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向量题型总结


平面向量题型总结(新高数学)
题型 1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)若 AB ? CD ,则 A、B、C、D 四点构成平行四边形。 (5)直角坐标平面上的 x 轴、 y 轴都是向量。 (6)相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;

(7)若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线。 (8)若 ma ? mb ,则 a ? b 。 (9)若 ma ? na ,则 m ? n 。 (11)若 a ? b ?| a | ? | b | ,则 a / / b 。 (10)若 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都不是零向量。 (12)若 a 与 b 均为非零向量, | a ? b |?| a ? b | ,则 a ? b 。

2.给出命题 (1)零向量的长度为零,方向是任意的. (2)若 a , b 都是单位向量,则 a = b . (3)向量 AB 与向量 BA 相等. (4)若非零向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A , B , C , D 四点共线. 以上命题中,正确命题序号是( ) A.(1) 题型 2.向量的线性运算 B.(2) C.(1)和(3) D.(1)和(4)

1.设 a 表示“向东走 8km”, b 表示“向北走 6km”,则 | a ? b |? 2.化简 ( AB ? MB) ? (BO ? BC) ? OM ?



AB ? AC ? BC =_______;
_

AB ? AD ? DC =________;

NQ ? QP ? MN ? MP. ? ________
、 。

3.已知 | OA |? 5 , | OB |? 3 ,则 | AB | 的最大值和最小值分别为 4.已知点 C 在线段 AB 上,且 AC ?

3 AB ,则 AC ? 5

BC , AB ?

BC 。
( )

5.已知向量 a与b 反向,下列等式中成立的是 A. | a | ? | b |?| a ? b | B. | a ? b |?| a ? b | C. | a | ? | b |?| a ? b |

D. | a | ? | b |?| a ? b |

6 计算: (1) 3(a ? b) ? 2(a ? b) ?

(2) 2(2a ? 5b ? 3c ) ? 3(?2a ? 3b ? 2c ) ? 。 ( )

7.已知 a ? (4, 2) , 求与 a 垂直的单位向量的坐标 8.与向量 a =(12,5)平行的单位向量为 A. ?

? 12 5 ? ,? ? ? 13 13 ?

B. ??

? 12 5 ? ,? ? ? 13 13 ?

C. ?

? 12 5 ? ? 12 5 ? , ?或? ? , ? ? ? 13 13 ? ? 13 13 ?
C F A D E B

D. ??

? 12 5 ? ? 12 5 ? , ?或? , ? ? ? 13 13 ? ? 13 13 ?

9.如图,D、E、F 分别是 ? ABC 边 AB、BC、CA 上的 中点,则下列等式中成立的有_________: ① FD ? DA ? AF ? 0 ② FD ? DE ? EF ? 0 ③

DE ? DA ? BE ? 0 ④

AD ? BE ? AF ? 0
1

题型 3 平面向量基本定理

1.下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是 A. e1 ? (0,0), e2 ? (1, ?2) B. e1 ? (?1,2), e2 ? (5,7) C. e1 ? (3,5), e2 ? (6,10) D. e1 ? (2, ?3), e2 ? ( , ? )
2.(2011 全国一 5)在 △ ABC 中, AB ? c , AC ? b .若点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD =(

1 2

3 4



2 1 A. b ? c 3 3

5 2 B. c ? b 3 3

2 1 C. b ? c 3 3

1 2 D. b ? c 3 3
).

3.如图所示,D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量 CD ? (

A. ? BC ? C. BC ?

1 BA 2

B. ? BC ? D. BC ?

1 BA 2

1 BA 2

1 BA 2

4. 在△ABC 中, AR ? 2RB, CP ? 2PR, 若AP ? m AB ? n AC, 则m ? n ? A.

2 3

B.

7 9

C.

8 9

D.1

5. 过△ABC 的重心作一直线分别交 AB,AC 于 D,E,若 AD ? x AB, AE ? y AC ,( xy ? 0 ),则 值为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 设 OB =x OA +y OC ,且 A、B、C 三点共线(该直线不过端点 O) ,则 x+y 等于( A.1 B.-1 C.0 D.不能确定
7 .如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若 AD ? xAB ? yAC ,则 x ?

1 1 ? 的 x y



, y ? _______.

8. 已知 O 是 ?ABC 的外心,AB ? 2, AC ? 1, ?BAC ? 120 , 若 AO ? ?1 AB ? ?2 AC , 则 ?1 ? ?2 的值为 (
0



A.2

B.

13 6

C.

7 3


D.

