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盐城市2014届高三年级第一学期期中考试数学试题(含答案)


盐城市 2014 届高三年级第一学期期中考试 数 学 试 题
(总分 160 分,考试时间 120 分钟)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答 题纸的指定位置上.
2 1.已知集合 A ? ??1,0,1,2? , B ? x | x ? 1 ? 0 ,则 A ? B ?

/>?

?



.

2.命题“ ?x ? R,sin x ? 1 ”的否定是 3.函数 y ? cos2 x 的最小正周期为 ▲

▲ .



2 4.设 函 数 f ( x) ? x ? ( a? 2 ) x? 在 区 间 ?2,??? 上 是 增 函 数 , 则 实 数 a 的 最 小 值 1





.

5.设向量 a ? (1, x), b ? (?3, 4) ,若 a // b ,则实数 x 的值为 6.在等比数列 ?an ? 中, a2 ? 2 , a5 ? 16 ,则 a10 = ▲ .

?

?

? ?



.

x 7.设 函 数 f ( x ) 是 周 期 为 5 的 奇 函 数 ,当 0 ? x ? 2 时 , f ( x ) ? 2 ? 3 ,则 f (2013)

=



. ▲ 条件(选填“充分

2 8.设命题 p : x ? 4 ;命题 q : x ? 2x ? 8 ? 0 ,那么 p 是 q 的

不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”). 、 、 、 9.已知函数 f ( x) ? 2 f ?(1) ln x ? x ,则 f ( x ) 的极大值为 ▲ . ▲ .

10.在 ?ABC 中, BC ? 6 , BC 边上的高为 2 ,则 AB ? AC 的最小值为
n

??? ??? ? ?

11.在 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 1 , an?2 ? (?1) an ? 2 , 记 Sn 是 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 , 则 S60 = ▲ .
高三数学试题第 1 页(共 4 页)

12.在 ?ABC 中,若 (CA ? CB) ? AB ? 13.在数列 ?an ? 中, a1 ? 0 ,

??? ??? ??? ? ? ?

? 2 ??? 2 tan A | AB | ,则 = 5 tan B



.

1 ? an?1 1 1 ,记 Sn 为数列 ?bn ? 的 ? ? 1 ,设 bn ? 1 ? an?1 1 ? an n
.

前 n 项和,则 S99 =



14. 设 f ?(x) 和 g ?(x ) 分别是 f ( x ) 和 g ( x) 的导函数,若 f ?( x) g ?( x) ? 0 在区间 I 上恒成立, 则称 f (x) 和 g (x) 在区间 I 上单调性相反.若函数 f ( x ) ?

1 3 x ? 2ax 与 g ( x) ? x2 ? 2bx 3
▲ .

在开区间 ( a , b ) 上单调性相反( a ? 0 ) ,则 b ? a 的最大值为

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) ,其中角 ? 的终边经过点 P(1, 3) ,且 0 ? ? ? ? . (1)求 ? 的值; (2)求 f ( x) 在 [0, ? ] 上的单调减区间.

16. (本小题满分 14 分) 设集合 A ? x ? 2 ? x ? ?1 , B ? ? x | y ? lg (1)当 a ? 1 时,求集合 B ; (2)当 A ? B ? B 时,求 a 的取值范围.

?

?

? ?

x?a ? , a ? 0, a ? R ? . 3a ? x ?

高三数学试题第 2 页(共 4 页)

17. (本小题满分 14 分) 记 f ( A) ? m ? n . (1)求 f ( A) 的取值范围; (2)若 m 与 n 的夹角为

在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,设 m ? (1,1) , n ? (? cos A,sin A) ,

??

?

?? ?
?

??

? ? , C ? , c ? 6 ,求 b 的值. 3 3

18. (本小题满分 16 分) 某地开发了一个旅游景点,第 1 年的游客约为 100 万人,第 2 年的游客约为 120 万人. 某数学兴趣小组综合各种因素预测:①该景点每年的游客人数会逐年增加;②该景点每 年的游客都达不到 130 万人. 该兴趣小组想找一个函数 y ? f ( x) 来拟合该景点对外开 放的第 x ( x ? 1) 年与当年的游客人数 y (单位:万人)之间的关系. (1)根据上述两点预测,请用数学语言描述函数 y ? f ( x) 所具有的性质; ....... (2)若 f ( x ) =

m ? n ,试确定 m, n 的值,并考察该函数是否符合上述两点预测; x x (3)若 f ( x ) = a ? b ? c(b ? 0, b ? 1) ,欲使得该函数符合上述两点预测,试确定 b 的取
值范围.

