当前位置:首页 >> 数学 >> 2014届(浙江)高考数学(理)二轮专题训练:第1部分 专题六 第4讲 高考中的概率(解答题型)

2014届(浙江)高考数学(理)二轮专题训练:第1部分 专题六 第4讲 高考中的概率(解答题型)


第四讲 高考中的概率?解答题型?

考 点 超几何分布 事件的相互独立性 独立重复试验与二项分布

考 情 1.高考对本节的考查,一般借助实际生活背景进行考查,相互 独立事件同时发生的概率, 独立重复试验和二项分布的概率模 型,离散型随机变量的分布列及其性质,均值与方差是高考热 点,如 2013 年重庆 T18,2013 年福建 T16.<

br />
均值与方差的实际应用

2.试题难度中档,涉及概率问题时主要是古典概型、独立重 复试验及条件的相互独立性, 与频率分布直方图和茎叶图等交 汇的超几何分布是近几年高考热点,如 2013 年广东 T17.

1.(2013· 广东高考)某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加 工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (1)根据茎叶图计算样本均值; (2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间 12 名工人 中有几名优秀工人? (3)从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名优秀工人的概率. 17+19+20+21+25+30 132 解:(1)样本均值为 = =22. 6 6 2 1 1 (2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为 = ,故推断该车间 12 名工人中有 12× =4 名 6 3 3 优秀工人. (3)设事件 A:从该车间 12 名工人中,任取 2 人,恰有 1 名优秀工人,则 P(A)= 16 . 33 2.(2013· 福建高考)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方 2 2 案甲的中奖率为 ,中奖可以获得 2 分;方案乙的中奖率为 ,中奖可以获得 3 分;未中奖则 3 5 不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换
1 C1 4C8 2 = C12

奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 X,求 X≤3 的 概率; (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案 抽奖,累计得分的数学期望较大? 2 2 解:法一:(1)由已知得,小明中奖的概率为 ,小红中奖的概率为 ,且两人中奖与否 3 5 互不影响. 记“这两人的累计得分 X≤3”的事件为 A, 则事件 A 的对立事件为“X=5”, 2 2 4 11 因为 P(X=5)= × = ,所以 P(A)=1-P(X=5)= , 3 5 15 15 11 即这两人的累计得分 X≤3 的概率为 . 15 (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为 X2, 则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1), 选择方案乙抽奖累计得分的数学期 望为 E(3X2). 2? ? 2? 由已知可得,X1~B? ?2,3?,X2~B?2,5?, 2 4 2 4 所以 E(X1)=2× = ,E(X2)=2× = , 3 3 5 5 8 12 从而 E(2X1)=2E(X1)= ,E(3X2)=3E(X2)= . 3 5 因为 E(2X1)>E(3X2), 所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大. 2 2 法二:(1)由已知得,小明中奖的概率为 ,小红中奖的概率为 ,且两人中奖与否互不 3 5 影响. 记“这两人的累计得分 X≤3”的事件为 A, 则事件 A 包含有“X=0”“X=2”“X=3”三个两两互斥的事件, 2 2 1 1- ?×?1- ?= , 因为 P(X=0)=? ? 3? ? 5? 5 2 2 2 1- ?= , P(X=2)= ×? 3 ? 5? 5 2? 2 2 11 P(X=3)=? ?1-3?×5=15,所以 P(A)=P(X=0)+P(X=2)+P(X=3)=15, 11 即这两人的累计得分 X≤3 的概率为 . 15

(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1,都选择方案乙所获得的累计得 分为 X2,则 X1,X2 的分布列如下: X1 P 0 1 9 2 4 9 4 4 9

X2 P

0 9 25

3 12 25

6 4 25

1 4 4 8 所以 E(X1)=0× +2× +4× = , 9 9 9 3 9 12 4 12 E(X2)=0× +3× +6× = . 25 25 25 5 因为 E(X1)>E(X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.