5 2

题型 4 向量的坐标运算 1.已知 AB ? (4,5) , A(2,3) ,则点 B 的坐标是

2. (2011 四川卷 3) 设平面向量 a ? ? 3,5? , b ? ? ?2,1? , 则 a ? 2b ? ( )A。? 7,3? B ? 7, 7 ? 3.【2012 高考广东文 3】若向量 AB ? (1, 2) , BC ? (3, 4) ,则 AC ? A. (4, 6) B. (?4, ?6) C. (?2, ?2) D. (2, 2)

C ?1,7 ?

D ?1,3?

4 【2012 广东理 3】 若向量 BA = (2,3) ,CA = (4,7) , 则 BC = ( ) A. (-2,-4) B. (3,4)
2

C. (6,10)

D. (-6,-10)

5.已知 A(1, 2), B(3, 2) ,向量 a ? ( x ? 2, x ? 3 y ? 2) 与 AB 相等,求 x, y 的值。 6.已知 O 是坐标原点, A(2, ?1), B(?4,8) ,且 AB ? 3BC ? 0 ,求 OC 的坐标。 7.梯形 ABCD 的顶点坐标分别为 A(?1, 2) , B(3, 4) , D(2,1) ,且 AB / / DC , AB ? 2CD ,求点 C 的坐标。 题型 5.求数量积 1.已知 | a |? 3,| b |? 4 , 且 a 与 b 的夹角为 60 , 求 (1) (2) (3) (4) a ?b , a ? (a ? b ) , (2a ? b ) ? (a ? 3b ) 。 (a ? b) 2 ,

2.已知 a ? (2, ?6), b ? (?8,10) ,求(1) | a |,| b | , (2) a ? b ,

3.【2012 高考辽宁文 1】已知向量 a = (1,—1),b = (2,x).若 a ·b = 1,则 x = (A) —1 (B) —

1 2

(C)

1 2

(D)1

4.(2011 北京卷 11)已知向量 a 与 b 的夹角为 120 ,且 a ? b ? 4 ,那么 a ? b 的值为
5. △ABC 中, AB ? 2, BC ? 3, ?B ? 60? ,则 AB ? BC ? ________ 练习 1.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 , | a |? 2,| b |? 3 ,则向量 a 和向量 b 的数量积 a ? b =
o



.

2.已知|a|=3,|b|=5,如果 a∥b,则 a·b= 3.设 a ? (1,?2) , b ? (?3,4) , c ? (3,2) 题型 6 求向量的夹角 1.已知 | a |? 8,| b |? 3 , a ? b ? 12 ,求 a 与 b 的夹角。 2.已知 a ? ( 3,1), b ? (?2 3, 2) ,求 a 与 b 的夹角。 3.已知平面向量 a, b 满足 (a ? b) .(2a ? b) ? ?4且 a ? 2, b ? 4 且,则 a与b 的夹角为 5.已知 a ? (m,3) , b ? (2, ?1) , (1)若 a 与 b 的夹角为钝角,求 m 的范围; (2)若 a 与 b 的夹角为锐角,求 m 的范围。 6.设a ? b ? 4 ,若 a 在b 方向上的投影为 2,且b 在a 方向上的投影为 1,则a 与b 的夹角等于( A. ) ,则 (a ? 2b) ? c ? ( )A. (?15,12) B. 0 C. ?3 D. ?11

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

?
3



2? 3


7.已知向量 OB ? (2,0), OC ? (2, 2), CA ? ( 2 cos a, 2 sin a) 则向量 OA, OB 的夹角范围是( A、[π /12,5π /12] 题型 7.求向量的模 B、[0,π /4] C、[π /4,5π /12] D、 [5π /12,π /2]

3

1.已知 | a |? 3,| b |? 4 ,且 a 与 b 的夹角为 60 ,求(1) | a ? b | , (2) | 2a ? 3b | 。

2.【2012 高考重庆文 6】设 x ? R ,向量 a ? ( x,1), b ? (1, ?2), 且 a ? b ,则 | a ? b |? (A) 5 (B) 10 (C) 2 5 (D) 10

b ? 2 且 a 与 b 的夹角为 3.(2011 上海卷 5)若向量 a , b 满足 a ? 1,

? ,则 a ? b ? 3



4. 已知 A(2,3), B(4, ?3) ,点 P 在线段 AB 的延长线上,且 | AP |?

3 | PB | ,求点 P 的坐标 2

5.已知 a ? (2,1) 与 b ? (1,2) ,要使 a ? tb 最小,则实数 t 的值为___________。

?

