当前位置:首页 >> 数学 >> 湖南省长沙市2017届高三12月联考数学(文)试题及答案

湖南省长沙市2017届高三12月联考数学(文)试题及答案


湖南省长沙市 2017 届高三 12 月联考

数学(文科)
时量:120 分钟 总分:150 分

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合 P ? {x |1 ? 2x ? 4} , Q ? {1, 2, 3} ,则 P ? Q ?

( A. {1} B. {1, 2} C. {2, 3} ) ) D. {1, 2, 3}

2. “ a ? 0 ”是“复数 a ? bi (a, b ? R) 为纯虚数”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.若向量数量积 a · b ? 0 则向量 a 与 b 的夹角 ? 的取值范围是( A. (0,

? ?

?

?

) D. (

?
2

)

B. [0,

?
2

)

C. (

?
2

,?]

?
2

,?)

4.某中学奥数培训班共有 14 人,分为两个小组,在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所 示,其中甲组学生成绩的平均数是 88,乙组学生成绩的中位数是 89,则 n ? m 的值是( )

A.5

B.6

C.7

D.8 )

5.已知 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,且 Sn?1 ? Sn ? an ? 3 , a4 ? a5 ? 23 ,则 S8 ? ( A.72 B.88 6.执行右图所示的程序框图,则输出的 a 值为( A. ? 3 C. ? B. C.92 ) D.98

1 3

1 2

D.2

? f ( x ? 4) x ? 2 ? 7.已知函数 f ( x) ? ?e x ? 2 ? x ? 2 ,则 f (?2017) ? ( ? f (? x) x ? ?2 ?
A.1 B. e

)

C.

1 e

D. e

2

8.如图,小方格是边长为 1 的正方形,一个几何体的三视图如图,则几何体的表面积为( A. 4 5? ? 96
:.]



B. (2 5 ? 6)? ? 96 C. (4 5 ? 4)? ? 64 D. (4 5 ? 4)? ? 96 9. 已知抛物线 y 2 ? 2 x 上一点 A 到焦点 F 的距离与其 到对称轴的距离之比为 9:4,且 AF ? 2 ,则 A 点到原点的距离为( A. 41 10.函数 y ? B. 4 5 C.4 ) D .8 )

(2 ? x)e x 的图像大致为( ( x ? 1) 2

A.

B.

C.

D.

11.圆锥的母线长为 L,过顶点的最大截面的面积为 范围是( A. 0 ? ) B.

1 2 r L ,则圆锥底面半径与母线长的比 的取值 2 L

r 1 ? L 2

1 r ? ?1 2 L

C. 0 ?

r 2 ? L 2

D.

2 r ? ?1 2 L

12. 已知函数 f ( x) ? x ? sin x ( x ? R) , 且 f ( y 2 ? 2 y ? 3) ? f ( x2 ? 4x ? 1) ? 0 , 则当 y ? 1 时, 的取值范围是( A. [ , ] ) B. [ , 1]

y x ?1

1 3 4 4

1 4

C. [1, 3 2 ? 3]

D. [ , ? ? ]

1 3

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 ~ 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22 ~ 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分. 13.数列 1 , 3 , 5 , 7

1 2

1 4

1 8

1 , ? 的前 n 项和 Sn 为 16

. .

14.已知 x 为三角形中的最小角,则函数 y ? sin x ? 3 cos x ? 1 的值域为

15.某工厂制作木质的书桌和椅子,需要木工和漆工两道工序,已知木工平均四个小时做一把椅子, 八个小时做一张书桌,该工厂每星期木工最多有 8 000 个工作时;漆工平均两小时漆一把椅子, 一个小时漆一张书桌,该工厂每星期漆工最多有 1300 个工作时,又已知制作一把椅子和一张书桌 的利润分别是 15 元和 20 元,试根据以上条件,生产一个星期能获得的最大利润为 元. 16.设 F1 , F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一 a 2 b2 ??? ? ???? ? ???? ? 点 P ,使 (OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 ( O 为坐标原点) ,且 | PF 1 |? 3 | PF 2 | ,则双曲线的离心率

为 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知△ABC 的面积为 S,且 BA ? CA ? S . (1)求 tan A 的值; (2)若 B ?

??? ? ??? ?

?
4

, c ? 6 ,求△ABC 的面积 S.

18. (本小题满分 12 分)某冷饮店只出售一种饮品,该饮品每一杯的成本价为 3 元,售价为 8 元, 每天售出的第 20 杯及之后的饮品半价出售.该店统计了近 10 天的饮品销量,如图所示:设 x 为 每天饮品的销量, y 为该店每天的利润. (1)求 y 关于 x 的表达式; (2)从日利润不少于 96 元的几天里任选 2 天,求选出的这 2 天日利润都是 97 元的概率.