高三数学试题第 3 页(共 4 页)

19. (本小题满分 16 分) 若函数 f ( x) ? x(ln x ? a) ( a 为实常数). (1)当 a ? 0 时,求函数 f (x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)设 g ( x) ?| f ( x) | . ①求函数 g ( x) 的单调区间; ②若函数 h( x) ?

1 的定义域为 [1, e 2 ] ,求函数 h( x) 的最小值 m( a ) . g ( x)

20. (本小题满分 16 分) 设 数 列 ?an ? 的 各 项 均 为 正 实 数 , bn ? log2 an , 若 数 列 ?bn ? 满 足 b2 ? 0 , (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

bn?1 ? bn ? log2 p ,其中 p 为正常数,且 p ? 1 .

(2) 是否存在正整数 M ,使得当 n ? M 时,a1 ? a4 ? a7 ????? a3 n?2 ? a16 恒成立?若存在, 求出使结论成立的 p 的取值范围和相应的 M 的最小值;若不存在,请说明理由; (3)若 p ? 2 , 设 数 列 ?cn ? 对 任 意 的 n ? N , 都 有 c1bn ? c2bn?1 ? c3bn?2 ???? ?cnb1
*

? ?2n 成立,问数列 ?cn ? 是不是等比数列?若是,请求出其通项公式;若不是,请
说明理由.

高三数学试题第 4 页(共 4 页)

盐城市 2014 届高三年级第一学期期中考试 数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.

?2?
7.-1

2. ?x ? R,sin x ? 1

3.

?

4.-2

5. ?

4 3

6.512

8.充分不必要 14.

9. 2 ln 2 ? 2

10.-5

11. 930

12.

7 3

13.

9 10

1 2
?

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15 . 又 解 : ( 1 )

?















P(1, 3)

, ,

?tan ? ? 3 ,
?? ?

……………………4 分

0 ?? ??
; ……………………7 分

?
3

(2)因为 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ,由 2k? ?

?

?
2

3

? 2x ?

?
3

? 2k? ?
7? 12


k?Z ,

k? ?

?
12

3? , 2


? x ? k? ?

……………………11 分

取 k ?0 , 则

? 7? [ , ]. 12 12
16 . 解

?x? 1 2

?

7?

1 2

, ? f ( x) 在 [0, ? ] 上 的 单 调 减 区 间 为

……………………14 分 : ( 1 ) 当

a?

1





y ? lg

x ?1 ? 0, 3? x
解 得

x ?1 3? x





……………………3 分

1? x ? 3











B ?{


x 1; ?
2 )

x?3


}


……………………7 分

A?

?

B



B



A? B, ……………………8 分 x?a ? 0 ,得 ? x ? a ?? x ? 3a ? ? 0 . 由 3a ? x ( ⅰ ) 当 a ? 0 时 , B ? ( a, 3a ) 显 然 不 满 ,
意; ……………………10 分





高三数学试题第 5 页(共 4 页)

( ⅱ ) 当 a ? 0 时 , B ? ( 3a , a, 由 题 意 知 ? )

?3a ? ?2 , 解 得 ?a ? ?1

?1 ? a


2 ? .? ……………………13 分 3
上 所 述 , 所 求

a













2 ?1 ? a ? ? . 3
17 . 解 :