?

?

?

题型 8 投影问题 1. 已知 a ? 5, b ? 4, , a与b 的夹角 ? ?

2? ,则向量 b 在向量 a 上的投影为 3

2.关于 a.b ? a.c 且 a ? 0 ,有下列几种说法: ① a ? (b ? c) ; ② b ? c ;③ a.(b ? c) ? 0 ⑤ b ? ? a ;⑥ b ? c
? ?

④ b 在 a 方向上的投影等于 c 在 a 方向上的投影 ; ) (A)4 个 (B)3 个 (C)2 个 (D)1 个

其中正确的个数是 (
? ?

3.若 a = (2,3) , b = (?4,7) ,则 a 在 b 上的投影为________________。 题型 9.向量的平行与垂直 1.已知 a ? (6, 2) , b ? (?3, m) ,当 m 为何值时, (1) a / / b ?(2) a ? b ?

2.(广东卷 3)已知平面向量 a ? (1,2) , b ? (?2, m) ,且 a // b ,则 2a ? 3b =( A、 (?5, ?10) B、 (?4, ?8) C、 (?3, ?6) D、 (?2, ?4)



3.(2011 海南卷 5)已知平面向量 a =(1,-3) , b =(4,-2) , ? a ? b 与 a 垂直,则 ? 是( A. -1 B. 1 C. -2 D. 2



4.已知 a ? (1,2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时, (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直?(2) ka ? b 与 a ? 3 b 平行?平行时它们是同向还是反向? 5.已知 A(0, ?2) , B (2, 2) , C (3, 4) ,求证: A, B, C 三点共线。 6 如果 AB ? e1 ? e2 , BC ? 2e1 ? 8e2 , CD ? 3 e1 ? e2 ,求证 A , B , D 三点共线. 7. e1 , e2 是两个不共线的向量, AB ? 2e1 ? k e2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 ,A、B、D 三点共线,求 k 的值.
4

?

?

8.已知向量 a ? ( 3,?1) , b ? ( ,

1 3 ) (1)求证: a ? b 2 2

(2)是否存在不为 0 的实数 k 和 t ,使 x ? a ? (t 2 ? 3)b, y ? ?k a ? tb ,且 x ? y ?如果存在,试确定 k 与 t 的关系;如果不存在,请说明理由 题型 10 最值问题: 1. 已知平面向量 a, b ,且满足 a ? 1, a ? b ? 2 ,则 b 的取值范围 2. 已知向量 p ? .

a b ,其中 a 、 b 均为非零向量,则 | p | 的取值范围是( ? |a| |b|
B. [0,1] C. (0, 2] D. [0, 2]

)

A. [0, 2]

3. 已知 a、b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足(a-c) · (b-c)=0,则|c|的最大 值是( )A.1
2

B.2
2

C.

2

D.

2 2

4.向量 PA 、 PB 满足 PA ? PB ? 4 , AB ? 2 ,设向量 PC ? 2PA ? PB ,则 PC 的最小值是 5.在 ?ABC 中,O 为中线 AM 上一个动点,若 AM=2,则 OA ? (OB ? OC) 的最小值是________。 -2 题型 11 三角形问题: (1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC .(2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 .

2

2

2

2

(3) O ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 .

1. 点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点,满足 OA · OB = OB · OC = OC · OA ,则点 O 是△ABC 的 ( ) A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高线的交点
2. 已知 O,N,P 在 ?ABC 所在平面内,且 OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0 ,且

PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则点 O,N,P 依次是 ?ABC 的(
A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心

) D.外心 重心 内心

3. O 为平面上定点,A, B, C 是平面上不共线的三,若( OB ?OC )·( OB ?OC ?2OA )=0, 则?ABC 的形状 是 .

4. 点 P 满足 OP ? OA ? ? ( AB ? AC) , 当 ? 在(0, + ? )变化时, 动点 P 的轨迹一定过 ? ABC 的_____心 5. 点 P 满足 OP ? OA ? ? ( 的_____心

AB AC ? ) , 当 ? 在(0, + ? )变化时, 动点 P 的轨迹一定过 ? ABC | AB | sin B | AC | sin C

5

6. 点 P 满足 OP ? OA ? ? (

AB AB

?