19. (本小题满分 12 分)在多面体 ABCDEFG 中,四边形 ABCD 与 ADEF 是边长均为 a 的正方形, 四边形 ABGF 是直角梯形, AB ? AF ,且 FA ? 2 FG ? 4 FH 。 (1)求证:平面 BCG ? 面 EHG; (2)若 a ? 4 ,求四棱锥 G-BCEF 的体积.

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C: 长轴的弦长为

3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过.左焦点 F 且垂直于 2 5 a b

32 . 5

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)点 P(m,0) 为椭圆 C 的长轴上的一个动点,过点 P 且斜率为 点,证明: | PA | ? | PB | 为定值.
2 2

4 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两 5

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ?

(1)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)令 g ( x) ? f ( x) ? (ax ? 1) ,求函数 g ( x) 的极值;

1 2 ax ? x , a ? R . 2

(3)若 a ? ?2 ,正实数 x1 , x2 满足 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 x2 ? 0 ,证明: x1 ? x2 ?

5 ?1 . 2

请考生在第 22、23 两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程

已知圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? ? 6sin ? ,直线 l 的参数方程为 ? 数) .若直线 l 与圆 C 相交于不同的两点 P , Q . (1)写出圆 C 的直角坐标方程,并求圆心的坐标与半径; (2)若弦长 PQ ? 4 ,求直线 l 的斜率.

? x ? 4 ? t cos ? ( t 为参 ? y ? t sin ?

23. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ?1 ? 2 x ? a . (1)当 a ? 1 时,求不等式 f ? x ? ? 1 的解集;

(2)若不等式 f ? x ? ? 0 ,在 x ? ? 2,3? 上恒成立,求 a 的取值范围.

参考答案及评分标准
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 D 7 B 8 D 9 B 10 A 11 D 12 A

第 II 卷
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分. 13. n ? 1 ?
2

1 2n

14. [ 3 ? 1, 3] 15.21000 16. 3 ? 1 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 解: ( 1 )由 BA ? CA ? S 得 AB ? AC ? S .设△ ABC 的角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b, c .则有

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

1 1 bc cos A ? bc sin A ? cos A ? sin A ,故 tan A ? 2 .??????????4 分 2 2
(2)由(1)中 tan A ? 2 ? 0 知 0 ? A ?

?
2

,则 sin A ?

2 5 5 .???6 分 , cos A ? 5 5 2 5 2 5 2 3 10 . ? ? ? ? 5 2 5 2 10
?????8 分

可得 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?



c b c 6 2 ? 可得 b ? ? sin B ? ? ? 20 ? 2 5 ,?????10 分 sin A sin B sin C 3 10 2 10

故S ?

1 1 2 5 bc sin A ? ? 2 5 ? 6 ? ? 12 .???????????????12 分 2 2 5

18. (本小题满分 12 分) 解: (1) y ? ?

?(8 ? 3) x ? 5x ?(8 ? 3) ?19 ? (4 ? 3) ? ( x ? 19) ? 76 ? x

( x ? 19), ????????6 分 ( x ? 19).

(2)由(1)可知:日销售量不少于 20 杯时,日利润不少于 96 元.日销售量为 20 杯时,日利润为 96 元,日销售量为 21 杯时,日利润为 97 元.从条形图可以看出,销量为 20 杯的有 3 天,销量 为 21 杯的有 2 天.??????????????????8 分 销量为 20 杯的 3 天,记为 a , b , c ,销量为 21 杯的 2 天,记为 A , B ,从这 5 天中任取 2 天, 包括 ( a, b) , ( a, c ) , (a, A) , (a, B) , (b, c ) , (b, A) , (b, B) , (c, A) , (c, B) , ( A, B) ,共 10 种情况.????????????????????????10 分 其中选出的 2 天销量都为 21 天的情况只有 1 种,故其概率为 19. (本小题满分 12 分) 解:(1)连接 BH,由 AH ?