1.独立重复试验的概率公式
k n k Pn(k)=Ck ,k=0,1,2,?,n. np (1-p)


2.超几何分布的概率 一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则事件(X=
n k Ck mCN-M k)发生的概率为 P(x=k)= (k=0,1,2,?,m)(m≤M,m≤n,M≤N). Cn N


3.离散型随机变量的均值、方差 (1)均值 E(X)=x1p1+x2p2+?+xipi+?+xnpn; (2)方差 D(X)=? [xi-E(x)]2· pi. =
i 1 n

4.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若 X 服从两点分布,则 E(X)=p,D(X)=p(1-p); (2)若 X~B(n,p),则 E(X)=np,D(X)=np(1-p). 5.均值与方差的性质 (1)E(ax+b)=aE(x)+b; (2)D(ax+b)=a2D(x).

热点一

超几何分布问题

[例 1] (2012· 浙江高考)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球得 2 分,取出一个黑球得 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记 随机变量 X 为取出此 3 球所得分数之和. (1)求 X 的分布列; (2)求 X 的数学期望 E(X). [自主解答] (1)由题意得 X 取 3,4,5,6,且 C3 5 C1 C2 10 5 4· 5 P(X=3)= 3= ,P(X=4)= 3 = , C9 42 C9 21 C2 C1 5 C3 1 4· 5 4 P(X=5)= 3 = ,P(X=6)= 3= . C9 14 C9 21 所以 X 的分布列为 X P 3 5 42 4 10 21 5 5 14 6 1 21

13 (2)由(1)知 E(X)=3· P(X=3)+4· P(X=4)+5· P(X=5)+6· P(X=6)= . 3 ——————————规律· 总结———————————— 在超几何分布中,随机变量 X 取每一个值的概率是用古典概型计算的,明确每一个基 本事件的性质是正确解答此类问题的关键.

1. 某学校为了调查本校学生 9 月份“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小 时)的天数情况,随机抽取了 40 名本校学生作为样本,统计他们在该月 30 天内健康上网的 天数,并将所得的数据分成以下六组:[0,5],(5,10],(10,15],?,(25,30],由此画出样本 的频率分布直方图,如图所示.

(1)根据频率分布直方图,求这 40 名学生中健康上网天数超过 20 天的人数; (2)现从这 40 名学生中任取 2 名,设 Y 为取出的 2 名学生中健康上网天数超过 20 天的 人数,求 Y 的分布列及数学期望 E(Y). 解:(1)由图可知,健康上网天数未超过 20 天的频率为(0.01+0.02+0.03+0.09)×5= 0.15×5=0.75, ∴健康上网天数超过 20 天的学生人数是 40×(1-0.75)=40×0.25=10. (2)随机变量 Y 的所有可能取值为 0,1,2.

1 C2 29 C1 5 C2 3 30 10C30 10 P(Y=0)= 2 = ,P(Y=1)= 2 = ,P(Y=2)= 2 = . C40 52 C40 13 C40 52

∴Y 的分布列为 Y P 29 5 3 1 ∴E(Y)=0× +1× +2× = . 52 13 52 2 热点二 事件的相互独立性 0 29 52 1 5 13 2 3 52

[例 2] (2013· 陕西高考)在一场娱乐晚会上,有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱,由现 场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手, 其中观 众甲是 1 号歌手的歌迷,他必选 1 号,不选 2 号,另在 3 至 5 号中随机选 2 名.观众乙和丙 对 5 位歌手的演唱没有偏爱,因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手. (1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率; (2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求 X 的分布列及数学期望. [自主解答] (1)设 A 表示事件“观众甲选中 3 号歌手”, B 表示事件“观众乙选中 3 号 C1 2 C2 3 2 4 歌手”,则 P(A)= 2= ,P(B)= 3= . C3 3 C5 5 ∵事件 A 与 B 相互独立, ∴观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为 P(A B ) =P(A)· P( B ) = C1 C3 4 2 2 4 2· 4 或P?A B ?= 2 3= ?. P(A)· [1-P(B)]= × = ? C3· C5 15? 3 5 15? (2)设 C 表示事件“观众丙选中 3 号歌手”,则 P(C)= ∵X 可能的取值为 0,1,2,3,则 P(X=0)=P( A P(X=1)=P(A B 20 = , 75 2 3 2 2 2 3 1 3 3 33 P(X=2)=P(AB C )+P(A B C)+P( A B C)= × × + × × + × × = , 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75 2 3 3 18 P(X=3)=P(ABC)= × × = , 3 5 5 75 ∴X 的分布列为 X P 0 4 75 1 20 75 2 33 75 3 18 75 C ) + P( A B C ) + P( A B C2 3 4 = . C3 5 5