AC AC

) , 当 ? 在(0, + ? )变化时, 动点 P 的轨迹一定过 ? ABC 的_____心

7 点 P 满足 OP ? OA ? ? ( _____心

AB AC ? ) , 当 ? 在(0, + ? )变化时, 动点 P 的轨迹一定过 ? ABC 的 2 | AB | sin B | AC |2 sin C

8. 证明: O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . 9. 设 O, H 分别是 ?ABC 的外心和垂心, 证明: OH ? OA ? OB ? OC 10. 点 P 满足 OP ? OA ? ? ( _____心 11. 点 P 满足 OP ? OA ? ? ( 的_____心

AB cos B AC cos C ? ) , 当 ? 在(0, + ? )变化时, 动点 P 的轨迹一定过 ? ABC 的 | AB | | AC |

AB AC ? ) , 当 ? 在(0, + ? )变化时, 动点 P 的轨迹一定过 ? ABC | AB | cos C | AC | cos B

(理 14)若平面向量 ? , ? 满足 a ? 1, ? ? 1,且以向量 ? , ? 为 邻边的平行四边形的面积为
1 ,则 ? 与 ? 的夹角 ? 的范围 2 1 ,则 2

(文 15)若平面向量 α、β 满足 ? ? 1 ? ? 1 ,且以向量 α、β 为邻边的平行四边形的面积为 α 和 β 的夹角 θ 的取值范围是____________________________。
2010 年江苏 15. (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)

(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长(2)设实数 t 满足( AB ? t OC )· OC =0,求 t 的值 题型 12 平面向量与三角函数的综合应用 1.【2012 高考陕西文 7】设向量 a =(1. cos ? )与 b =(-1, 2 cos ? )垂直,则 cos 2? 等于 ( )

A

2 2
3 2

B

1 2

C .0

D.-1 )A.30
0

) ,b ? (cos ? , ) ,且 a // b ,则锐角 ? 为( 2.设 a ? ( ,sin ?

1 3

?

B.60

0

C.75

0

D. 45

0

3. ( 2011 广 东 卷 理 ) 已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

?
2

).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

4.已知向量 m ? (sin A, cos A) , n ? (1,?2) ,且 m ? n ? 0 ⑴求 tan A 的值(2)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? tan A sin x( x ? R) 的值域
6

5.

已知向 a ? ( 3 sin x, m ? cos x), b ? (cosx,?m ? cos x), 且 f ( x) ? a ? b

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)当 x ? ??

? ? ?? , ? 时, f ( x) 的最小值是 ? 4 ,求此时函数 f ( x) 的最大值,并求出相应的 x 的值 ? 6 3?

其他 1.已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) ,向量 b ? ( 3, ?1) ,则 2a ? b 的最大值是



2.若 P 为 ?ABO 所在平面内一点,且满足 op ?

OA OA

?

OB OB

,则点 P 在( )

4 已知非零向量 AB , AC和BC满足 ( 则△ ABC 为(

AB | AB |

?

AC | AC |

) ? BC ? 0, 且

AC ? BC | AC | ? | BC |

?

2 , 2

)A.等边三角形

B.等腰非直角三角形

C.非等腰三角形 D.等腰直角三角形

?, 6 已 知 点 G 是 ?ABC 的 重 心 , AG ? ? AB ? ? AC (?,? ? R) , 那 么 ? ? ? ? _____ ; 若 ?A ? 1 2 0

AB ? AC ? ?2 ,则 AG 的最小值是__________
7.已知 O、A、B 三点的坐标分别为 O(0,0) ,A(3,0) ,B(0,3) ,点 P 在线段 AB 上,且

AP ? t AB(0 ? t ? 1),则OA? OP 的最大值为(
8.已知非零向量 AB , AC和BC满足 ( 则△ ABC 为(

)A.3 B.6

C .9

D.12 学科

AB | AB |

?

AC | AC |

) ? BC ? 0, 且

AC ? BC | AC | ? | BC |

?

2 , 2

)A.等边三角形
2

B.等腰非直角三角形

C.非等腰三角 D.等腰直角三角形 )

9.已知 | a |? 2 | b |? 0, 且关于x的方程x ? | a | x ? a ? b ? 0有实根, 则a与b 的夹角的取值范围是 A. [

?
3

,? ]

B. [

? 2?
3 , 3

]

C. [

?
6

,? ]

D. [0,

?
6

]

10.在△ OAB 中, OA ? a, OB ? b, OD 是 AB 边上的高,若 AD ? ? AB ,则实数 λ 行等于 A.

a ? ?b ? a ? a ?b
2

B.

a ? ?a ? b ? a ?b
2

C.

a ? ?b ? a ? a?b

D.

a ? ?a ? b ? a?b


10.已知 OA ? (3,1) ,OB ? (2,4) ,| BC |? 1 , 点 C 在直线 OA 上的射影为点 D , 则 | OD | 的最大值为 (

A. 10 ? 10

B. 10 ? 10

C. 10 ? 1

D. 10 ? 1
p, q, r ? R,则

11 已知 A、B、C 三点在同一条直线 l 上, O 为直线 l 外一点,若 pOA ? qOB ? rOC ? 0,

7

p?q?r ?