1 .?????12 分 10

3 a , AB ? a 可知 4

3 5 1 1 5 HB ? ( a)2 ? a 2 ? a ; HG ? ( a)2 ? ( a)2 ? a; 4 4 4 2 4 1 5 GB ? a 2 ? ( a)2 ? a, 2 2
可得 HB ? HG ? GB ,从而 HG ? GB .???????????????3 分
2 2 2

∵ DA ? AF ,

DA ? AB , ∴ DA ? 面ABGH ,

又∵ CB / / DA ,∴ CB ? 面ABGF ,∴ CB ? HG ,∴ HG ? 面BCG , ∵ HG ? 面EHG ,∴ 面EHG ? 面BCG .????????????????6 分 (2)过 B 作 AF 的平行线交于 FG 的延长线于点 P,连接 AP,FB 交于点 O.过 G 作 GK ? FB , 则 GK= PO= ? 2 2= 2 ,?????????8 分

1 2

1 2

16 2 ,??10 分 可得四边形 BCEF 的面积 S=4 ? 4 2=
故 VG-BCEF= ?16 2 ? 2=

1 3

32 .???????12 分 3

20. (本小题满分 12 分)

c 3 ? ?e ? a ? 5 ? 2 32 ? 2b 解:(1)由 ? ? 5 ? a 2 2 ?a ? b ? c 2 ? ?
(2)设 l 的方程为 x ?

?a ? 5 x2 y 2 ? ? 1 .???????4 分 ? ?b ? 4 ,可得椭圆方程 ? 25 16 ? ?c ? 3

5 x2 y 2 y ? m ,代入 ? ? 1 并整理得: 4 25 16

25 y 2 ? 20my ? 8(m2 ? 25) ? 0 .?????????????????????6 分
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 | PA | ? ( x1 ? m) ? y1 ?
2 2 2

41 2 y1 , 16

同理 | PB | ?
2

41 2 y2 .??????????????????????????8 分 16 41 2 41 2 2 ( y1 ? y2 2 ) ? [( y1 ? y2 ) 2 ? 2 y1 y2 ] 则 | PA | ? | PB | ? 16 16

?

41 4m 2 16(m2 ? 25) [(? ) ? ] ? 41 16 5 25

所以,|PA|2+|PB|2 是定值.???????????????????????12 分 21. (本小题满分 12 分) 解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x ? x ,则 f (1) ? 1 ,所以切点为 (1,1) ,

? 又 f ' ( x)

1 ? 1 ,则切线斜率 k ? f ' (1) ?2, x

故切线方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 .???????????????3 分 (2) g ( x) ? f ( x) ? (ax ? 1) ? ln x ?

1 2 ax ? (1 ? a) x ? 1 , 2

1 ? ax2 ? (1 ? a) x ? 1 则 g ' ( x) ? ? ax ? (1 ? a) ? ,??????????????4 分 x x
当 a ? 0 时,∵ x ? 0 ,∴ g ' ( x) ? 0 . ∴ g ( x) 在 (0,??) 上是递增函数,函数 g ( x) 无极值点,????????????5 分

1 a( x ? )(x ? 1) ? ax ? (1 ? a) x ? 1 a 当 a ? 0 时, g ' ( x) ? , ?? x x 1 令 g ' ( x) ? 0 得 x ? . a 1 1 ∴当 x ? (0, ) 时, g ' ( x) ? 0 ;当 x ? ( ,?? ) 时, g ' ( x) ? 0 . a a 1 1 因此 g ( x) 在 (0, ) 上是增函数,在 ( ,?? ) 上是减函数. ???????????7 分 a a 1 1 1 a 1 1 1 ? ln a . ∴ x ? 时, g ( x) 有极大值 g ( ) ? ln ? ? 2 ? (1 ? a) ? ? 1 ? a a a 2 a a 2a
2

综上,当 a ? 0 时,函数 g ( x) 无极值; 当 a ? 0 时,函数 g ( x) 有极大值

1 ? ln a .??????????????8 分 2a

(3)证明:当 a ? ?2 时, f ( x) ? ln x ? x 2 ? x , x ? 0 .
2 2 由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 x2 ? 0 ,即 ln x1 ? x1 ? x1 ? ln x2 ? x2 ? x2 ? x1x2 ? 0 ,

从而 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? ln(x1 x2 )
2

令 t ? x1 x2 ,则由 ? (t ) ? t ? ln t 得: ? ' (t ) ? 1 ? ?

1 t

t ?1 , t

可知, ? (t ) 在区间 (0,1) 上单调递减,在区间 (1,??) 上单调递增. ∴ ? (t ) ? ? (1) ? 1,∴ ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 1,
2

∵ x1 ? 0 , x2 ? 0 ,∴ x1 ? x2 ?

5 ?1 成立. ???????????????12 分 2

请考生在第 22、23 两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程
2 解: (1)由 ? ? 4cos ? ? 6sin ? ,得. ? ? 4? cos? ? 6? sin ?

