条件致误 【典例】已知函数 f (x) ? ax ? 1 在(-2,+∞)内单调递减,则实
x?2

数a的取值范围为_______.

【解析】因为 f (x) ? ax ? 1 ,所以 f ?(x) ? 2a ? 1 . 2
x?2
(x ? 2)

由函数f(x)在(-2,+≦)内单调递减知f′(x)≤0在(-2,+≦)内 恒成立, 即
1 2a ? 1 在 (2,+≦)内恒成立,因此 a ? . ? 0 2 (x ? 2) 2

当a= 1 时,f(x)= 1 ,此时函数f(x)为常数函数,①

2 2 故a= 1 不符合题意舍去.所以a的取值范围为a< 1 . 2 2 1 故实数a的取值范围为(-≦, ). 2 答案:(-≦, 1 ) 2

【误区警示】

【防范措施】
1.函数单调性与导数正负

函数f(x)在D上单调递增(或递减)的充要条件是f′(x)≥0(或
f′(x)≤0)且f′(x)在D任一子区间上不恒为零.本例中利用

f′(x)≤0构造参数a的不等式,求得a的取值范围,再验证等
号成立时,f(x)是否为常数函数.

2.特殊情况的处理
用导数求函数的单调性时要注意导数值为零时的情况,要对

导数等于零的参数值代入函数进行检验,如本例中对 a= 1 进
2

行验证,若不符合条件应舍去.

【类题试解】已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在区间[-1,2]上

是减函数,那么b+c的最大值为______.
【解析】由题意得f′(x)=3x2+2bx+c≤0在[-1,2]上恒成
f ?(?1) ? 0, ?3 ? 2b ? c ? 0, ?2b ? c ? 3, 立,得 ? ? ? ? ? ? ?f ?(2) ? 0 ?12 ? 4b ? c ? 0 ?4b ? c ? ?12,

建立平面直角坐标系bOc,作出可行域,

?2b ? c ? 3, 如图,解 ? ?4b ? c ? ?12

得两直线l1:2b-c=3与l2:4b+c=-12的交点坐标 A(? , ?6),
令b+c=m,则c=-b+m为平行线族,

3 2

易知平行线族c=-b+m经过
点 A(? 3 , ?6) 时,m max ? b ? c ? ? 15 .
2 答案: ? 15 2
2

1.函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为( A.(2,+∞) B.(-∞,2)

)

C.(-∞,0)

D.(0,2)

【解析】选D.由f′(x)=3x2-6x,得3x2-6x<0,

解得0<x<2.

2.若 f (x) ? ln x , e<a<b,则(
x

)
B.f(a)=f(b)

A.f(a)>f(b)

C.f(a)<f(b)
x

D.f(a)f(b)>1

x 当x>e时,f′(x)<0, 【解析】选A. f ?(x) ? 1 ? ln , 2

则f(x)在(e,+≦)上为减函数,f(a)>f(b).

3.已知y= 1 x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调增函数,则b的取
3

值范围为______.
【解析】若函数是单调递增函数,则y′=x2+2bx+b+2≥0恒成

立,即Δ=4b2-4(b+2)≤0,所以-1≤b≤2,由题意若函数不是
单调增函数,则b<-1或b>2. 答案:b<-1或b>2

4.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是______.
【解析】因为f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′

=(x-2)ex,
令f′(x)>0,解得x>2,所以单调递增区间是(2,+≦). 答案:(2,+≦)

5.求证:函数y=2x3+3x2-12x+1在区间(-2,1)内是减函数. 【证明】因为y′=6x2+6x-12=6(x2+x-2) =6(x-1)(x+2), 当x∈(-2,1),即-2<x<1时,y′<0,

所以函数y=2x3+3x2-12x+1在区间(-2,1)内是减函数.


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