)A ?1

B.0

C .1

D.3

12.已知 P 是 ?ABC 内一点,且满足 PA ? 2PB ? 3PC ? 0 ,记 的面积依次为 S1 、 S 2 、 S 3 ,则 S1 : S 2 : S 3 等于( A. 1 : 2 : 3 B. 1 : 4 : 9 C. )

?ABP 、 ?BCP 、 ?ACP

3 : 2 :1

D. 3 : 1 : 2

13.已知△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,AH 为 BC 边上的高,以下结论: ① AC ?

AH | AH |

? c sin B

② BC ? ( AC ? AB) ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A
2

③ AH ? ( AB ? BC) ? AH ? AB
2

④ AH ? AC ? AH

其中正确的是



14.在△ABC 中,若 AB ? AB ? AC ? BA ? BC ? CA ? CB , 则? ABC 是( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 15..如图,半圆的直径 AB=6,O 为圆心,C 为半圆上不同于 A、B 的任意一点,若 P 为半径 OC 上的动点,则

? PA? PB? PC 的最小值为(
A. 9 ;

) D.-9;

C

2

B.9;

C. ? 9 ;

P A
O

2

B

16.已知向量 p ?

a b ,其中 a 、 b 均为非零向量,则 | p | 的取值范围是 ? |a| |b|
B、 [0,1] C、 (0, 2] D、 [0, 2]

A、 [0, 2]

? ? ? ? 1 ? 17.已知 A,B,C 是平面上不共线上三点,动点 P 满足 OP ? ? (1 ? ? ) OA? (1 ? ? ) OB ? (1 ? 2? ) OC ? (? ? R且? ? 0) , ? 3? ?

则 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的 ( ) A 内心

B 垂心

C 重心

D AB 边的中点 )

18.已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 ,那么( A. AO ? OD B. AO ? 2OD
uur uur

C. AO ? 3OD
uuu r uuu r

D. 2 AO ? OD (
uur

19.已知 P,A,B,C 是平面内四点,且 PA ? PB ? PC ? AC ,那么一定有 A. PB ? 2CP
uur uur


uuu r

B. CP ? 2 PB

uur

uur

C. AP ? 2 PB

uuu r

uur

D. PB ? 2 AP

20.已知 a,b 是不共线的向量, AB =λ a+b, AC =a+μ b (λ ,μ ∈R)那么 A,B,C 三点共线的充要条件为 ( )A.λ +μ =2 B.λ -μ =1 C.λ μ =-1 D.λ μ =1 )

21.三角形 ABC 中, AB ? BC ? 3 ,三角形 ABC 面积 S ? [ ,

3 3 3 ], AB与BC 夹角取值范围为( 2 2

8

A. [

? ? , ] 4 3

B. [

? ? , ] 6 4

C. [

? ? , ] 6 3

D. [

? ? , ] 6 4


22..设 O 在△ABC 内部,且 OA ? OB ? 2OC ? O ,则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比是( A.3 B .4 C .5 D.6

23.已知 P 是 ?ABC 内一点, 且满足 PA ? 2PB ? 3PC ? 0 , 记 ?ABP 、?BCP 、?ACP 的面积依次为 S1 , S2 , S3 , 则 S1 : S2 : S3 等于( ) A. 1: 2 : 3

B. 1 : 4 : 9

C. 6 :1: 2

D. 3 :1: 2

1 1 1 ( OA ? OB ? 2OC ) ,则点 3 2 2 P 一定是 ?ABC 的( ) 。A. AB 边中线的中点 B AB 边中线的三等分点(非重心) 。C 重心 D AB 边的中点。\ 25.已知 O 是 ?ABC 所在平面内一点,且满足 BA ? OA? | BC |2 ? AB ? OB? | AC |2 ,则点 O A.在 AB 边的高所在的直线上 B.在 ?C 平分线所在的直线上 C.在 AB 边的中线所在的直线上 D.是 ?ABC 的外心
24.已知 A, B, C 是平面上不共线的三点, O 是 ?ABC 重心,动点 P 满足 OP ?