1 2 2 4 C )= × × = , 3 5 5 75

2 2 2 1 3 2 1 2 3 B C) = × × + × × + × × 3 5 5 3 5 5 3 5 5

4 20 33 18 140 28 ∴X 的数学期望 E(X)=0× +1× +2× +3× = = . 75 75 75 75 75 15 ——————————规律· 总结———————————— (1)求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,看复杂事件能转化为几个彼此互 斥事件的和事件, 还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件, 然后用概率公式求解. (2)一个复杂事件若正面情况比较多, 反面情况较少, 则一般利用对立事件进行求解. 对 于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解.

2.某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,回答问题正确者进入下一轮考核,否 4 3 2 则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 、 、 ,且各轮 5 5 5 问题能否正确回答互不影响. (1)求该选手被淘汰的概率; (2)记该选手在考核中回答问题的个数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列与数学期望. 4 3 解:记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”为事件 Ai(i=1,2,3),则 P(A1)= ,P(A2)= , 5 5 2 P(A3)= . 5 4 3 2 101 ∴该选手被淘汰的概率 P=1-P(A1A2A3)=1-P(A1)P(A2)P(A3)=1- × × = . 5 5 5 125 (2)ξ 的所有可能取值为 1,2,3. 1 则 P(ξ=1)=P( A 1)= , 5 4 2 8 P(ξ=2)=P(A1 A 2)=P(A1)P( A 2)= × = , 5 5 25 4 3 12 P(ξ=3)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)= × = , 5 5 25 ∴ξ 的分布列为 ξ P 1 8 12 57 ∴E(ξ)=1× +2× +3× = . 5 25 25 25 1 1 5 2 8 25 3 12 25

热点三

独立重复试验与二项分布

[例 3] (2012· 辽宁高考)现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答.

(1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; (2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都 3 4 是 ,答对每道乙类题的概率都是 ,且各题答对与否相互独立.用 X 表示张同学答对题的 5 5 个数,求 X 的分布列和数学期望. [自主解答] (1)设事件 A=“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题”, 则有 A =“张 同学所取的 3 道题都是甲类题”. 因为 P( A )= C3 1 6 = , C3 6 10

5 所以 P(A)=1-P( A )= . 6 (2)X 所有的可能取值为 0,1,2,3.

?3?0 ?2?2 1 4 ; P(X=0)=C0 2·5 ·5 ·= ? ? ? ? 5 125 ?3?1 ?2?1 1 0?3?0 ?2?2 4 28 ; P(X=1)=C1 2·5 ·5 ·+C2 5 ·5 ·= ? ? ? ? 5 ? ? ? ? 5 125 ?3?2 ?2?0 1 1?3?1 ?2?1 4 57 ; P(X=2)=C2 2·5 ·5 ·+C2 5 ·5 ·= ? ? ? ? 5 ? ? ? ? 5 125 ?3?2 ?2?0 4 36 . P(X=3)=C2 2·5 ·5 ·= ? ? ? ? 5 125
所以 X 的分布列为 X P 0 4 125 1 28 125 2 57 125 3 36 125