将 ? ? x ? y , ? cos? ? x, ? sin ? ? y ,代入可得 x ? y ? 4 x ? 6 y ? 0 ,配方,得:
2 2 2 2 2

( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 13 ,所以圆心为 (2, ?3) ,半径为 13 .??????????5 分
(2)由直线 l 的参数方程知直线过定点 M (4,0) ,则由题意,知直线 l 的斜率一定存在.

设直线 l 的方程为 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) .因为 PQ ? 4 ,所以 解得 k ? 0 或 k ? ?

2k ? 3 ? 4 k k 2 ?1

? 3,

12 .????????????????????????10 分 5

23. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 解:(1) ∵ a ? 1, f ( x) ? 1 ?| x ? 1| ?2 | x ? 1|? 1 ,

1 ? x ? ?1 ? x ? ?1 ?- ?x ? 1 ?? 或? 或? ?? x ? 1 ? 2( x ? 1) ? 1 ?? x ? 1 ? 2( x ? 1) ? 1 ? x ? 1 ? 2( x ? 1) ? 1
? ?2 ? x ? ?1 或 ? 1 ? x ? ?
2 3

2 2 ? ?2 ? x ? ? , 3 3

故解集为 ( ?2, ? ) .??????????????????????????5 分 (2) f ? x ? ? 0 在 x ? ? 2,3? 上恒成立 ? x ?1 ? 2 x ? a ? 0 在 x ? ? 2,3? 上恒成立

? 2x ? 2a ? x ?1 ? 1 ? x ? 2x ? 2a ? x ?1
? 1 ? 3x ? 2a ? ? x ? 1 在 x ?? 2,3? 上恒成立,
? ?1 ? 3x ?max ? 2a ? ? ? x ? 1?min ? ?5 ? 2a ? ?4 ? ?
故 a 的范围为 ? ?

5 ? a ? ?2 2

? 5 ? , ?2 ? .???????????????????????10 分 ? 2 ?

欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org


更多相关文档:

...校2017届高三12月联考数学(文)试题 Word版含答案

湖南省长株潭岳益五市十校2017届高三12月联考数学(文)试题 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。“湖南省五市十校教研教改共同体”2017 届高三 12...

【数学】湖南省长沙市2017届高三12月联考(理)(附答案)

数学湖南省长沙市2017届高三12月联考(理)(附答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。湖南省长沙市 2017 届高三 12 月联考(理) (满分:150 分 时间:120...

湖南省长沙市2017届高三12月联考历史试题(带解析)

湖南省长沙市2017届高三12月联考历史试题(带解析)_...(要求:表述成文,观点明确,史论结合)(6 分) 27....【数学】湖南省长沙市20... 暂无评价 10页 ¥1...

【数学】湖南省长沙市2017届高三12月联考(理)

【数学】湖南省长沙市2017届高三12月联考(理)_数学_高中教育_教育专区。2017 届云南省曲靖市第一中学高三上学期第四次月考数学()试题 理科数学第Ⅰ卷(共 60...

湖南省长沙市2017届高三12月联考数学(文)试题.doc

湖南省长沙市2017届高三12月联考数学(文)试题.doc_高三数学_数学_高中教育_...? 2,3? 上恒成立,求 a 的取值范围. 参考答案及评分标准第Ⅰ卷一、选择题...

湖南省长沙市2017届高三12月联考数学(理)试题 Word版含...

湖南省长沙市2017届高三12月联考数学()试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。湖南省长沙市2017届高三12月联考试题与答案 ...

湖南省长株潭岳益五市十校2017届高三12月联考数学(理)...

湖南省长株潭岳益五市十校2017届高三12月联考数学()试题 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。湖南省五市十校教研教改共同体 2017 届高三 12 月...

湖南省六校联盟2017届高三上学期12月联考试题 数学(文)

湖南省六校联盟2017届高三上学期12月联考试题 数学(文)_数学_高中教育_教育专区...C D B C D A 答案 二、填空题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 ...

湖南省长沙市2017届高三12月联考数学(理)试题 Word版含...

湖南省长沙市2017届高三12月联考数学()试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载湖南省长沙市2017届高三12月联考数学()试题 ...

湖南省六校联盟2017届高三上学期12月联考试题数学(理)

湖南省六校联盟2017届高三上学期12月联考试题数学(理)_数学_高中教育_教育专区。六校联盟高三年级联考试卷 数学(理科)试题时量:120 分钟 分值:150 分 命题人:...
更多相关标签:
湖南省2017十三校联考 | 2017年湖南省艺术联考 | 2017长沙市高三联考 | 2017湖南省美术联考 | 2017年湖南省书法联考 | 湖南省六校联考2017 | 长沙市2017届高三联考 | 2017湖南省联考成绩 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com