3OA ? 4OB ? 5OC ? 0,则?ABC的内角C ? ( 26. 设O为?ABC的外心,且
(A)



? 2

(B)

? 3

(C)

? 4

(D)

? 6
| PD | 等于 | AD |

27 已知 D 为 ?ABC 的边 BC 上的中点, ?ABC 所在平面内有一点 P,满足 PA ? BP ? CP ? O ,则

A

1 3

B

1 2

C1

D2

28 O 是平面上一点, A, B, C 是平面上不共线三点,动点 P 满足 OP ? OA ? ? AB ? AC , , ? ?

?

?

1 时, 则 2

PA ? (PB ? PC )的值为__



29. 已知 O 为 ?ABC 的外心, AB ? 2, AC ? 1, ?BAC ? 120? ,设 AB ? a, AC ? b ,若 AO ? ?1 a ? ?2 b ,则

?1 ? ?2 ?
30 平面上的向量 PA, PB满足 PA ? PB ? 4, 且 PA ? PB ? 0, 若向量 PC ?
2 2

1 2 PA ? PB, 则| PC | 的最大值为 3 3

31.如图,△ ABC 中, AB ? 4 , AC = 8 , ?BAC ? 60 ,延长 CB
?

E · F·

B ·

作平行四边形 BEDA , BE ? 2 .当 F 点在线段 DE 上移动时, 1 1 若 AF ? ? AB ? ? AC , 则 t ? ? 的最小值为 .

· D · A · C

?

?

32、已知平面上三点 A 、 B 、 C 满足 | AB |? 5 , | BC |? 4 , | CA |? 3 ,则 AB ? BC ? 2 BC ? CA ? CA ? AB 的值 等于___________. 33 如图,在Δ ABC 中, AD ? AB , BC ? 3 BD , AD ? 1 ,则 ( )
9

AC ? AD

=

(A) 2 3

(B)

3 2

(C)

3 3

(D) 3

34. △ABC 的 三 个 顶 点 , A 、 B 、 C 及 平 面 内 一 点 P 满 足 PA? PB? PC? AB , 则 点 P 与 △ABC 的 关 系 A. P 在△ABC 的内部 B. P 在△ABC 的外部 C. P 是 AB 边上的一个三等分 点 D. P 是 AC 边上的一个三等分点 35.已知△ABC 的三个顶点,A (1,5),B(-2,4),C(-6,-4),M 是 BC 边上一点,且 △ABM 的面积是△ABC 面积的 B. 85 C.
5 2 1 , 则线段 AM 的长度是 4

(

)A.5

D.

85 2

36.平行四边形 ABCD 中, E 和 F 是边 CD 和 BC 的中点,

=

+
o

, 其中



R , 则

+

= _________。

37. 给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 120 .如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上 变动。若 OC ? xOA ? yOB 其中 x, y ? R ,则 x ? y 的最大值是 .

38.已知 OA ? 1, OB ? ( ) (A)

3, OA.OB ? 0,点 C 在 ?AOC ? 30o 。设 OC ? mOA? nOB( m , n? R) ,则
(B)3 (C)

m 等于 n

1 3

3 3

(D) 3

?a a? 39.若向量 a 与 b 不共线, a b ? 0 ,且 c = a - ? a b ? b ,则向量 a 与 c 的夹角为( ? ?
A.0 B.



π 6

C.

π 3

D.

π 2
OA 与 角为 120°, OA + μ OB ( λ ,

40.如图,平面内有三个向量 OA 、OB 、OC ,其中与 OA 与 OB 的夹
OC 的夹角为 30°,且| OA |=| OB |=1,| OC |= 2 3 ,若 OC =λ

μ ∈R),则λ +μ 的值为

.
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41.在 ?ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足 PA ? 2PM ,则 PA ? ( PB ? PC) 等于( (A)



4 9

(B)

4 3

(C) ?

4 3

(D) ?

4B 9


42.已知 ?ABC 和点 M 满足 MA ? MB ? MC ? 0 .若存在实 m 使得 AM ? AC ? mAM 成立,则 m =( A.2 B.3 C.4 D.5 A

C P 第 61 题图 43 点 O 为△ ABC 内一点,且存在正数 ?1 , ?2 , ?3使?1 OA ? ?2 OB ? ?3 OC ? 0 ,设△ AOB,△ AOC 的面积分别为 S1、S2,则 S1:S2= A.λ1:λ2 B.λ2:λ3 C.λ3:λ2
10

D.λ2:λ1


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