……………………14 分 ( 1 ) 因 为

?? ? ?? ? ……………………3 分 f ( A) ? m ? n = ? cos A ? sin A ? 2 sin ? A ? ? , 4? ? ? ? 3? 2 ?? ? ? 0 ? A ? ? ,?? ? A ? ? ,?? ? sin ? A ? ? ? 1, 4 4 4 2 4? ? ? f ( A) 的 取 值 范 围 是 ?1, 2 ? ; ……………………7 分 ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? n m on s , 即 c ( 2 ) ∵ m与n 的 夹 角 为 , ∴ m? ? 3 3 ? ? ?? 1 ?? 2 ? ? , ?A? ? 或 ? c o ?s A ?s i n ? A ? ?2 s i ,n ?sin ? A ? ? ? A ? 4 6 4? 2 4? 2 ? ? ? 5? 5? A? ? (舍去) ? A ? , , ……………………10 分 4 6 12 ? ? 又? C ? ,? B ? , 3 4 c b 6 b ? ? 由 正 弦 定 理 知 , 即 , 解 得 ? ? sin C sin B s i n s i n 3 4 b ? 2. ……………………14 分 18.解: (1)预测①: f ( x ) 在 [1, ??) 上单调递增; f ( x) ? 130 x ? [1, ??) 预 测 ② : 对 恒 成

?

立;

……………………2 分

?100 ? m ? n ?m ? ?40 m ? (2)将(1,100)(2、120)代入到 y ? ? n 中,得 ? 、 ,解得 ? . m x ? n ? 140 ?120 ? 2 ? n ?
………… …………5 分 因为 f ( x ) ? ? 故 ①;

f ( x)

40 40 ? 140 ,所以 f ?( x) ? 2 ? 0 , x x [1, ??) 在 上 单 调 递
……………………7 分
高三数学试题第 6 页(共 4 页)













又 当 x ? 4 时 , f ( x) ? ? ②. ( ……………………9 分 3 )

40 ? 140 ? 130 , 所 以 此 时 f ( x) 不 符 合 预 测 x



? 100 ? ab ? c ? 2 ?120 ? ab ? c
……………………11 分







2 0 ? ? a ? b(b ? 1 ? . ? 0 ?c ? 1 ? 2 0 0 ? b ?1 ?


)

因为 f ?( x) ? a ? b x ? ln b ,要想符合预测①,则 f ?( x) ? 0 ,

a ? ln b ? 0







?a ? 0 ? ?b ?1



? a?0 . ? ?0 ? b ? 1
[1] 当 b ? 1 时 , a ?

……………………12 分

20 ? 0 , 此 时 符 合 预 测 ① , 但 由 f ( x )? 1 3 0 解 得 , b(b ? 1)

3 b x ? l o g ( b2 ? , ) b 2 2 3 2 b ( 即 当 x ? l o bg b ? 2 2
②; ……………………13 分 [2]当 0 ? b ? 1 , a ?

? 时) , f ( x )

1 3, 所 以 此 时 f ( x) 不 符 合 预 测 0

20 ? 0 ,此时符合预测①,又由 x ? 1 ,知 b x ? (0, b ] ,所以 b(b ? 1) a ? b x ?[ab,0) ,从而 f ( x) ?[ab ? c, c) . 20 1 ? 130 ,又 0 ? b ? 1 ,解得 0 ? b ? . 欲 f ( x ) 也符合预测②,则 c ? 130 ,即 100 ? b ?1 3 b 综 上 所 述 , 的 取 值 范 围 是 1 (0, ] . ……………………16 分 3 19. (1) a ? 0 时,f ( x) ? x ln x ,f ?( x) ? ln x ? 1 , k ? f ? ?1? ? 1 , ………………… 解: 当 ?
2分 又 当 x ?1 时 , y ? 0 , ? 函 数

f (x) 在 x ? 1 处 的 切 线 方 程

y ? x ?1;

………………………4 分

? x ln x ? ax, x ? ea (2)因为 g ( x ) ?| f ( x ) |? x ? ln x ? a ? ? x | ln x ? a |? ? , a ?ax ? x ln x, x ? e a a ①当 x ? e 时, g ?( x) ? ln x ? 1 ? a ? 0 恒成立,所以 x ? (e , ??) 时,函数 g ( x) 为增函
数;
高三数学试题第 7 页(共 4 页)

………………

………7 分 当 x ? e 时, g ?( x) ? a ? 1 ? ln x ,令 g ?( x) ? a ? 1 ? ln x ? 0 ,得 0 ? x ? e
a a ?1



令 g ?( x) ? a ? 1 ? ln x ? 0 ,得 x ? e

a ?1



a 所 以 函 数 g ( x) 的 单 调 增 区 间 为 (ea ?? ) , e(?1 , ; 单 调 减 区 间 为 , 0 )

(ea ?1 ea ;…………………10 分 , )
②当 x ?[1, e2 ] 时, ln x ?[0, 2] ,因为 h( x) ? 所 a ? 0.
a



1 1 的定义域为 [1, e 2 ] , ? g ( x) x | ln x ? a | a?2 或
………………………11 分
2

(ⅰ)当 a ? 0 时, e ? 1 ,所以函数 g ( x) 在 [1, e ] 上单调递增,则 g ( x) 的最大值为

? 2 ? a? e2 ,
所 以

h( x )







[ e 21

,上

的 ]









m(a) ?