4 28 57 36 所以 E(X)=0× +1× +2× +3× =2. 125 125 125 125 ——————————规律· 总结———————————— 1.注意辨别独立重复试验的基本特征: (1)在每次试验中,试验结果只有发生与不发生两种情况; (2)在每次试验中,事件发生的概率相同.
k n k 2.牢记公式 Pn(k)=Ck ,k=0,1,2,?,n,并深刻理解其含义. np (1-p)


3.甲、乙两人参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中 随机抽取 8 次,画出茎叶图如下:

(1)指出学生乙成绩的中位数,并说明如何确定一组数据的中位数; (2)现要从中选派一人参加数学竞赛,你认为派哪位学生参加,成绩比较稳定? (3)若将频率视为概率,对学生甲在今后三次数学竞赛中的成绩进行预测,记这三次成 绩高于 80 分的次数为 ξ,求 ξ 的分布列及数学期望 E(ξ). 83+85 解:(1)依题意得 =84,则学生乙成绩的中位数是 84.它是这组数据中最中间位置 2 的一个数或最中间位置两个数的平均数, 中位数可能在所给的数据中, 也可能不在所给数据 中. (2)派甲参加比较合适,理由如下: 1 x 甲= (70×2+80×4+90×2+9+8+8+4+2+1+5+3)=85. 8 1 x 乙= (70×1+80×4+90×3+5+3+5+2+5)=85. 8
2 2 2 s2 甲=35.5,s乙=41,∴ x 甲= x 乙,且 s甲<s乙,

∴甲的成绩比较稳定. 6 3 (3)记“甲在一次数学竞赛中成绩高于 80 分”为事件 A,则 P(A)= = . 8 4 3? 依题意,得 ξ~B? ?3,4?.

?3?k?1-3?3-k,k=0,1,2,3. ∴P(ξ=k)=Ck 3 4 ? ? ? 4?
ξ 的分布列为 ξ P 0 1 64 1 9 64 2 27 64 3 27 64

1 9 27 27 9 ∴E(ξ)=0× +1× +2× +3× = . 64 64 64 64 4

?或利用E?ξ?=3×3=9? 4 4? ?
热点四 均值与方差的实际应用

[例 4] 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花, 然后以每枝 10 元的价 格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.

(1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位: 枝,n∈N)的函数解析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. ①若花店一天购进 16 枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列、数学 期望及方差; ②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花, 你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理 由. [自主解答] (1)当日需求量 n≥16 时,利润 y=80. 当日需求量 n<16 时,利润 y=10n-80. 所以 y 关于 n 的函数解析式为
? ?10n-80,n<16, y=? (n∈N). ?80,n≥16 ?

(2)①X 可能的取值为 60,70,80,并且 P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7. X 的分布列为 X P 60 0.1 70 0.2 80 0.7

X 的数学期望为 E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76. X 的方差为 D(X)=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44. ②答案一: 花店一天应购进 16 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分布列为 Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54

Y 的数学期望为 E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4. Y 的 方 差 为 D(Y) = (55 - 76.4)2×0.1 + (65 - 76.4)2×0.2 + (75 - 76.4)2×0.16 + (85 - 76.4)2×0.54=112.04. 由以上的计算结果可以看出, D(X)<D(Y), 即购进 16 枝玫瑰花时利润波动相对较小. 另 外,虽然 E(X)<E(Y),但两者相差不大.故花店一天应购进 16 枝玫瑰花. 答案二: 花店一天应购进 17 枝玫瑰花.理由如下:

若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分布列为 Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54

Y 的数学期望为 E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4. 由以上的计算结果可以看出, E(X)<E(Y), 即购进 17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 16 枝时的平均利润.故花店一天应购进 17 枝玫瑰花. ——————————规律· 总结———————————— 求离散型随机变量 ξ 的均值与方差的方法 先根据随机变量的意义, 确定随机变量可以取哪些值, 然后根据随机变量取这些值的意 义求出取这些值的概率,列出分布列,根据数学期望和方差的公式计算.若随机变量服从二 项分布,则可以直接使用 E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p)求解.