1 ; ? 2 ? a ? e2
2

………………………13 分
a a ?1
a ?1 ? e2 , 所以函数 g ( x) 在 [1, e ? 上单调递增,

(ⅱ) 2 ? a ? 3 时,e ? e , 1 ? e 当 且

a ?1 2 a ?1 在 e , e ? 上单调递减,则 g ( x) 的最大值为 e ,所以 h( x) 在区间 [1, e 2 ] 上的最小 ?

?

值为 m( a ) ? ………14 分

1 e a ?1

; ………………

(ⅲ)当 a ? 3 时, e

? e2 ,所以函数 g ( x) 在 [1, e 2 ] 上单调递增,则 g ( x) 的最大值 1 2 为 ? a ? 2? e ,所以 h( x) 在区间 [1, e 2 ] 上的最小值为 m(a) ? . ? a ? 2 ? e2
上 所 述 ,

a ?1



20.解: (1)因为 bn?1 ? bn ? log2 p ,所以 bn?1 ? bn ? log2 p ,所以数列 ?bn ? 是以 log 2 p 为 公 差
2

1 ? a ? 0, ? ? 2 ? a ? e2 , ? ? 1 m( a ) ? ? , 2 ? a ? 3, a ?1 ? e 1 ? a ? 3. ? ? a ? 2 ? e2 , ?
的 等

………………………16 分











b2 ? 0





以 得

bn ?


b ? (
2

2 ? )2 n

p n? 2

(
o

n ?2

lp , 2 ?o g p………………………2g分 ) l o , bn ? l 2 an o g
g

an ? 2bn ? 2l

? p n?2 .

………………………4 分

高三数学试题第 8 页(共 4 页)



2







an ? pn?2



(3n ?5) n 2

所 ,



a1 ? a4 ? a7 ????? a3n?2 ? p?1 p2 p5 ? p3n?4 ? p ?1?2?5???(3n?4) ? p


a16
p
(3n ?5) n 2

?

p14





? p14 ,
( n? n 5 ) 3 2

………………………6 分

( ⅰ ) 当 0 ? p ?1 时 , 意; ( ⅱ

? 14 , 解 得 ?
( n? 3 n 2 5 ) ? 14

7 ? n 3


4 , 不 符 合 题 ?


………………………7 分 ) 当

p ?1







n ? 4,



n??
最小值为 4.

7 . 3

………………………8 分

综上所述,当 p ? 1 时,存在正整数 M 使得 a1 ? a4 ? a7 ????? a3n?2 ? a16 恒成立,且 M 的 …………… …………9 分 (3)因为 p ? 2 ,由(1)得 bn ? n ? 2 , 所以 c1 (n ? 2) ? c2 (n ? 3) ? c3 (n ? 4) ???? ? cn (?1) ? ?2n 则 c1 (n ?1) ? c2 (n ? 2) ? c3 (n ? 3) ???? ? cn ?1 (?1) ? ?2(n ? 1) 由 ② ①, ②,

?







c1 ? c ? c ? ??? ? cn ? c3n? ? ?2 2
④,

③, ………………………12 分 所以 c1 ? c2 ? c3 ???? ? cn ? cn?1 ? cn?2 ? ?2 再由④ ? ③,得 2cn?1 ? cn?2 ,即 所 列, 以 当

cn? 2 ? 2(n ? N * ) , cn?1
, 数 列

n?2



?cn ?









………………………15 分 又由①式, 可得 c1 ? 2 ,c2 ? 4 , 则

c2 所以数列 ?cn ? 一定是等比数列, cn ? 2n . 且 ? 2, c1
……………

…………16 分 (说明:若第(3)小题学生由前几项猜出等比数列,再代回验证的,扣 3 分)

高三数学试题第 9 页(共 4 页)


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