4.根据以往的经验,某工程施工期间的降水量 X(单位: mm)对工期的影响如下表: 降水量 X 工期延误天数 Y X<300 0 300≤X<700 2 700≤X<900 6 X≥900 10

历年气象资料表明, 该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为 0.3,0.7,0.9. 求: (1)工期延误天数 Y 的均值与方差; (2)在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率. 解:(1)由已知条件和概率的加法公式有: P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4, P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2. P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1. 所以 Y 的分布列为 Y P 0 0.3 2 0.4 6 0.2 10 0.1

于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3, D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8. 故工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8. (2)由概率的加法公式,得 P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7, 又因为 P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6. 由条件概率,得 P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)= P?300≤X<900? 0.6 6 = = . 0.7 7 P?X≥300?

6 故在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率是 . 7


更多相关文档:

...专题突破训练 第1部分 专题6 第4讲 高考中的概率 Wo...

2014高考数学(理)二轮专题突破训练 第1部分 专题6 第4讲 高考中的概率 Word版含解析]第四讲 高考中的概率?解答题型? 考点 超几何分布 事件的相互独立性 独立...

2014届(浙江)高考数学(理)二轮专题训练:第1部分 专题二...

2014届(浙江)高考数学(理...1/2 相关文档推荐 2014届高考数学二轮专题... ...第四讲 高考中的三角函数?解答题型? 考点 三角恒等变换 三角函数的图像与性质 ...

2014届(浙江)高考数学(理)二轮专题训练:第2部分 专题二...

2014届(浙江)高考数学(理)二轮专题训练:第2部分 专题第1讲 选择题解题5技法...时,0<a<6. 技法五 估算法 由于选择题提供了唯一正确的选项,解答又无需过程...

2014届(浙江)高考数学(理)二轮专题训练:第1部分 专题四...

2014届(浙江)高考数学(理)二轮专题训练:第1部分 专题四 第1讲 空间几何体(选择...[自主解答] (1)作出空间直角坐标系,在坐标系中标出各点的位置,然后进行投影...

...高考(浙江)数学(理)二轮专题训练:第1部分 专题六 第...

(2-i)2=3-4i,其在复平面内对应的点(3,-4)位于第四象限. ) ) 2.(2013· 浙江高考)已知 i 是虚数单位,则(-1+i)(2-i)=( A.-3+i C.-3+3i...

2014(浙江)高考数学(理)二轮专题训练:第1部分 专题二 ...

2014(浙江)高考数学(理)二轮专题训练:第1部分 专题二 第1讲 三角函数的图像与...f? ?3?=0,则ω 的最小值为( A.2 C.6 ) B.4 D.8 π? [自主解答...

2014届(浙江)高考数学(理)二轮专题训练:第1部分 专题一...

2014届(浙江)高考数学(理)二轮专题训练:第1部分 专题一 第2讲 函数的图像与...B.[0,+∞) 9 ? D.? ?-4,0?∪(2,+∞) [自主解答] (1)如图,过 ...

2014届(浙江)高考数学(理)二轮专题训练:第1部分专题六...

自主解答] (1)设抛掷三次骰子的点数分别为 a,b,c,根据分析,若 a=1,则 b+c =11,只能是(5,6),(6,5),2 种情况;若 a=2,则 b+c=10,只能是(4,...

2014届高考数学二轮专题突破第1部分 专题六 第1讲 算法...

二轮专题突破第1部分 专题六 第1讲 算法、复数、推理与证明(选择、填空题型理...《创新方案》2014 届高考数学(理科)二轮专题突破预测演练提能 训练(浙江专版) ...

2014届(浙江)高考数学(理)二轮专题训练 第1部分专题二...

2014届(浙江)高考数学(理)二轮专题训练 第1部分专题二第2讲 三角恒等变换与解...4 2 sin 40° [自主解答] (1)4cos 50° -tan 40° =4cos 50° - ...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com